2 Reprezentacje algebr i forma Killinga

§ 2 Reprezentacje algebr i forma Killinga.

Niech V – będzie przestrzenią wektorową nad ciałem P, L – algebrą Liego nad P.

Będziemy rozpatrywali gl(V) ( zobacz przykład 2, paragraf 1 ) jako algebrę nad P.

KaŜdy homomorfizm r : L → gl(V) nazywamy reprezentacją algebry Liego L. Odwzorowanie takie spełnia następujące warunki :

r ( a X + bY ) = a r (X ) + b r (Y ) (5.8a)

r ([ X ,Y ] ) = [ r(X ), r(Y ) ] = r(X ) r(Y ) - r(Y ) r(X ) (5.8b)

dla wszystkich X , Y ∈ L , a, b ∈ P.

Taką reprezentacje będziemy oznaczali jako (V , r).

Pośród róŜnych reprezentacji algebr Liego waŜna role odgrywa reprezentacja dołączona. W paragrafie 5, rozdziału 2 określiliśmy automorfizm wewnętrzny Sa grupy G wzorem :

Sag = aga-1 ; a, g ∈ G

Wprowadziliśmy równieŜ róŜniczkę odwzorowania ad(a) =S’a , która zadaje reprezentacje dołączoną grupy G w przestrzeni liniowej ℘ ≅ TeG. ZauwaŜmy, Ŝe jeśli G jest grupą macierzową, a ℘ - odpowiednią macierzową realizacją jej algebry, to działanie ad(a), a ∈ G moŜe być obliczone według wzoru :

ad(a) X = aXa-1 ; X ∈℘

Niech at – będzie jednoparametryczną podgrupą, odpowiadającą wektorowi X ∈℘ , tj. X = a^•t | t=0.

Rozpatrzmy pochodną odwzorowania ad (at ) w punkcie t = 0 i oznaczmy ją równieŜ jako ad X. Wykorzystując wzór (2.42) otrzymujemy dla Y ∈℘ :

ad X (Y ) = lim (1/t) ( ad (at ) Y – Y ) = lim (1/t) ( Y - ad (at-1 )Y ) = [ X, Y ] (5.9) t → 0 t → 0

Z pomocą toŜsamości Jakobiego łatwo pokazać, ze własności (5.8) dla r = ad są spełnione i odpowiednio odwzorowanie ad : L → gl(L) zadaje reprezentacje (L, ad), która nazywamy reprezentacją dołączoną. Algebry Liego L.

Operacja ad X , X ∈ L jest naturalnym działaniem elementów algebry Liego na samej algebrze i pozwala wykorzystać wyniki teorii reprezentacji w celu badania własności algebry Liego.

Rozpatrzmy teraz łańcuch ideałów w L ( zobacz zadanie 5.3 ) a) łańcuch centralny ( zmniejszający się ) :

L1 = L , L2 = [ L, L ] , L3 = [ L2 , L ] , ... , Lk = [ Lk-1 , L ] , ....

L ⊃ L1 ⊃ L2 ⊃ ....

b) łańcuch pochodny :

L(1) = [ L, L ] , L(2) = [ L(1) , L(1) ] , ... , L(k+1) = [ L(k) , L(k) ] , ...

L ⊃ L(1) ⊃ L(2) ⊃ ....

Algebrę nazywamy nilpotentną ( odpowiednio - rozwiązywalną ), jeśli Lk = 0 ( L(k) = 0 ) przy pewnym k.

Stwierdzenie 5.2.1 KaŜda algebra nilpotentna jest rozwiązywalna.

Dowiedziemy indukcyjnie, Ŝe L(k) ⊂ Lk+1. W istocie : L(1) = L2 . ZałóŜmy, Ŝe L(k-1) ⊂ Lk. Wtedy :

L(k) = [ L(k-1) , L(k-1) ] ⊂ [ Lk , L(k-1) ] ⊂ [ Lk, L ] = Lk+1 Z czego wynika dowód stwierdzenia.

Przypadkiem szczególnym algebry nilpotentnej ( i rozwiązywalnej ) jest algebra abelowa, dla której L2 = L(1) = 0.

Jeśli L – jest rozwiązywalna , tj. L(k) = 0 dla pewnego k, to L(k-1) – jest abelowym ideałem w L.

Zatem, algebra rozwiązywalna zawsze zawiera nietrywialny ideał abelowy. Największy rozwiązywalny ideał w algebrze Liego L nazywa się radykałem danej algebry Liego. MoŜna pokazać, Ŝe L jest półprosta wtedy i tylko wtedy, kiedy jej radykał jest równy zeru. Oprócz tego, słuszne jest następujące fundamentalne twierdzenie Levi-Malcewa

( podamy go bez dowodu ) :

Niech L – będzie algebra Liego nad P ( P = R lub C ) o radykale N. Wtedy istnieje podalgebra pólprosta S ⊂ L taka, Ŝe :

L = N ~⊕ S ( suma pólprosta ) (5.10)

Oczywiście, Ŝe [ N, N ] ⊂ N , [ S, S ] ⊂ S , [ N, S ] ⊂ N.

Przykład 1. Algebra Liego Π grupy Poincare’go składa się z algebry prostej Liego M = so(3, 1) grupy Lorentza oraz z ideału t4 , generowanego przez liniowe kombinacje operatorów pędu Pν ( ν = 0, 1, 2, 3 ).

Jak dobrze wiadomo : [ M, M ] ⊂ M , [ t4 , M ] ⊂ t4 , [ t4 , t4 ] = 0 . Zgodnie z twierdzeniem Levi-Malcewa Π = t4 ~⊕ M.

Twierdzenie to pozwala sprowadzić badanie dowolnych algebr Liego do badania algebr pólprostych i rozwiązywalnych.

Struktura algebr półprostych będzie omówiona w następnych paragrafach. Algebry Liego, rozwiązywalne chociaŜ jak się wydaje mają bardzo prosta strukturę do tej pory nie poddały się pełnej klasyfikacji.

Przykład 2. Niech V – będzie przestrzenią wektorową nad ciałem P, 1 – odwzorowaniem toŜsamościowym w V , a Ə(V ) = P1 ⊂ gl(V)

Oczywiście, Ŝe jednowymiarowa podalgebra Ə naleŜy do centrum Z( gl(V ) ) i dlatego jest ideałem w gl(V).

Jeśli X ∈gl(V), to :

X = X1+ X2 , X1 = X – ( Tr X / dim V ) 1 , X2 = ( Tr X / dim V ) 1 X1 ∈ sl(V ) , X2 ∈ Ə(V ).

PoniewaŜ : sl(V ) ∩ Ə(V ) = 0 , to gl(V ) = sl(V ) ⊕ Ə(V ).

Przykład 3. Analogicznie do przykładu 2, moŜna pokazać, Ŝe u(n) = su(n ) ⊕ Ə , gdzie : u(n) = {X ∈ gl(n, C) : X+ = - X } ⊂ gl(n, C) , Ə = C 1n , 1n - macierz jednostkowa w gl(n, C).

Słuszne jest następujące twierdzenie Cartana :

Niech V – będzie przestrzenią wektorową nad P, L – podalgebrą algebry gl(V). Wtedy L jest albo półprosta, albo L = L~ ⊕ Ə(V ) , gdzie L~ - ideał półprosty.

WaŜną rolę w badaniu własności algebr odgrywają formy biliniowe. Rozpatrzmy algebrę Liego L jako przestrzeń wektorową nad P.

Symetryczną biliniową formą na L nazywamy odwzorowanie ω : L × L → P, takie, Ŝe :

1) ω( X, Y ) = ω(Y, X ) , X, Y ∈ L (5.11)

2) ω jest formą biliniową

Jeśli ω spełnia warunek ω( [ X, Y ] ,Z ) = ω( X [ Y ,Z )] ) , to nazywamy ją formą inwariantną.

Stwierdzenie 5.2.2 Niech L – będzie algebrą Liego , a (V, r ) – jej reprezentacja. Wtedy równość :

ωr ( X, Y ) = Tr ( r (X )r (Y ) ) X, Y ∈ L (5.12)

określa symetryczną biliniową, inwariantną formę na L.

Dowód. Własności (5.11) są oczywiste. Sprawdzimy zatem własność inwariantności : ωr ( [ X, Y ], Z ) = Tr ( r ( [ X, Y ] ) r (Z) ) = Tr ( [ r (X ), r (Y ) ] , r (Z) ) =

= Tr ( r (X ) r (Y ) r (Z) ) - Tr ( r (Y )r (X ) r (Z) ) = Tr ( r (X ), [ r (Y ), r (Z) ] ) = Tr ( r (X ), r ( [ Y, Z ] ) ) =

= ωr ( X [ Y, Z ] )

Jeśli (V, r ) = ( L, ad ) , to forma ωad nazywa się formą Killinga algebry L. My będziemy ją oznaczali następująco :

B(X, Y ) ≡ ωad ( X, Y ) = Tr ( ad X ad Y ) (5.13)

Forma ω nazywa się niezdegenerowaną, jeśli równość ω(X, L ) = 0 jest spełniona tylko wtedy gdy X = 0.

Forma Killinga odgrywa podstawową rolę w teorii algebr Liego, co jest widoczne juŜ z dwóch poniŜszych stwierdzeń : Stwierdzenie 5.2.3 Algebra Liego L jest rozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, kiedy B(X, Y ) = 0 dla dowolnych X, Y ∈ L(1). Jeśli L jest nilpotentna, to B ≡ 0 na L(1).

Stwierdzenie 5.2.4 ( Twierdzenie Cartana ). Algebra Liego L jest półprosta wtedy i tylko wtedy, kiedy jej forma Killinga jest niezdegenerowana.

Pełny dowód moŜna znaleźć w odpowiedniej literaturze. Tu jedynie podamy dowód w jedną stronę, tj. pokaŜemy, Ŝe jeśli B – jest niezdegenerowana , to L – jest półprosta.

ZałóŜmy, Ŝe jest inaczej – niech L – nie jest półprosta i posiada abelowy ideał I ⊂ L. Wybierzmy bazę { Xi } w L.

Wtedy ad X ad Y Xi = [ X, [ Y , Xi ] ] =

ΣΣΣΣ

Zgodnie z definicją B(X, Y ) =

ΣΣΣΣ

Rozpatrzmy wielkość B( Z, X ) przy Z ∈ I , X ∈ L

i) ad(Z ) ad(X )Y = [ Z, [ X , Y ] ] = 0 przy Y ∈ I poniewaŜ [ X, Y ] ∈ I ii) ad(Z ) ad(X )Y = [ Z, [ X , Y ] ] ∈ I przy Y ∉ I poniewaŜ I – jest ideałem.

Odpowiednio, zatem współczynniki Cii ( X, Y ) = 0 dla wszystkich i oraz B(Z, X ) = 0 , tj. forma Killinga jest zdegenerowana. Zatem L - jest półprosta.

Biliniową symetryczną formę s nazywamy iloczynem skalarnym , jeśli s (X, X ) > 0 przy X ≠ 0.

Algebra Liego nad R nazywa się zwartą, jeśli posiada ona nietrywialny iloczyn skalarny. Nazwa ta wiąŜe się z tym, Ŝe algebra Liego grupy zwartej Liego jest zwarta. PoniewaŜ w algebrze zespolonej L dowolna forma biliniowa nie ma określonego znaku, to kaŜda zespolona algebra Liego L jest niezwarta, a algebra zwarta jest pewną formą rzeczywistą w L. Przykłady zwartych form rzeczywistych podano w tablicy 5.2 ( sposób ich budowy opiszemy w paragrafie 4 ).

Słuszna jest następująca własność : kaŜda zwarta algebra Liego L jest sumą prostą

si – symetryczny tensor drugiego rzędu, nazywany tensorem metrycznym Cartana.

Jeśli algebra Liego jest zwarta, to moŜna wybrać taką bazę, Ŝe ( -gms ) = δms ( zobacz paragraf 4 ). PokaŜemy teraz , Ŝe przy takim wyborze bazy stałe strukturalne mogą być przedstawione za pomocą tensora antysymetrycznego trzeciego rzędu. W tym celu zdefiniujemy Crsm = Cj

Zatem, tensor Crsm jest całkowicie antysymetryczny. Jeśli gir = - δir , to : Csmr = - Cr

sm

Zgodnie z (5.10) dowolna algebra Liego moŜe być przedstawiona w postaci sumy półprostej algebry rozwiązywalnej i algebry półprostej. Zagadnienie klasyfikacji wszystkich algebr półprostych Liego sprowadza się do zagadnienia klasyfikacji algebr prostych Liego na mocy następującego stwierdzenia :

Stwierdzenie 5.2.5 ( Twierdzenie Cartana ) Półprosta algebra Liego L moŜe być rozłoŜona na sumę prostą , parami ortogonalnych podalgebr prostych Li :

L = L1⊕ L2 ⊕ ... ⊕ Lk (5.15)

Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód. Niech N – będzie ideałem zerowym algebry półprostej Liego L. Przez N⊥ oznaczymy jego dopełnienie ortogonalne ( względem formy Killinga ) , tj. N⊥ = { X ∈ L : B(X, N ) = 0 }.

ZauwaŜmy, Ŝe jeśli I – jest pewnym ideałem w L , to ogólnie mówiąc, naleŜałoby rozróŜniać wartości formy Killinga wzięte względem I ( będziemy je oznaczali jako B( , )I ) i wzięte względem całej algebry L ( dla nich zachowamy poprzednie oznaczenie B( , ) ).

Stosując ten wynik dla ideału I = N ∩ N⊥ oraz wykorzystując stwierdzenie 5.2.3 otrzymujemy, Ŝe N ∩ N⊥ -jest ideałem rozwiązywalnym.

PoniewaŜ L jest półprosta , to N ∩ N⊥ = ∅ i odpowiednio : L = N ⊕ N⊥ , [ N , N⊥ ] = 0 i B( N , N⊥ ) = 0

Jeśli N lub N⊥ są półproste, to powtarzamy taką procedurę do chwili póki L nie zostanie rozłoŜona na sumę prostą prostych, parami ortogonalnych , nieprzemiennych podalgebr , tj. do momentu, aŜ L nie przedstawimy w postaci (5.15).

Niech M1⊕ M2 ⊕ .... ⊕ Mm – będzie innym rozkładem algebry L na ideały proste. Weźmy pewien ideał prosty Ms , który nie występuje pośród ideałów Li ( i = 1, 2, ... , k ). Wtedy :

[ Ms , Li ] ⊂ Ms ∩ Li = ∅ , i = 1, 2, ... , k

A to znaczy, Ŝe Ms naleŜy do centrum algebry L, które jest równe zeru na mocy półprostoty L. Odpowiednio, zatem rozkład (5.15) jest jednoznaczny ( z dokładnością do permutacji )