Na mocy twierdzenie Cartana ( stwierdzenie 5.2.5 ) dowolna półprosta algebra Liego L moŜe być rozłoŜona na sumę prostą parami ortogonalnych podalgebr prostych. Dlatego wystarczy nam zbadać własności samych prostych algebr Liego.
W niniejszym paragrafie przez ℘ będziemy oznaczali prosta algebrę Liego, a przez Ə – jej podalgebrę Cartana , a przez B – formę Killinga na ℘.
Wymienimy podstawowe własności półprostych algebr Liego oraz opiszemy ich strukturę. Nie będziemy dowodzić wymienionych własności, odsyłając zainteresowanego czytelnika do odpowiedniej literatury.
Dowód słuszności pewnych takich własności moŜna traktować jako ćwiczenie do niniejszego paragrafu.
Własności te będziemy ilustrować na przykładzie algebr A1 = sl(2, C ) i A2 = sl(3, C ). Rozkład (5.20) według podprzestrzeni pierwiastkowych w oznaczeniach niniejszego paragrafu przyjmie postać :
℘ = Ə ⊕ ℘(α) ⊕ ℘(β) ... , Ə = ℘(0) (5.23)
gdzie : α, β , γ , ... – pierwiastki algebry ℘.
Przez ∆ oznaczmy zbiór { α, β , γ , ... } wszystkich pierwiastków tej algebry i zdefiniujemy ∆~ = ∆ ∪ { 0 }.
Oczywiście, Ŝe ∆~, ∆ są podzbiorami w Ə*, w przestrzeni dualnej do podalgebry Cartana.
Wymienimy teraz własności algebr półprostych : 1) Jeśli a, β ∈ ∆~ i α + β ≠ 0 , to B( ℘(α), ℘(β) ) = 0
2) Ograniczenie BƏ formy Killinga B na Ə jest niezdegenerowane , tj. dla dowolnego X ∈ Ə i X ≠ 0 istnieje element Y ∈ Ə, taki, Ŝe B( X, Y ) ≠ 0.
3) Podalgebra Cartana Ə jest abelowa.
4) dim ℘(α) = 1 dla dowolnego α ∈∆.
5) Jeśli α ∈ ∆, to równieŜ (-α )∈ ∆.
Własność 4 oznacza, Ŝe podprzestrzeń ℘(α) , α∈ ∆ jest równa Ceα , eα – pewien element, posiadający własność ad X (eα ) = α(X )eα dla wszystkich X ∈ Ə.
Element eα generujący ℘(α) , α ∈∆ będziemy nazywali wektorem pierwiastkowym.
Zilustrujmy wymienione własności na przykładach.
Przykład 1. Algebra A1. Standardowa baza to macierze Pauliego : τ1 = ( 0 1 ) , τ2 = ( 0 -i ) , τ3 = ( 1 0 )
( 1 0 ) ( i 0 ) ( 0 -1 )
JednakŜe, struktura pierwiastkowa algebry A1 przejawia się jaskrawiej w innej bazie :
τ+ = ½ (τ1 + iτ2 ) = ( 0 1 ) , τ- = ½ (τ1 - iτ2 ) = ( 0 0 ) , τz = ½ τ3 (5.24) ( 0 0 ) ( 1 0 )
ZaleŜności komutacyjne w takiej bazie mają następującą postać :
[ τz , τ± ] = ± τ± , [ τ+ , τ- ] = 2τz (5.25)
Dla dalszego wykładu będzie nam potrzebna jawna postać operatorów reprezentacji dołączonej (A1, ad ) algebry A1.
Jeśli elementy τ+ przestrzeni wektorowej ℘ = A1 zapiszemy w postaci kolumny : ( 1 )
( 0 ) ( 0 )
elementy τ- : ( 0 )
( 1 ) ( 0 )
,a elementy τz : ( 0 )
( 0 ) ( 1 )
to w takiej bazie macierze odpowiadające endomorfizmom ad τ+ ,ad τ- , ad τz , jak wynika z (5.25) mają postać :
(5.26) Teraz nie sprawi nam trudności obliczenie według wzoru (5.13) wartości formy Killinga na elementach bazowych :
B(τ+ , τ+ ) = B( τ+ , τz ) = B( τ- , τz ) = B( τ- , τ- ) (5.27) B( τ+ , τ- ) = 4 , B( τz , τz ) = 2 (5.27)
Określimy teraz rząd algebry. W tym celu weźmiemy dowolny element Xu = u1τ+ + u2τ- + u3τz ∈℘ i obliczymy dla niego wielomian charakterystyczny χ(t, u) = det ( t 1 – ad Xu ) = t3 + g2(u)t2 + g1(u)t + g0(u) ( zobacz paragraf 3 ) Zgodnie z ogólną teorią g0(u) = 0 , a dla pozostałych współczynników gi(u), wychodząc z (5.26) mamy :
g2(u) = 0 , g1(u) = - ( u32 + 4u1u2 )
Zatem rank A1 = 1 i τz jest elementem regularnym. PoniewaŜ dim Ə = rank ℘ = 1, to podalgebra Cartana Ə moŜe być zrealizowana na elemencie τz . Zbudujemy teraz w jawnej postaci pierwiastki algebry A1.
Dowolny element X ∈ Ə ma postać X = rτz , r ∈ C. Zatem :
ad X (τ± ) = ± r τ± , ad X (τz ) = 0 (5.28)
Dla wszystkich Y ∈ ℘ = A1 moŜemy zapisać ad X(Y ) = αY( X) Y i wartości własne αY są liniowymi funkcjami na Ə o wartościach w C tj. αY ∈ Ə* . Mamy dwa niezerowe pierwiastki ατ+ i ατ- i dla dowolnego r ∈ C :
ατ+(rτz ) = r , ατ- (ττz ) = - r (5.29)
W danym przykładzie zbiór ∆ = { ατ+ , ατ- }, a rozkład według podprzestrzeni pierwiastkowch ma postać :
℘ = A1= Ə ⊕ Cτ+ ⊕ Cτ- , Ə = Cτz tj. ℘(ατ+ ) = Cτ+ , ℘(ατ- ) = Cτ- ( własność 4 ).
Własność 3 jest oczywista. Własności 1, 2 wynikają z równości (5.27). Własność 5 wynika z faktu : ατ- = - ατ+ ( zobacz (5.29) ).
Przykład 2. ℘ = A1 Standardowa baza ( często wykorzystywana w fizyce ) ma postać :
Dla naszych celów dogodniejszą postacią będzie inna baza :
t± = ½ ( Λ1 ± i Λ2 ) , tz = ½ Λ3 , v± = ½ ( Λ4 ± i Λ5 ) , u± = ½ ( Λ6 ± i Λ7 ) , y = (1/√3 )Λ8 ZaleŜności komutacyjne , które będą nam potrzebne dalej mają postać :
[ tz , t± ] = ± t± , [ tz , u± ] = -/+ ½ u± , [ tz , v± ] = ± ½ v± , [ tz , y ] = 0 (5.30)
[ y , t± ] = 0 , [ y , u± ] = ±u± , [ y , v± ] = ± v± (5.30)
[ t+ , t- ] = 2 tz , [ u+ , u- ] = 3/2y - tz , [ v+ , v- ] = 3/2y + tz (5.30) Rozpatrzmy reprezentacje (A2, ad ) algebry A2. Niech si ( i = 1, 2, ..., 8 ) – będzie kolumną z R8, dla której na i-tym miejscu stoi 1, a pozostałe elementy to zera. Jeśli t± , tz , u± , v± , y odpowiadają e1 ... e8 , to z (5.30) wynika, Ŝe ad tz i ad y są w istocie macierzami diagonalnymi 8 × 8 postaci ( zadanie 5.11 ) :
ad tz = diag ( 1, -1, 0, - ½ , ½ , ½ , - ½ , 0 ) (5.31)
ad y = diag ( 0, 0, 0, 1, -1 , 1 , - 1 , 0 ) (5.31)
MoŜna pokazać, Ŝe :
B( tz , tz ] = 3 , B( y, y ) = 4 , B( tz , y ) = 0 , B(t+ , u± ) = 0 itd. (5.32) Badanie wielomianu charakterystycznego pokazuje, Ŝe rank A2 = 2 i tz i y są elementami regularnymi.
PoniewaŜ dim Ə = 2, to podalgebra Cartana Ə moŜe być rozpięta na tz i y , z (5.30) wynika, Ŝe Ə – jest algebrą abelową ( własność 3 ). Zapiszmy dowolny element X ∈Ə w postaci X = ptz + qy , p, q ∈ C . Zgodnie z (5.30) :
ad X ( t± ) = ±pt± , ad X ( u± ) = ± ( - ½ p + q )u± , ad X (v± ) = ± ( ½ p + q ) v± , ad X (y) = ad X (y) = 0 (5.33) W tym przypadku zbiór ∆ zawiera 6 niezerowych pierwiastków :
∆ + { αt± , αu± , αv± } przy czym :
αt± = ( ptz + qy ) = ±p , αu± = ( ptz + qy ) = ±( - ½ p + q ) , αv± = ( ptz + qy ) = ± ( ½ p + q ) (5.34) Oznaczmy : α1 ≡ αt+ , α2 ≡ αu+ , α3 ≡ αv+ , wtedy αt- = - α1 , αu- = -α2 , αv- = - α3 ( własność 5 ).
Mamy zatem : ℘(α1) = Ct+ , ℘(-α1) = Ct- ,℘(α2) = Cu+ itd. ( własność 4 ). Własności 1, 2moŜemy sprawdzić poprzez proste obliczenia ( zobacz (5.32) ).
Standardowo w teorii prostych algebr Liego wybiera się pewną biliniową formę kanoniczną, która róŜni się pewnym czynnikiem od formy Killinga. My będziemy oznaczali taką formę jako ( , ) :
( X, Y ) = bB(X ,Y ) , X , Y ∈℘ (5.35)
Czynnik b będzie ustalony później.
Dla dowolnego α ∈ ∆, zdefiniujemy element hα ∈ Ə :
α (X) = (hα , X ) (5.36)
dla dowolnego hα ∈ Ə. To pozwoli nam równieŜ zdefiniować niezdegenerowaną formę biliniową w Ə* ( w istocie jest ona iloczynem skalarnym ) poprzez następujący wzór :
< α, β > = ( hα , hβ ) = α(hβ ) = β(hα ) , α, β ∈ ∆ (5.37) 6) Jeśli α ∈ ∆ , to < α, α > - jest liczba dodatnią.
Wielkość < α, α > będziemy nazywali długością pierwiastka. Ogólnie mówiąc w algebrze mogą występować pierwiastki o róŜnej długości. Współczynnik b w (5.35) ustalimy poprzez warunek, Ŝe najdłuŜsze pierwiastki w danej algebrze mają długość 2.
Przykład 1. Oznaczmy w algebrze ℘= A1, α ≡ ατ+. Łatwo sprawdzić, Ŝe : hα = 2τz , b = ¼ , < α , α > = 2 Przykład 2. ℘ = A2, otrzymujemy : hα1= 2tz , hα2 = - tz + 3/2 y , hα3 = tz + 3/2 y , b = 1/6. Przy tym :
< α1 , α1 > = < α2 , α2 > = 2 , < α1 , α2 > = - 1 (5.38)
PoniewaŜ dim Ə = 2, to w charakterze elementów bazowych w podalgebrze Cartana weźmiemy hα1 , hα2 , element hα3 = hα1+ hα2.
Zatem, wyjaśniliśmy, Ŝe półprosta algebra Liego ℘ składa się z elementów dwóch typów :
a) Z elementów tworzących abelową podalgebrę Cartana Ə ⊂ ℘ o dim Ə = rank ℘. Dla półprostych algebr Liego ℘ podalgebrę Cartana Ə często określamy jako maksymalną abelową podalgebrę w ℘, taką ,Ŝe dla dowolnego X ∈ Ə dopełnienie kaŜdej podprzestrzeni inwariantnej w ℘ względem ad X równieŜ jest podprzestrzenią inwariantną w ℘ względem ad X.
b) Z wektorów pierwiastkowych eα , kaŜdy z których odpowiada jednemu z pierwiastków α ∈ ∆ ⊂ Ə*. ZauwaŜmy, Ŝe ∆ nie jest przestrzenią liniową.
Rozkład (5.23) według podprzestrzeni pierwiastkowych ma postać :
℘ = Ə ⊕ Ceα ⊕ Ce-α ⊕ Cβ ⊕ Ce-β ⊕ ... (5.39) Komutatory między elementami róŜnych podprzestrzeni są następujące :
a) jeśli h ∈ Ə , eα – wektor pierwiastkowy, to :
[ h , eα ] = α(h)eα , α(h) = ( hα , h ) (5.40)
b) jeśli eα i eβ – są wektorami pierwiastkowymi , to :
[ eα , eβ ] = { 0 jeśli α + β nie jest pierwiastkiem (5.41) { element naleŜący do Ə jeśli α + β = 0
{ Nα, β eα+β jeśli α + β ∈ ∆ gdzie : Nα, β – pewne stałe, ich wartości nie są istotne.
Uściślijmy czemu równy jest element [ eα , e-α ] ∈ Ə. Dla dowolnego h ∈ Ə mamy : ( [ eα , e-α ] , h ) = ( eα , [ e-α , h ] ) = α(h) ( eα , e-α ) = ( hα , h ) ( eα , e-α )
gdzie wykorzystaliśmy inwariantność formy ( , ). Otrzymujemy stąd , Ŝe : [ eα , e-α ] = ( eα , e-α ) hα
Standardowo wektory pierwiastkowe normujemy poprzez warunek ( eα , e-α ) = -1. Wtdy :
[ eα , e-α ] = hα (5.42)
Rozpatrzmy teraz przestrzeń wektorową V i reprezentacje ( V, r ) algebry ℘. Niech λ – będzie pewna wagą tej
reprezentacji. Ciąg takich wag λ – mα, λ – ( m – 1 )α, ... , λ – α, λ, λ + α , ..., λ + pα, gdzie α ∈∆ , m, p – liczby całkowite nieujemne będziemy nazywali α-ciągiem wagowym, przechodzącym przez λ.
7) Niech λ + jα , -m ≤ j ≤ p jest α-ciągiem wagowym, przechodzącym przez λ. Wtedy :
m – p = 2 < λ, α > / < α, α > (5.43)
Przykład 1. W przypadku ℘= A1, wynik ten powtarza znaną klasyfikacje reprezentacji. Jak juŜ wyjaśniliśmy dim Ə* = dim Ə = 1 i dlatego dowolna waga λ dowolnej reprezentacji A1równa jest sα, gdzie α ∈∆, s- liczba charakteryzująca daną reprezentacje.
Niech reprezentacja posiada następujące wagi : λ0 , λ0 – α , ... , λ0 – qα i λ0 = s0α. Wychodząc z (5.43) otrzymujemy, Ŝe liczba całkowita q jest równa :
q = 2 <λ0 , α > / < α, α > = 2s0
Zatem, s0 = ½ q – jest spinem reprezentacji i przyjmuje wartości 0, ½ , 1, 3/2, ...
Wartości własne ( wagi ) reprezentacji ze spinem s0 mają postać s0< α , α >, ( s0 – 1 ) < α, α > , ..., - s0 < α, α > , a wymiar tej reprezentacji jest równy q + 1 = 2s0 + 1.
Oczywiście, Ŝe wzór (5.43) jest słuszny równieŜ dla reprezentacji ( ℘, ad ) algebry ℘. 8) Jeśli α∈∆ i kα ∈∆ ( k- liczba całkowita ), to moŜliwe są tylko wartości k = ±1.
Niech X, Y ∈Ə. Łatwo zrozumieć w tym przypadku, Ŝe :
B( X , Y ) =
ΣΣΣΣ
dim ( ℘(α) ) α( X ) α(Y) (5.44)α∈∆
Z uwzględnieniem własności 4, otrzymujemy , Ŝe jeśli α, β ∈∆, to :
< α, β > = ( hα , hβ ) = b
ΣΣΣΣ
< α, γ > < γ, β > (5.45) γ∈∆9) Zbiór ∆ generuje Ə* ( jako przestrzeń liniową ).
Zbadamy strukturę zbioru pierwiastków ∆. W tym celu wprowadzimy uporządkowany ciąg pierwiastków. Będzie on w pewnym sensie dowolny, poniewaŜ nie istnieje naturalny porządek pośród takich pierwiastków.
Niech α1, ... ,αm będzie pewna bazą w Ə*, tak więc dowolny element ρ ∈ Ə* moŜe być zapisany w postaci : ρ =
ΣΣΣΣ
ci αi , ci ∈ R.i
Będziemy mówili, Ŝe element ρ jest dodatni, jeśli c1 > 0 lub jeśli c1= 0, a c2 > 0 itd.
Analogicznie ρ będzie ujemnym, jeśli pierwszy niezerowy współczynnik ci < 0. Wtedy ∆ = ∆+ ∪∆- , gdzie :
∆+ ( ∆- ) – zbiór dodatnich ( ujemnych ) pierwiastków. Pierwiastek dodatni, którego nie moŜna przedstawić w postaci sumy dwóch pierwiastków dodatnich, będziemy nazywali pierwiastkiem prostym. Zbiór takich pierwiastków oznaczymy jako π, π ⊂ ∆+ .
Przykład 1. W przypadku ℘= A1, ∆+ = { α } , π = { α }.
Przykład 2. W przypadku ℘= A2 , istnieją róŜne moŜliwości. MoŜna wybrać ∆+ = { α1 , α2 , α3 }.
Z (5.34) wynika, Ŝe α3 = α1+ α2 i π = { α1, α2 }.
Inny wybór dodatnich pierwiastków ∆+ = { α1 , -α2 , α3 }. PoniewaŜ α1= α3 + ( -α2 ), to π = { -α2 , α3 }.
10) Jeśli α, β ∈ π, to α – β nie jest pierwiastkiem.
11) Jeśli α, β ∈ π i α ≠ β , to < α, β > ≤ 0.
PowyŜej określiliśmy pojęcie długości pierwiastka. Teraz zdefiniujemy kąt ∠αβ między pierwiastkami α, β jako :
cos( ∠αβ ) = < α, β > / || α || || β || (5.46)
Pierwiastki danej algebry moŜemy przedstawiać w standardowy sposób jako pewne wektory, przy czym długości takich wektorów są proporcjonalne do długości odpowiadających im pierwiastków, a kąt między nimi określa wzór (5.46).
Takie schematyczne przedstawienie pierwiastków nazywamy pierwiastkowymi diagramami algebr.
Przykład 1 Niech ℘= A1. Mamy tutaj dwa pierwiastki α i ( -α ). Ich długości są wzajemnie równe, a cos (∠α(-α) )= - 1 Diagram pierwiastkowy tej algebry przedstawia rys. 12a
a b Rys. 12
Przykład 2 Zbiór ∆ algebry ℘= A2 zawiera 6 pierwiastków :
α1 , α2 , α3 = α1 +α2 , - α1 , -α2 , -α3 . Dla takiej algebry mamy : ∠ α1α2 = 120° , ∠α1α3 = 60°.
Odpowiedni diagram pierwiastkowy pokazano na rys. 12 b.
12) Niech π będzie zbiorem pierwiastków prostych naleŜących do ∆, wtedy : a) π = { α1, ... ,αm } tworzy bazę w Ə*
b) jeśli β ∈ ∆+ , to β = n1α1+ n2α2 + ... + nmαm , gdzie : ni – nieujemne liczby całkowite.
Własność 12a) oznacza, Ŝe liczba pierwiastków prostych algebry ℘ jest równa m = dim Ə* = rank℘.
Wprowadzimy teraz macierz Cartana A, zawierającą w sobie całą informacje dotyczącą struktury algebry ℘. Ma ona wymiar m × m , a jej elementy określone są następującym wzorem :
Aij = - 2 < αi , αi > / < αj , αj > (5.47)
Wymienimy teraz pewne oczywiste własności elementów tej macierzy : 13) a) Aii = - 2
b) jeśli Aij ≠ 0 , to Aji ≠ 0
c) Aij – są liczbami całkowitymi, przy czym Aij ≥ 0 przy i ≠ j d) Aij Aji = 4 cos (∠αi αj ) = 0, 1, 2, 3 przy i ≠ j
Zbiór π pierwiastków prostych algebry ℘ nazywamy nierozkładalnym, jeśli nie moŜna wskazać dwóch jego niepustych zbiorów π1i π2 takich, Ŝe π1∪ π2 = π , π1 ∩ π2 = ∅ i <α1, α2 > = 0 dla dowolnych α1 ∈ π1 i α2 ∈ π2
14) Zbiór π pierwiastków prostych jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy algebra Liego ℘ jest prosta.
Okazuje się, Ŝe dowolnemu zbiorowi π = { α1, ... ,αm } ⊂ Rm składającemu się z elementów liniowo niezaleŜnych α1, ... ,αm i takiemu, Ŝe Aij = - 2 < αi , αi > / < αj , αj > są liczbami całkowitymi o własności 13), a < , > - jest kanonicznym iloczynem skalarnym w Rm ( zbiór taki nazywamy π-systemem ), odpowiada półprosta algebra Liego.
Dlatego zagadnienie klasyfikacji prostych algebr Liego moŜe być sprowadzone do klasyfikacji wszystkich
nierozkładalnych π-systemów. W pracy W. A. Dynkina „Klasyfikacja prostych algebr Liego” 1946, pokazano, Ŝe istnieją 4 nieskończone serie prostych zespolonych algebr Liego, odpowiadających algebrą klasycznym, oraz 5 tzw. zespolonych sporadycznych algebr Liego. Okazało się równieŜ, Ŝe zbiory pierwiastków prostych takich algebr wygodnie jest
przedstawiać w postaci pewnego grafu, nazwanego diagramami Dynkina.
Diagramy takie budowane są następująco.
KaŜdemu prostemu pierwiastkowi αi ∈ π, przyporządkujemy kółeczko, obok którego podajemy odpowiadającą mu wartość < αi , αi >. Kółeczka odpowiadające pierwiastkom αi i αj łączymy liniami Aij Aji , jeśli Aij = 0, to danego kółeczka nie łączymy. Diagramy Dynkina dla algebr serii klasycznych An , Bn , Cn , Dn ( zobacz paragraf 1 ) jak równieŜ dla algebr sporadycznych G2 , F4 , E6 , E7 ,E8 pokazano na rysunku 13 ( indeks dolny w oznaczeniu algebry wskazuje jej rząd )
Rys. 13
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe w literaturze tematycznej często nie wskazuje się na diagramie Dynkina kwadratu długości pierwiastków, a w to miejsce na liniach łączących pierwiastki proste róŜnej długości stawia się strzałki, skierowane w stronę krótszego pierwiastka. Według diagramu Dynkina moŜna zbudować macierz Cartana, a zatem i całą algebrę.
Przykład 2. Diagram Dynkina algebry ℘= A2 przedstawia rys. 14 α1 α2
o---o 2 2 Rys. 14
Wynika z niego, Ŝe w algebrze tej mamy dwa pierwiastki proste : α1 i α2 <α1 ,α2 > = <α2 ,α1 > = 2 Wielkość A12 A21 = 1, a to oznacza zgodnie z (5.47) :
<α1 ,α2 >2 = ¼ A12 A21<α1 ,α1 > < α2 ,α2 > = 1
a z własności 13) wnioskujemy, Ŝe A12 = A21= +1 i < α1 ,α2 > = -1 , zatem macierz Cartana ma postać :
A = ( -2 1 ) (5.48)
( 1 –2 )
Zatem, podalgebra Cartana jest dwuwymiarowa a jej baza składa się z elementów hα1 , hα2. Oprócz tego w A2 istnieją dwa wektory pierwiastkowe e±α1 , e±α2. Jakie jeszcze istnieją pierwiastki i wektory pierwiastkowe ?
Aby odpowiedzieć na to pytanie rozpatrzymy α2 –serie , przechodzącą przez α1 : α1 + jα2 . Z (5.43) i (5.48) otrzymujemy, Ŝe :
m – p = - 2 < α1 , α2 > / < α2 , α2 > = -1
PoniewaŜ m = 0 , to p = 1 tj. seria ta składa się z α1 i α1 + α2. Badanie α1-serii przechodzącej przez α2 prowadzi do wniosku, Ŝe w A2 istnieje tylko jeden nieprosty, dodatni pierwiastek α1+ α2. Zatem algebra A2 zawiera jeszcze wektory pierwiastkowe eα1+ α2 i e- (α1+ α2 ) Tym samym całkowicie przedstawiliśmy daną algebrę Liego A2., zaleŜności komutacyjne dane są dla niej poprzez wzory (5.40)- (5.42).
W dalszej kolejności będziemy wykorzystywali pojęcia – wyŜszej wagi reprezentacji oraz sygnatury reprezentacji.
Niech ( V, r ) – będzie skończenie wymiarową, nieprzywiedlną reprezentacja algebry ℘ i : V = V (λ) ⊕ V (µ) ⊕ ....
Będzie rozkładem reprezentacji V względem podprzestrzeni wagowych , λ , µ , ... – wagi reprezentacji ( zobacz (5.22) ).
Na mocy skończoności danej reprezentacji zawsze istnieje taka waga ω, Ŝe dla dowolnego pierwiastka dodatniego α ∈ ∆+ algebry ℘ ω + α juŜ nie jest wagą. Wtedy wagę ω nazywamy wyŜszą wagą reprezentacji.
Niech v ∈ V (ω) i ad(Ə )v ⊂ Cv . Tali wektor v nazywamy wyŜszym (wagowym ) wektorem reprezentacji ( V , r ), generuje on całą przestrzeń V przy działaniu na niego operatorami r(X ) , X ∈℘. Jeśli ω - jest wyŜszą wagą, to sygnaturą reprezentacji nazywamy zbiór liczb
[ m1, ... , mk ], obliczanych według wzoru :
mi = 2 < ω, αi > / < αi , αi > , i = 1, 2, ... , k = rank℘ (5.49) gdzie : αi – pierwiastki proste algebry ℘.
Skończenie wymiarowe, nieprzywiedlne reprezentacje są zadane jednoznacznie poprzez swoją wyŜszą wagę i sygnaturę.
PokaŜemy teraz, jak według zadanej zespolonej algebry ℘, o rozkładzie (5.39) według podprzestrzeni pierwiastkowych zbudować jej zwartą formę rzeczywistą. Najpierw zdefiniujemy następujące elementy :
χαi = ihαi , bα = ( eα + e-α ) /√2 , cα = i ( eα - e-α ) /√2 (5.50) gdzie : αi ∈ π , α ∈ ∆.
Weźmiemy teraz podzbiór ℘~ w ℘, utworzony przez elementy o postaci : k
X =
ΣΣΣΣ
µi χαi +ΣΣΣΣ
vα bα +ΣΣΣΣ
χα cα , gdzie : µi , vi , χi ∈ R.i=1 α∈∆ α∈∆
Łatwo pokazać, Ŝe ℘~C =℘ i B( X, X ) ≤ 0 dla dowolnego X ∈ ℘~. To oznacza, Ŝe ℘~ - jest zwartą formą rzeczywistą algebry ℘. Odwzorowanie σ zespolonej algebry ℘ w siebie, spełniające następujące warunki :
σ( pX + qY ) = p-σ( X) + q-σ(Y ) σ( [ X , Y ] ) = [ σ(X) , σ(Y ) ]
σ2 = 1 ( przekształcenie toŜsamościowe w ℘ ) dla dowolnych X , Y ∈℘
nazywamy sprzęŜeniem.
Tutaj rozpatrujemy tylko sprzęŜenie σ Ŝadne w następujący sposób : σ(X ) ≡ X- = - X jeśli X ∈ Ə
σ( eα ) ≡ e-α = e-α jeśli eα – jest wektorem pierwiastkowym w℘.
Zgodnie z (5.50) zwarta rzeczywista forma składa się z elementów inwariantnych względem takiego sprzęŜenia.
Na zakończenie niniejszego paragrafu podajemy schemat ( rys. 15 ) oparty na wynikach przedstawionych w tym rozdziale , który ilustruje zaleŜności między róŜnymi typami algebry Liego. Schemat ten zaczerpnięto z ksiąŜki :
„Teoria reprezentacji grup i jej zastosowania” -- Asim O. Barut, Ryszard Rączka Moskwa „Mir” 1980 , przekład z angielskiego.
Rys. 15