Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =
j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
=
j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m
+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm=
j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm=j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
=
(j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,
wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Wróćmy do elementów macierzowych operatorów J±. hjm + 1|J+|jmi = λm~, hjm|J−|jm + 1i = λ∗m~,
Przy czym
|λm|2 = C − m(m + 1) =j (j + 1) − m(m + 1)
= j2+ j − m2− m+jm − jm= j (j + m + 1) − m(j + m + 1)
= (j − m)(j + m + 1).
Możemy wybrać fazę zespoloną równą 1,wtedy
λm = [j (j + 1) − m(m + 1)]12 = [(j − m)(j + m + 1)]12.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać
hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]12~
hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi
= λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi =
λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ =
[j (j + 1) − m(m − 1)]12~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]12~,
co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i . Uwzględniając, że
J1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i . Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−)
i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i . Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−)
oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Elementy macierzowe operatorów J± mają postać hjm + 1|J+|jmi = λm~ = [j (j + 1) − m(m + 1)]
1 2~ hjm − 1|J−|jmi = λ∗m−1~ = [j (j + 1) − m(m − 1)]
1 2~, co inaczej możemy zapisać
J±|jmi = [j(j + 1) − m(m ± 1)]12~ |jm ± 1i .
Uwzględniając, żeJ1 = 12(J++ J−) i J2 = −2i(J+− J−) oraz J3 |jmi = m~ |jmi
możemy znaleźć reprezentacje macierzowe operatorów J1, J2, J3 i J~2 dla poszczególnych wartości j .
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0
i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Jeżelij = 0 ⇒ m = 0i wszystkie te operatory są reprezentowane przez macierze zerowe (0).
Jeżelij = 12 ⇒ m = −12,12 i macierz reprezentująca operator
gdzie skorzystaliśmy z równania własnego operatora J3 i z ortogonalności stanów własnych momentu pędu |jmi.
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =
Reprezentacje macierzowe momentu pędu
Korzystając z relacji
J+|jmi = [j(j + 1) − m(m + 1)]12~ |jm + 1i znajdujemy macierz reprezentującą operator J+
J+ =