A na liza w łasności oporów u je m n y c h 93 Z p u n k tu w idzenia teo rii obwodów opory u jem n e klasy I i II są więc u kładam i dualnym i. W szczególności oba u k łady zastępcze B ark- h a u sen a są u k ład am i dualnym i. P rz y k ła d y oporów u jem n y ch klasy II m ożna więc otrzym ać przez k o n stru k c ję graficzną [34] z odpow iednich p rzykład ó w dla k lasy I. Na p rzy k ła d z rys. 15 otrzym am y rys. 20.
-Ro
Rys. 20. U k ład zastępczy oporu ujem nego k la sy II
C h a ra k te ry s ty k i am plitudow o-fazow e dla oporów klasy II będziem y ry so w a li n a płaszczyźnie Z (ko), o trzym am y w ted y dla dualn y ch u kładów te sam e k sz ta łty c h a ra k te ry sty k .
C iekaw ym p rzy k ła d em oporu ujem nego klasy II je s t w zm acniacz z p rąd o w y m sprzężeniem zw rotnym . J e st to rów nież uk ład dualny.
5. Stabilność układów zawierających opór ujemny
Jak ik o lw iek u k ła d zaw ierający opór u jem n y przedstaw ić m ożna w po
staci połączenia dw óch d w ójników — oporu ujem nego — i reszty u k ła du, trak to w a n ej jak o dw ójnik. R ozpatryw ać będziem y jedynie układy, które, jako jed y n y ele m en t a k ty w n y zaw ierają opór ujem ny.
5.1 Stabilność układów zawierających opór ujemny klasy I
W obwodzie p rzedstaw ion y m na rys. 21 działa SEM jednostkow a E (p), wówczas
E(p) E Y(p) Y „ (p) • J(p) =
Y(p) + Yu(p) (18)
Y«(P) Y(p) Jtt) E(t)
Q
-y j p > y(p>
Rys. 21. Z ałączenie SEM E (p) na obwód Yu(P), Y (P)
U kład będzie stabilny, jeżeli J (p) nie m a na p raw ej półpłaszczyź- nie p biegunów .
94 A d a m Macura
Licznik w y rażenia nie m a tam biegunów : Y (p) jako adm itancja obwodu pasyw nego,
Y„ (p) jako opór ujem n y klasy I (ustęp 3.2, p u n k t c).
Wobec tego biegunam i J (p) m ogą być ty lko zera m ianow nika. W aru n
kiem stabilności je s t zatem :Y (p) + Yu (p) nie m a zer na prawej pół- płaszczyźnie. B adanie tego w a ru n k u m ożna w ykonać przy użyciu m e
tody podanej w ustępie 3.2. Zaznaczyć należy, że fu n k cja Y (p) + (p) jest reg u la rn a n a praw ej półpłaszczyźnie (nie m a tam biegunów , bo ani Y (p), ani Y u (p) ich tam nie m a). W m yśl podanego ta m sposobu należy w ykreślić krzyw ą:
w y (iw) = Y (iw) + Y,j (iw) dla w > 0
‘ oraz badać p rzy ro st k ąta pro m ienia wodzącego z p u n k tu 0 przy pełnym jego obiegu w zdłuż tej krzyw ej (dla 0 < w < o o ) . M ając k rzyw e Y (iw) i Yu (iw) podane z osobna na w ykresie, należy utw orzyć ich sumę, p u n k t po punkcie dla każdego w.
Jeżeli m am y do czynienia z układam i zastępczym i B arkhausena, to n ary so w anie krzyw ej w y (iw) jest nadzwyczaj pro ste [12],
Podzielm y k rzyw ą w y (iw) n a odcinki leżące na praw ej półpłaszczyź
nie (k+) i na odcinki leżące na lewej półpłaszczyźnie (k_) w ów czas
n m
\ c w, arg w g (ico) = 2 Ak- + £ A*+ = — N z , (19)
gdzie *_1
Afc_ — p rzy ro st k ą ta na „ u jem n y m “ k -ty m odcinku krzyw ej, ' — p rzy ro st k ą ta na „d o d atn im “ k -ty m odcinku krzyw ej.
N a ry su n k u 22 a, b, c i d są przedstaw ion e n iek tó re m ożliw e p rze
biegi krzyw ej w y (iw) n a lew ej półpłaszczyźnie. Z rysunków tych w y nika, że
Ak_ =ł= 0 oraz Ak+ 4= o,
jeżeli początek i koniec k-tego (ujem nego) odcinka leżą na różnych p ó ł- osiach, zaś
Afc_ — 0 oraz Ak+ = 0,
jeżeli początek i koniec k-tego odcinka leżą n a tej sam ej półosi. D alej w y nik a z rysunk u , że dla u k ład u stabilnego (rys. 22 a i d)
2 Afc_ = 0. (20)
w tedy, ja k w ynika z ró w n an ia (19), rów nież
2 A k+ = 0. (21)
T w i e r d z e n i e 1
W celu rozstrzygnięcia kw estii stabilności; można ograniczyć analizę albo do części k r z y w e j leżącej na lewej półpłaszczyźnie, albo do części leżącej na praw ej półpłaszczyźnie.
é
A naliza w łasności oporów u je m n y c h 95
T w i e r d z e n i e 2
Jeżeli d w ó jn ik I (II) jest oporem u j e m n y m w zakresach częstotliwości
< ( O < C 0 2 ,
co3 < co < co4, (22)
C 0 2 n _ i < c o < c o 2 n ,
to celem zbadania stabilności u k ła d u w y sta rc z y zbadać sum ę przyrostów k ató w prom ieni wodzących po poszczególnych odcinkach k r z y w e j
w y (¿co) = Y (¿co) + Y u (ico) dla tyc h zakresów częstotliwości.
Jmr>y(iu) JmtVyiioj)
C C
( f CJ=0 GJ*oo (Jj-o CO= oo
s / Rewy(ia>) Rewyfiw
c ( " b
J m w y (iu i)
(
O m w y(iu )
6 • O ■ CO=oo • C0=0
.6>.0 :üJ -oo R eWy (i(j) Re Wy
(
C d
w ych w y (ico)
D o w ó d
D la sk ra jn y c h częstotliw ości pasm a
cos = co1} co2 . . . • <»2n
Re [wy (¿cos)] = Re [Y„ (ico,) + Y (icos)] > 0, (23)
bo Re Y u (icos) = 0,
a Re Y (icos) > 0,
zaś e w en tu aln e odcinki krzy w ej w y (ico) leżące n a lew ej półpłaszczyźnie odpow iadać m ogą ty lk o częstotliw ościom leżącyim w e w n ątrz pasm a, bo tylko dla
COj i < co < cos
może być
Re [w y (ico)] < 0.
*>
A naliza w łasności oporów u je m n y c h 97 T w i e r d z e n i e 4
Układ jest stabilny, jeżeli
|Y u (ic o )|< |Y (ic o )| (26)
dla tyc h częstotliwości, dla których
arg [Yu (ico) + Y (ioi)] = 0. (27) D o w ó d
W szystkie p u n k ty przecięcia się krzyw ej Y u (i°J) + Y (im) = w y (ico)
z osią rzeczyw istą leżą w ted y na praw ej półosi rzeczyw istej (patrz rys.
22 c).
T w ierd zen ie odw rotne do powyższego nie m usi być praw dziw e.
Na ry su n k u 23 przedstaw io n a jest c h a ra k te ry sty k a częstotliw ości u kład u stab iln ego nie spełniającego tw ierdzenia odw rotnego.
Rys. 23. W ykres w y (¿w) dla u k ła d u nie spełniającego tw ie rd z en ia od
w rotnego do tw ie rd z e n ia 4
Rys. 24. M ożliw e p rzebiegi k rzyw ych w y (ico)
Jeżeli dany dw ójn ik je s t oporem u jem n y m począw szy od często
tliwości co = 0, to m ożna podać tw ierd zenie o niestabilności.
T w i e r d z e n i e 5
Układ zawierający opór u j e m n y posiadający własność
Y„ (0) < 0 (28)
jest na pew no niestabilny w połączeniu z obwodem, dla którego
Y (0) < Y u (0). (29)
D o w ó d
K rzyw a Y (ico) + Y u (ico) = w y (im)
może m ieć ty lko k sz ta łt 1— 3 p rzedstaw iony n a rys. 24. K ształt 4 i 5 jest w ykluczony, dla niego bow iem
A cw, arg W y < 0.
7 E l e k t r y k a z e s z . 4
4»
98 A d a m M acura
co by oznaczało, że w y (p) m a bieguny n a praw ej półpłaszczyźnie, co je s t niem ożliwe, poniew aż ani Y (p), ani Y„ (p) nie m ogą ich tam m ieć.
Pozostałe krzyw e (1—3) zaczynające się n a lew ej półosi m ają
^ arg trs < 0 , a więc u k ład je s t n iestabilny.
Szereg in nych tw ierd zeń o stabilności podaje Bode [1].
5.2. Stabilność układów zaw ierających opór ujemny klasy II
K orzystając ze stw ierdzonej w u stęp ie 4.2 dualności obu klas oporów u jem n y ch m ożna odpow iednich tw ierd z eń używ ać rów nież dla układów zaw ierający ch opór ujem n y k lasy II, po przeprow adzeniu zam iany:
Yu (p) na Z u (p), Y (p) na Z (p), oraz G na R.
5.3. Omówienie artykułu K. Steim ela
K. Steim el [31] usiłu je w ykazać, że m ożliwość istn ien ia d rg ań o u sta lonych am plitudach:
a) w oporze u jem n y m klasy I z obw odem rów noległym ,
b) w oporze u jem n y m klasy II z obw odem szeregow ym , zaś niem ożli
wość tak ich drgań:
c) w oporze u jem n y m klasy I z obw odem szeregowym ,
d) w oporze u jem n y m k lasy II z obw odem rów noległym , m ożna uza
sadnić n a gru ncie teo rii liniow ej n a podstaw ie m eto dy N yąuista.
Steim el stosuje przy ty m w prow adzone przez siebie u k ład y zastępcze łu k u i d y n a tro n u [3].
W yniki dyskusji, zgadzają się z dośw iadczeniem ty lko w pierw szych dwóch przypadkach. W pozostałych dwóch, a więc w tak zw anych „fał
szyw ych“ kom binacjach, w b rew tw ierdzeniom S teim la nie o trzy m u jem y w yników zgodnych z doświadczeniem . Om ówim y tu przy pad ek 1 c (wg
n u m e ra c ji Steim la).
N a w stępie należy stw ierdzić, że w ykres p rzedstaw iony w jego p rac y (rys. 3 c [31]) m a zły k ieru n e k obiegu; w ynika z niego, że w p rzyp adk u objęcia przezeń p u n k tu + I p rzy ro st k ą ta prom ienia wodzącego po k rzy w ej od p u n k tu co = 0 do ® = oo w ynosi + 2it, a więc fu n k cja przen ie
sienia w zm acniacza bez sprzężenia zw rotnego m iałaby co najm niej jed en b iegun n a p raw ej półpłaszczyźnie — w zm acniacz by łby ju ż bez sprzężenia zw rotnego niestabilny. (Podobnie błędny jest w y kres przed staw iony na rys. 3 a [31]).
«
A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 99 J e s t to najw idoczniej pom yłka. Po u w zględnieniu tej pom yłki w y
nika z w yk resu 3 c [31], że u k ład byłby stabilny. Tym czasem ta k do
b ran y sztuczny łu k m a c h a ra k te ry sty k ę p rzed staw ioną n a rys. 25.
W tym p rzy p a d k u p ro sta oporu 1 p rzecina c h a ra k te ry sty k ę w trzech punktach, z k tó ry c h p u n k t 2 (rys. 25) jest niestabilny; u k ład m usi p rze skoczyć do p u n k tu 1 lu b 3. Tego fa k tu dośw iadczalnego teo ria więc nie potw ierdza.
B łąd polega tu na zb y tn im uproszczeniu układu. W zmacniacz z rys.
1 c [31] ma, ja k to w idać na rys. 3 c [31], p rzy częstotliw ości co = oo jeszcze w zm ocnienie =1= 0, je s t więc układ em zupełnie nierealnym .
Rys. 25. C h a ra k te ry sty - Rys. 26. W ykres w y (iin) d la sztucz
k a sztucznego łu k u nego lu k u połączonego z obw odem rezonansow ym
U w zględnienie tego, że rea ln y wzm acniacz dla co = oo m a wzm ocnie
nie ró w ne zeru (np. przez uw zględnienie pojem ności w ejściow ej lamp), prow adzi do w y k resu przedstaw ionego na rys. 26, z którego widać, że uk ład ta k i je s t zaw sze niestab iln y , o ile tylko w zm ocnienie dla p rąd u stałego je s t w iększe od jedności (to znaczy, o ile tylk o ch a ra k te ry sty k a staty czn a m a zakres oporu ujem nego). D opiero ta k i u k ład zastępczy um o
żliw ia opisanie zachow ania się u k ład u rzeczyw istego w sposób popraw ny.
Łatw o spraw dzić, że dopiero w zm acniacz rea ln y odpow iada w a ru n kom postaw ionym w rozdziale 3 i 4 dla oporów ujem nych.