Oczywiście dla ~ρ = [0, ρ, 0] otrzymamy
ψα(~r − ~ρ) = e−ρ∂y∂ψα(x, y , z), a dla ~ρ = [0, 0, ρ] otrzymamy
ψα(~r − ~ρ) = e−ρ∂z∂ψα(x, y , z).
Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρy, ρz] otrzymamy ψα(~r − ~ρ) = e−ρx∂x∂ e−ρy
∂
∂ye−ρz∂z∂ψα(x, y , z).
kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi eAeB = eA+Be12[A,B],
pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx
∂
∂x+ρy ∂
∂y+ρz ∂
∂z
ψα(x, y , z)
Translacja przestrzenna
Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi
eAeB = eA+Be12[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx
kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi eAeB = eA+Be12[A,B],
pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx
Translacja przestrzenna
Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi
eAeB = eA+Be12[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx
kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi eAeB = eA+Be12[A,B],
pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx gdzie wykorzystaliśmy definicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej
~
p= −i~~∇ ⇒
Translacja przestrzenna
Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi
eAeB = eA+Be12[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx gdzie wykorzystaliśmy definicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej
~
p= −i~~∇ ⇒ ∇ =~ i
~ p.
kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi eAeB = eA+Be12[A,B],
pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.
Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.
Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e− ρx gdzie wykorzystaliśmy definicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej
~
p= −i~~∇ ⇒ ∇ =~ i
~ p.
Translacja przestrzenna
Otrzymaliśmy wzór
ψα(~r − ~ρ) = e−~i~ρ·~pψα(~r).
Porównajmy ten wynik z wzorem
U~r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).
Otrzymaliśmy wzór
ψα(~r − ~ρ) = e−~i~ρ·~pψα(~r).
Porównajmy ten wynik z wzorem
U~r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).
Widzimy, że unitarny operator przesunięcia przestrzennego U~r(~ρ) ma postać
U~r(~ρ) = e−~i~ρ·~p.
Translacja przestrzenna
Otrzymaliśmy wzór
ψα(~r − ~ρ) = e−~i~ρ·~pψα(~r).
Porównajmy ten wynik z wzorem
U~r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).
Widzimy, że unitarny operator przesunięcia przestrzennego U~r(~ρ) ma postać
U~r(~ρ) = e−~i~ρ·~p.
Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.
Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U~r(~ρ) = e−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacji
Translacja przestrzenna
Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.
Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U~r(~ρ) = e−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacjii możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α′(t)i w dowolnej reprezentacji
Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.
Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U~r(~ρ) = e−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacji i możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α′(t)i w dowolnej reprezentacji
|α′(t) = U~r(~ρ) |α(t)i .
Translacja przestrzenna
Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.
Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U~r(~ρ) = e−~i~ρ·~p nie zależy od wyboru reprezentacji i możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α′(t)i w dowolnej reprezentacji
|α′(t) = U~r(~ρ) |α(t)i .
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =
Translacja przestrzenna
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =e~i~ρ·~p,
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =e~i~ρ·~p, bo p~†= ~p,
Translacja przestrzenna
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =e~i~ρ·~p, bo p~†= ~p, a więc
U~r†(~ρ)U~r(~ρ)= e~i~ρ·~pe−~i~ρ·~p=
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =e~i~ρ·~p, bo p~†= ~p, a więc
U~r†(~ρ)U~r(~ρ)= e~i~ρ·~pe−~i~ρ·~p=1,
Translacja przestrzenna
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =e~i~ρ·~p, bo p~†= ~p, a więc
U~r†(~ρ)U~r(~ρ)= e~i~ρ·~pe−~i~ρ·~p=1,
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że składowe operatora pędu komutują, [pi, pj] = 0.
Operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.
Obliczmy
U~r†(~ρ)= e+~iρ·~~p† =e~i~ρ·~p, bo p~†= ~p, a więc
U~r†(~ρ)U~r(~ρ)= e~i~ρ·~pe−~i~ρ·~p=1,
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że składowe operatora pędu komutują, [pi, pj] = 0.
Translacja przestrzenna
Stan przesunięty |α′(t)i nie musi spełniać równania Schr¨odingera, nawet jeśli stan wyjściowy |α(t)i je spełniał.
Obliczmy gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i
i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i i ze związku
U~r(~ρ) |α(t)i = |α′(t)i ⇒ U~r†(~ρ)U~r(~ρ) |α(t)i = U~r†(~ρ) |α′(t)i
⇒ |α(t)i = U†(~ρ) |α′(t)i .
Stan przesunięty |α′(t)i nie musi spełniać równania Schr¨odingera, nawet jeśli stan wyjściowy |α(t)i je spełniał.
Obliczmy gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i
i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i i ze związku
U~r(~ρ) |α(t)i = |α′(t)i ⇒ U~r†(~ρ)U~r(~ρ) |α(t)i = U~r†(~ρ) |α′(t)i
⇒ |α(t)i = U†(~ρ) |α′(t)i .
Translacja przestrzenna
Widzimy, że stan przesunięty |α′(t)i spełnia równanie i ~d
dt |α′(t) = U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) |α′(t) . Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera
i ~ d
dt |α′(t) = H |α′(t) tylko jeśli
Widzimy, że stan przesunięty |α′(t)i spełnia równanie i ~d
dt |α′(t) = U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) |α′(t) . Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera
i ~ d
dt |α′(t) = H |α′(t) tylko jeśli
U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H.
Translacja przestrzenna
Widzimy, że stan przesunięty |α′(t)i spełnia równanie i ~d
dt |α′(t) = U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) |α′(t) . Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera
i ~ d
dt |α′(t) = H |α′(t) tylko jeśli
U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H.
Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U~r(~ρ) U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H ⇒ U~r(~ρ)H = HU~r(~ρ).
Translacja przestrzenna
Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U~r(~ρ) U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H ⇒ U~r(~ρ)H = HU~r(~ρ).
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒
Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U~r(~ρ) U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H ⇒ U~r(~ρ)H = HU~r(~ρ).
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒ he−~i~ρ·~p, Hi= 0.
Translacja przestrzenna
Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U~r(~ρ) U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H ⇒ U~r(~ρ)H = HU~r(~ρ).
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒ he−~i~ρ·~p, Hi= 0.
Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.
Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U~r(~ρ) U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H ⇒ U~r(~ρ)H = HU~r(~ρ).
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒ he−~i~ρ·~p, Hi= 0.
Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.
Przypomnijmy, że [~p, H] = 0 jest warunkiem koniecznym na to, aby pęd był stałą ruchu.
Translacja przestrzenna
Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U~r(~ρ) U~r(~ρ)HU~r†(~ρ) = H ⇒ U~r(~ρ)H = HU~r(~ρ).
Stan |α′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒ he−~i~ρ·~p, Hi= 0.
Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.
Przypomnijmy, że [~p, H] = 0 jest warunkiem koniecznym na to, aby pęd był stałą ruchu.
Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.
Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.
Translacja przestrzenna
Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.
Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.
Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.
Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.
Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.
Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.
Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii,
Translacja przestrzenna
Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.
Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.
Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.
Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii,tzn.
H|αi = Eα|αi
i[~p, H] = 0, to stan ~p |αi będzie również stanem własnym operatora H do tej samej wartości własnej Eα,
Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.
Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.
Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.
Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii, tzn.
H|αi = Eα|αi
i[~p, H] = 0, to stan ~p |αi będzie również stanem własnym operatora H do tej samej wartości własnej Eα,z czym na ogół wiąże siędegeneracja wartości własnych energii,
Translacja przestrzenna
Widzimy, żejeśli układ kwantowy posiada symetrię względem translacji przestrzennych, to jego pęd jest zachowany.
Jest to wynik analogiczny do otrzymanego wcześniej w mechanice klasycznej.
Przypomnijmy, żejeśli dwa operatory komutują, to mają wspólne wektory własne i są jednocześnie mierzalne.
Jeśli zatem stan |αi będzie stanem własnym energii, tzn.
H|αi = Eα|αi
i[~p, H] = 0, to stan ~p |αi będzie również stanem własnym operatora H do tej samej wartości własnej Eα, z czym na ogół wiąże siędegeneracja wartości własnych energii,
a więcsymetria układu fizycznego prowadzi na ogół do degeneracji jego dozwolonych poziomów energetycznych.
W dalszym ciągu postaramy się uogólnić te rozważania na przypadek dowolnej symetrii układu kwantowego.
Translacja przestrzenna
a więcsymetria układu fizycznego prowadzi na ogół do degeneracji jego dozwolonych poziomów energetycznych.
W dalszym ciągu postaramy się uogólnić te rozważania na przypadek dowolnej symetrii układu kwantowego.
Ogólnie, przekształcenie stanu kwantowego
|ψi → |ψ′
jest symetrią jeżeli nie zmienia gęstości prawdopodobieństwa, tzn.
ψ′
2=ψ′|ψ′ = hψ|ψi = |ψ|2.