Operator momentu pędu Składanie stanów własnych operatora momentu pędu Karol Kołodziej

Operator momentu pędu

Składanie stanów własnych operatora momentu pędu

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację, czyli bazę wektorów własnych, w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację, czyli bazę wektorów własnych, w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,

a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację, czyli bazę wektorów własnych, w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,

to możemy wybrać reprezentację, czyli bazę wektorów własnych, w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację,

czyli bazę wektorów własnych, w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację,czyli bazę wektorów własnych,

w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację, czyli bazę wektorów własnych,w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Definicja operatora momentu pędu

Operator momentu pędu ~J jest tooperator hermitowski, który spełnia następujące związki komutacyjne

[Ji, Jj] = i ~εijkJ_k, dla i , j = 1, 2, 3.

Zadanie. Pokazać, że

hJ~², J_iⁱ= 0 i J~^{2 †}= ~J², dla i = 1, 2, 3.

Ponieważ operator ~J² komutuje ze składowymi operatora ~J,a te nie komutują z sobą,to możemy wybrać reprezentację, czyli bazę wektorów własnych, w której jedna ze składowych ~J, np. J₃ iJ~² są diagonalne.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi,

gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane, tzn.

jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰, gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane, tzn.

jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰, gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane, tzn.

jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰, gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j .

Założymy również, że stany |jmi są unormowane, tzn. jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰,

gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane,

tzn. jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰,

gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane,tzn.

jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰,

gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane, tzn.

jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰, gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wektory własne operatorówJ~² iJ3 będziemy numerować liczbami j im,o których wiemy tylko, że są liczbami rzeczywistymi, gdyż operatoryJ~² iJ₃ są hermitowskie.

Przez analogię do operatora orbiatalnego momentu pędu przyjmijmy, że

J~² |jmi = f (j)~²|jmi , J3 |jmi = m~ |jmi ,

gdzief (j ) jest dowolną, różnowartościową funkcją j . Założymy również, że stany |jmi są unormowane, tzn.

jm|j⁰m⁰= δ_jj⁰δ_mm⁰, gdzie δ_jj⁰ jest deltą Kroneckera lub Diraca.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=

f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰, jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰

= m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ =

m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=

m~δjj⁰δ_mm⁰.

Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰.

Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓.

Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Wówczas elementy macierzowe operatorów ~J² i J3 mają postać Djm| ~J²|j⁰m^0E = f (j⁰)~²jm|j⁰m⁰=f (j )~²δ_jj⁰δ_mm⁰,

jm|J₃|j⁰m⁰ = m⁰~jm|j⁰m⁰=m~δjj⁰δ_mm⁰. Zdefiniujmy operatory

J±= J1± iJ₂ ⇒ J_±^† = J∓. Zadanie. Pokazać, że

[J₃, J₊] = ~J+, [J₃, J−] = −~J−, [J₊, J−] = 2~J3.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰ j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e^{0E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰ j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e^{0E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰ j⁰m⁰|

gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰ j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e^{0E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.

Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰ j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e^{0E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Rozważmy element macierzowy równania

[J₃, J₊] = ~J+ ⇒ J₃J₊− J₊J₃= ~J+

j⁰⁰m⁰⁰|J₃J+|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J₊J3|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm. Skorzystajmy z relacji zupełności stanów własnych operatora momentu pędu i konwencji sumacyjnej

I = X

j⁰m⁰

|j⁰m⁰ j⁰m⁰| + Z

|˜j⁰m_e^{0E D}j˜⁰m_e⁰| d˜j⁰dm_e⁰ ≡ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| gdzie sumujemy po dyskretnym i całkujemy po ciągłym zakresie widma operatorów ~J² i J3, a po prawej stronie relacji ≡

pominęliśmy symbole sumowania i całkowania.Wstawiając operator jednostkowy pomiędzy operatory J₃ i J₊ dostaniemy

j⁰⁰m⁰⁰|J₃ |j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₊|jmi − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰| J₃|jmi

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

j⁰⁰m⁰⁰|J₃|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₃|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora J3. m⁰~j⁰⁰m⁰⁰|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰m~j⁰m⁰|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm

Wykorzystajmy normalizację stanów |jmi

m⁰~δj⁰⁰j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − m~δj⁰jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm i wykonajmy sumowanie po j⁰ i m⁰, wtedy otrzymamy

m⁰⁰~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm− m~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

j⁰⁰m⁰⁰|J₃|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₃|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora J3. m⁰~j⁰⁰m⁰⁰|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰m~j⁰m⁰|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm Wykorzystajmy normalizację stanów |jmi

m⁰~δj⁰⁰j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − m~δj⁰jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm i wykonajmy sumowanie po j⁰ i m⁰, wtedy otrzymamy

m⁰⁰~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm− m~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

j⁰⁰m⁰⁰|J₃|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₃|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora J3. m⁰~j⁰⁰m⁰⁰|j⁰m⁰ j⁰m⁰|J₊|jm − j⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰m~j⁰m⁰|jm

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm Wykorzystajmy normalizację stanów |jmi

m⁰~δj⁰⁰j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J₊|jm − m~δj⁰jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J₊|j⁰m⁰

= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm i wykonajmy sumowanie po j⁰ i m⁰, wtedy otrzymamy

m⁰⁰~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm− m~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= ~j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1
j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~² = 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²|j⁰m^0Ej⁰m⁰|J_±|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m^0Dj⁰m⁰| ~J²|jm^E= 0.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1
j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~²= 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²|j⁰m^0Ej⁰m⁰|J_±|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m^0Dj⁰m⁰| ~J²|jm^E= 0.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1
j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~²= 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²|j⁰m^0Ej⁰m⁰|J_±|jm−j⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m^0Dj⁰m⁰| ~J²|jm^E= 0.

Stany własne momentu pędu

Podzielmy obie strony przez ~, przenieśmy wyraz z prawej strony równania na lewą i wyłączmy element macierzowy operatora J+

poza nawias, wówczas otrzymamy

m⁰⁰− m − 1
j⁰⁰m⁰⁰|J₊|jm= 0.

Zauważmy, że ponieważ

hJ~², J_iⁱ= 0, i = 1, 2, 3 ⇒ ^hJ~², J±

i= 0.

Obliczmy element macierzowy komutatora J~²J±− J±J~²= 0.

Dj⁰⁰m⁰⁰| ~J²J±|jm^E−^Dj⁰⁰m⁰⁰|J_±J~²|jm^E= 0,

a wstawiając odpowiednio operator jednostkowy |j⁰m⁰i hj⁰m⁰| otrzymamy

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )
j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli

f (j⁰⁰) = f (j ) ⇔ j⁰⁰= j , gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )
j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli f (j⁰⁰) = f (j )

⇔ j⁰⁰= j , gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,

Stany własne momentu pędu

Skorzystajmy z faktu, że |jmi są stanami własnymi operatora ~J² i z przyjętej normalizacji stanów

f (j⁰)~²δ_j⁰⁰_j⁰δ_m⁰⁰_m⁰j⁰m⁰|J_±|jm− f (j)~²δ_j⁰_jδ_m⁰_mj⁰⁰m⁰⁰|J_±|j⁰m⁰= 0.

Dzieląc obie strony przez ~² i wykonując sumowanie po j⁰ i m⁰ otrzymamy

f (j⁰⁰) − f (j )
j⁰⁰m⁰⁰|J_±|jm= 0.

Równanie to jest spełnione albo jeśli

f (j⁰⁰) = f (j ) ⇔ j⁰⁰= j ,

gdyż funkcja f (j ) jest różnowartościowa,