Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m⁰^E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ =

m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m⁰^E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=

m~δjj⁰δ_mm⁰.

Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m⁰^E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰.

Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m⁰^E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓.

Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m⁰^E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m⁰^E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e⁰^{E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e⁰^{E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰j⁰m⁰|

gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e⁰^{E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.

Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e⁰^{E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e⁰^{E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

j⁰⁰m⁰⁰|J₃|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₃|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm

Wykorzystajmy normalizację stanów |jmi

m⁰~δj⁰⁰j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − m~δj⁰jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm i wykonajmy sumowanie po j⁰ i m⁰, wtedy otrzymamy

m⁰⁰~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm− m~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

j⁰⁰m⁰⁰|J₃|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₃|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm Wykorzystajmy normalizację stanów |jmi

m⁰~δj⁰⁰j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − m~δj⁰jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm i wykonajmy sumowanie po j⁰ i m⁰, wtedy otrzymamy

m⁰⁰~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm− m~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

j⁰⁰m⁰⁰|J₃|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₃|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm Wykorzystajmy normalizację stanów |jmi

m⁰~δj⁰⁰j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − m~δj⁰jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm i wykonajmy sumowanie po j⁰ i m⁰, wtedy otrzymamy

m⁰⁰~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm− m~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~² = 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²|j⁰m⁰^Ej⁰m⁰|J_±|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰^Dj⁰m⁰| ~J²|jm^E= 0.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~²= 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²|j⁰m⁰^Ej⁰m⁰|J_±|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰^Dj⁰m⁰| ~J²|jm^E= 0.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~²= 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²|j⁰m⁰^Ej⁰m⁰|J_±|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰^Dj⁰m⁰| ~J²|jm^E= 0.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~²= 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli

f (j⁰⁰) = f (j ) ⇔ j⁰⁰= j , gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli f (j⁰⁰) = f (j )

⇔ j⁰⁰= j , gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli

f (j⁰⁰) = f (j ) ⇔ j⁰⁰= j ,

gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli

f (j⁰⁰) = f (j ) ⇔ j⁰⁰= j , gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli

f (j⁰⁰) = f (j ) ⇔ j⁰⁰= j , gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

albo jeśli

j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Obliczenia prowadziliśmy dla dowolnych j , j⁰⁰, m, m⁰⁰, dlatego widzimy, że tylko elementy macierzowe dla j⁰⁰= j , a więc elementy postaci

jm⁰⁰|J±|jm mogą być niezerowe,

a zatem macierze operatorów J± są diagonalne w j .

Stany własne momentu pędu

albo jeśli

j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Obliczenia prowadziliśmy dla dowolnych j , j⁰⁰, m, m⁰⁰, dlatego widzimy, że tylko elementy macierzowe dla j⁰⁰= j , a więc elementy postaci

jm⁰⁰|J±|jm

mogą być niezerowe,a zatem macierze operatorów J± są diagonalne w j .

Stany własne momentu pędu

albo jeśli

j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Obliczenia prowadziliśmy dla dowolnych j , j⁰⁰, m, m⁰⁰, dlatego widzimy, że tylko elementy macierzowe dla j⁰⁰= j , a więc elementy postaci

jm⁰⁰|J±|jm

mogą być niezerowe, a zatem macierze operatorów J± są diagonalne w j .

Stany własne momentu pędu

W takim razie znalezione wcześniej równanie m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0

przyjmuje postać

m⁰⁰− m − 1jm⁰⁰|J₊|jm= 0,

co zachodzi jeśli

m⁰⁰= m + 1 lub jm⁰⁰|J₊|jm= 0.

To oznacza, że nieznikające elementy macierzowe operatora J+

mają postać

hjm + 1|J₊|jmi .

Stany własne momentu pędu

W takim razie znalezione wcześniej równanie m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0

przyjmuje postać

m⁰⁰− m − 1jm⁰⁰|J₊|jm= 0,

co zachodzi jeśli

m⁰⁰= m + 1 lub jm⁰⁰|J₊|jm= 0.

To oznacza, że nieznikające elementy macierzowe operatora J+

mają postać

hjm + 1|J₊|jmi .

Stany własne momentu pędu

W takim razie znalezione wcześniej równanie m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0

przyjmuje postać

m⁰⁰− m − 1jm⁰⁰|J₊|jm= 0,

co zachodzi jeśli

m⁰⁰= m + 1 lub jm⁰⁰|J₊|jm= 0.

To oznacza, że nieznikające elementy macierzowe operatora J+

mają postać

hjm + 1|J₊|jmi .

Stany własne momentu pędu

W takim razie znalezione wcześniej równanie m⁰⁰− m − 1j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0

przyjmuje postać

m⁰⁰− m − 1jm⁰⁰|J₊|jm= 0,

co zachodzi jeśli

m⁰⁰= m + 1 lub jm⁰⁰|J₊|jm= 0.

To oznacza, że nieznikające elementy macierzowe operatora J+

mają postać

hjm + 1|J₊|jmi .

Stany własne momentu pędu

Ze względu na ortogonalność stanów |jmi, równość ta implikuje związek

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i , gdzie λm jest liczbą zespoloną.

Widzimy, że działanie operatora J₊ na stan |jmi powiększa wartość własną m operatora J3 o 1.

Stany własne momentu pędu

Ze względu na ortogonalność stanów |jmi, równość ta implikuje związek

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i , gdzie λm jest liczbą zespoloną.

Widzimy, że działanie operatora J₊ na stan |jmi powiększa wartość własną m operatora J3 o 1.

Stany własne momentu pędu

Zadanie. Pokazać, że obliczjąc elementy macierzowe równania

J3J−− J₋J3 = −~J−

otrzymamy

m⁰⁰− m + 1jm⁰⁰|J₋|jm= 0,

czyli

m⁰⁰= m − 1 lub jm⁰⁰|J₋|jm= 0, a więc nie znikają tylko elementy macierzowe postaci

hjm − 1|J₋|jmi .

Widzimy, że działanie operatora J− na stan |jmi pomniejsza wartość własną m operatora J₃ o 1,

Stany własne momentu pędu

Zadanie. Pokazać, że obliczjąc elementy macierzowe równania

J3J−− J₋J3 = −~J−

otrzymamy

m⁰⁰− m + 1jm⁰⁰|J₋|jm= 0,

czyli

m⁰⁰= m − 1 lub jm⁰⁰|J₋|jm= 0,

a więc nie znikają tylko elementy macierzowe postaci hjm − 1|J₋|jmi .

Widzimy, że działanie operatora J− na stan |jmi pomniejsza wartość własną m operatora J₃ o 1,

Stany własne momentu pędu

Zadanie. Pokazać, że obliczjąc elementy macierzowe równania

J3J−− J₋J3 = −~J−

otrzymamy

m⁰⁰− m + 1jm⁰⁰|J₋|jm= 0,

czyli

m⁰⁰= m − 1 lub jm⁰⁰|J₋|jm= 0, a więc nie znikają tylko elementy macierzowe postaci

hjm − 1|J−|jmi .

Widzimy, że działanie operatora J− na stan |jmi pomniejsza wartość własną m operatora J3 o 1,

Stany własne momentu pędu

Zadanie. Pokazać, że obliczjąc elementy macierzowe równania

J3J−− J₋J3 = −~J−

otrzymamy

m⁰⁰− m + 1jm⁰⁰|J₋|jm= 0,

czyli

m⁰⁰= m − 1 lub jm⁰⁰|J₋|jm= 0, a więc nie znikają tylko elementy macierzowe postaci

hjm − 1|J−|jmi .

Widzimy, że działanie operatora J− na stan |jmi pomniejsza

Stany własne momentu pędu

a zatem w wyniku działania operatora J− na stan własny |jmi otrzymamy

J−|jmi = λ⁰_m~ |jm − 1i , gdzie λ⁰_m jest liczbą zespoloną.

Mnożąc obustronnie przez hjm − 1| otrzymamy λ⁰_m~ = hjm − 1|J−|jmi .

Stany własne momentu pędu

a zatem w wyniku działania operatora J− na stan własny |jmi otrzymamy

J−|jmi = λ⁰_m~ |jm − 1i , gdzie λ⁰_m jest liczbą zespoloną.

Mnożąc obustronnie przez hjm − 1| otrzymamy λ⁰_m~ = hjm − 1|J−|jmi .

Stany własne momentu pędu

Znajdźmy związek pomiędzy liczbami λ_m i λ⁰_m. Skorzystajmy z równania

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i .

Mnożąc obustronnie przez hjm + 1| otrzymamy

hjm + 1|J₊|jmi= hjm + 1|λm~|jm + 1i = λm~ hjm + 1|jm + 1i =λm~.

Stany własne momentu pędu

Znajdźmy związek pomiędzy liczbami λ_m i λ⁰_m. Skorzystajmy z równania

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i .

Mnożąc obustronnie przez hjm + 1| otrzymamy hjm + 1|J₊|jmi=

hjm + 1|λ_m~|jm + 1i = λm~ hjm + 1|jm + 1i =λm~.

Stany własne momentu pędu

Znajdźmy związek pomiędzy liczbami λ_m i λ⁰_m. Skorzystajmy z równania

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i .

Mnożąc obustronnie przez hjm + 1| otrzymamy hjm + 1|J₊|jmi= hjm + 1|λ_m~|jm + 1i =

λm~ hjm + 1|jm + 1i =λm~.

Stany własne momentu pędu

Znajdźmy związek pomiędzy liczbami λ_m i λ⁰_m. Skorzystajmy z równania

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i .

Mnożąc obustronnie przez hjm + 1| otrzymamy

hjm + 1|J₊|jmi= hjm + 1|λ_m~|jm + 1i =λm~ hjm + 1|jm + 1i =

λm~.

Stany własne momentu pędu

Znajdźmy związek pomiędzy liczbami λ_m i λ⁰_m. Skorzystajmy z równania

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i . Mnożąc obustronnie przez hjm + 1| otrzymamy

hjm + 1|J₊|jmi= hjm + 1|λ_m~|jm + 1i = λm~ hjm + 1|jm + 1i =λm~.

Stany własne momentu pędu

Znajdźmy związek pomiędzy liczbami λ_m i λ⁰_m. Skorzystajmy z równania

J₊|jmi = λ_m~ |jm + 1i . Mnożąc obustronnie przez hjm + 1| otrzymamy

hjm + 1|J₊|jmi= hjm + 1|λ_m~|jm + 1i = λm~ hjm + 1|jm + 1i =λm~.

Stany własne momentu pędu

Dokonując sprzężenia zespolonego równania hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~.

otrzymamy

Djm|J₊^†|jm + 1^E= λ^∗_m~,

ale J₊^† = J−, więc

hjm|J−|jm + 1i = λ^∗_m~. λ^∗_m nie jest równa λ⁰_m= hjm − 1|J−|jmi /~ lecz

λ^∗_m= λ⁰_m+1.

Stany własne momentu pędu

Dokonując sprzężenia zespolonego równania hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~.

otrzymamy

Djm|J₊^†|jm + 1^E= λ^∗_m~,

ale J₊^† = J−, więc

hjm|J−|jm + 1i = λ^∗_m~. λ^∗_m nie jest równa λ⁰_m= hjm − 1|J−|jmi /~ lecz

λ^∗_m= λ⁰_m+1.

Stany własne momentu pędu

Dokonując sprzężenia zespolonego równania hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~.

otrzymamy

Djm|J₊^†|jm + 1^E= λ^∗_m~,

ale J₊^† = J−, więc

hjm|J−|jm + 1i = λ^∗_m~.

λ^∗_m nie jest równa λ⁰_m= hjm − 1|J−|jmi /~ lecz λ^∗_m= λ⁰_m+1.

Stany własne momentu pędu

Dokonując sprzężenia zespolonego równania hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~.

otrzymamy

Djm|J₊^†|jm + 1^E= λ^∗_m~,

ale J₊^† = J−, więc

hjm|J−|jm + 1i = λ^∗_m~.

λ^∗_m nie jest równa λ⁰_m= hjm − 1|J−|jmi /~ lecz λ^∗_m= λ⁰_m+1.

Stany własne momentu pędu

Dokonując sprzężenia zespolonego równania hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~.

otrzymamy

Djm|J₊^†|jm + 1^E= λ^∗_m~,

ale J₊^† = J−, więc

hjm|J−|jm + 1i = λ^∗_m~.

λ^∗_m nie jest równa λ⁰_m= hjm − 1|J−|jmi /~ lecz λ^∗_m= λ⁰_m+1.

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy teraz z relacji

[J₊, J−] = 2~J3 ⇒ J₊J−− J₋J₊= 2~J3. Skąd dla elementów macierzowych otrzymamy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₋|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₋|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm

= 2~j⁰⁰m⁰⁰|J₃|jm=

2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m. Ponieważ nie znikają tylko elementy macierzowe

hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi , to z sumy po j⁰ i m⁰ pozostaną wyrazy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m.

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy teraz z relacji

[J₊, J−] = 2~J3 ⇒ J₊J−− J₋J₊= 2~J3. Skąd dla elementów macierzowych otrzymamy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₋|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₋|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm

= 2~j⁰⁰m⁰⁰|J₃|jm=2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m.

Ponieważ nie znikają tylko elementy macierzowe hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi , to z sumy po j⁰ i m⁰ pozostaną wyrazy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m.

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy teraz z relacji

[J₊, J−] = 2~J3 ⇒ J₊J−− J₋J₊= 2~J3. Skąd dla elementów macierzowych otrzymamy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₋|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₋|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm

= 2~j⁰⁰m⁰⁰|J₃|jm= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m. Ponieważ nie znikają tylko elementy macierzowe

hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi ,

to z sumy po j⁰ i m⁰ pozostaną wyrazy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m.

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy teraz z relacji

[J₊, J−] = 2~J3 ⇒ J₊J−− J₋J₊= 2~J3. Skąd dla elementów macierzowych otrzymamy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₋|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₋|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm

= 2~j⁰⁰m⁰⁰|J₃|jm= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m. Ponieważ nie znikają tylko elementy macierzowe

hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi , to z sumy po j⁰ i m⁰ pozostaną wyrazy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m.

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy teraz z relacji

[J₊, J−] = 2~J3 ⇒ J₊J−− J₋J₊= 2~J3. Skąd dla elementów macierzowych otrzymamy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₋|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₋|j⁰m⁰j⁰m⁰|J₊|jm

= 2~j⁰⁰m⁰⁰|J₃|jm= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m. Ponieważ nie znikają tylko elementy macierzowe

hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi , to z sumy po j⁰ i m⁰ pozostaną wyrazy

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m.

Stany własne momentu pędu

Ponownie uwzględniając, że nie znikają tylko elementy macierzowe hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi ,

widzimy, że lewa i prawa strona równania

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m nie znikają tylko gdyj⁰⁰= j i m⁰⁰= m.

Nasze równanie przybiera wtedy postać

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~².

Stany własne momentu pędu

Ponownie uwzględniając, że nie znikają tylko elementy macierzowe hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi ,

widzimy, że lewa i prawa strona równania

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m nie znikają tylko gdyj⁰⁰= j i m⁰⁰= m.

Nasze równanie przybiera wtedy postać

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~².

Stany własne momentu pędu

Ponownie uwzględniając, że nie znikają tylko elementy macierzowe hjm − 1|J₋|jmi i hjm + 1|J₊|jmi ,

widzimy, że lewa i prawa strona równania

j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm − 1hjm − 1|J₋|jmi −j⁰⁰m⁰⁰|J₋|jm + 1hjm + 1|J₊|jmi

= 2~²mδ_j⁰⁰_jδ_m⁰⁰_m nie znikają tylko gdyj⁰⁰= j i m⁰⁰= m.

Nasze równanie przybiera wtedy postać

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~².

Stany własne momentu pędu

Wykorzystując związki

hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~ i hjm|J₋|jm + 1i = λ^∗_m~.

w równaniu

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~²

otrzymamy

λ_m−1~ λ^∗m−1~ − λ^∗m~ λm~ = 2m~², Skąd wynika równanie różnicowe

|λ_m−1|²− |λ_m|² = 2m.

Stany własne momentu pędu

Wykorzystując związki

hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~ i hjm|J₋|jm + 1i = λ^∗_m~.

w równaniu

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~² otrzymamy

λ_m−1~ λ^∗m−1~ − λ^∗m~ λm~ = 2m~²,

Skąd wynika równanie różnicowe

|λ_m−1|²− |λ_m|² = 2m.

Stany własne momentu pędu

Wykorzystując związki

hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~ i hjm|J₋|jm + 1i = λ^∗_m~.

w równaniu

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~² otrzymamy

λ_m−1~ λ^∗m−1~ − λ^∗m~ λm~ = 2m~², Skąd wynika równanie różnicowe

|λ_m−1|²− |λ_m|² = 2m.

Stany własne momentu pędu

Wykorzystując związki

hjm + 1|J₊|jmi = λ_m~ i hjm|J₋|jm + 1i = λ^∗_m~.

w równaniu

hjm|J₊|jm − 1i hjm − 1|J₋|jmi − hjm|J₋|jm + 1i hjm + 1|J₊|jmi

= 2m~² otrzymamy

λ_m−1~ λ^∗m−1~ − λ^∗m~ λm~ = 2m~², Skąd wynika równanie różnicowe

|λ_m−1|²− |λ_m|² = 2m.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m = 2m. Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² =

C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m = 2m. Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m = 2m. Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

− m²+ m + m²+ m = 2m. Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m =

2m. Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m =2m.

Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m = 2m.

Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Zauważmy, że λm może zależeć nie tylko od m, ale również od j . Rozwiązanie ogólne naszego równania różnicowego ma postać

|λ_m|² = C − m(m + 1),

gdzie C jest dowolną stałą niezależną od m, która jednak może zależeć od j .

Rzeczywiście

|λ_m−1|²− |λ_m|² = C − (m − 1)m − [C − m(m + 1)]

= − m²+ m + m²+ m = 2m.

Oczywiście musi zachodzić

|λ_m|²  0.

Stany własne momentu pędu

Ponieważ gałęzie paraboli g (m) są skierowane w dół, todla m < m2 i m > m1 mamy

g (m) = |λm|² < 0, co daje sprzeczność.

Aby zapewnić spełnienie otrzymanych wcześniej równań ( (m⁰⁰− m − 1) hjm⁰⁰|J₊|jmi = 0,

(m⁰⁰− m + 1) hjm⁰⁰|J₋|jmi = 0

możemy przyjąć, że dla górnej wartości m, tzn. m = m1, zachodzi hjm₁+ 1|J+|jm₁i = 0,

co zapewnia spełnienie pierwszego równania, a zarazem gwarantuje, że największa wartość własna operatora J3 nie przekroczy m1~. jest na

Stany własne momentu pędu

Ponieważ gałęzie paraboli g (m) są skierowane w dół, to dla m < m2 i m > m1 mamy

g (m) = |λm|² < 0, co daje sprzeczność.

Aby zapewnić spełnienie otrzymanych wcześniej równań ( (m⁰⁰− m − 1) hjm⁰⁰|J₊|jmi = 0,

(m⁰⁰− m + 1) hjm⁰⁰|J₋|jmi = 0

możemy przyjąć, że dla górnej wartości m, tzn. m = m1, zachodzi hjm₁+ 1|J+|jm₁i = 0,

co zapewnia spełnienie pierwszego równania, a zarazem gwarantuje, że największa wartość własna operatora J3 nie przekroczy m1~. jest na

Stany własne momentu pędu

Ponieważ gałęzie paraboli g (m) są skierowane w dół, to dla m < m2 i m > m1 mamy

g (m) = |λm|² < 0, co daje sprzeczność.

Aby zapewnić spełnienie otrzymanych wcześniej równań ( (m⁰⁰− m − 1) hjm⁰⁰|J₊|jmi = 0,

(m⁰⁰− m + 1) hjm⁰⁰|J₋|jmi = 0

możemy przyjąć, że dla górnej wartości m, tzn. m = m1, zachodzi hjm₁+ 1|J+|jm₁i = 0,

co zapewnia spełnienie pierwszego równania, a zarazem gwarantuje, że największa wartość własna operatora J nie

Stany własne momentu pędu

Ponieważ gałęzie paraboli g (m) są skierowane w dół, to dla m < m2 i m > m1 mamy

g (m) = |λm|² < 0, co daje sprzeczność.

Aby zapewnić spełnienie otrzymanych wcześniej równań ( (m⁰⁰− m − 1) hjm⁰⁰|J₊|jmi = 0,

(m⁰⁰− m + 1) hjm⁰⁰|J₋|jmi = 0

możemy przyjąć, że dla górnej wartości m, tzn. m = m1, zachodzi hjm₁+ 1|J+|jm₁i = 0,

co zapewnia spełnienie pierwszego równania, a zarazem gwarantuje, że największa wartość własna operatora J3 nie przekroczy m₁~. jest na

Stany własne momentu pędu

Z kolei drugie równanie można spełnić przyjmując, że dla najmniejszej dopuszczalnej wartości m, m = m₂, zachodzi

hjm₂|J₋|jm₂+ 1i = 0.

Dlategonajwiększą dopuszczalną wartością własną operatora J3

jest m₁,

a najmniejszą dopuszczalną wartością własną operatora J₃ jest m2+ 1,

m₂+ 1 ¬ m ¬ m₁.

Wykorzystując obliczone wartości m₁ i m₂ dostaniemy m2+ 1= −1

2− 1 2

√

1 + 4C + 1 = 1 2− 1

√

1 + 4C =−m₁.

Stany własne momentu pędu

Z kolei drugie równanie można spełnić przyjmując, że dla najmniejszej dopuszczalnej wartości m, m = m₂, zachodzi

hjm₂|J₋|jm₂+ 1i = 0.

Dlategonajwiększą dopuszczalną wartością własną operatora J3

jest m₁,a najmniejszą dopuszczalną wartością własną operatora J₃ jest m2+ 1,

m₂+ 1 ¬ m ¬ m₁.

Wykorzystując obliczone wartości m₁ i m₂ dostaniemy m2+ 1= −1

2− 1 2

√

1 + 4C + 1 = 1 2− 1

√

1 + 4C =−m₁.

Stany własne momentu pędu

Z kolei drugie równanie można spełnić przyjmując, że dla najmniejszej dopuszczalnej wartości m, m = m₂, zachodzi

hjm₂|J₋|jm₂+ 1i = 0.

Dlategonajwiększą dopuszczalną wartością własną operatora J3

jest m₁, a najmniejszą dopuszczalną wartością własną operatora J₃ jest m2+ 1,

m₂+ 1 ¬ m ¬ m₁.

Wykorzystując obliczone wartości m₁ i m₂ dostaniemy m2+ 1= −1

2− 1 2

√

1 + 4C + 1 = 1 2− 1

√

1 + 4C =−m₁.

Stany własne momentu pędu

Z kolei drugie równanie można spełnić przyjmując, że dla najmniejszej dopuszczalnej wartości m, m = m₂, zachodzi

hjm₂|J₋|jm₂+ 1i = 0.

Dlategonajwiększą dopuszczalną wartością własną operatora J3

jest m₁, a najmniejszą dopuszczalną wartością własną operatora J₃ jest m2+ 1,

m₂+ 1 ¬ m ¬ m₁.

Wykorzystując obliczone wartości m₁ i m₂ dostaniemy m2+ 1= −1

2− 1 2

√

1 + 4C + 1 = 1 2− 1

√

1 + 4C =−m₁.

Stany własne momentu pędu

Z kolei drugie równanie można spełnić przyjmując, że dla najmniejszej dopuszczalnej wartości m, m = m₂, zachodzi

hjm₂|J₋|jm₂+ 1i = 0.

Dlategonajwiększą dopuszczalną wartością własną operatora J3

jest m₁, a najmniejszą dopuszczalną wartością własną operatora J₃ jest m2+ 1,

m₂+ 1 ¬ m ¬ m₁.

Wykorzystując obliczone wartości m₁ i m₂ dostaniemy m2+ 1= −1

2− 1 2

√

1 + 4C + 1 = 1 2− 1

√

1 + 4C =−m₁.

Stany własne momentu pędu

Czylim zmienia się co 1 w zakresie

−m₁¬ m ¬ m₁.

Aby to było możliwe, to różnica maksymalnej i minimalnej wartości m musi być liczbą całkowitą

m₁− (−m₁) = 2m₁= 0, 1, 2, . . . ,

a więc

m1 = 0,1 2, 1,3

2, . . . Dla m = m₁ zachodzi

C − m1(m1+ 1) = 0 ⇒ C = m1(m1+ 1).

Stany własne momentu pędu

Czylim zmienia się co 1 w zakresie

−m₁¬ m ¬ m₁.

Aby to było możliwe, to różnica maksymalnej i minimalnej wartości m musi być liczbą całkowitą

m₁− (−m₁) = 2m₁= 0, 1, 2, . . . , a więc

m1 = 0,1 2, 1,3

2, . . .

Dla m = m₁ zachodzi

C − m1(m1+ 1) = 0 ⇒ C = m1(m1+ 1).

Stany własne momentu pędu

Czylim zmienia się co 1 w zakresie

−m₁¬ m ¬ m₁.

Aby to było możliwe, to różnica maksymalnej i minimalnej wartości m musi być liczbą całkowitą

m₁− (−m₁) = 2m₁= 0, 1, 2, . . . , a więc

m1 = 0,1 2, 1,3

2, . . . Dla m = m₁ zachodzi

C − m1(m1+ 1) = 0 ⇒ C = m1(m1+ 1).

Stany własne momentu pędu

Czylim zmienia się co 1 w zakresie

−m₁¬ m ¬ m₁.

Aby to było możliwe, to różnica maksymalnej i minimalnej wartości m musi być liczbą całkowitą

m₁− (−m₁) = 2m₁= 0, 1, 2, . . . , a więc

m1 = 0,1 2, 1,3

2, . . . Dla m = m₁ zachodzi

C − m1(m1+ 1) = 0 ⇒ C = m1(m1+ 1).

Stany własne momentu pędu

Musimy jeszcze znaleźć postać funkcji f (j ).

Odwróćmy związki ( J+= J1+ iJ2

J−= J₁− iJ₂

⇒

( J1 = ¹₂(J++ J−) J₂ = _2i¹ (J₊− J₋) i obliczmy

J~² = J₁²+ J₂²+ J₃²

= 1

J₊² + J₋² + J₊J−+ J−J₊− J₊² − J₋² + J₊J−+ J−J₊+ J₃²

= 1

2(J₊J−+ J−J₊) + J₃².

Stany własne momentu pędu

Musimy jeszcze znaleźć postać funkcji f (j ).

Odwróćmy związki ( J+= J1+ iJ2

J−= J₁− iJ₂ ⇒

( J1 = ¹₂(J++ J−) J₂ = _2i¹ (J₊− J₋)

i obliczmy

J~² = J₁²+ J₂²+ J₃²

= 1

J₊² + J₋² + J₊J−+ J−J₊− J₊² − J₋² + J₊J−+ J−J₊+ J₃²

= 1

2(J₊J−+ J−J₊) + J₃².

Stany własne momentu pędu

Musimy jeszcze znaleźć postać funkcji f (j ).

Odwróćmy związki ( J+= J1+ iJ2

J−= J₁− iJ₂ ⇒

( J1 = ¹₂(J++ J−) J₂ = _2i¹ (J₊− J₋) i obliczmy

J~² =

J₁²+ J₂²+ J₃²

= 1

J₊² + J₋² + J₊J−+ J−J₊− J₊² − J₋² + J₊J−+ J−J₊+ J₃²

= 1

2(J₊J−+ J−J₊) + J₃².

Stany własne momentu pędu

Musimy jeszcze znaleźć postać funkcji f (j ).

Odwróćmy związki ( J+= J1+ iJ2

J−= J₁− iJ₂ ⇒

( J1 = ¹₂(J++ J−) J₂ = _2i¹ (J₊− J₋) i obliczmy

J~² = J₁²+ J₂²+ J₃²

= 1

J₊² + J₋² + J₊J−+ J−J₊− J₊² − J₋² + J₊J−+ J−J₊+ J₃²

= 1

2(J₊J−+ J−J₊) + J₃².

Stany własne momentu pędu

Musimy jeszcze znaleźć postać funkcji f (j ).

W dokumencie Operator momentu pędu Składanie stanów własnych operatora momentu pędu Karol Kołodziej (Stron 21-149)