Symetrie w mechanice kwantowej Wykład 14 Karol Kołodziej

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Translacja przestrzenna

Będziemy pracować w obrazie Schr¨odingera, dlatego opuszczamy indeks S.

Rozważmytranslację przestrzenną układu fizycznego o ustalony wektor ~ρ.

~r

~ ρ

~r0 ~r0+ ~ρ

ψα(~r) ψα′(~r+ ~ρ)

Będziemy pracować w obrazie Schr¨odingera, dlatego opuszczamy indeks S.

Rozważmytranslację przestrzenną układu fizycznego o ustalony wektor ~ρ.

~r

~ ρ

~r0 ~r0+ ~ρ

ψα(~r) ψα′(~r+ ~ρ)

Przed transformacją nasz układ jest opisywany przez funkcję falową ψα(~r),

Translacja przestrzenna

Będziemy pracować w obrazie Schr¨odingera, dlatego opuszczamy indeks S.

Rozważmytranslację przestrzenną układu fizycznego o ustalony wektor ~ρ.

~r

~ ρ

~r0 ~r0+ ~ρ

ψα(~r) ψα′(~r+ ~ρ)

Przed transformacją nasz układ jest opisywany przez funkcję falową ψα(~r),

gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α^′(~r + ~ρ),

Translacja przestrzenna

gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α^′(~r + ~ρ), gdzie teraz zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do opisu układu fizycznego oznaczyliśmy przez α^′.

gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α^′(~r + ~ρ), gdzie teraz zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do opisu układu fizycznego oznaczyliśmy przez α^′. Jest oczywiste, że przy translacji zachodzi związek

ψ_α^′(~r + ~ρ) = ψα(~r).

Translacja przestrzenna

gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α^′(~r + ~ρ), gdzie teraz zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do opisu układu fizycznego oznaczyliśmy przez α^′. Jest oczywiste, że przy translacji zachodzi związek

ψ_α^′(~r + ~ρ) = ψα(~r).

W przestrzeni Hilberta stanów fizycznych H translacja przestrzenna jest reprezentowana przezunitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~r(~ρ)

U_~r(~ρ)ψα(~r) = ψ_α^′(~r) = ψα(~r − ~ρ).

gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α^′(~r + ~ρ), gdzie teraz zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do opisu układu fizycznego oznaczyliśmy przez α^′. Jest oczywiste, że przy translacji zachodzi związek

ψ_α^′(~r + ~ρ) = ψα(~r).

W przestrzeni Hilberta stanów fizycznych H translacja przestrzenna jest reprezentowana przezunitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~r(~ρ)

U_~r(~ρ)ψα(~r) = ψ_α^′(~r) = ψα(~r − ~ρ).

Translacja przestrzenna

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) =

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) =ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

Translacja przestrzenna

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ) +

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

Translacja przestrzenna

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψα(x, y , z)

Translacja przestrzenna

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψα(x, y , z)

=

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψα(x, y , z)

= e^−ρ∂x∂ ψα(x, y , z).

Translacja przestrzenna

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg funkcję ψ_α(~r − ~ρ).

ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1 1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψα(x, y , z)

= e^−ρ∂x∂ ψα(x, y , z).

Oczywiście dla ~ρ = [0, ρ, 0] otrzymamy

ψα(~r − ~ρ) = e^−ρ∂y∂ψα(x, y , z), a dla ~ρ = [0, 0, ρ] otrzymamy

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ∂z∂ψ_α(x, y , z).

Translacja przestrzenna

Oczywiście dla ~ρ = [0, ρ, 0] otrzymamy

ψα(~r − ~ρ) = e^−ρ∂y∂ψα(x, y , z), a dla ~ρ = [0, 0, ρ] otrzymamy

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ∂z∂ψ_α(x, y , z).

Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρ_y, ρ_z] otrzymamy ψ_α(~r − ~ρ) =

Oczywiście dla ~ρ = [0, ρ, 0] otrzymamy

ψα(~r − ~ρ) = e^−ρ∂y∂ψα(x, y , z), a dla ~ρ = [0, 0, ρ] otrzymamy

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ∂z∂ψ_α(x, y , z).

Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρ_y, ρ_z] otrzymamy ψ_α(~r − ~ρ) = e^{−ρx∂x∂} e^−ρy

∂

∂ye^{−ρz∂z∂}ψ_α(x, y , z).

Translacja przestrzenna

Oczywiście dla ~ρ = [0, ρ, 0] otrzymamy

ψα(~r − ~ρ) = e^−ρ∂y∂ψα(x, y , z), a dla ~ρ = [0, 0, ρ] otrzymamy

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ∂z∂ψ_α(x, y , z).

Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρ_y, ρ_z] otrzymamy ψ_α(~r − ~ρ) = e^{−ρx∂x∂} e^−ρy

∂

∂ye^{−ρz∂z∂}ψ_α(x, y , z).

kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B],

pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

Translacja przestrzenna

Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi

e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

=

kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B],

pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^{−~ρ· ~∇}ψ_α(x, y , z) =

Translacja przestrzenna

Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi

e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^{−~ρ· ~∇}ψ_α(x, y , z) =e^−~i~ρ·~pψ_α(~r),

kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B],

pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^{−~ρ· ~∇}ψ_α(x, y , z) =e^−~i~ρ·~pψ_α(~r), gdzie wykorzystaliśmy definicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej

~

p= −i~~∇ ⇒

Translacja przestrzenna

Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi

e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^{−~ρ· ~∇}ψ_α(x, y , z) =e^−~i~ρ·~pψ_α(~r), gdzie wykorzystaliśmy definicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej

~

p= −i~~∇ ⇒ ∇ =~ i

~ p.

kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi e^Ae^B = e^A+Be^12[A,B],

pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e^{− ρx}

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^{−~ρ· ~∇}ψ_α(x, y , z) =e^−~i~ρ·~pψ_α(~r), gdzie wykorzystaliśmy definicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej

~

p= −i~~∇ ⇒ ∇ =~ i

~ p.

Translacja przestrzenna

Otrzymaliśmy wzór

ψα(~r − ~ρ) = e^−~i~ρ·~pψα(~r).

Porównajmy ten wynik z wzorem

U_~r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).

Otrzymaliśmy wzór

ψα(~r − ~ρ) = e^−~i~ρ·~pψα(~r).

Porównajmy ten wynik z wzorem

U_~r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).

Widzimy, że unitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~r(~ρ) ma postać

U_~r(~ρ) = e^−~i~ρ·~p.

Translacja przestrzenna

Otrzymaliśmy wzór

ψα(~r − ~ρ) = e^−~i~ρ·~pψα(~r).

Porównajmy ten wynik z wzorem

U_~r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).

Widzimy, że unitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~r(~ρ) ma postać

U_~r(~ρ) = e^−~i~ρ·~p.

Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~r(~ρ) = e^−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacji

Translacja przestrzenna

Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~r(~ρ) = e^−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacjii możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α^′(t)i w dowolnej reprezentacji

Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~r(~ρ) = e^−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacji i możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α^′(t)i w dowolnej reprezentacji

|α^′(t)= U~r(~ρ) |α(t)i .

Translacja przestrzenna

Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~r(~ρ) = e^−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacji i możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α^′(t)i w dowolnej reprezentacji

|α^′(t)= U~r(~ρ) |α(t)i .

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =

Translacja przestrzenna

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =e^~i~ρ·~p,

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =e^~i~ρ·~p, bo p~^†= ~p,

Translacja przestrzenna

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =e^~i~ρ·~p, bo p~^†= ~p, a więc

U_~r^†(~ρ)U_~r(~ρ)= e^~i~ρ·~pe^−~i~ρ·~p=

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =e^~i~ρ·~p, bo p~^†= ~p, a więc

U_~r^†(~ρ)U_~r(~ρ)= e^~i~ρ·~pe^−~i~ρ·~p=1,

Translacja przestrzenna

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =e^~i~ρ·~p, bo p~^†= ~p, a więc

U_~r^†(~ρ)U_~r(~ρ)= e^~i~ρ·~pe^−~i~ρ·~p=1,

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że składowe operatora pędu komutują, [pi, p_j] = 0.

Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.

Obliczmy

U_~r^†(~ρ)= e^{+~iρ·~~p†} =e^~i~ρ·~p, bo p~^†= ~p, a więc

U_~r^†(~ρ)U_~r(~ρ)= e^~i~ρ·~pe^−~i~ρ·~p=1,

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że składowe operatora pędu komutują, [pi, p_j] = 0.

Translacja przestrzenna

Stan przesunięty |α^′(t)i nie musi spełniać równania Schr¨odingera, nawet jeśli stan wyjściowy |α(t)i je spełniał.

Obliczmy i ~ d

dt |α^′(t) = i~d

dt(U_~r(~ρ) |α(t)i) = U_~r(~ρ)i ~ d

dt |α(t)i

= U~r(~ρ)H |α(t)i= U~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) |α^′(t), gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i

i ~ d

dt |α(t)i = H |α(t)i i ze związku

U_~r(~ρ) |α(t)i = |α^′(t)i ⇒ U_~r^†(~ρ)U_~r(~ρ) |α(t)i = U_~r^†(~ρ) |α^′(t)i

⇒ |α(t)i = U^†(~ρ) |α^′(t)i .

Stan przesunięty |α^′(t)i nie musi spełniać równania Schr¨odingera, nawet jeśli stan wyjściowy |α(t)i je spełniał.

Obliczmy i ~ d

dt |α^′(t) = i~d

dt(U_~r(~ρ) |α(t)i) = U_~r(~ρ)i ~ d

dt |α(t)i

= U~r(~ρ)H |α(t)i= U~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) |α^′(t), gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i

i ~ d

dt |α(t)i = H |α(t)i i ze związku

U_~r(~ρ) |α(t)i = |α^′(t)i ⇒ U_~r^†(~ρ)U_~r(~ρ) |α(t)i = U_~r^†(~ρ) |α^′(t)i

⇒ |α(t)i = U^†(~ρ) |α^′(t)i .

Translacja przestrzenna

Widzimy, że stan przesunięty |α^′(t)i spełnia równanie i ~d

dt |α^′(t)= U~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) |α^′(t). Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera

i ~ d

dt |α^′(t)= H |α^′(t) tylko jeśli

Widzimy, że stan przesunięty |α^′(t)i spełnia równanie i ~d

dt |α^′(t)= U~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) |α^′(t). Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera

i ~ d

dt |α^′(t)= H |α^′(t) tylko jeśli

U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H.

Translacja przestrzenna

Widzimy, że stan przesunięty |α^′(t)i spełnia równanie i ~d

dt |α^′(t)= U~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) |α^′(t). Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera

i ~ d

dt |α^′(t)= H |α^′(t) tylko jeśli

U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H.

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~r(~ρ) U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H ⇒ U_~r(~ρ)H = HU_~r(~ρ).

Translacja przestrzenna

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~r(~ρ) U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H ⇒ U_~r(~ρ)H = HU_~r(~ρ).

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U_~r(~ρ), H] = 0 ⇒

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~r(~ρ) U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H ⇒ U_~r(~ρ)H = HU_~r(~ρ).

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U_~r(~ρ), H] = 0 ⇒ ^he^−~i~ρ·~p, Hⁱ= 0.

Translacja przestrzenna

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~r(~ρ) U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H ⇒ U_~r(~ρ)H = HU_~r(~ρ).

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U_~r(~ρ), H] = 0 ⇒ ^he^−~i~ρ·~p, Hⁱ= 0.

Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~r(~ρ) U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H ⇒ U_~r(~ρ)H = HU_~r(~ρ).

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U_~r(~ρ), H] = 0 ⇒ ^he^−~i~ρ·~p, Hⁱ= 0.

Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.

Przypomnijmy, że [~p, H] = 0 jest warunkiem koniecznym na to, aby pęd był stałą ruchu.

Translacja przestrzenna

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~r(~ρ) U_~r(~ρ)HU_~r^†(~ρ) = H ⇒ U_~r(~ρ)H = HU_~r(~ρ).

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U_~r(~ρ), H] = 0 ⇒ ^he^−~i~ρ·~p, Hⁱ= 0.

Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.

Przypomnijmy, że [~p, H] = 0 jest warunkiem koniecznym na to, aby pęd był stałą ruchu.

Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.

Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.

Translacja przestrzenna

Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.

Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.

Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.

Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.

Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.

Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.

Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii,

Translacja przestrzenna

Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.

Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.

Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.

Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii,tzn.

H|αi = Eα|αi

i[~p, H] = 0, to stan ~p |αi będzie również stanem własnym operatora H do tej samej wartości własnej Eα,

Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.

Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.

Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.

Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii, tzn.

H|αi = Eα|αi

i[~p, H] = 0, to stan ~p |αi będzie również stanem własnym operatora H do tej samej wartości własnej Eα,z czym na ogół wiąże siędegeneracja wartości własnych energii,

Translacja przestrzenna

Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.

Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.

Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.

Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii, tzn.

H|αi = Eα|αi

i[~p, H] = 0, to stan ~p |αi będzie również stanem własnym operatora H do tej samej wartości własnej Eα, z czym na ogół wiąże siędegeneracja wartości własnych energii,

a więcsymetria układu fizycznego prowadzi na ogół do degeneracji jego dozwolonych poziomów energetycznych.

W dalszym ciągu postaramy się uogólnić te rozważania na przypadek dowolnej symetrii układu kwantowego.

Translacja przestrzenna

a więcsymetria układu fizycznego prowadzi na ogół do degeneracji jego dozwolonych poziomów energetycznych.

W dalszym ciągu postaramy się uogólnić te rozważania na przypadek dowolnej symetrii układu kwantowego.

Ogólnie, przekształcenie stanu kwantowego

|ψi → |ψ^′

jest symetrią jeżeli nie zmienia gęstości prawdopodobieństwa, tzn.

 ψ^′

2=ψ^′|ψ^′= hψ|ψi = |ψ|².

Symetria w sensie kwantowym

Ogólnie, przekształcenie stanu kwantowego

|ψi → |ψ^′

jest symetrią jeżeli nie zmienia gęstości prawdopodobieństwa, tzn.

 ψ^′

2=ψ^′|ψ^′= hψ|ψi = |ψ|².

To samo możemy sformułować w wersji pozadiagonalnej, tzn. dla gęstości prawdopodobieństwa przejścia od stanu kwantowego |ψi do stanu kwantowego |φi

φ^′|ψ^′

2 = |hφ|ψi|².

Ogólnie, przekształcenie stanu kwantowego

|ψi → |ψ^′

jest symetrią jeżeli nie zmienia gęstości prawdopodobieństwa, tzn.

 ψ^′

2=ψ^′|ψ^′= hψ|ψi = |ψ|².

To samo możemy sformułować w wersji pozadiagonalnej, tzn. dla gęstości prawdopodobieństwa przejścia od stanu kwantowego |ψi do stanu kwantowego |φi

φ^′|ψ^′

2 = |hφ|ψi|².

Symetria w sensie kwantowym

Równanie

φ^′|ψ^′2 = |hφ|ψi|² ma dwa rozwiązania:

1 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi

Równanie

φ^′|ψ^′2 = |hφ|ψi|² ma dwa rozwiązania:

1 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi

2 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi^∗ = hψ|φi.

Symetria w sensie kwantowym

Równanie

φ^′|ψ^′2 = |hφ|ψi|² ma dwa rozwiązania:

1 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi

2 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi^∗ = hψ|φi.

W pierwszym przypadku napiszmy związek

|ψ^′= U |ψi ⇒ ψ^′| = hUψ| = hψ| U^†,

Równanie

φ^′|ψ^′2 = |hφ|ψi|² ma dwa rozwiązania:

1 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi

2 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi^∗ = hψ|φi.

W pierwszym przypadku napiszmy związek

|ψ^′= U |ψi ⇒ ψ^′| = hUψ| = hψ| U^†, a w drugim

|ψ^′= A |ψi ⇒ ψ^′| = hAψ| = hψ| A^†.

Symetria w sensie kwantowym

Równanie

φ^′|ψ^′2 = |hφ|ψi|² ma dwa rozwiązania:

1 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi

2 hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi^∗ = hψ|φi.

W pierwszym przypadku napiszmy związek

|ψ^′= U |ψi ⇒ ψ^′| = hUψ| = hψ| U^†, a w drugim

|ψ^′= A |ψi ⇒ ψ^′| = hAψ| = hψ| A^†.

Zarówno operator U jak i operator A muszą być unitarne U^†U = I i A^†A= I ,

ale operatorU jest operatorem liniowym,tzn.

U |α1ψ1+ α2ψ2i = α1U |ψ1i + α2U |ψ2i ,

Symetria w sensie kwantowym

Zarówno operator U jak i operator A muszą być unitarne U^†U = I i A^†A= I ,

ale operatorU jest operatorem liniowym,tzn.

U |α1ψ1+ α2ψ2i = α1U |ψ1i + α2U |ψ2i , a operatorA jest operatorem antyliniowym,tzn.

A|α1ψ1+ α2ψ2i = α1^∗A|ψ1i + α^∗2A|ψ2i , dla liczb zespolonych α1, α2.

Zarówno operator U jak i operator A muszą być unitarne U^†U = I i A^†A= I ,

ale operatorU jest operatorem liniowym,tzn.

U |α1ψ1+ α2ψ2i = α1U |ψ1i + α2U |ψ2i , a operatorA jest operatorem antyliniowym,tzn.

A|α1ψ1+ α2ψ2i = α1^∗A|ψ1i + α^∗2A|ψ2i , dla liczb zespolonych α1, α2.

OperatorAnazywamy operatorem antyunitarnym.

Symetria w sensie kwantowym

Zarówno operator U jak i operator A muszą być unitarne U^†U = I i A^†A= I ,

ale operatorU jest operatorem liniowym,tzn.

U |α1ψ1+ α2ψ2i = α1U |ψ1i + α2U |ψ2i , a operatorA jest operatorem antyliniowym,tzn.

A|α1ψ1+ α2ψ2i = α1^∗A|ψ1i + α^∗2A|ψ2i , dla liczb zespolonych α1, α2.

OperatorAnazywamy operatorem antyunitarnym.

macierzowego pewnego operatora O.

φ^′|O^′|ψ^′= hφ|O|ψi .

Symetria w sensie kwantowym

Uogólnijmy związek hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi na przypadek elementu macierzowego pewnego operatora O.

φ^′|O^′|ψ^′= hφ|O|ψi . Wstawiając związki

|ψ^′= U |ψi i φ^′| = hφ| U^†

macierzowego pewnego operatora O.

φ^′|O^′|ψ^′= hφ|O|ψi . Wstawiając związki

|ψ^′= U |ψi i φ^′| = hφ| U^† otrzymamy

hφ| U^†O^′U| ψi = hφ|O|ψi ,

Symetria w sensie kwantowym

Uogólnijmy związek hφ^′|ψ^′i = hφ|ψi na przypadek elementu macierzowego pewnego operatora O.

φ^′|O^′|ψ^′= hφ|O|ψi . Wstawiając związki

|ψ^′= U |ψi i φ^′| = hφ| U^† otrzymamy

hφ| U^†O^′U| ψi = hφ|O|ψi ,

co można rozpatrywać jako działanie operatora unitarnego na operator

U^†O^′U = O ⇒ O^′ = UOU^†.

macierzowego pewnego operatora O.

φ^′|O^′|ψ^′= hφ|O|ψi . Wstawiając związki

|ψ^′= U |ψi i φ^′| = hφ| U^† otrzymamy

hφ| U^†O^′U| ψi = hφ|O|ψi ,

co można rozpatrywać jako działanie operatora unitarnego na operator

U^†O^′U = O ⇒ O^′ = UOU^†.

Generatory infinitezymalne

Jeżeli transformacja unitarna zależy od pewnego ciągłego

parametru, to możemy ją wyewoluować z operatora jednostkowego.

Niech ε będzie nieskończenie małym parametrem rzeczywistym, wtedy możemy zapisać

U_ε= 1 − iεG .

Jeżeli transformacja unitarna zależy od pewnego ciągłego

parametru, to możemy ją wyewoluować z operatora jednostkowego.

Niech ε będzie nieskończenie małym parametrem rzeczywistym, wtedy możemy zapisać

U_ε= 1 − iεG .

G nazywamygeneratorem infinitezymalnym transformacji.

Generatory infinitezymalne

Jeżeli transformacja unitarna zależy od pewnego ciągłego

parametru, to możemy ją wyewoluować z operatora jednostkowego.

Niech ε będzie nieskończenie małym parametrem rzeczywistym, wtedy możemy zapisać

U_ε= 1 − iεG .

G nazywamygeneratorem infinitezymalnym transformacji.

Operator odwrotny do U_ε ma postać:

U_ε⁻¹= 1 + iεG ,

Jeżeli transformacja unitarna zależy od pewnego ciągłego

parametru, to możemy ją wyewoluować z operatora jednostkowego.

Niech ε będzie nieskończenie małym parametrem rzeczywistym, wtedy możemy zapisać

U_ε= 1 − iεG .

G nazywamygeneratorem infinitezymalnym transformacji.

Operator odwrotny do U_ε ma postać:

U_ε⁻¹= 1 + iεG ,

Generatory infinitezymalne

gdyż

U_εU_ε⁻¹ = (1 − iεG ) (1 + iεG )

=

gdyż

U_εU_ε⁻¹ = (1 − iεG ) (1 + iεG )

= 1 − iεG + iεG + ε²G² ≈1,

Generatory infinitezymalne

gdyż

U_εU_ε⁻¹ = (1 − iεG ) (1 + iεG )

= 1 − iεG + iεG + ε²G² ≈1, gdzie zaniedbaliśmy wyraz ∼ ε².

gdyż

U_εU_ε⁻¹ = (1 − iεG ) (1 + iεG )

= 1 − iεG + iεG + ε²G² ≈1, gdzie zaniedbaliśmy wyraz ∼ ε².

Zauważmy, że sprzężenie hermitowskie operatora U_ε ma postać:

U_ε^†= 1 + iεG^†,