A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 99 J e s t to najw idoczniej pom yłka. Po u w zględnieniu tej pom yłki w y
nika z w yk resu 3 c [31], że u k ład byłby stabilny. Tym czasem ta k do
b ran y sztuczny łu k m a c h a ra k te ry sty k ę p rzed staw ioną n a rys. 25.
W tym p rzy p a d k u p ro sta oporu 1 p rzecina c h a ra k te ry sty k ę w trzech punktach, z k tó ry c h p u n k t 2 (rys. 25) jest niestabilny; u k ład m usi p rze skoczyć do p u n k tu 1 lu b 3. Tego fa k tu dośw iadczalnego teo ria więc nie potw ierdza.
B łąd polega tu na zb y tn im uproszczeniu układu. W zmacniacz z rys.
1 c [31] ma, ja k to w idać na rys. 3 c [31], p rzy częstotliw ości co = oo jeszcze w zm ocnienie =1= 0, je s t więc układ em zupełnie nierealnym .
Rys. 25. C h a ra k te ry sty - Rys. 26. W ykres w y (iin) d la sztucz
k a sztucznego łu k u nego lu k u połączonego z obw odem rezonansow ym
U w zględnienie tego, że rea ln y wzm acniacz dla co = oo m a wzm ocnie
nie ró w ne zeru (np. przez uw zględnienie pojem ności w ejściow ej lamp), prow adzi do w y k resu przedstaw ionego na rys. 26, z którego widać, że uk ład ta k i je s t zaw sze niestab iln y , o ile tylko w zm ocnienie dla p rąd u stałego je s t w iększe od jedności (to znaczy, o ile tylk o ch a ra k te ry sty k a staty czn a m a zakres oporu ujem nego). D opiero ta k i u k ład zastępczy um o
żliw ia opisanie zachow ania się u k ład u rzeczyw istego w sposób popraw ny.
Łatw o spraw dzić, że dopiero w zm acniacz rea ln y odpow iada w a ru n kom postaw ionym w rozdziale 3 i 4 dla oporów ujem nych.
6. Stabilność dla dużych pobudzeń
D otychczasow e rozw ażania dotyczyły ty lko stabilności dla m ałych pobudzeń. Stabilność dla dużych pobudzeń rozpatrzym y n a podstaw ie m etody N y ą u ista dla obwodów nielin io w ych [21], [27], [28], [29], Rozważa
nia przeprow adzim y n a oporze u je m n y m k lasy J . W ty m przy pad ku E (t) = U u (t) + U (t).
1 J e s t to opór czynny dla p rą d u stałego obw odu rów noległego, ró w n y tu ta j zeru.
È
100 A d a m M acura
S tosując tran sfo rm ację L aplace’a-C arsona otrzym am y:
% E (t) = <£c Uu (i) + % U (t),
ale 9?c E (t) — E (p),
% U ( t ) = U(p) = J(p) Y (p)
Załóżm y, że elem en ty b iern e oporu ujem nego włączone są w skład Y (p), a więc w elem encie 1 (rys. 27) p rąd jest funkcją jedynie napięcia, J (t) = f [Uu (i)] c h a ra k te ry sty k a tego elem en tu jest więc bezpętlowa.
E(t)
J M /
u j t )
1
i ?
U(t) Rys. 27. Połączenie oporu ujem nego
z d w ójnikiem pasyw nym
Załóżm y na początku, że napięcie na oporze u jem n y m zm ienia się skokowo:
U u (P) = Um, w ted y p rą d J (t) zm ienia się rów nież skokiem.
Można dla tego przyp ad k u napisać operatorow o:
J, (P) = [Uu (p)]
i u tw orzyć adm itancję operatorow ą:
y . (p) = A ( E U i ! i M p S ,
U „ (p) U , ( p )
gdzie lite ra s oznacza, że w te n sposób określona ad m itan cja w ażna jest jedynie dla U u (t) zm ieniającego się skokowo h W tym przypadku Y s (P) jest fu n k cją jed y n ie „ a m p litu d y “ napięcia Um.
Jeżeli napięcie na oporze u jem n y m zm ienia się sinusoidalnie, to m ożem y napisać:
Y~(P> = - (P), U u (p)
gdzie znaczek ~ oznacza, że ad m itan cja określona w ten sposób ważna jest jedy nie dla napięcia sinusoidalnego. W obu przypadkach m am y za
tem :
j , . E (p) Y ( p ) Y u (p) Y(p) + Y„(p) ’
1 To znaczy, jeżeli Uu (t) m a k sz ta łt skoku, im pulsu .prostokątnego lub ciągu im pulsów prosto k ątn y ch .
A n a liza w łasności oporów u je m n y ch 101 gdzie Y u (p) rów ne je st odpow iednio Ys (p) lub Y _(p), zaś E (t) m a k ształt funkcji skokowej E (p) = E. Po załączeniu E (t) pow stanie na oporze ujem nym napięcie U u (t), k tó re w pierw szej chw ili m ożna aproksym ow ać funkcją skokową lub sinusoidą. Stabilność takiego u k ład u m ożna teraz zbadać za pom ocą k rzyw ych N y ąu ista. W ty m celu należy narysow ać krzyw ą ,Y (ico) i zbadać, czy odpow iedni p u n k t krzyw ej Yu (iw) odpo
w iadający danem u napięciu leży w ew n ątrz czy też zew nątrz krzyw ej Y (ico)[27], [28], [29],
P u n k t leżący w e w n ątrz krzy w ej oznacza, że J (p) m a dla danej w a r
tości Um biegu ny n a p raw e j półpłaszczyźnie, u&ład jest w ięc n iesta
bilny — p rą d J (t) n a ra sta. Tym sam ym w zrasta rów nież i Um pow odu
jąc dalsze p rzesunięcie się odpow iadającego m u p u n k tu krytycznego aż do p u n k tu przecięcia się c h a ra k te ry sty k Y (ico) i Yu (ico).
K rzy w a Y u (ico) m oże się przecinać z krzy w ą Y (ico) w kilk u p u n k tach. K ażdy p u n k t odpow iada pew nem u stanow i rów now agi. D la da
nego u k ład u możemy- m ieć w ięcej niż jed en sta n rów now agi, należy w obec tego stw ierdzić, czy dan y stan jest stanem rów now agi stabil
nej czy nie. Jeżeli zw iększenie Um w okolicy danego p u n k tu pow oduje w yjście p u n k tu krytyczn eg o poza c h a ra k te ry sty k ę Y (iw), to stan rów now agi w danym punkcie jest stan em rów now agi stabilnej; TJm .odpo
w iadające tem u p u n k to w i (odczytane z k rzyw ej Y„(ico) jest zatem na
pięciem u stalon y m na oporze u jem n y m ; oj odpow iadające tem u p u n k to wi (odczytane z krzyw ej Y (ico)) jest częstotliw ością ustalo ny ch drgań w układzie.
M usim y w ty m m iejscu odróżnić zagadnienie stabilności w danym punkcie pracy, od zagadnienia stabilności am p litu d y ustalon ych drgań.
W pierw szej części p racy ro zp atry w ano ty lk o pierw sze zagadnienie i to dla m ałych pobudzeń.
Jeżeli p u n k t przecięcia w yznacza nam jak o częstotliw ość co = 0, to m am y do czynienia z pierw szy m zagadnieniem , jeżeli zaś częstotliwość co 4=. 0, to m am y do czynienia z d ru g im zagadnieniem .
Pierw szy rodzaj stabilności nazyw ać będziem y dalej stabilnością u k ła du w punkcie pracy, zaś drugi rodzaj stabilnośoią am plitudy drgań.
Z kolei p rzed staw im y w y k ręs Ys (ico) i Y ~ (ico) dla c h a ra k te ry sty k oporu ujem nego I klasy.
6.1. Obliczenie Ys(ico)
a) D la c h a ra k te ry sty k i przedstaw ionej n a rys. 28 m am y:
102 A d a m Macura
zatem
Ys (p) = a Um2 — Gu.
W dalszym ciągu operow ać będziem y fu n kcją
— Y s (ico) = Gu - a Um2.
u jem nego klasy I
b. D la c h a ra k te ry sty k i p rzedstaw ionej na rys. 29 a m am y:
J (t) = b Uu5 (t) - a Uu3 (t) - G , Uu (t), a więc
Ys («o) = Gu + a Um2 b Um4.
(30)
(31)
Rys. 29. F a lis ta c h a ra k te ry sty k a oporu u jem nego k lasy I
c. D la bardziej falistej c h a ra k te ry sty k i m ielibyśm y (rys. 29 b):
J (t) = c Uu‘ (t) - b Uu5(t) + a Uu3(t) - G u Uu (t), a więc
- Y s (iw) = G u- a u m2 + b U,,,4 - c U J . (32) W ykresy fu n k cji — Ys (ico) są przedstaw ione w n astęp ny ch ustępach.
6.2. Obliczenie Y ~ (ico)
a) D la c h a ra k te ry sty k i p rzedstaw ionej n a rys. 28 m am y:
J ( t ) = a U J (t) - Gu U u (t),
A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 103 a więc przy
U u (t) = Um sin co t
J(t) j g TJn? Gu sin cut — aUm* sin 3 cot,
\ 4 / 4
zatem
skąd
? n T la U J — Gu UmJ3 ___ n T l \ P f l ___________ L T l 3 3 P “
J(p) = (— a U ms — G u Um| - a 17.
p2 -)- to2 4 p2 - j - 9or ’
— Y ~ (p )= G„ — - a U j + - a U .3 „ T l l \ _ L 3 „ T 7 2 P 2 +‘2 ^ C 0 2
4 / 4 p 2 + 9co2 o trzy m am y w ted y dla — Y_(ico):
— Y~(ico)=— - a l / m2 + Gu , 4
Y ~ (ico) nie je s t więc zależne od co.
b) D la c h a ra k te ry sty k i przed staw ion ej na rys. 29 a m am y odpow ied
nio:
— Y ~ (i(o )= G „ + - a Um2 — — bUm ,
4 8
c) D la bardziej falistej c h a ra k te ry sty k i otrzym am y (rys. 29 b):
— Y~ (ico) = Gu — - a Um2 + - b Um4 — — c Umc .
4 8 64
W ykresy ty ch fu n k cji są tak ie sam e ja k dla Ys (iw), tylko ocyfrow anie k rzy w y ch (przez Um) je st inne. W e w szystkich p rzy p a d k a c h krzyw e za
cz y n ają się od tej sam ej w arto ści Gu.
Z arów no Ys (¿co), ja k i Y~ (ico) są więc fu n k cjam i jed y n ie a m p litu dy Um.
M etoda N y q u ista dla obw odów nieliniow ych m a c h a ra k te r m etody przybliżonej. W yniki otrzy m an e tą m etodą będą tym ściślejsze, im b a r
dziej k sz ta łt napięcia na oporze u je m n y m będzie odpow iadał założonem u przebiegow a (sinusoidzie lub n apięciu p rostokątnem u). Mimo to m e
toda ta d a je n a w e t p rzy znacznych odchyleniach k ształtu napięcia na oporze u jem n y m od założonego, jakościow o dobre w yniki.
W zależności od przew id yw an eg o k sz ta łtu napięcia n a oporze u je m nym , stosow ać m ożna bądź Ys (ico), bądź Y~(iw). Je d n a k w yniki otrzym y
w ane w obu p rzy p ad k ach różnią się ty lk o ilościowo. W skazuje to na dużą elastyczność m etody.
104 A d a m M acura sinusoidalne, w yniki są jakościowo zupełnie popraw ne.
A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 105
6.4. Układ: opór ujem ny — obwód R L (rys. 32)
M am y tu ta j:
y (¿w) = i R “I- i coU
O dpow iednie krzyw e przedstaw iono n a rys. 33, z którego w ynika, że dla G < Gj m am y do czynienia ze stabilnością p u n k tu pracy dla m ałych pobudzeń, co zgodne je s t z teorią liniow ą (p atrz [121).
Rys. 32. U kład: opór u je m n y k lasy I —
obw ód R L
Rys. 33. W ykres Y(iu>) dla u k ła d u z rys. 32
P rz y założeniu prostok ątn ego napięcia na oporze u jem n y m u k ład b y ł
by stab iln y, gdyby napięcie na oporze ujem n y m nie przekroczyło w a r
tości: _______ .
, — G . U„
w ty m p rzy p ad k u napięcie u stalone w yniosłoby:
Ui = 0
Je ślib y pobudzenie przekroczyło tę w artość, to napięcie osiągnęłoby w artość:
u ' = V t
-Pow yższe w y niki są zupełnie niezgodne z rzeczyw istością.
6.5. Układ: opór ujemny — obwód rów noległy R L C (rys. 34)
K rzyw e Y (¿co) przed staw io ne są n a rys. 35. P u n k t odpow iadający U:n = 0 (1) z n a jd u je się w ew n ątrz krzy w ej Y (¿co), układ jest niestabilny w ty m p u nk cie dla pobudzeń każdej wielkości.
P rzy założeniu sinusoidalnego napięcia otrzym am y u staloną am pli
tu d ę z w yrażenia:
— y . m =
4
- >p
106 A d a m M acura
a wiąc
Um =
]/
Gu RC
W artość ta jest zgodna z w artościam i otrzym yw anym i innym i m eto
dami.
W arunkiem stabilności jest tu ta j:
Gu < — . L
J e st to stabilność dla pobudzeń dow olnej wielkości.
r
L I L i R
Rys. 34. U kład: opór u je m n y klasy I — obw ód rów noległy
RLC
Rys. 35. W ykres Y (iw) dla u k ła d u z rys. 34
-'OT'
L
• r
T
Rys. 36. U kład: opór ujem n y k la sy I L 0
— obw ód rów noległy R L C
Rys. 37. W ykres Y (im) dla u k ła d u z rys. 36
6.6. Układ: opór ujem ny L 0 — obwód rów noległy R L C (rys. 36)
K rzy w e p rzedstaw ione są na rys. 37.
U kład byłby w punkcie 1 stab iln y dla m ałych pobudzeń, n iestabiln y zaś dla dużych. S tab iln a am p litu d a napięcia ustalonego w ynosiłaby tu:
U, y 3 a ’
a częstość d rg ań co oo. Również i te w yniki nie są zgodne z rzeczyw i
stością.
A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 107
6.7. Układ: opór ujem ny — szeregowy obwód R L C (rys. 38)
K rzyw e Y (ioj) przedstaw ione są na rys. 39. O m aw iany tu u k ład byłby w punkcie 1, ja k to w ynika z rys. 39, stabilny dla m ałych pobudzeń,
zaś ustalon e napięcie po dużym pobudzeniu w ynosiłoby (przy założeniu p rostokątn eg o napięcia n a oporze ujem nym ):
a więc w arto ść zgodną z rzeczyw istością. Jed y n ie istn ien ie tu stabil
ności dla m ałych pobudzeń (zgodnie zresztą z liniow ą teo rią — p a trz [12]) je s t niezgodne z rzeczyw istością.
6.8. Układ: opór ujem ny — C0 — obwód szeregowy R L C (rys. 40)
K rzy w e Y (ico) przed staw ion e są na rys. 41.
W ty m p rzy p ad k u u k ła d jest n iestab iln y w punkcie 1 dla pobudzeń każdej w ielkości, zgodnie z rzeczyw istością. Również napięcie ustalone,
U k ła d : opór u je m n y k la sy I — ob
w ód sz ere
gow y R LC
G.. ---—
Rys. 39. W ykres Y (ico) dla u k ła d u z rys. 38
E
u je m n y m a sy i, u 0
— obw ód szeregow y R L C
U G„, -J
Rys. 41. W ykres Y (ito) dla u k ła d u z rys. 40
108 A d a m M a cu ra
przy założeniu prostokątnego napięcia na oporze ujem nym , jest zgodne z rzeczyw istością:
Jeżeli c h a ra k te ry sty k a oporu ujem nego jest falista (rys. 29 a), to dla u k ład u przedstaw ionego na rys. 34 o trzym am y c h a ra k te ry sty k i zilustro
w ane na rys. 42. J a k widać z ry su n k u , u k ład jest stab iln y w punkcie 1 (Um = 0) dla m ałych pobudzeń. P u n k t 2 odpowiada niestabilnej am pli
tudzie drgań, przypadkow e zm niejszenie się am p litudy spow oduje za
niknięcie, zaś zwiększenie am p litu d y — n a ra stan ie drgań, aż do w a r
tości odpow iadającej p u n k to w i 3. P u n k t te n w yznacza stab iln ą am p li
tu d ę drgań. •
W tym przy p ad k u zgodnie z ręczyw istością może być:
a drgan ia w zbudzone przez duże pobudzenie m ogą istnieć.
6.10. Istnienie w zależności od sposobu wzbudzenia dwóch stabilnych amplitud w układzie oporu ujemnego z równoległym obwodem rezonansowym
Jeżeli m am y do czynienia z jeszcze bardziej falistą ch arak tery sty k ą, to w układzie tak im m ożna zaobserw ow ać, w zależności od sposobu w zbudzenia, d rg an ia o różnej am plitudzie. A proksym ując c h a ra k te ry stykę k rzyw ą siódm ego sto p n ia p k t 6.2, (rys. 29 b), otrzym am y cha
ra k te ry s ty k i przedstaw ione na rys. 43.
J a k widać z ry su n k u , u k ład jest niestab iln y w punkcie 1, przy czym u sta lą się d rg an ia o stab iln ej am plitudzie odpow iadającej punktow i 2. Je ślib y pobudzenie przekroczyło am p litudę odpow iadającą p u nktow i 3,
6.9 „Twarde” samowzbudzenie obwodu równoległego
Rys. 42. W ykres Y (im) d la u k ła d u z rys. 34 p rzy c h a ra k te ry sty c e z rys. 29
>
A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 109 to am p litu d a narośnie do w artości odpow iadającej pun k to w i 4. P u n k ty 2 i 4 odpow iadają zatem stab iln ej am plitudzie drgań, p u n k t 3 zaś nie
stabilnej.
Rys. 43. W ykres Y (im) d la u k ła d u z rys. 34 p rz y b ard z o fa liste j ch a ra k te ry sty c e
6.11. Stabilność punktu pracy na wznoszącej się części charakterystyki
W układ zie J' (t), U'u (t) c h a ra k te ry sty k a m a postać:
J ’u (t) = a U'as (t) - 3a U o U'u2 (t) + (3a U02 - G u) U 'a (t), a ty m sam ym
— Ys (iro) = — a Um2 + 3a U0 Um - (3a U02 - Gu).
Jeżeli znajdujem y- się n a wznoszącej się części c h arak tery sty k i, to 3a Uo2 — G a > 0 .
K ształt — Ys (ico) przed staw io n y je s t n a rys. 44, przy czym - Y m = - - a U 02 + G „.
4
PpIJ(iaj) Rys. ’44. W ykres Y (iw) dla u k ła d u : opór u je m ny k la sy I —- opór rzeczyw isty, gdy p u n k t pracy zn a jd u je się n a w znoszącej się części c h a ra k te
ry sty k i
W układzie z oporem czynnym i pojem nością (rys. 31) otrzym am y stabilność p u n k tu p rac y dla pobudzeń każdej wielkości, gdy
G > |Y m|, a więc
G > Ga
co odpowiada, ja k łatw o się przekonać, przypadkow i, w k tó ry m p ro sta oporu przecina c h a ra k te ry sty k ę statyczną tylko w jed ny m punkcie (U'm = 0).
110 A d a m Macura
Stabilność p u n k tu pracy dla m ałych pobudzeń otrzym am y, gdy G < j Ym| ;
w ted y pro sta oporu przecina c h a ra k te ry sty k ę statyczną w trzech p u n k tach.
K ry ty czn ą w ielkość pobudzenia Uzk otrzym am y z równości G = — Ys (ico),
U** = f u o - j / { u o2 - 3 U 0 Ga
gdzie Uzk jest, jak m ożna się łatw o przekonać, w spółrzędną środkow e
go p u n k tu przecięcia się p ro stej oporu z c h a ra k te ry sty k ą statyczną (pkt 2 na rys. 45). Dla pobudzeń w iększych od TJzk układ przeskoczy do
Rys. 45. C h a ra k te ry sty k a oporu u je m nego
p u n k tu 3. W yniki te są całkow icie zgodne z doświadczeniem . Można rów nież wykazać, stosując adm itan cję Y _ (iw), że dla punktów pracy na wznoszącej się części c h a ra k te ry sty k i nie m ogą istnieć drgania o sta bilnej am plitudzie. W tedy bow iem
W obec w a ru n k u
Y~(ioo) = aUm2 — (3a U02 — G „).
4
3a Uo2 ~~ Ga > 0
(znajdujem y się na wznoszącej się części ch arakterystyk i) cała k rzy wa — Y_ (iw) leży na lew ej połowie płaszczyzny p, nie m a więc p u n k tó w przecięcia z k rzyw ą Y (ico).
6.12. Om ówienie artykułu H. Pfeiffera
F akt. że d rg an ia o stab ilnej am plitudzie w obw odzie rów noległym m ogą istnieć tylko p rzy połączeniu obwodu z oporem u jem n ym klasy I, a w obwodzie szeregow ym tylko p rzy połączeniu tegoż obwodu z opo
>
112 A d a m M a cu ra
[9] r . H. HyÖOUIHH, OCHOBbI TeopHH yCTOHKHBOCTH flBHHCeHHH. HsflaTeJibCTBO JViOCKOB-CKoro ymreepcHTeTa, 1952.
[10] C. H. /(poboB, PaflnonepeflaiomHe ycTpoftcTBa. MocKBa 1951.
[11] W. Weizel, R. Rom pe, T heorie E lektrisch er L ichtbögen un d F u n ke n Leipzig
A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 113
[19] J. G roszkow ski, C h a r a k te ry sty k i dyna tro n u . „P rzegląd E le k tro tec h n icz n y ”, n r 23, 1934.
[20] J . G roszkow ski, G eneratory o sta łej częstotliw ości, „P rzegląd R adiotechnicz
n y “, n r 9—10, 1933.
[21] K. Ó . TeoflopMHK, ABTOKOJieöaTenbHbie cHCTeMbi, ¡\locKBa-JIeiiHnrpart 1952.
[22] F. M. Colebrook, T he D ynatron O scilator, Wir. Eng., n r 8, 1931.
[23] J. E. H ouldin, T h e D ynatron O scillator, Ityir. Eng., Aug. 1937.
[24] M. S. Scroggie, A p plications of th e D ynatron, W ir. Eng., Oct. 1933,
[25] E. L G inzton, S ta b ilize d N egative Im pedances, „E lectronics”, Ju ly , Aug. Sept.
1945,
[26] J . L. M errill, T h eo ry o f the N egative Im p ed a n ce C onverter, Bell. Syst. Techn.
Jo u rn ., Ja n . 1951.
[27] E. C. Joh n so n , Sinu so id a l A n a ly sis o f F eedback-C ontrol S y s te m s C ontaining N onlinear E lem ents, A IE E T ransactions, Vol. 69, p a r t I, 1950.
[28] R. J. K och en b erg er, A F requency Response M ethod fo r A n a ly zin g and S y n th e sizin g C ontactor Servo m ech a n ism s, A IEE T ran sactio n s, Vol. 69, p a r t I.
1950.
[29] OcHOBbi aBTOMaraiecKoro peryjmpoBaHHH, ,noß pefl. B. B. CojiOflOBHHKOBa MocKsa 1954.
[30] H. P fe iffe r, Die E rzeugung u n g ed ä m p fter elek trisc h er S ch w in g u n g e n in S e rien u n d P a rallelschw ingkreisen, „Z eitsch rift fü r a n g e w an d te P h y sik ”, n r 11, 1954.
[31] K. S teim el, E in zw e ite r B eitra g zu r Lösung des „ R ukopschen P roblem s“.
„T elefu n k en Z e itu n g “, M ärz 1953.
[32] J . G roszkow ski, In d u k c y jn o ść i oporność u je m n a elem en tu pobudzającego o z a sk o k u napięcia. A rc h iw u m E lek tro tech n ik i, tom II, zeszyt 3—4, 1953.
[33] J. G roszkow ski, O „ indukcyjnojści“ lu k u i „pojem ności“ dynatronu. A rchiw um E le k tro tec h n ik i, to m III, zeszyt 1, 1954.
[34] M. F. G ard n er, J. L. B arn es, T ra n sie n ts in L inear S ystem s, New Y ork 1942.
R ęko p is dostarczono 28 XI I . 1955.