Geometria róŜniczkowa i algebry Liego oraz ich zastosowania w teorii pola

################################################################################

Geometria róŜniczkowa i algebry Liego oraz ich zastosowania w teorii pola

I. P. Wołobujew, Ju. A. Kubyszin

Tytuł oryginału : „Дифференциалъная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории пола”

Эдиториал МОСКВА 1998

********************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2010-11-20 Tłumaczenie całości ksiąŜki.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wprowadzenie do tłumaczenia.

Przedstawione tłumaczenie stanowi (w pewnym, ogólnym sensie ) kontynuacje przedstawionego tłumaczenia ksiąŜki pt.

„Klasyczne pola cechowania – Teorie bozonowe” -- W. A.Rubakow

Przedstawiono w nim, bowiem m.in. geometryczną „interpretacje” klasycznych teorii z cechowaniem.

Dodatek 1 Grupy i algebry Liego.

( Zobacz równieŜ tekst pt. „Teoria grup i jej zastosowania w fizyce” )

Grupą Liego nazywamy grupę ( skończoną lub nieskończoną ), której elementy zaleŜą w sposób ciągły od pewnego parametru rzeczywistego. ( stąd inna nazwa grup Liego – grupy ciągłe )

MoŜliwe jest jednak inne podejście :

Grupą Liego nazywamy rozmaitość róŜniczkową ( ogólniej topologiczną ), która jest jednocześnie wyposaŜona w strukturę grupową, zgodną z jej strukturą róŜniczkową.

Prostym przykładem grupy Liego jest grupa SO(3) – grupa obrotów trójwymiarowej przestrzeni, jej elementy mogą być parametryzowane przez podanie kątów Eulera( α(t), β(t), γ(t) ) , gdzie np. t ∈ [ 0, π]

MoŜna podać i taką definicję - wyjdziemy od definicji grupy topologicznej.

Definicja D.1.1 Zbiór G nazywamy grupą topologiczną, jeśli : 1) w G określono strukturę grupy

2) G jest przestrzenią topologiczną

3) operacje grupowe f(a, b) = ab i S(a) = a-1 są ciągłe ( zaleŜą w sposób ciągły od pewnego parametru )

Definicja D.1.2 Odwzorowanie φ : G → G’ grupy topologicznej na grupę topologiczna nazywamy izomorfizmem, jeśli : 1) φ jest izomorfizmem grupowym tj. φ jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym i zachowuje iloczyn na grupie φ(ab) = φ(a)φ(b)

2) φ jest odwzorowaniem homeomorficznym przestrzeni topologicznej G na przestrzeń topologiczną G’

Definicja D.1.3 Przestrzeń topologiczną T nazywamy jednorodną, jeŜeli dla dowolnej pary punktów x, y ∈ T istnieje taki homeomorfizm h : T → T, Ŝe h(x) = y.

MoŜna pokazać, ze grupa topologiczna jest przestrzenią jednorodną. Z definicji tej wynika, Ŝe przy badaniu własności lokalnych grupy topologicznej wystarczy ograniczyć się do badania otoczenia dowolnego jej punktu np. otoczenia jedności grupowej.

Definicja D.1.4 Grupą Liego nazywamy grupę topologiczną, w której otoczenie elementu jednostkowego jest homeomorficzne z n-wymiarową przestrzenią euklidesową.

Ogólnie algebrą (abstrakcyjną ) nazywamy kaŜdy system : ( M, o1, ... , on ), gdzie M – jest pewnym niepustym zbiorem elementów, nad którymi budujemy daną algebrę , oi i = 1, ... , n jest rodziną operacji m-argumentowych

( wewnętrznych ) określonych na elementach zbioru M. Zbiór M moŜe być skończony lub nieskończony, przeliczalny lub nie przeliczalny. Dokonując dalszych uogólnień moŜemy rozpatrywać nieskończoną liczbę operacji, które mogą dotyczyć nieskończonej liczby argumentów.

Definicja D.1.5 Niech ℑ = ( M, o1, ... , on ) będzie dowolną algebrą. Podzbiór M’ ≠ ∅ zbioru M nazywamy podalgebrą algebry, jeśli M’ jest zamknięte ze względu na wszystkie operacje algebry ℑ.

Twierdzenie D.1.1 Dla kaŜdego niepustego podzbioru M0 zbioru M algebry ℑ istnieje najmniejsza podalgebra M’ , algebry ℑ zawierająca M0 – jest to iloczyn wszystkich podalgebr zawierających M0.

Niepusty zbiór M0 ⊂ M nazywamy zbiorem generatorów ( elementów tworzących ) algebry ℑ, jeśli najmniejsza podalgebrą zawierającą M0 jest cała algebra ℑ. Mówimy równieŜ wtedy, Ŝe M0 generuje ℑ.

Bardzo waŜnym jest powiązanie grupy Liego z grupą transformacji danej rozmaitości (gładkiej ) M.

Definicja D.1.6 Niech G będzie grupą Liego , a M rozmaitością gładką. Grupa G działa na M lewostronnie, jeśli istnieje odwzorowanie (gładkie ) φ : G × M → M tj. parze punktów ( g, m ), g ∈ G, m ∈ M przyporządkowujemy funkcje φ( g, m) = g • m o następujących własnościach :

a) dla dowolnego g ∈ G odwzorowanie g : M → M : ( g, m) → g • m jest dyfeomorfizmem.

b) (gg1 )m = g(g1, m) dla wszystkich g, g1∈ G, m ∈ M.

Grupa G działa na M : m → mg prawostronnie, jeśli w miejsce własności b) zachodzi : b’) m(g, g1 )m = (m, g1)g.

Definicja D1.7 Grupa G działa na M tranzytywnie, jeśli dla dowolnej pary punktów m1, m2 istnieje przekształcenie naleŜące do G, przeprowadzające m1w m2.

Definicja D1.8 Grupa G działa efektywnie na M, jeśli jedynym elementem naleŜącym do G, pozostawiającym wszystkie punktu m na miejscu tj. { g ∈G |mg = m } jest jedność grupowa G.

Algebry Liego.

Definicja D.1.8 Algebrą Liego ( oznaczymy ją ℘ ) nazywamy przestrzeń liniową L nad ciałem K, jeŜeli określona jest w niej operacja biliniowa L × L ∋ (a, b) → [ a , b ] ∈ L

zwana nawiasem Liego ( iloczynem Liego ) spełniająca warunki : a) [ a, b ] = - [ b, a ] lub [ a, a ] = 0

b) [ a, [ b, c ] ] + [ b, [ c, a ] ] + [ c, [ a, b ] ] = 0 ( toŜsamość Jakobiego )

( dla pól wektorowych operacja ta nazywana jest komutatorem, a w mechanice analitycznej nawiasem Poissona ) Pojęcie algebry Liego jest waŜne z tego względu, Ŝe z kaŜdą grupą Liego ściśle związana jest pewna skończenie wymiarowa algebra Liego, a na własnościach tej algebry odbijają się własności samej grupy Liego. Zatem badanie ( lokalnie) grup Liego moŜemy sprowadzić do zagadnienia prostszego, jakim jest badanie odpowiadających im algebr.

Przykład D1.1 Grupa GL( n , R ) jest grupą Liego w której działaniem jest iloczyn macierzowy.

Przykład D.1.2 Przestrzeń wektorowa, pól wektorowych na rozmaitości M ( np. przestrzeń styczna), jest algebrą Liego względem nawiasu Liego takich pól. Nawias Liego – komutator określamy następująco :

[ X ,Y ] = XY – YX , X ,Y – dowolne pola wektorowe Jest to przykład nieskończenie wymiarowej algebry Liego.

Twierdzenie D.1.2 JeŜeli pola wektorowe X, Y naleŜą do przestrzeni stycznej rozmaitości M to ich komutator równieŜ naleŜy do tej przestrzeni.

Wniosek. Pola wektorowe styczne do pewnej rozmaitości tworzą podalgebrę Liego wszystkich pól wektorowych.

Przykład D.1.3 Algebra Liego SO(3, R ) – grupy obrotów trójwymiarowej przestrzeni. Wybierzmy następującą bazę tej algebry :

e1 = ( 0 0 0 ) ; e2 = ( 0 0 1 ) ; e3 = ( 0 -1 0 ) ( 0 0 -1 ) ( 0 0 0 ) ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( -1 0 0 ) ( 0 0 0 ) [ e1 , e2 ] = e3 , [ e2 , e3 ] = e1 , [ e3 , e1 ] = e2

Definicja D.1.9 Niech { ei } będzie bazą skończenie wymiarowej algebry Liego. Rozkładając komutatory [ ei , ej ] względem tej bazy otrzymamy zaleŜność :

[ ei , ej ] = Ck ij ek

nazywamy ją równaniem strukturalnym algebry Liego, liczby Ckij nazywamy stałymi strukturalnymi. ZaleŜą one od wyboru bazy i przy zmianie bazy przekształcają się tensorowo.

Obliczenie komutatora dowolnej pary wektorów X, Y moŜe być dokonane zgodnie ze wzorem : [ X, Y ] = Ckij Xi Yj ek

Mając na uwadze własności komutatora stałe strukturalne powinny spełniać następujące warunki : Ckij = - Ck

ji , Cs ij Cm

sk + Cs ki Cm

sj + Cs jk Cm

si = 0

Algebra Liego grupy Liego.

Jak juŜ powiedziano kaŜdej grupie Liego moŜemy przyporządkować algebrę Liego, kluczowym dla tej konstrukcji jest określenie pól lewoinwariantnych ( lewo-niezmienniczych ), oczywiście wybór akurat pól lewoinwariantnych jest konwencją, równie dobrze moŜna wybrać pola prawoinwariantne.

Definicja D.1.10 Niech będzie dana grupa Liego G. Przy ustalonym a i zmiennym g – przebiegającym całą grupę G, a, g ∈ G równanie : g = ag określa ciągłe odwzorowanie G → G. Odwzorowanie to nazywamy przesunięciem lewostronnym, I oznaczamy La , Lag = ag

Definicja D.1.11 Pole wektorowe v(x) określone na grupie Liego nazywamy lewoinwariantnym, jeśli jest ono inwariantne przy przesunięciach ( translacjach) lewostronnych : Lav(x) = v(ax).

Niech v = v(e) będzie wartością pola wektorowego w jedności grupowej e. Z definicji wynika, Ŝe kaŜde lewoinwariantne pole wektorowe moŜna otrzymać z jego wartości początkowej ( np. W jedności grupowej ) poprzez przesunięcia lewostronne v(x) Lav.

Definicja D.1.12 Niech g będzie zbiorem wszystkich pól wektorowych lewoinwariantnych na G. Jest to podprzestrzeń wektorowa ℘⊂ T(G) w algebrze Liego wszystkich gładkich pól wektorowych określonych na G.

PoniewaŜ La [ v(x), u(x) ] = [ Lav(x), Lau(x) ] to ℘ jest algebrą Liego o komutatorze [ v(x), u(x) ].

Nazywamy ją algebra Liego grupy Liego. Algebra ta ma wymiar taki jaki jest wymiar odpowiadającej jej grupy Liego

Rozmaitość macierzowa i grupowa.

KaŜdą macierz m × n moŜemy rozpatrywać jako punkt w przestrzeni (rzeczywistej lub zespolonej – w zaleŜności od rodzaju rozpatrywanych macierzy ) mn wymiarowej tj. Rmn lub Cmn. Współrzędne tego punktu są składowymi rozpatrywanej macierzy.

Przykładowo macierz A : ( a11 a12 a13 ) , aij∈ R ( a21 a22 a23 )

( a31 a32 a33 )

moŜe być przedstawiona jako punkt w przestrzeni R9, o współrzędnych ( a11 ,a12 ,a13 ,a21 ,a22 ,a23 ,a31 ,a32 ,a33 ) JeŜeli macierz A jest macierzą ortogonalną to jak wiemy współczynniki powinny spełniać następujące warunki : ( zobacz tekst pt. „Macierze i wyznaczniki” ) ( warunki ortogonalności macierzy )

a11 + a22 + a33 = 1

a12 a12 + a21a23 + a32 a33 = 0

Otrzymana trójwymiarowa powierzchnia w przestrzeni R9, opisywana przez powyŜsze zaleŜności nazywamy rozmaitością grupy O(3) ( rozmaitość macierzowa ). Zazwyczaj będą nas interesowały własności topologiczne takich powierzchni, są one bowiem ściśle związane ze strukturami zadających je grup.

Jeśli rozpatrujemy macierze których elementy zaleŜą w sposób ciągły od parametru przykładowo : ( a11(t) a12(t) a13(t) ) , t∈[ a, b]

( a21(t) a22(t) a23(t) ) ( a31(t) a32(t) a33(t) )

to, odpowiednio na przestrzeni rozmaitości macierzowej otrzymamy pewną krzywą.

Przypomnijmy, Ŝe generatorami grupy Liego nazywamy operatory określone zaleŜnością : I = ∂a(α )/∂αm | α1 , ... ,αr = 0

Gdzie : a(α) – elementy macierzowej reprezentacji grupy Liego.

Reprezentują one wektory styczne do rozmaitości grupowej w punkcie α = 0. Liczba generatorów grupy pokrywa się z liczbą jej parametrów. Generatory obrazują algebrę Liego danej grupy Liego.

Reprezentacja grup Liego.

Definicja D1.13 Reprezentacją grupy Liego nazywamy homomorfizm G w grupę macierzową GL(n, R ). Reprezentacją algebry Liego ℘ nazywamy homomorfizm ℘ w algebrę Liego grupy macierzowej GL(n, R ).

Uzupełnienie wiadomości dotyczących zastosowania teorii grup w fizyce.

Dowolną macierz ortogonalną moŜemy zapisać jako eksponent(e) pewnej macierzy antysymetrycznej τ : ∞

O(θ) = eθτ≡

ΣΣΣΣ

gdzie : τ = ( 0 1 ) ( -1 0 )

Oczywiście OT = ( eθτ )T = e-θτ = O-1

W teorii pola interesować nas będzie w jaki sposób dane pole φ(x) będzie transformować się przy danej zmianie współrzędnych np. przy obrotach.

Wprowadźmy operator :

L ≡ iεij xi ∂/∂xj = i ( x1∂2 – x2∂1 )

Niech U(θ) ≡ eiθL – będzie macierzą unitarną.

Pole skalarne φ(x) transformuje się pod działaniem grupy SO(2) następująco : U(θ)φ(x) U-1(θ) = φ(x’ )

Pole wektorowe φi(x) transformuje się następująco : U(θ)φi(x) U-1(θ) = Oij(-θ)φ-j(x’ )

Niech a(θ ) = a( θ1 , ..., θn ) będą elementami grupy Liego zaleŜnymi od n zmiennych.

Unitarna reprezentacja : a(θ ) = eiθX = a(0) + iθk Xk + ...

Xk = - i ( ∂a/∂θk ) |θ =0 - infinitezymalne generatory grupy.

Widać stąd, Ŝe w przypadku grup macierzowych odwzorowanie wykładnicze zadaje odwzorowanie algebry Liego w grupę Liego.

Dodatek 2. Geometryczne podejście do teorii typu Yanga-Mills’a

Jak wiadomo grupą symetrii pola EM jest grupa lokalnych przekształceń fazowych. Niech φ(x) -będzie funkcją falową pewnego pola klasycznego, którego lagranŜjan L jest inwariantny względem grupy U(1), przekształceń fazowych :

U(1) ∋ g : φ(x) → exp(iα ) φ(x) (D2.1)

ZałóŜmy, Ŝe parametr takich przekształceń jest pewną funkcją punktu x ∈ X tj. rozpatrujemy lokalne przekształcenia fazy :

g(x) : φ(x) → exp[ iα(x) ] φ(x) (D2.2)

W ogólnym przypadku lagranŜjan L nie będzie juŜ inwariantny względem przekształceń (D2.2), poniewaŜ operator g(x) w odróŜnieniu od operatora globalnego g nie komutuje z operatorami pochodnych cząstkowych ∂µ ( operatory takie zawiera lagranŜjan ) :

∂µg(x) – g(x)∂µ = ∂µ(g(x)) (D2.3)

Inwariantność L względem g(x) moŜe być przywrócona poprzez wprowadzenie dodatkowego pola wektorowego Aµ , które interpretujemy jako potencjał elektromagnetyczny , z prawem przekształceń lokalnych o postaci :

g (x) : Aµ → Aµ + ∂µα(x) (D2.4)

oraz poprzez zamianę w lagranŜjanie L pochodnych ∂µ na pochodne ( kowariantne, kompensujące ) :

Dµ = ∂µ - iAµ (D2.5)

Taka zamiana sprawia, Ŝe lagranŜjan L będzie kowariantny względem przekształcenia (D1.2). W elektrodynamice takie podejście nie wniosło niczego nowego, jednakŜe jak pokazał Yang i Milles (1954) jest ono kluczowym dla teorii z cechowaniem nieabelowym ( Ogólny schemat teorii z cechowaniem dla nieabelowych grup symetrii wewnętrznej – prace Utiyama, Ward, Salam, Sakura, Ne’eman, Glashow, Gell-Mann i inni ( lata 1950 – 1962 ) ).

Niech { φa (x) } – będzie zbiorem ( multipletem ) pól klasycznych w czasoprzestrzeni M o grupie Liego G symetrii wewnętrznych ( nie czasoprzestrzennych ), opisywanym przez lagranŜjan L(φ, φ, µ ). Stosując zasadę cechowania wymagamy aby L był inwariantny względem lokalnych przekształceń symetrii, których parametry są zaleŜne od punktu x ∈ M. Przekształcenia takie tworzą grupę G(M), którą nazywamy grupą cechowania lagranŜjanu L.

RozróŜniamy dwa rodzaje przekształceń cechowania : przekształcenia układu odniesienia i przekształcenia samych pól przy ustalonym układzie odniesienia. Nas będą interesowały przekształcenia drugiego rodzaju.

Zazwyczaj dogodnie jest rozpatrywać infinitezymalne przekształcenia cechowania :

g(x) : φa (x) → φa (x) + δφa (x) , δφa (x) = Iamb φb(x) δωm (x) (D2.6) gdzie : Iamb – generatory grupy G, rozpinające bazę jej algebry Liego ℘, δωm(x) – małe lokalne parametry grupy G.

Wymaganie inwariantności lagranŜjanu L(φ, φ, µ ) względem przekształceń (D2.6) moŜemy otrzymać wykorzystując twierdzenia Noether.

( Przypominam, Ŝe twierdzenia Noether ustanawiają pewne prawa zachowania wynikające z inwariantności funkcjonału działania :

S = ∫L(φ, φ, µ ) dX

układu pól { φa (x) } względem r-parametrycznej grupy Liego, symetrii wewnętrznych G oraz lokalnej grupy G(M), otrzymanej z G poprzez zamianę jej parametrów ω na parametry ω(x), x ∈ M.

Pierwsze twierdzenie Noether. Niech funkcjonał S będzie inwariantny względem grupy Liego G. Dla naszych potrzeb wystarczy rozpatrzyć przekształcenia infinitezymalne : g = ( 1 + Im δωm ) , gdzie : 1 – jedność grupowa, Im – generatory grupy , δωm - małe parametry grupowe. Przekształcenia takie pociągają przekształcenia pól φa :

Im δωm : φa → δφa = Ima

b φb δωm (D2.7)

Z warunku δS = 0 oraz dowolności parametrów δωm moŜemy otrzymać wniosek, Ŝe r liniowo niezaleŜnych kombinacji pochodnych funkcjonalnych :

δL/ δφa = ∂L/∂φa - ∂µ [ ∂L/∂φa, µ ] będzie przechodziło w dywergencje : ( δL/ δφa ) Ima

b φb ≡ - ∂µ Jµ m

Jµm = ( ∂L/∂φa, µ ) Imab φb (D2.8)

Wielkości Jµm nazywamy prądem symetrii pól φa odpowiadającemu generatorowi Im grupy G.

Na ekstremalach tj. na rozwiązaniach równań Eulera-Lagrange’a δL/ δφa = 0, zatem :

∂µ Jµ m = 0

Jest to lokalna postać prawa zachowania prądu symetrii pól φa. )

Nietrywialne przypadek rozwiązań równań pola dla L otrzymujemy w sytuacji, kiedy przyjmiemy, Ŝe lagranŜjan zaleŜy od pól, których lokalne prawo przekształcenia zawiera pochodne od parametrów takich przekształceń. MoŜna pokazać, Ŝe takimi polami są w szczególności pola wektorowe Amµ przyjmujące wartości w algebrze ℘, o lokalnym prawie przekształcenia :

G(X) ∋ g : Amµ Im → g Amµ Im g -1 - g∂µg -1 (D2.9)

lub w postaci infinitezymalnej : Im δωm(x) : Anµ → cnmk Ak

µ δωm (x) + ∂µ δωn (x) (D2.10)

Gdzie : cnmk – stałe strukturalne algebry ℘.

Do lagranŜjanu L pola takie powinny wchodzić jako składowe operatora pochodnej kowariantnej : Dµ = ∂µ – i Am

µ Im (D2.11)

lub tensora : Fmµν = ∂µ Am

ν – ∂ν Am µ – cm

nk An µ Ak

ν (D2.12)

Nazywanego tensorem natęŜenia pola Amµ.

W przypadku grupy abelowej U(1) mamy I = i, cmnk = 0 i otrzymujemy standardową postać równań elektrodynamiki maxwellowskiej.

Dalsze, nietrywialne rozwinięcie rozwaŜanej teorii ma miejsce w przypadku kiedy rozwaŜymy przypadki grup nieabelowych dla których współczynniki ( tensory ) cmnk ≠ 0.

Jak więc widać w celu zbudowania teorii lokalnie inwariantnej, pól { φa (x) } ( nazywanych standardowo polami materialnymi ), naleŜy dodać do niej zbiór pól cechowania ( kompensujących ) { Amµ }- odpowiadających danej grupie symetrii G o prawie przekształcenia (D2.9). Pełny układ pól { φa , Amµ } opisywany jest poprzez lagranŜjan :

L = Lφ( φ, Dµφ ) + LA , LA – lagranŜjan pól cechowania. (D1.13) Analogicznie do elektrodynamiki lagranŜjan pól cechowania wybieramy standardowo w postaci :

LA = (1/α ) Fm µν Fµν

m (D1.14)

ZawęŜenia po indeksach m dokonujemy względem pewnej niezdegenerowanej G-inwariantnej formy biliniowej gmn określonej na ℘. Przykładowo jeśli G jest półprosta, to taka formą jest forma Killinga gmn = cb

mk ck

nb. Jeśli G jest zwarta , to forma Killinga jest określona ujemnie i istnieje pewna baza ℘, w której przyjmuje ona postać gmn = - δmn ( zobacz rozdział 5 prezentowanego tłumaczenia )

W teoriach z cechowania standardowo ograniczamy się do modeli o zwartych grupach symetrii, poniewaŜ ujemna określoność formy Killinga, gwarantuje dodatnią określoność hamiltonianu pól cechowania w takich teoriach.

Wariacja lagranŜjanu (D1.14) względem multipletu pól { φa , Amµ }prowadzi do następujących równań pola :

Dµ ( ∂Lφ/ ∂Dµφa ) - ( ∂Lφ/ ∂φa ) | Dµ φa = 0 (D1.15)

(1/α) DµFµν m + Jµ

mφ = 0 (D1.16)

LagranŜjan (D1.14) i równania pola (D1.15) , (D1.16) stanowią układ opisujący multiplet pól φa oddziałujących wzajemnie za pośrednictwem pól cechowania Amµ , źródłem których zgodnie z (D1.16) ( które nazywamy równaniami Yanga- Millsa ) są prądy symetrii Jµmφ . Pozwala to interpretować pola cechowania Am

µ jako potencjały pewnego oddziaływania o grupie symetrii G i stałą sprzęŜenia α. Pola Amµ zawarte są w pochodnej (D1.11).

Jeśli algebra Liego ℘ moŜe być rozbita sumę prostą dwóch podalgebr, to stała α moŜe być wybrana róŜna dla róŜnych pól cechowania, odpowiadającym róŜnym podalgebrą.

Warto podkreślić, Ŝe równania Yanga- Millsa nawet przy braku źródeł nie są równaniami pól swobodnych, co wynika z ich nieliniowości. Pola cechowania, podobnie jak pole grawitacyjne są polami samoodziałującymi.

NaleŜy zauwaŜyć równieŜ, Ŝe pola cechowania nie mogą posiadać masy ( włączenie członu masywnego do lagranŜjanu LA naruszałoby jego inwariantność względem cechowania ). W początkowej fazie rozwoju teorii z cechowaniem taka ich cecha stanowiło problem, jak bowiem wiadomo oddziaływania cząstek elementarnych ( bez pola EM i

grawitacyjnego ) przenoszone jest za pomocą cząstek masywnych np. bozonów W. JednakŜe zaproponowany w 1964 przez Petera Higgsa mechanizm spontanicznego naruszenia symetrii pozwolił na nadanie nośnikom pól cechowania masy. Obecnie mechanizm taki stanowi podstawę tzw. modelu standardowego cząstek elementarnych.

Zgodnie z twierdzeniem Coolemana ( dowodzonego w ramach aksjomatycznego podejścia do KTP ) naruszenie symetrii w układzie kwantowym zawsze prowadzi do naruszenia symetrii jej stanu próŜniowego. Naruszenie takie nazywamy spontanicznym, jeśli przy tym zachowana zostaje inwariantność ( kowariantność ) lagranŜjanu ( hamiltonianu ) danego układu kwantowego względem przekształceń naruszonej symetrii. W teoriach z cechowaniem spontaniczne naruszenie symetrii modeluje się poprzez wprowadzenie tzw. pól Higgsa-Goldstone’a. Oddziaływanie pól materialnych i pól cechowania z tymi polami, interpretujemy jako ich oddziaływanie z nietrywialną próŜnią.

Opracowano na podstawie [12].

Polecana literatura ( w tym ujęto pewne pozycje literatury proponowane przez autorów niniejszego tłumaczenia – pozycje z gwiazdką )

1) „Geometria rozmaitości Riemanna” – Maciej Skwarczyński WN-PWN 1993 2) „Geometria róŜniczkowa” – Jacek Gancarzewicz PWN 1987

3) „Grupy i algebry Liego” – Wojciech Wojtyński PWN1986

4*) „Foundations of differential geometry” – vol I, II S. Kobayashi, K. Nomizu ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Nauka 1981 )

5)* „Foundations of differentiable manifolds and Lie groups” – Frank W. Warner ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1987 )

6) „Rozmaitości róŜniczkowalne” – L. Auslander, R. E. Mac Kenzie PWN 1969 7) „Grupy oraz ich reprezentacje” – Andrzej Trautman Warszawa IF UW 2000 8) „Zadaczi po grupam Li i ich priloŜenijam” – W. N. Szapukow R&C Moskwa 2002

9*) „Topologija kalibrowocznych polej i kondensirowannych sred” – M. I. Monastyrskij Moskwa 1995 10) „Zastosowania teorii grup w fizyce” -- Jan Mozrzymas PWN 1977

11*) „The geometrical setting of gauge theories of the Yang-Mills type” – M. Daniel, C. M. Viallet Rev. Mod. Phys 1980 tłumaczenie rosyjskie UFN 1982 tom 136

12) „Kalibrowocznaja teorija grawitacji” – D.D. Iwanenko, P. I. Pronin, G. A. Sardanaszwili Moskwa 1985 13*) „Geometria róŜniczkowa i teoria wiązek” -- R. Sulanke, P. Wintgen ; PWN 1977

( jest równieŜ tłumaczenie rosyjskie )

14*) „Metod inducirowannych predstawlenij. Prostranstwo-wremija i koncepcija czastic” - M. W. Menskij ; Moskwa Nauka 1976

15*) „Introduction to compact transformation gropus” – G. E. Bredon ; Academic Press 1972 ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Nauka 1980 )

16* „Solitons and instantons. An introduction to solitons and instantons in quantum field theory” – R. Rajaraman North-Holland 1982 ( tłumaczenie rosyjskie Moskwa Mir 1985 )

17*) „Elementy teorii predstawlenij” – A. A. Kirillow ; Moskwa Nauka 1978

************************************************************************************************

Przedsłowie.

„Czysta matematyka i fizyka wiąŜą się coraz ściślej, chociaŜ ich metody pozostają róŜne. MoŜna powiedzie, Ŝe matematyk gra w grę, w której on sam ustala zasady, podczas gdy fizyk gra w grę, której zasady ustala Przyroda, jednakŜe z upływem czasu staje się coraz bardziej oczywiste, Ŝe zasady, które matematyk uwaŜa za interesujące, pokrywają się z zasadami, które wybrała Przyroda. Trudno przepowiedzieć, jaki będzie wynik tego wszystkiego. Być moŜe obie dziedziny połączą się i kaŜdy obszar czystej matematyki będzie miał fizyczne zastosowania, przy czym ich waŜność w fizyce stanie się proporcjonalna do ich matematycznej elegancji„

Wydaje się, Ŝe te prorocze słowa, Diraca (* P.A.M Dirac “The relation between mathematics and physics”

Proc. Of the Royal Soc. Edinburg A. Vol 59 ( 1938 – 1939) p. 122 – 129 *) wypełniają się w znacznej mierze w obszarze, który obejmuje geometrię róŜniczkową i pola cechowania.

W istocie, bowiem eksperymentalne potwierdzenie teorii oddziaływań elektrosłabych Weindberga-Salama-Glashow’a w szczególności odkrycie wektorowych bozonów pośredniczących oraz postępy chromodynamiki kwantowej, która niesprzecznie opisuje oddziaływania silne, dają powaŜne podstawy załoŜeń, Ŝe u podstaw teorii oddziaływania cząstek elementarnych leŜy fundamentalna zasada fizyczna, lokalnej inwariantności cechowania. Oparty na tej zasadzie model standardowy oddziaływań cząstek elementarnych, włączając w to teorię oddziaływań elektrosłabych oraz

chromodynamikę kwantową, w chwili obecnej dobrze zgadza się praktycznie ze wszystkimi posiadanymi danymi eksperymentalnymi, a kolejne jego zastosowania pozwalają wyjść za ramy tego modelu i istotnie posunąć naprzód pogram połączenia wszystkich postaci oddziaływań w jedno uniwersalne oddziaływanie. Połączenie takie moŜe odbyć się na drodze zbudowania teorii cechowania dla teorii wielkiej unifikacji.

Opracowany do chwili obecnej aparat kwantowej teorii pola (KTP), oparty na teorii perturbacji w zasadzie jest

wystarczający dla obliczeń procesów fizycznych, które obserwujemy lub będziemy obserwować w najbliŜszym czasie, w eksperymentach fizyki wysokich energii. JednakŜe dobrze wiadomo, Ŝe teorie z cechowaniem posiadają liczne struktury, dla zbadania, których wymaga się wyjścia poza teorie perturbacji. Do takich struktur zaliczamy w szczególności

rozwiązania instantonowe i monopolowe, złoŜoną strukturę próŜni, modele topologiczne oraz model Cherna-Simonsa – a ogólności wszystkie struktury, w których przejawia się geometryczna i topologiczna natura teorii z cechowaniem.

Jak naleŜało oczekiwać badanie tych własności teorii z cechowaniem wymagało zastosowania nowego aparatu, jak jednak się okazało odpowiedni aparat matematyczny juŜ był opracowany lub znajdował się w stadium opracowań.

Podstawowe części tego aparatu zawierają geometrię róŜniczkową w szczególności teorię przestrzeni włóknistych oraz teorię koneksji, ponadto topologię algebraiczną, teorię grup i algebr Liego. Geometryzacja teorii z cechowaniem została dokonana w sposób naturalny i pozwoliła po pierwsze głębiej zrozumieć juŜ znane fakty (np. niejednoznaczności Gribowa ), po drugie ujawnić szereg zupełnie nowych własności oraz zjawisk ( struktura próŜni, struktura przestrzeni modułów rozwiązań instantonowych, interpretacja teorii Donaldsona-Floera jako topologicznej teorii kwantowej, inwariantne koneksje itd. )

Celem niniejszej ksiąŜki jest po pierwsze, zaznajomić studentów specjalizujących się w fizyce teoretycznej z podstawami aparatu matematycznego geometrii róŜniczkowej i teorii skończenie wymiarowych grup Liego. Zgodnie z opinią wielu wykładowców, którą podzielamy, podstawowe wnioski wypływające z tych teorii matematycznych juŜ dawno powinny stać się częścią obowiązkowych wykładów prowadzonych w ramach współczesnych matematycznych metod fizyki.

Po drugie, chcemy wprowadzić czytelnika do opisu geometrycznego teorii z cechowaniem w języku rozwłóknień i koneksji.

Przy wyborze materiału nie dąŜyliśmy do opisania wszystkich klasycznych wyników geometrii róŜniczkowej. W chwili obecnej istnieje wiele monografii i podręczników, które zostały napisane specjalnie dla fizyków. Staraliśmy się podkreślić i wyłoŜyć w sposób jasny, pewne minimum, które jest konieczne dla oswojenia się z podejściem

geometrycznym pól z cechowaniem. Jednocześnie jest to minimum, które pozwala nie zagubić się przy lekturze ksiąŜek o tematyce geometrii róŜniczkowej i teorii algebr Liego.

Struktura ksiąŜki jest następująca.

Rozdział 1 nosi charakter wprowadzający, wprowadzamy w nim podstawowe definicje i pojęcia, pojawiające się w modelach z cechowaniem, zwłaszcza w teorii elektrosłabej i chromodynamice.

Rozdziały 2, 3 i 5 zawierają konkretny materiał matematyczny.

I tak - rozdziały 2 i 3 poświęcone są wykładowi podstawowych idei geometrii róŜniczkowej, w rozdziale 5 wyłoŜono podstawy struktury skończenie wymiarowych algebr Liego i teorii diagramów Dynkina dla półprostych algebr Liego.

Pod koniec tych rozdziałów, omawiamy zastosowania tego matematycznego aparatu w szeregu zagadnień teorii pola i grawitacji. W rozdziale 4 wyłoŜono geometryczne podejście do opisu pól z cechowaniem. W rozdziałach 6, 7 omawiamy zastosowania takiego podejścia do rozwiązywania zadań redukcji wymiarowej pól z cechowaniem i spontanicznej kompaktyfikacji. Wybór tych zastosowań jest bardzo subiektywny - autorzy pracowali nad tymi problemami w ciągu ostatnich lat. JednakŜe ukazane zastosowania, po pierwsze pozwalają zademonstrować liczne dogodności i siłę podejścia geometrycznego, a po drugie, podobnie jak sama idea Kaluzy i Kleina, zachowują swoją aktualność dla budowy modeli oddziaływań podstawowych.

W prezentowanej ksiąŜce staraliśmy się godzić matematyczną ścisłość oraz przyjęty w fizyce styl wykładu, w którym złoŜony materiał prezentuje się w dostępnej postaci i od razu ilustruje się przykładami. Przy takim podejściu

zachowujemy ścisłość definicji i sformułowań twierdzeń, jednak dowody twierdzeń wprowadzamy tylko w tym przypadku, kiedy mogą one by wyłoŜone w jasnej i zwartej postaci, bez odwoływania się do znacznej ilości uzupełniającego materiału lub wtedy, kiedy są one konieczne dla zrozumienia wykładu. W innych przypadkach ograniczamy się do wyjaśnienia idei dowodu na charakterystycznych przykładach lub odsyłamy do literatury, w której dostępne są odpowiednie dowody. Szereg dostatecznie prostych kwestii opuszczamy w podstawowym tekście, przenosząc je do końcowej części ksiąŜki, w której umieszczamy zadania i ćwiczenia. Wybranym stylem wykładu tłumaczymy równieŜ wybór zastosowań fizycznych, o których wspominaliśmy wcześniej. Mają one raczej charakter ilustracyjny i na pewno nie są ostatnim słowem zastosowań metod matematycznych w teoriach z cechowaniem.

KsiąŜka zawiera równieŜ szereg zastosowań, które czynią wyłoŜony materiał pełniejszym. Wprowadzamy w nich pewne definicje i wnioski, które nie odnoszą się do geometrii róŜniczkowej i algebr Liego, ale które są wykorzystane w głównym tekście.

W znacznej mierze prezentowany materiał oparty jest na wykładach prowadzonych dla studentów IV roku, które prowadziliśmy w ciągu dwóch lat na katedrze statystyki kwantowej i teorii pola wydziały, fizycznego Uniwersytetu Moskiewskiego.

Dziękujemy wszystkim słuchaczom tych wykładów, ich pytania pozwoliły wprowadzi liczne ulepszenia.

(* W dalszym tekście autorzy tradycyjnie składają podziękowania wszystkim osobom, wobec których mają dług wdzięczności – przypis własny *)

Rozdział 1 .

Wprowadzenie.

Współczesne badania prowadzone w teorii pola odkrywają coraz większą zaleŜność własności fizycznych modeli od geometrycznych i topologicznych własności czasoprzestrzeni M. ZaleŜność ta przejawia się np. przy badaniu złoŜonej struktury próŜni w nieabelowych teoriach cechowania, mechanizmie przejścia między stanami próŜniowymi itp.

Przy tym zachodzi konieczność rozpatrywania pola na rozmaitości o nietrywialnych topologiach ( przy analizie monopoli i instantonów lub badaniu ewolucji Wszechświata ) i/lub o liczbie wymiarów większej niŜ cztery ( przy badaniu redukcji wymiarowej i spontanicznej kompaktyfikacji w teoriach typu Kaluzy-Kleina ). Okazuje się, Ŝe w celu rozwiązania podobnych zagadnień dogodne ( i jak uwaŜamy, matematycznie piękniejszym ) jest właśnie podejście, któremu poświęcamy rozdział 4. Podejście to wykorzystuje aparat geometrii róŜniczkowej, wyłoŜony w rozdziale 2 i 3.

Centralnymi pojęciami są tam wiązka główna i koneksja na wiązce głównej.

Jak zwykle przy wprowadzaniu nowych pojęć i nowego aparatu w celu opisania takich lub innych zjawisk fizycznych pojawia się naturalne pytanie : czy rzeczywiście te nowe pojęcia są dla takiego opisu konieczne ?

Bardzo często ( i tak jest równieŜ w naszym przypadku ) odpowiedź jest negatywna w tym sensie, Ŝe nie ma takich zagadnień, które nie mogłyby być rozwiązane bez wykorzystania nowych metod. MoŜemy jednak wymienić następujące pozytywne aspekty podejścia geometrycznego.

1) Daje on nam naturalny i adekwatny język dla opisania teorii z cechowaniem, poniewaŜ operuje on takimi pojęciami jak koneksja, krzywizna itd., które w sposób organiczny naleŜą do teorii tego typu. Tym samym przechodzimy do pojęć bardziej fundamentalnych niŜ potencjał wektorowy i natęŜenie ( pojęcia występujące w podejściu standardowym ).

Pozwala to dokonywać nowych nietrywialnych uogólnień teorii. UŜyteczność wykorzystywania języka geometrycznego wiązek głównych w porównaniu z podejściem standardowym w opisie teorii z cechowaniem jest porównywalna z uŜytecznością wykorzystania oznaczeń tensorowych i zastąpienia przez nie zapisu wektorowego ( zaleŜnego od przyjętego układu współrzędnych ) w elektrodynamice Maxwella. Język geometryczny daje moŜliwość nie troszczenia się o techniczne detale, a zajęcie się naprawdę istotnymi i zasadniczymi problemami.

2) Podejście geometryczne pozwala rozpatrywać problemy globalnie, co jest waŜne przy badaniu własności topologicznych danej teorii.

Właśnie takie podstawowe idee i metody podejścia geometrycznego będą głównym przedmiotem, na którym skupimy uwagę w następnych rozdziałach. Zanim jednak do nich przejdziemy przypomnimy podstawowe fakty dotyczące teorii pól z cechowaniem oraz modeli oddziaływań cząstek elementarnych opartych na takich teoriach. Podamy konieczne oznaczenia i wprowadzimy podstawowe definicje.

§ 1 Zasada lokalnej inwariantności względem cechowania oraz pola Yanga-Millsa.

Dobrze wiadomo, Ŝe potencjał wektorowy pola EM (* elektromagnetycznego – skrót własny *) określony jest z dokładnością do przekształcenia cechowania :

Aµ(x) → Aµ(x) + ∂µη(x) (1.1)

Sens tego przekształcenia wyjaśniany jest w ramach klasycznej teorii pola. Jeśli zatem rozpatrzymy oddziaływanie wzajemne pola EM z polem naładowanym, które opisujemy zespoloną funkcją pola Ψ(x), to przekształcenia (1.1) zapewniają, inwariantność lagranŜjanu a zatem odpowiednio i kowariantność klasycznego równania Ψ(x), względem lokalnych przekształceń fazy : Ψ(x) → ei eη(x) Ψ(x), gdzie : e odgrywa role ładunku elektrycznego. Pole Aµ(x) przy tym przekształceniu wchodzi do równania oraz lagranŜjanu w kombinacji : DµΨ(x) = ( ∂µ - ieAµ )Ψ(x) , która przy

przekształceniach fazy zachowuje się jak pole Ψ(x) :

DµΨ(x) → ( ∂µ - ieAµ – ie∂µ η )ei eη(x)Ψ(x) = ei eη(x) DµΨ(x) (1.2) Źródłem pola Aµ(x) jest zachowany noetherowski prąd jµ(x), odpowiadający przekształceniom fazowym o parametrach nie zaleŜnych od punktu. Uogólnienie tej konstrukcji na przypadek bardziej złoŜonej przestrzeni ładunkowej, w której zadano pewną reprezentacje nieabelowej grupy symetrii np. przestrzenie spinu izotopicznego , prowadzi do

nieabelowych pól z cechowaniem lub inaczej pół Yanga-Millsa [YM].

Niech w przestrzeni ładunkowej działa reprezentacja r pewnej zwartej grupy Liego G, którą będziemy uwaŜali za prostą.

ZałoŜenie to nie jest ograniczające, poniewaŜ dowolna zwarta grupa Liego jest iloczynem prostym skończonej liczby zwartych, prostych grup Liego oraz grupy U(1) i jej analiza sprowadza się do rozpatrzenia kaŜdego iloczynu oddzielnie.

W dalszym materiale będziemy musieli wprowadzić szereg oznaczeń i wniosków związanych z teorią zwartych grup Liego.

Przez ℘ oznaczymy algebrę Liego grupy G. Działanie grupy G na samą siebie poprzez wewnętrzny automorfizm h → ghg -1 ; g , h ∈ G wywołuje działanie G w przestrzeni liniowej ℘. Reprezentacje tą nazywamy reprezentacją dołączoną grupy G i jeśli ta grupa jest n-parametryczna, to reprezentacja ta moŜe być zrealizowana przez macierze n × n.

Odpowiednio zatem i algebra Liego ℘ moŜe być zrealizowana poprzez n × n-macierze, przy tym działanie G moŜe być sprowadzone do iloczynu macierzowego : X → gXg -1 , X ∈℘ , g ∈G.

Z pomocą tej reprezentacji w ℘ moŜemy wprowadzić G-inwariantną, symetryczną biliniową formę B(X, Y) = tr (XY) ( która jest ujemnie określona ), jak równieŜ bazę generatorów {Xa }, a = 1,2 ... n normowanych warunkiem :

tr ( Xa, Xb ) = - 2δab. Baza ta posiada taką własność, Ŝe w niej stałe strukturalne zaleŜności komutacyjnych [ Xa, Xb ] = Cd

ab Xd są całkowicie antysymetryczne ( zobacz rozdział 5, paragraf 2 ).

Przykładowo w przypadku algebry Liego grupy SU(2) takie generatory są w istocie 3×3- macierzami o składowych (Xa )km = - εakm, a zaleŜności komutacyjne mają postać :

[ Xa, Xb ] = εabc Xc (1.3)

Zadanie reprezentacji r grupy G w przestrzeni ładunkowej oznacza, Ŝe dla dowolnego elementu g ∈ G określone jest przekształcenie pola :

Ψ(x) → r(g) Ψ(x) (1.4) przy czym macierz r (g) spełnia warunek : r(g1g2 ) = r (g1) r (g2 ).

Zakładamy, Ŝe grupa G jest ( globalną ) grupą symetrii teorii tj. lagranŜjan pola materii £f ( Ψ(x), ∂µΨ(x) ) jest

inwariantny względem przekształceń (1.4). Zgodnie z twierdzeniem Noether symetrii tej odpowiadają zachowane prądy jaµ(x) , a = 1,2 ... n

Lokalne przekształcenia pól Ψ(x) analogiczne do lokalnych przekształceń fazowych w elektrodynamice, mają postać :

Ψ(x) → r (g(x)) Ψ(x) (1.5)

Oczywiście lagranŜjan £f (Ψ, ∂µΨ ) juŜ nie będzie inwariantny względem takich przekształceń, poniewaŜ wchodzące w niego pochodne pola Ψ(x) przekształcają się niejednorodnie :

∂µΨ(x) → r (g(x)) [ ∂µ + r( g(x)-1 ∂µg(x) ) ] Ψ(x) (1.6) W celu skompensowania niejednorodnego członu w pochodnej naleŜy wprowadzić pole wektorowe

Aµ(x) = Aa

µ(x) Xa o wartościach w algebrze Liego ℘, które przy przekształceniach (1.5) przekształca się następująco :

Aµ(x) → g(x)Aµ(x) g(x)-1 + g(x) ∂µ g(x)-1 (1.7)

W tym przypadku pochodna : DµΨ(x) = ( ∂µ + r (Aµ ) ) Ψ(x) przekształca się jak pole Ψ(x), jednorodne :

DµΨ(x) → r( g(x) ) Dµ Ψ(x) (1.8)

i dlatego nazywa się pochodną kowariantną.

Wprowadzenie oddziaływania z polem Aµ(x) przez pochodną kowariantną prowadzi do tego, Ŝe konfiguracje polowe { Aµ(x) ,Ψ(x) } i { r( g(x) )Ψ(x) , g(x)Aµ(x)g(x)-1 + g(x) ∂µg(x)-1 } okazują się fizycznie równowaŜne tj. opisują jedną i tą samą sytuacje fizyczną. Klasy fizycznie równowaŜnych konfiguracji są orbitami grupy cechowania.

Aby pracować z klasami konfiguracji trzeba umieć wybrać z tych klas reprezentantów. W tym celu na pola nakładamy dodatkowe warunki, zachowujące dowolność cechowania ; wybór dodatkowego warunku nazywamy wyborem konkretnego cechowania. Przykładowo warunek ∂µAµ(x) = 0 nazywamy cechowaniem Lorentza. Analogicznie jak w przypadku pola EM dla nieabelowych pól cechowania moŜna zbudować tensor natęŜenia :

Fµν (x) = ∂µAν - ∂νAµ + [ Aµ ,Aν ] (1.9)

który przy przekształceniach pola (1.7) przekształca się w sposób jednorodny :

Fµν (x) → g(x) Fµν(x) g(x)-1 (1.10)

Naturalnym rozsądnym ( I jak zobaczymy w rozdziale 4 – naturalnym ) uogólnieniem lagranŜjanu pola EM na przypadek nieabelowych pól cechowania jest lagranŜjan :

£ = (1/8g2 ) tr ( Fµν Fµν ) + £f ( Ψ, DµΨ ) (1.11)

który jest inwariantny względem lokalnych przekształceń cechowania (1.5) , (1.7). Wchodząca do niego wielkość g nazywa się „stałą strukturalną cechowania”.

W lagranŜjanie (1.11) pole cechowania wzięte jest w normalizacji geometrycznej. W modelach fizycznych zwykle wykorzystujemy inną normalizacje , analogiczną do normalizacji pola EM we wzorze (1.2). Aby przejść ku tej normalizacji z pola Aµ(x) naleŜy wydzielić stałą g tj. w lagranŜjanie naleŜy dokonać zamiany : Aµ(x) → gAµ(x).

Przy takiej zamianie g2 w mianowniku „swobodnego” lagranŜjanu pola cechowania znika, jednak stała strukturalna pojawia się w tensorze natęŜenia : Fµν (x) = ∂µAν - ∂νAµ + g [ Aµ ,Aν ] oraz w pochodnej kowariantnej :

Dµ = ∂µ + gAµ. ZauwaŜmy jeszcze, Ŝe jeśli tensor natęŜenia rozłoŜyć względem generatorów {Xa } , tr ( Xa Xb ) = -2δab , to „swobodny” lagranŜjan pola cechowania moŜemy zapisać w postaci :

£f = -(1/4g2 ) Faµν Fµνa

Wariując działanie odpowiadające lagranŜajnowi (1.11) względem pola Aµ(x) otrzymamy równania Yanga-Millsa

DµFµν = ∂µFµν + [ Aµ , Fµν ] = jν(x) (1.12)

Gdzie : jν(x) – prąd Noether pola Ψ(x) , odpowiadający globalnym przekształceniom (1.4).

Z (1.12) wynika, ze przy oddziaływaniu pola Ψ(x) z polem cechowania zachowany zostaje nie prąd jν(x), a kombinacja jν(x) + [ Aµ , Fµν ]. Zatem, źródłem nieabelowego pola cechowania Aµ(x) jest nie tylko prąd pola Ψ(x) ( jak było to w elektrodynamice ) ale równieŜ ono samo, co odzwierciedla nieliniowość „swobodnego” lagranŜjanu tego pola.

§ 2 Teorie cechowania oddziaływań cząstek elementarnych.

Jak wiadomo z nieabelowych teorii cechowania największy postęp osiągnięto w jednolitej teorii oddziaływań elektrosłabych, która to teoria została stworzona przez S. Weinberg’a i A. Salam’a w końcu lat 60-tych XX wieku.

Teoria ta oparta jest na grupie cechowania SU(2) × U(1) i dalej opiszemy dokładnie jej obszary : cechujący i higgsowski , jak równieŜ obszar fermionów pierwszego pokolenia.

Niech e oznacza pole ( ujemnie naładowanego ) elektronu , a νe – pole neutrin. Połączmy lewe neutrino i elektron w dublet, a prawy elektron pozostawmy jako singlet :

Le = ½ ( 1 + γ5 ) ( νe ) ; eR = ½ ( 1 - γ5 ) e (1.13)

( e )

Taki wybór multipletów objaśnia się tym, Ŝe w oddziaływaniach słabych naruszona jest parzystość i prawe neutrino nie jest obserwowane eksperymentalnie.

Grupa SU(2) działa na dublet lewych cząstek ( i dlatego oznaczamy ją jako SU(2)L ) ; jej generatory o zaleŜnościach komutacyjnych (1.3) w tej reprezentacji wyraŜają się przez macierze Pauliego { τa } : r ( Xa ) = - ½ iτa.

Dlatego przekształcenie pola Le moŜemy zapisać następująco :

Le → exp( - ½ ig τaξa ) Le (1.14)

Jak zwykle, związana z SU(2)L liczba kwantowa jest wartością własną operatora τ3.

Oznaczmy przez y liczbę kwantową związaną z grupą U(1)-przekształceń i zaŜądajmy aby ładunek elektryczny q wyraŜał się przez nią zgodnie ze wzorem :

q = τ3 + y (1.15)

Oczywiście dla Le mamy y = - ½ ,a dla eR – y = - 1, poniewaŜ dla niego wartość własna τ3 jest równa zeru.

Zgodnie z tym U(1)-przekształcenia pól mają postać :

Le → exp( - ½ ig’ η ) Le , eR → exp( - ig’ η )eR (1.16)

Analogicznie dla pól kwarków u, d moŜna określić następujące zaleŜności :

Lq = ½ ( 1 + γ5 ) ( u ) (1.17a)

( d )

uR = ½ ( 1 - γ5 ) u , dR = ½ ( 1 - γ5 ) d (1.17b)

przy czym dla pól lewych kwarków y = 1/6 , dla uR mamy q = y = 2/3, dla dR – q = y = -1/3 Dlatego SU(2)×U(1)-przekształcenia dla tych pól wyglądają następująco :

Lq → exp( - ½ ig τaξa ) exp( 1/6 ig’ η )Lq (1.18a) uR → exp( - 2/3 ig’ η )uR ; dR → exp( - 1/3 ig’ η )dR (1.18b) Łącząc z przekształceniami (1.14), (1.16) i (1.18) nieabelowe pole cechowania Wµ(x) = Wa

µ(x) Xa które ma wartości w algebrze Liego grupy SU(2) oraz abelowe pole cechowania Yµ(x), moŜemy w standardowy sposób zbudować lagranŜjan inwariantny ze względu na cechowanie, opisujący oddziaływanie wzajemne tych pól z polami leptonów i kwarków :

£ = £W + £Y + £e + £q (1.19)

gdzie :

£W = 1/8 tr (Gµν Gµν ) ; Gµν = ∂µWν - ∂νWµ + g[ Wµ, Wν ] (1.20a)

£Y = -1/4 Yµν Yµν ) ; Yµν = ∂µYν - ∂νYµ (1.20b)

£e = i L-

e γµ ( ∂µ - ½ igWaµ + ½ ig’ Yµ )Le + ie-R γµ ( ∂µ + ig’ γµYµ ) eR (1.20c)

£q = i L-

q γµ ( ∂µ - ½ igWaµ – 1/6 ig’ Yµ )Lq + iu-R γµ ( ∂µ + 2/3 ig’Yµ ) uR + id-

R γµ ( ∂µ + 1/3 ig’Yµ ) dR (1.20d) W lagranŜjanie dla kwarków (1.20d) w wyraŜeniach postaci q- ( )q sumujemy względem indeksów kolorowych tj.

3

ΣΣΣΣ

ZauwaŜmy jeszcze, Ŝe we wszystkich wzorach pola cechowania brane są w normalizacji fizycznej , co jest oczywiście zgodne z postacią przekształceń (1.14), (1.16) i (1.18).

Wszystkie pola wchodzące do lagranŜjanu (1.19) mają zerową masę. Oprócz tego, człony masowe dla fermionów mające postać : m ( f -L fR + f -R fL ), okazują się wzbronionym wymogiem inwariantności względem przekształceń

cechowania (1.14), (1.16), (1.18). Dlatego niezerowe masy fermiony mogą wyniknąć w wyniku efektu Higgsa tj. w wyniku oddziaływania wzajemnego z polem skalarnym, mającym niezerowe średnie próŜniowe ( zobacz równieŜ rozdział 4, paragraf 7). Przy tym wszystkie pola wektorowe oprócz pola fotonowego równieŜ nabywają masy tj. grupa SU(2)×U(1) zostaje naruszona i redukuje się do grupy U(1)em wywoływanej przez operator q (1.15). To oznacza, Ŝe niezerowe średnie próŜniowe powinno posiadać pole o zerowym ładunku elektrycznym. Taki obraz spontanicznego naruszenia symetrii ma miejsce w przypadku zespolonego pola skalarnego φ, przekształcającego się według spinorowej reprezentacji grupy SU(2)L i posiadającego ładunek y = ½. Innymi słowy, przy przekształceniach cechowania pole φ zachowuje się jako :

φ → exp( - ½ ig τaξa (x) ) exp( ½ g’ η(x) ) φ (1.21a)

Określimy równieŜ sprzęŜony ładunkowo dublet φ~ = iτ2φ* , który przekształca się w następujący sposób :

φ~ → exp( - ½ ig τaξa (x) ) exp( - ½ ig’ η(x) ) φ~ (1.21b)

LagranŜjan inwariantny względem cechowania, opisujący oddziaływanie pola φ z polami Wµ i Yµ jak równieŜ samo oddziaływanie czwartego rzędu ma postać :

£φ = | ∂µφ – ½ ig τaWaµ φ – ½ ig’ Yµ φ |2 – λ ( φ+ φ – ½ v2 )2 (1.22)

Oddziaływanie wzajemne inwariantne względem cechowania pola φ z fermionami moŜna zapisać następująco :

£f = - Γe [ ( L-

eφ )eR + e-R ( φ+ Le ) ] - Γu [ ( L-

qφ~ )uR + u-R ( φ~+ Lq ) ] - Γd [ ( L-

qφ )dR + d-R ( φ+ Lq )] (1.23) Zatem, całkowity lagranŜjan naszej teorii ma postać :

£ = £W + £Y + £e + £q + £φ + £f (1.24)

ZauwaŜmy dalej, Ŝe za pomocą przekształcenia cechowania pole φ moŜemy zawsze sprowadzić do postaci :

φ = (1/√2 ) ( 0 ) , Im σ = 0 (1.25)

(σ )

Czynnik 1/√2 wprowadzono po to, aby z (1.22) dla pola σ otrzymać kanonicznie kinetyczny człon neutralnego pola skalarnego.

Pole to zgodnie z postacią jego potencjału samodziałania, posiada niezerowe średnie próŜniowe < σ > = v , minimalizujące ten potencjał.

Wydzielając te średnie próŜniowe tj. zamieniając w (1.25) σ → v + σ, otrzymamy lagranŜjan modelu Weinberga-Salama w cechowaniu unitarnym.

W wyniku tego podstawienia we wszystkich polach pojawiają się człony masywne. W przypadku pól wektorowych mają one postać :

1/8 [ g2 ( W1µ )2 + g2 ( W2µ )2 + ( g W3µ – g’ Yµ )2 ] (1.26)

Diagonalizacja tej formy kwadratowej prowadzi do następujących pól z określonymi masami : Pola naładowane

W-/+µ = (1/√2 )( W1µ± i W2µ ) , mW = ½ gv (1.27)

Pola neutralne

Aµ = cosθW Yµ + sinθWW3

µ , mA = 0 (1.28a)

Zµ = - sinθW Yµ + cosθWW3

µ , mz = ½ v ( g2 + g’ 2 )1/2 (1.28b) Gdzie : parametr θW nazywany jest kątem słabego mieszania lub kątem Weinberga i określony jest zaleŜnością :

tgθW = g’ / g

Bezmasowe pole Aµ oczywiście naleŜy utoŜsamić z polem elektromagnetycznym.

Człony masowe dla fermionów są następujące ( f = e, u, d ):

- Γf ( f -

R fL + f -L fR ) (1/√2) v = -mf f -f , mf = (1/√2 )Γf v (1.29) Na koniec, dla masy pola σ znajdujemy :

mσ = 2λ v2 (1.30)

Wprowadzimy następnie prądy fermionowe :

jµ = e- γµ e + 2/3 u- γµ u – 1/3 d- γµ d (1.31a) jµ3 = L-e γµτ3 Le + L-

q γµτ3 Lq (1.31b) j±

µ = L-e γµτ-/+ Le + L-

q γµτ-/+ Lq (1.31c) Poprzez te prądy wygodnie jest zapisywać oddziaływanie fermionów z polami wektorowymi do których prowadzi lagranŜjan (1.24) :

£I = [ gg’ /sqrt( g + g’2 ) ]jµ Aµ + ( g/ 2√2) ( j-µ W+µ + człony hermitowsko sprzęŜone ) +

+ [ ½ ( g + g’2 )1/2 ] ( j3µ - 2sin2θW jµ ) Zµ (1.32)

Oczywiście pierwsza składowa opisuje oddziaływanie elektromagnetyczne leptonów i kwarków, dlatego dla ładunku elektrycznego e mamy :

e = gg’ /sqrt( g + g’2 ) = g sinθW = g’ cosθW (1.33)

Druga składowa opisuje oddziaływanie słabe fermionów poprzez prądy naładowane i z niej otrzymujemy następujące wyraŜenie dla stałej Fermiego GF :

GF / √2 = g2 /8 mW2 (1.34)

Trzeci człon prowadzi do oddziaływania słabego fermionów poprzez prądy neutralne ich odkrycie było pierwszym eksperymentalnym potwierdzeniem modelu Weinberga-Salama.

Zastanowimy się krótko nad modyfikacją tego modelu przy rozpatrywaniu wszystkich trzech znanych pokoleń

fermionów. Jest jasne, Ŝe sektory cechowania i higgsowski pozostają niezmienione. Do lagranŜjanu dodajemy człony o postaci (1.20c) lub (1.20d) dla kaŜdego dopełniającego typu fermionów, które prowadzą do pojawienia się dodatkowych wkładów do prądów naładowanych i neutralnych, mających ta samą strukturę, co (1.31). Istotna róŜnica występuje tylko we wzorze (1.23), opisującym oddziaływanie wzajemne fermionów z polem Higgsa – pojawiają się w nim macierze mieszające leptony i kwarki o jednakowym ładunku. Przy diagonalizacji tych macierzy i przejściu do stanów o

określonej masie zachodzi zmiana pól bazowych. Zmiana ta prowadzi z kolei do pojawienia się w prądach naładowanych macierzy mieszania, nazywanej równieŜ macierzą Kobayashi-Maskawy. Prądy neutralne oraz oddziaływania z polem Higgsa pozostają diagonalne w tej bazie.

Opisany model z trzema pokoleniami fermionów zwykle nazywa się modelem standardowym oddziaływań

elektrosłabych. WaŜną własnością tego modelu jest brak przy jego kwantowaniu γ5-anomalii tj. przedstawia on sobą