Analiza własności oporów ujemnych i stabilności układów zawierających takie opory

(1)

N R 13

ZESZYTY NAUKOW E P O L IT EC H N IK I ŚL Ą S K IE J

E L E K T R Y K A Z. 4 1957

Kand. nauk. iechn. A d a m Macura

K ate d ra Podstaw E lektrotechniki

A naliza w łasności oporów ujem nych

i stabilności u k ładów zaw ierających takie opory*

S t r e s z c z e n i e . W p ra c y przeprow adzono an alizę przyczyn p o w odujących n ie sta b iln o ść oporów ujem n y ch ; w ykazano, że zachow anie o p o ru u je m n eg o określone je s t przez jego o p era to ro w ą a d m ita n cię albo impedamcję. P odano sposób o k reśla n ia sta b iln o śc i u k ła d ó w zaw ierający ch opór ujem ny, o p arty n a m etodzie N y ą u is ta oraz szereg tw ie rd z eń u ła tw iając y ch o k reśle n ie stabilności.

W rozdziale 1 p rzeprow adzono k la sy fik ac ję dw ójników a k ty w n y c h n a dw ójniki zdolne do o d d aw a n ia en e rg ii p rą d u zm iennego do każdego d w ó jn ik a pasyw nego przyłączonego do n ic h i d w ó jn ik i zdolne do o d d aw an ia en erg ii p rą d u zm iennego tylk o do p ew nych dw ó jn ik ó w pasyw nych. D rugi rodzaj — to opory ujem ne, któ re w ed łu g Bode m ożem y podzielić n a 2 k la sy sta b iln e p rzy zw arciu i sta b iln e przy biegu luzem .

W rozdziale 2 p rz e p ro w a d z o n o ,k ry ty c z n ą an alizę przyczyn n ie stabilności oporów ujem n y ch . R o z p a tru je się w p ły w nieliniow ości c h a ra k te ry sty k , w p ły w elem entów b ie rn y c h obw odu zew nętrznego oraz z jaw isk a zachodzące w e w n ą trz oporu u je m nego. W o p arc iu o m etodę L ia p u n o w a w y k a z u je się, że o stabilności u k ła d u decy

d u ją zjaw isk a zachodzące w e w n ą trz oporu ujem nego. P oddano k ry ty c e pogląd H e

ro ld a o k ie ru n k u obiegu c h a ra k te ry sty k i dynam icznej oporu ujem nego.

W rozdziale 3 i 4 o k reśla się w łasności a d m ita n c ji w zględnie im p ed an cji op era

toro w ej op o ru ujem nego kl. I i II, z a k ła d a ją c zw iązek m iędzy nap ięciem i prąd em op o ru ujem nego typ u :

U dow ad n ia się, że d w ó jn ik i n ie sta b iln e bąd ź p rz y zw arciu, bąd ź p rz y b iegu luzem m uszą być o poram i ujem n y m i. P o d a je się szereg przykładów .

W rozdziale 5 p odano szereg tw ie rd z eń dotyczących stabilności u k ła d ó w zaw ie- 'ra ją c y c h opór u jem n y .

W rozdziale 6 r o z p a tru je się stabilność dla dużych za b u rzeń za pom ocą m etody N y ą u ista p rzystosow anej do u k ła d ó w nieliniow ych. P rzep ro w ad zo n a w rozdziale 6 d y sk u ę ja stabilności dla dużych za b u rzeń pozw ala n a stosunkow o p ro ste stw ierd ze

n ie czy u k ła d p rz y d an ej w ielkości za b u rzen ia je s t stab iln y , czy nie. N a p odstaw ie o trzy m an y ch w y n ik ó w w y d a je się, że d la o k reśle n ia stabilności dla dużych zab u rzeń je s t rów nież konieczne uw zględnienie elem entów biern y ch oporu ujem nego.

* A rty k u ł n in ie jsz y je s t streszczeniem p rac y k an d y d ack iej.

(2)

70 A d a m M acura

1. Wstęp

P u n k te m w yjścia dla rozw ażań przeprow adzonych w pracy jest opór ujem n y rozpatryw any jako dwójnilk. P ra ca przedstaw ia prób ę określenia w łasności tak ich dw óników z ich czysto „zew nętrznych“ właściwości tj.

c h a ra k te ry sty k statycznych i c h a ra k te ry sty k częstotliwości, bez w n ik a

nia w w ew n ętrzn y m echanizm zjaw isk oporu ujem nego 1. D aje to z jednej stro n y możliwość sklasyfikow ania całego szeregu układów pracu jący ch n a różnych zasadach (łuk, dynatron, w zm acniacz ze sprzężeniem zw rot

nym itp.) w dw u klasach, z drugiej stro n y u tru d n ia jed n ak fizykalną in

te rp re ta c ję otrzym anych w yników , k tó ra z konieczności m usiałaby być fnna dla każdego oporu ujemnego.

1.1. Określenie oporu ujemnego

W śród dw ójników aktyw nych m ożna w yo drębnić dw ójniki, które m ogą dostarczać energię w postaci p rą d u zm iennego. Z kolei w śród ty ch o statn ich m ożna przeprow adzić podział na dw a rodzaje:

1. D w ójniki zdolne oddawać energię p rą d u zm iennego d o k a ż d e - g o dw ójnika pasyw nego przyłączonego do nich. Do tego ro d zaju należą w szystkie g en erato ry obcowzbudne.

2. D w ójniki zdolne do oddaw ania energii p rą d u zm iennego t y l k o d o p e w n y c h dw ójników pasyw nych.

W łasności w ym ienionych dw ójników om ów im y poniżej n a podstaw ie pew nych przykładów .

W eźm y n a przy kład dynatron. P rz y odpow iednim doborze napięcia anodowego i w połączeniu z rów noległym obw odem rezonansow ym o do

statecznej dobroci oraz odpow iedniej częstotliw ości w łasnej, otrzym am y d rg an ia nie zanikające, a d y n atro n będzie oddaw ał energię p rą d u zm ien

nego do zew nętrznego obwodu, k tó ry m w ty m w y pad k u jest ów obwód rów noległy.

Jeżeli jed n a k zm niejszym y odpow iednio opór rzeczyw isty obwodu rów noległego, to d rgań nie o trzy m am y i d y n a tro n nie będzie oddaw ał energii do obw odu zew nętrznego. Podobnie łu k elek try czny odpowiednio zasilany i połączony z szeregow ym obw odem rezonansow ym , p rzy do

statecznej dobroci tego ostatniego oraz odpow iedniej częstotliw ości w łas

nej obw odu w ytw o rzy d rg an ia nie zanik ające — oddając energię p rąd u zm iennego do zew nętrznego obwodu. P rz y zbyt w ielkiej w artości oporu

czynnego d rg ań nie zanikających nie otrzym am y.

P rz y zdejm ow aniu c h a ra k te ry sty k staty czny ch tak ich dw ójników n a

1 T ak ja k się to czyni w ko n w en cjo n aln ej teo rii dw ójników i czw órników.

(3)

A n a liza w łasności oporów u je m n y ch 71 tra fia m y n a zjaw isko n ag ły ch przeskoków p u n k tu pracy n a c h a ra k te ry sty ce albo n a d rgania. W ystępow anie ty c h zjaw isk uzależnione jest rów nież od obw odu zew nętrznego, w szczególności od w ielkości i kon

fig u ra cji jego elem entów . R ów nież i tu ta j zachodzi oddaw anie energii p rą d u jm ienneg o (periodycznie luib aperiodycznie) do obwodu zew n ętrz

nego, p rzy czym zjaw isko to w y stęp u je tylko w pew nych obwodach.

Je że li opisujem y zachow anie się takiego u k ład u przez podanie prze- cbiegów napięć czy też prąd ó w p o w stały ch w układzie po zaistnien iu ja

kiegoś pobudzenia, to u kład, określony z energetycznego p u n k tu w idze

n ia jak o n ie oddający en erg ii p rą d u zm iennego, nazyw am y s t a b i l n y m 1. U kład, w k tó ry m nasz dw ójnik o ddaje energię — to układ n i e s t a b i l n y .

P rzy p u śćm y , że dobraliśm y dw ójnik sk ład ający się ty lko z oporów rzeczy w isty ch tak, że w połączeniu z dw ójnikiem ak ty w n y m drugiego ro d za ju p ow stał u k ład stabilny. Je śli w szereg z jak ą ś istniejącą gałęzią w łączy m y jeszcze SEM zm ienną idealną, to m oże się okazać, że w pew n y m zakresie częstotliw ości dw ó jn ik te n oddaje do obw odu zew nętrznego en erg ię elek try czn ą w postaci p rą d u zm iennego o częstotliw ości rów nej częstotliw ości w łączonej SEM. Jeżeli p rzeb iegi p rąd ó w i napięć m ieszczą się w zak resie liniow ości w szystkich elem entów układu, to m ożna się o ty m p rzekonać np. przez p o m iar k ą ta p rzesun ięcia fazowego fP m iędzy napięciem a p rąd e m dw ójnika aktyw nego.

P rz y zastrzałk o w an iu odbiornikow ym będzie on w iększy od 90°, a w ięc m oc śred n ia

Pśr = U J cos cp < 0 dla 90° < cp < 270°,

co oznacza, że dw ójnik nasz zam iast pobierać — dostarcza energię E nergia ta pochodzi ze stanow iącego część składow ą oporu ujem nego źródła e n e r

gii — najczęściej źródła napięcia stałego. W ielkość tego ostatniego je st ograniczona, z atem ograniczona m u si być rów nież w ielkość oddaw anej energii. Inaczej m ówiąc, moc odd aw an a przez taki dw ójnik nie może być fu n k cją sta le rosnącą ze w zro stem np. napięcia na dw ójniku. Z tego bezpośrednio w ynika, że dw ójn ik ta k i m usi być nieliniow y dla w ięk szych w artości prąd ó w i napięć.

W zakresie liniow ości tak ie g o dw ójnika — jeżeli rów nocześnie

<p = 180°, to

P = — U J = — R J² (1)

oraz

U (t) ⁼ ^— R J (t). (2)

1 Ściślejsze określenie sta b iln o śc i podam y dalej.

(4)

p rzy strzałko w an iu odbiornikow ym . S tąd w zięła się nazw a „opór ujem n y “ dla tego ro d zaju dw ójników .

W dalszym ciągu dw ójniki ak tyw ne drugiego rodzaju nazywać bę

dziem y o p o r a m i u j e m n y m i .

B adając bliżej w a ru n k i stabilności u k ład u =kładającego się z oporu u jem nego i oporu czynnego dochodzim y do podziału oporów ujem nych na dw ie klasy:

K lasa I — O pory u jem n e stab iln e w połączeniu z m ały m oporem zew nętrznym .

K lasa II — O pory u jem n e stab iln e w połączeniu z dużym oporem zew nętrznym .

Taką klasy fik ację przeprow adził ju ż Bode [1]. K lasy fik acja ta jest p rak ty czn ie bardzo przydatna, poniew aż pozw ala n a dośw iadczalnie pro

ste i szybkie stw ierdzenie, do k tórej z klas dany opór u jem n y należy.

T eoria oporów ujem nych, przed staw iona w niniejszej pracy, będzie o p a rta na ty c h dwóch fak tach dośw iadczalnych.

1.2. Określenie stabilności

Obw ód elek try czn y nazw iem y stabilnym , jeżeli p rą d zaburzeniow y w dowolnej gałęzi (i-tej) w yw ołany przez załączenie 3EM E = con.s-t będzie m niejszy od pew nej w artości r](E) zależnej tylko od w ielkości E:

J7/1 (t) < t); (E) dla każdego t > 0,

p rzy czym J z -, (t) = J; ( t) — Jo; — p rą d zaburzeniow y jest rów ny różnicy p rą d u istniejącego w chw ili t w danej (i-tej) gałęzi obwodu J; (t) i p rądu Joi istniejącego w tejże gałęzi przed w łączeniem SEM E (w chwili t ^ — 0).

In n y m i słowy: w uk ładzie stab iln y m m ożna otrzym ać dowolnie m ałe odchylenia p rą d u od swej w artości spoczynkow ej przez zapew nienie do

stateczn ie m ałych w ielkości pobudzeń.

Pojęcie stabilności u k ład u jest zw iązane z istnieniem pewnego po

budzenia w układzie. W zw iązku z ty m należy odróżnić s t a b i l n o ś ć d l a d u ż y c h p o b u d z e ń o d s t a b i l n o ś c i d l a m a ł y c h p o b u d z e ń . O kazuje się bowiem , że w układach nieliniow ych w arunki stabilności dla m ałych pobudzeń m ogą się znacznie różnić od w arunków stabilności dla dużych pobudzeń. O ile problem stabilności dla m ałych pobudzeń miożna w yjaśnić najczęściej n a podstaw ie liniowego przy bli

żenia układu, to problem stabilności dla dużych pobudzeń jest już proble

m em z n a tu ry nieliniow ym .

(5)

é

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h l o

W pierw szej części p rac y (rozdz. 2 — 5) rozw ażania dotyczą tylko stabilności dla m ałych pobudzeń, k tó rą w dalszym ciągu nazyw ać będzie

my krótko ,,stabilnością“ .

W rozdziale 6 omówiono stabilność dla dużych pobudzeń.

2. Przyczyny niestabilności oporów ujemnych

P rzy klasy fik acji oporów u jem n y ch w spom niano już o ty m , że opory ujem n e k lasy I są n iestab iln e w połączeniu z dużym oporem czynnym , zaś opory u jem ne klasy II są niestabilne w połączeniu z m ałym oporem czynnym . Oprócz tego w spom niano o n iestabilności zachodzącej w u k ła dach zaw ierający ch prócz oporu ujem nego i dodatniego jeszcze elem en

ty L i C, i zwrócono uw agę n a różne zachow anie się obu w spom nianych klas w połączeniu z ty m i sam ym i u k ład am i R, L, C. Oba opory jed n ak w odpow iednich w a ru n k a ch zachow ują się ta k samo, m ianow icie w u k ła dzie stab iln y m m ogą oddaw ać en ergię ty lk o w ted y, gdy w ty m układzie istn ieje jak a ś SEM zm ienna. Poza ty m w układzie stabilnym nie m a różnic m iędzy oporam i obu klas: obie m ożna zastąpić jedn ym układem zastępczym : oporem — R u. Zachodzi więc p y tanie: jak ie są przyczyny niestabilności oporów u jem n y c h w p ew n y ch układach '. P rz y próbie w y tłum aczen ia ty c h zjaw isk m ożna w ym ienić trz y m ożliw e właściwości

oporów ujem ny ch, k tó re m ogłyby w pływ ać na niestabilność:

1) nieliniow ość c h a ra k te ry sty k ,

2) ele m en ty b iern e zew nętrznego obwodu,

3) zjaw isk a zachodzące w ew n ątrz oporu ujem nego.

W szystkie trz y w yżej w ym ienione m ożliw e przy czyn y niestabilności znalazły w lite ra tu rz e sw oich p rzedstaw icieli. W pływ ty ch trzech w łaś

ciwości ro zp atrzym y n a jp ie rw dla stabilności dla m ały ch pobudzeń.

2.1. W pływ nieliniow ości charaktetrystyk

W celu w y jaśn ien ia tego w p ły w u zakładam y najp ierw , że opór u jem ny jest czystym oporem u jem n y m k lasy I i nie m a składow ej b iern ej.

C h arak tery sty k ę jego

J = f(U) przybliżm y k rzy w ą n-tego stopnia

• J = £ ai U1. (3)

i — 0

1 „P rzyczyny n ie sta b iln o śc i“ należy tu rozum ieć ja k o te w łaściw ości oporu , ujem nego, k tó re trz e b a uw zględnić, by o trzym ać p raw id ło w y opis zachow ania się

oporu ujem nego.

(6)

74 A d a m Macura

Je że li do oporu ujem nego przyłączony jest liniow y obwód elektryczny, to zachow anie się takiego u k ład u będzie opisane przez uk ład rów nań różniczkow ych:

— = Y b « l7 ł + * ł (l71 . . . U . ) k = 1 . . . S , (4) dt f= i

przy czym pierw sze w yrażenie po p raw ej stronie powyższego rów nania zaw iera liniowe człony, zaś $ k( l r1...Us) zaw iera tylko nieliniow e człony.

Przez skreślenie w szystkich nieliniow ych fu n k cji d>k otrzym am y uk ład rów nań różniczkow ych liniow ych, a po sprow adzeniu do jednego ró w n an ia różniczkowego wyższego rzędu, tzw. rów nanie różniczkowe I przybliżenia.

L iapunow np. [8], [9], w ykazał, że jeżeli rów nanie ch arak tery sty czn e tego rów n ania różniczkowego I p rzy b liżen ia nie m a p ierw iastk ów z czę

ścią rzeczyw istą rów ną zeru, to stabilność dla m a ł y c h p o b u d z e ń jest określona w zupełności przez to w łaśnie rów nanie różniczkowe I przybliżenia, niezależnie od c h a ra k te ru członów nieliniow ych pełnego u k ład u ró w n a ń różniczkowych.

R ów nania różniczkow e I przybliżenia układówr z oporam i ujem nym i tylko w w yjątkow ych p rzypadkach m a ją p ierw iastki z częścią rzeczy

w istą rów ną zeru. Tylko w ty ch w y jątk o w y ch p rzy p ad k ach należy uw zględnić człony nieliniow e, a więc zakrzyw ienie c h a ra k te ry sty k . W pozostałych przypadkach celem rozstrzygnięcia kw estii stabilności m ożna ro zp atry w ać opór u jem n y jako elem en t liniow y.

W ty m m iejscu należy zw rócić uw agę, że aczkolw iek nieliniowość oporu ujem nego nie jest przyczy n ą niestabilności ty ch oporów, to je d nak istn ieje praw dopodobnie zw iązek m i ę d z y c h a ra k te re m zakrzyw ienia

„n“ czy „s“ a klasą oporu, ujem nego I czy II [32], [33].

2.2. W pływ elem entów biernych obwodu zewnętrznego

D robow [10], W eizel i Rom pe [11] — podobnie ja k i w ielu innych au to ró w — uw ażali, że elem en ty biern e obw odu zew nętrznego decydują o stabilności oporu ujem nego. D robow tłum aczy, że pojem ność należy uw zględnić w tedy, gdy p rzep ły w a przez nią duży prąd

r w - c i s a , dt

a p rą d te n może p rzy jąć n aw et przy m ałych w artościach C dużą w artość, . dU(t) .

jeżeli --- jest duże, co zachodzi na zakrzyw ieniach, poza odcinkiem dt

(7)

é

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 75 opadającej c h a ra k te ry sty k i oporu ujem nego, i konieczne jest jakoby przy oporach u jem n y ch I klasy.

N a odw rót, indukcyjność należy uw zględniać w tedy, gdy napięcie na niej

dt

może przy jąć dużą w artość, co znow u przy m ałym L może nastąpić dla dużego — — w y stępującego n a zak rzyw ieniu c h a ra k te ry sty k i oporu

dt

ujem nego k lasy II. E le m e n ty L i C m ają p rzy ty m m ieć c h a ra k te r ind uk cy jn o ści lu b też pojem ności rozproszenia.

R ozw ażania takie, n iew ątp liw ie słuszne w okolicy zakrzyw ień cha

ra k te ry sty k , nie są słuszne w okolicy części prostoliniow ej, na której przecież znajdow ać się m oże p u n k t pracy u kładu. D opiero po w yjściu p u n k tu p rac y n a zakrzyw ienie, u k ład m ógłby się „dow iedzieć“, co m a

„ w y b ra ć “ — indukcyjność czy pojem ność. K oncepcja ta k a więc upada.

W ielu autorów , a m iędzy nim i W eizel i Rompe, nie uzasadnia w ogóle p rzy jęcia tego lu b innego ro dzaju elem en tu biernego obw odu zew nętrz

nego. D zieje się to zazw yczaj p rzy om aw ianiu stabilności łu k u elek try cz

nego, gdzie p rzy jęcie indukcyjności m ożna często „przem ycić“ bez tłu m aczenia jak o tzw . indukcyjność doprow adzeń. Błędność tego stanow iska w y każem y poniżej.

Z kolei om ów im y w pływ elem entów b iern y ch obw odu zew nętrznego.

Stabilność badać będziem y n a p o dstaw ie liniow ego u k ład u zastęp

czego.

P rzypuśćm y, że opór u je m n y załączono do obw odu zew nętrznego, k tó ry m je s t dow olny dw ó jnik p asy w n y i liniow y o ad m itan cji operato

row ej Y(p).

U w zględnijm y n a jp ie rw ty lk o in dukcyjność L u, k tó ra m ogłaby np.

być inauk cy jn o ścią doprow adzeń łączących opór u jem n y z dw ójnikiem (rys. 1). W łączym y w szereg z oporem u jem n y m SEM E(t):

10 dla t <T 0, SEM E{t) = {

l E dla t > 0 .

M ożna w ykazać [12], że uk ład ta k i będzie n a pew no niestab iln y dla Gu < Y (0),

gdzie Y (0) p rze d staw ia przew odność dw ójnika dla p rąd u stałego.

U w zględnijm y tera z ty lk o pojem ność przew odów doprow adzających Cu (rys. 2). W ty m p rz y p a d k u m ożna w ykazać [12], że u k ład tak i będzie n a pew no n iesta b iln y dla

Gu > Y (0).

(8)

Z powyższego w ynika,, że w a ru n e k niestabilności 1 zależy od elem en

tu biernego „najbliższego“ oporow i ujem nem u; w pierw szym przypadku je s t nim indukcyjność L a, w drugim pojem ność Cu.

W ykażem y teraz, że Lu czy też Cu m uszą być częściam i składow ym i oporu ujem nego. Jeżeli p rzy jm u jem y indukcyjność doprow adzeń L u, to pow inniśm y uw zględnić rów nież pojem ność m iędzy zaciskam i oporu ujem nego C„ (rys. 3), w skutek czego zm ieni się w a ru n e k niestabilności

Lu £

-Gu y(p>

J

Rys. 1. U w zględnienie indukcy jn o ści doprow a

dzeń

Rys. 2. U w zględnienie pojem ności doprow adzeń

I

-Gu y(p>

Rys. 3. U w zględnienie pojem ności n a zaciskach

oporu ujem nego

z G „ < Y(0) n a G u ł> Y(0), m ożem y bow iem L a teraz trak to w ać jako część składow ą dw ójnika zew nętrznego. G dyby jednak w ew n ątrz oporu u je m nego znajdow ała się jeszcze jak aś indukcyjność L u (rys. 4), to w a ru n e k znów zm ieniłby się n a G U< Y ( 0). U w zględnienie natom iast C'u (rys. 5), prow adzi z kolei do w a ru n k u G a > Y (0).

-G u

Lu Lu rdnT '-j-'W ---

- -Cul y(p>

Rys. 4. U w zględnienie in dukcyjności w e w n ę trz

nej oporu ujem nego

-Gul i f T

Tr ’1= Cu y(p)

Rys. 5. U w zględnienie pojem ności w ew nętrznej

oporu ujem nego

P o stęp u jąc ta k dalej znajdziem y się w e w n ą t r z oporu ujem nego, a w a ru n e k stabilności będzie znów zależał od elem entu „najbliższego“.

W te n sposób w ykazano, że decydujący w p ływ na niestabilność m ają elem en ty b i e r n e o p o r u u j e m n e g o . M ogłyby nim i być in d u k cyjności i pojem ności w ew n ętrzn e oporu ujem nego, jed n a k rów nież

1 N ależy zaznaczyć, że w a ru n e k stabilności nie zaw sze m ożna przed staw ić w ta k p ro sty sposób; — np. w p ierw szy m p rzy p a d k u Y(0) < Gu niekoniecznie m usi być w a ru n k ie m w y sta rc za jąc y m dla stabilności.

(9)

* >

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 77 uw zględnienie in n ych zgoła przebiegów fizykalnych, zależnych np. od pochodnych napięcia lu b prąd u , prow adzić może do w y rażeń ty p u

L i M lu b c i M .

dt dt

M ożem y wówczas fo rm aln ie m ów ić o elem entach b iern y ch oporu ujem nego, m ając na m y śli indukcyjności i pojem ności zastępczego u k ła du elektry czneg o oporu ujem nego — jego „m odelu“.

N a fak t, że przy ro zp a try w a n iu stabilności łu k u elektrycznego n a

leży uw zględnić różnego ro d zaju „zbiorniki en erg ii1' w ew n ątrz łuku elektrycznego, w skazyw ał już K a u fm an n [13]. •

2.3. Zjawiska zachodzące w ew nątrz oporu ujemnego

D otychczas przyjm ow aliśm y, że w oporze u jem n y m klasy I p rąd je s t fu n k cją ty lk o napięcia, zaś w oporze u jem n y m klasy II, napięcie je s t fu n k cją p rąd u . Założenie to o p a rte było na c h a ra k te ry sty c e staty cz

nej oporu ujem nego. Je d n a k je s t ono n iew ystarczające, poniew aż w po

p rzed n im u stęp ie stw ierdzono, że sam opór u jem n y m usi m ieć pew ne w łasności, k tó re przypisać m ożna elem en to m b iern y m 1 w chodzącym w skład oporu u jem nego — czyli że opór u jem n y ro zp atry w an y jako d w ó jnik (liniow y w d an y m zak resie p rąd ó w i napięć) je s t elem entem , w k tó ry m p rą d J(t) [lub napięcie U(t)] jest zależny nie ty lko od U(t), [J(t)j, ale rów nież i od pochodnych U(t), [J(t)j, to znaczy, że ogólnie należałoby przyjąć, że p rą d J(t) (lub napięcie U(t)) jest podany przez rów nan ie różniczkow e 2

y « , ^ < 0 = ( 5)

, i ', d t1 , r , dt'

Stosując tu rac h u n e k operatorow y, otrzy m am y przy tzw. zerow ych w a

ru n k a c h początkow ych:

j > p ' l j ( p ) = f Z b iP‘] u ( p ) , (6)

1 = 0 J Lz=o J

a dalej

p rz y czym

j ( p) = ^ L ÍP )ü (p ), H u (p)

Gu (p) = £ hi Pf ’

i— o 1 U k ła d u rzeczyw istego lu b m odelowego.

2 D la łu k u zależność ta k ą sto so w an o ju ż daw no (np. G ranow ski [14]).

(10)

♦

a oznaczając

Hu (p) = ca p ‘‘, i*=0

G " ( p ) = y u ( p ) = 1

H„ (p) ' Z u (p)

J(p) = Y u(p)U(p) lu b U(p) = Z u(p)J(p). ₍₇₎ Jeżeli na p rzy k ła d założymy, że w oporze klasy I p rą d zależy nie ty lk o od napięcia, ale i cd jego pochodnej w zględem czasu, to otrzy

m am y:

d U ( t ) J(t) = b0U(t) + b1

dt J(P) = (bo + p b 1)U(p)J

a stąd otrzym alibyśm y uk ład zastępczy podany na rys. 6, przy czym bo Gu, b i ■ Cu'

-G,

i

T

Rys. 6. U kład zastępczy B a rk h a u se n a dla oporu

ujem nego k la sy I

- R n

Rys. 7. U k ład zastępczy B a rk h a u se n a dla oporu

u jem n eg o k la sy II

D la oporu klasy II założym y, że napięcie na nim zależy od p rą d u i je go pierw szej pochodnej w zględem czasu:

U ( t ) = a 0 J ( t ) + a 1 ^ 7^ ,

dt U(P) = (a0 + a ip j J(p),

co prow adzi do u k ład u zastępczego podanego na rys. 7, p rzy czym

CtO dl

U kłady te podał już B ark hau sen [7], uzasadniając p rzy jęcie ich opóź

nieniem zachodzącym m iędzy p rzyczyną a skutkiem .

W aru nk i stabilności są tu zgodne z rzeczywistością. U kłady zastępcze podane pow yżej B ark hau sen stosow ał tylko dla d y n a tro n u i łu k u elek

trycznego.

(11)

♦ *

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 79 Steim el [3], R othe i K leen [4] upodobnili zjaw iska zachodzące w e

w n ą trz łu k u i d y n a tro n u do zjaw isk zachodzących w sztucznym łuku i sztucznym dynatronie, a więc do zjaw isk zachodzących w e w zm acnia

czach ze sprzężeniem zw rotnym . Je d n a k i tu ta j rozstrzygnięcie kw estii stabilności (np, w edług N yąuista) m ożliw e jest tylko w przyp adk u uw zględnienia opóźnienia m iędzy napięciem n a w ejściu i na w yjściu w zm acniacza, np. przez uw zględnienie, pojem ności 1 rów noległej do w ejścia w zm acniacza, czy też przez założenie opóźnienia w w spółczynni

ku w zm ocnienia (w rac h u n k u o peratorow ym w spółczynnik w zm ocnienia w zm acniacza K (p) = K e—pł a.

P rz y ję c ie opóźnienia w zm acniacza zachodzącego m iędzy przyczyną a sk u tk iem zdaje się n ajlep iej odpow iadać rzeczywistości:

W p rz y p a d k u sztucznego łuku czy też d y n a tro n u jest to opóźnienie m iędzy napięciem na w ejściu a napięciem n a w yjściu w zm acniacza w chodzącego w sk ład oporu ujem nego; w p rzy p a d k u łu k u elek try czn e

go — jest to opóźnienie w yw ołane bezw ładnością przebiegów w łu ku ; w p rzy p ad k u d y n a tro n u je s t to opóźnienie zachodzące przy em isji w tó rn ej elektronów .

J a k widać, zjaw isk a te, różnej n a tu ry fizykalnej, m ogą spowodo

wać ten sam efek t — niestabilność.

F a k t istn ien ia pętlow ej c h a ra k te ry sty k i dynam icznej oporu u jem nego tłu m aczy H erold [15] w łaśnie owym opóźnieniem czasow ym m ię

dzy p rzyczyną a skutkiem . D la oporu ujem nego klasy I pow inna ona m ieć obieg zgodny z kieru n k iem w skazów ek zegara, a dla klasy II — niezgodny.

Ł atw o m ożem y w ykazać błędność tego rozum ow ania: dołączając sze

regow o z oporem u jem n y m dostatecznie dużą indukcyjność nie zm ieni

m y w a ru n k u stabilności, ale m ożem y zm ienić k ie ru n e k obiegu c h a ra k tery sty k i. K ie ru n e k obiegu c h a ra k te ry sty k i zależy w ogóle w dużej m ie

rze od częstotliw ości i jeszcze nic nie m ówi o opóźnieniu w stanach nieustalonych.

Z kolei należy zastanow ić się n ad tym , ja k i k sz ta łt ró w nan ia różnicz

kowego odpow iada poszczególnym klasom oporów ujem nych. Nie w y jaśn iliśm y bow iem jeszcze, dlaczego p rzy d y n atro n ie p rą d je s t fu n k cją n a p i ę c i a i jego pochodnej, a p rzy łu k u je s t odw rotnie — tzn. n a

pięcie je s t fu n k cją p r ą d u i jego pochodnej. Poza ty m całego sze

reg u oporów u jem n y c h nie m ożna opisać p rzez p rzy jęcie ta k prostych zależności. Z achow anie się np. dw ójników posiadających opór u jem n y ty lk o dla pew nego zakresu częstotliw ości w zasadzie nie m ożna opisać

1 P ojem ność t a n i e je st id e n ty cz n a z pojem nością m iędzyelektrodow ą. choć ta o sta tn ia może być znacznie w iększa.

2 P a trz rów nież u stęp 5. 3.

(12)

' *

A d a m M acura

n a podstaw ie ta k p ro sty ch u kładów zastępczych. Ze w zględu na prosto

tę rozw ażań przeprow adzać je będziem y p rzy użyciu rach u n k u opera

torow ego, n a d fu n kcją ad m itan cji lub im pedancji operatorow ej.

3. W łasności oporu ujemnego klasy I

W ustępie 1.1 przeprow adzono klasy fikację dw ójników akty w ny ch w edług ich zachow ania się w połączeniu z czystym oporem czynnym.

Układ: o p ó r'u je m n y klasy I — duży opór czynny jest układem nie

stabilnym , zaś przy m ałej w arto ści oporu czynnego, ulćład tak i jest układem stabilnym . Jeżeli będziem y zm ieniali w artość oporu czynnego od G = oo do G = 0 1, to u k ła d ze stan u stabilnego pow inien p rzy pew nej w artości przew odności p rzejść do stan u niestabilnego.

3.1 W łasności „doświadczalne”

O kreślim y ściślej własności wyżej podanego układu, o trzym ane na drodze dośw iadczalnej. W łasności te nazw iem y „dośw iadczalnym i“ :

a) Układ jest stabilny przy przewodności G w ię k sze j od p e w n e j p rze  wodności Gu, której wartość zależy tylko od dw ó jnika aktyw nego.

b) Układ jest niestabilny przy przewodności G m niejszej od tejże wartości Gu.

Z ty ch dwóch fak tów w y n ik ają dw a p rzy p ad k i szczególne:

c) Układ jest stabilny p rzy zwarciu.

d) Układ jest niestabilny p rzy biegu luzem.

3.2. W łasności funkcji Y u(p)

P odane w ustępie 3.1 fa k ty dośw iadczalne n arzu cają na adm itancję Yu (P) pew ne w arunki, k tó re ta ad m itan cja m usi spełnić. P odam y tu tw ierdzenia w odniesieniu do fu n k cji Y„ (p), k tó re udow odnim y w n a

stępn ym ustępie.

T w i e r d z e n i a

a) Jeżeli G > G u, to dla Re (p) > 0 m usi być Y yjpj + G ^ tO , czyli:

fu n k c ją Y„ (p) + G dla G > Gu nie może posiadać pierw iastków z dodat

nią częścią rzeczywistą.

b) Jeżeli G < Gu, to dla Re (p) > 0 m usi być Y u (p) G — 0, dla co n ajm niej jednej wartości p, czyli: fu n k c ja Y u (p) + G dla G < G„

m u si posiadać co n a jm n iej jed en pierw iastek z dodatnią częścią rzeczy

wistą.

1 Celowe je s t tu ta j stosow anie przew odności G = — . R

ł _\

(13)

<1

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 81

O kreślenie kryty czn ej w artości Gu podam y dalej.

c) A dm ita ncja wejściowa Y u (p) d w ó jnika klasy I nie może posia

dać biegunów na prawej półpłaszczyźnie p (z w y j ą tk i e m p = oo — patrz dalej).

d) A d m ita n c ja wejściowa Y u (p) dw ójnika klasy 1 m usi posiadać co na jm n ie j jeden pierw iastek na praw ej półpłaszczyźnie p.

U dow odnim y n a jp ie rw p u n k ty c) i d) T w i e r d z e n i e c)

F u n k c ja operatorow a p rą d u przy w łączeniu SEM jednostkow ej (rys. 8), m a postać:

Jeżeli u k ła d je s t stabilny, to Z a (p) nie może posiadać zer na p raw ej półpłaszczyźnie, a poniew aż z e ra . funk cji Z u (p) są biegunam i fu n k cji Y u (p), to Y u(p) nie może tam m ieć biegunów (z w y ją tk ie m ew e n tu al

nego b ieg u na dla p = °°). p/+)

3.3. Dowody do twierdzeń punktu 3.2

J(p) = E(p) Y u(p) = — Zu(p)

Rys. 8. Z ałączenie SEM je d n o stk o w ej n a opór u je m n y

- Uu(p)

J ( t )

Yu(p) = ap — a p p - Y m (p), H u (p)

a więc

J (p) = Eap + E Y ul (p).

fi E l e k t r y k a z e s z . i

(14)

4.

Pierw szem u członowi po p raw ej stronie, Eap, odpowiada funkcja czasowa (funkcja Diraca)

Ea 8 (t),

k tó ra nie w pływ a na stabilność. Jeżeli układ jest stabilny, to fu n k cja Yul (p) nie m oże m ieć biegunów n a praw ej półpłaszczyźnie p. Ale bie

gunam i fu n k cji Y ai (p) są zera fu n k cji H u (p). Jeżeli więc Yal (p) nie m a biegunów na p raw ej półpłaszczyźnie, to nie m a ich i Y u (p) m ające te sam e bieguny co Y ui (p), z w y ją tk ie m p = oo, który nie w pływ a na sta

bilność.

T w i e r d z e n i e d)

Je śli w ty m przy p ad k u załączym y na opór u jem n y SPM J (p) jed  nostkow ą (rys. 9), wówczas otrzym am y

u ( p) = ^m ⁼ _ £ _ . Yb (p) Y„(p)

Jeżeli u k ła d je s t n iestabilny, to Y u (p) m usi m ieć co najm n iej jeden p ierw ia ste k n a praw ej półpłaszczyźnie p (a więc co najm n iej jed en p ier

w iastek z dod atnią częścią rzeczyw istą).

U(t) T )J (t)

Rys. 9. Załączenie SPM jed n o stk o w ej n a opór

uje m n y

Rys. 10. Załączenie SEM jednostkow ej n a obwód

- Y u (P), G

T w i e r d z e n i e a)

Załączm y w szereg z dw ójnikiem przew odność czynną G (rys. 10):

E _ E G Y u (p) J(P) = _ J , 1

Y„(p) G Poniew aż u k ład m a być stabilny, to

Yu (p) + G GY „(p)

nie m oże m ieć b ie - Yu (p) + G

gunów n a p raw ej półpłaszczyźnie p.

J a k udow odniono w yżej, Y u (p) nie m a tam biegunów (tw ierdze

nie d), a w ięc cały licznik n ie m a biegunów n a praw ej półpłaszczyźnie, zaś m ianow nik, Yu (p) + G, nie może m ieć tam zera, poniew aż zera m ia

now nika są biegunam i fu n k cji J (p), a więc m usi być Yu (p) + G =ł= 0

dla Re (p) 0 oraz G > Gu.

(15)

9 _*

T w i e r d z e n i e b) *

U kład jest niestabilny, a więc J (p) m usi mieć co najm niej jeden biegun n a praw ej półpłaszczyźnie p; poniew aż licznik w yrażenia na J (p) nie m a tam biegunów , to m ianow nik Yu (p) + G m usi m ieć co najm niej jedno zero, czyli

dla co n ajm n iej jednej w artości p.

W celu w y jaśn ien ia dalszych w łasności fu n k cji Ya (p) + G m usim y sk orzystać z innego sposobu w yznaczania z er tak iej funkcji.

T w i e r d z e n i e

Ilość pierw ia stkó w (N ) fu n k c ji Y u (p) + Y (p) regularnej na prawej półpłaszczyźnie z w y j ą tk i e m ewentualnego p u n k tu p = oo określa r ó w  nanie 1 [16]:

p rz y czym Cp jest drogą całkow ania n a płaszczyźnie p: od p — — ri do

D roga całkow ania Cp n a płaszczyźnie p przejdzie tera z na now ą k rzy w ą C„, n a płaszczyźnie w.

O kreślim y now ą k rzy w ą Cw. w zdłuż której przeprow adzam y całko-

i F u n k c ja Y u(p) + Y(p) je s t re g u la rn a n a p raw ej półpłaszczyźnie gdyż, ja k w yjaśniono w tw ie rd z e n iu d), Y(p) n ie m a ta m biegunów . E w en tu a ln y biegun w p = oo -wykluczamy przez odpow iednie p rzy jęcie krzyw ej Cp (rys. 11).

Y u (p) + G = 0

d la Re (p) > 0 oraz G < Gu

(⁸) Cp

Ti ^ ^ TC p = + ri i dalej po półokręgu re lcp, gdzie r - > oo o r a z \ \ —

/ 2 2

z w yłączeniem p u n k tu p = 0 oraz p u n k tu p = oo (rys. 11).

Jm(fi)

Rys. 11. D roga całk o w a n ia w płaszczyźnie P

W prow adźm y now ą zm ienną

W y = Y u (p) + Y (p).

w am e:

(16)

1. D roga całkow ania w zdłuż osi urojonej od p = — ri do p = + ri p rzekształca się w Cwl = Y u (im) + Y (¿co),

gdzie co zm ienia się od — r do + r ( r - > oo).

2. D roga całkow ania w zdłuż półokręgu o p rom ieniu r -> co p rze

kształca się w półokrąg nieskończenei duży, zam kn ięty w praw o 1:

fu n k cja w m ianow niku w y rażenia podcałkow ego m a tylko jed en p ier

w iastek w y — 0

W aru n ek stabilności brzm i zatem :

A by u k ład był stabilny, k rzyw a Cu, należąca do tego u k ład u nie m o

że obejm ow ać p u n k tu w y = 0.

W ygodnym sposobem spraw dzenia czy p u n k t w y = 0 leży w ew n ątrz obszaru określonego p-rzez k rzy w ą C„. jest b adanie p rzy ro stu arg w y.

M ianowicie [16]:

gdzie ACu, arg w y jest p rzyro stem k ą ta pro m ien ia wodzącego z p u n k tu 0 p rzy pełn y m obiegu jego końca w zdłuż krzyw ej Cw (dla — oo < co < oo).

Poniew aż w y (p) dla sprzężonych w artości p p rzy jm u je rów nież w artości sprzężone, w y starczy ro zpatrzy ć k rzyw ą skład ającą się z krzy wej

1 O ile Y u(P) i Y(p) m a ją sto p ień licznika co n ajm n ie j o je d en w iększy od sto p  n ia m ianow nika.

dla

C,„2 = Yu (p) + Y (p)

|p| — »0 i — ^ < a r g p < | - ,

Z z

zaś _{C w} — c wj 4- Ciu2>

Po w prow adzeniu nowej zm iennej otrzym am y

(9) c,w

(10) c,w

C J1 = Y u (¿CO) + Y (ico) dla

0 <C co <C oo i krzyw ej

dla

C ,/2 = Y u (p) + Y (p) p] *00 i ~ < arg p < 0 ,

Z zas

(17)

9

dWy 1 . _

— - — - ACW' arg w y = — N .

Wn ic OD

O bchodzim y więc końcem p ro m ien ia wodzącego krzy w ą C.J (dla 0 < co < oo) i badam y p rzy ro st k ą ta p ro m ienia wodzącego. Z atem układ jest stabiln y , gdy p rz y ro st k ą ta ACl/ arg w y = 0. W celu określenia, kie

dy u k ła d je s t stabilny, m ożna więc k orzystać z c h a ra k te ry sty k i często

tliw ościow ej oporu ujem nego, k tó ra może być rów nież podana z pom ia

ru.

W ykażem y teraz, że dw ó jn ik k lasy I m usi być oporem ujem nym . W ty m celu załączam y dw ójnik n a SPM J (p) jednostkow ą i wówczas

Posłużm y się c h a ra k te ry sty k ą częstotliw ości. W ty m p rzypadku Y (p) = 0, a zatem kw estię stabilności rozw iąże krzyw a

Wy (iw) = Y u (iw),

czyli c h a ra k te ry s ty k a częstotliw ości sam ego dw ójnika. U kład taki, jako załączony n a opór nieskończenie w ielki jest n iestab iln y (patrz u stęp 3.1, p u n k t d), a w ięc m usi być:

czyli k rzy w a Y a (iw) m u si obejm ow ać p u n k t 0 (patrz rys. 12, k rzyw a 1 lu b 2). Z ry su n k u w idać, że w ted y dla pew nego zakresu częstotliw ości

(dla krzyw ej 1 w1 < w < c o 2, dla krzyw ej 2 0 < w < w2) składow a rze czyw ista adm itan cji jest u jem n a, a więc

Z kolei w y jaśn im y znaczenie G u. Jeżeli opór ujem n y był załączo

n y n a przew odność G nieskończenie dużą (był zw arty) i przew odność tę będziem y zm niejszali, to przy w artości G = G u układ m usi przejść ze sta n u stab iln eg o do niestabilnego. R ozpatrując to zagadnienie za pom o-

AC™. arg Y u (iw) < 0,

Jmya (ico)

90° < cp < 270°.

(18)

*

cą c h a ra k te ry sty k częstotliw ości w y (iw) n a płaszczyźnie p otrzym am y rys. 13. O braz krzyw ej w y (iw) będzie się w m ia rę zm niejszania G prze

suw ał w lewo. Poniew aż fu n k cja Y u (p) nie m a biegunów na praw ej pół- płaszczyźnie (tw ierdzenie c), u stęp 3.2), to nie może ich mieć i funkcja Yu (p) + G, poniew aż p rzy jm u je ona w artości nieskończenie duże dla tych sam ych p co i Y u (p).

W chwili, w k tórej krzyw a zacznie obejm ow ać p u n k t 0 układ stanie się niestabilny. W edług tw ierdzen ia a) i b) (ustęp 3.2) p rzy pad ek ten za

chodzi dla w artości G = Gu, zaś z rys, 13 b widać, że w artość owa jest

Rys. 13. W yznaczenie G u

n ajm niejszą przew odnością opcru ujem nego dla częstotliw ości wu, przy k tó rej składow a biern a adm itan cji Y u (iw) jest rów na zeru:

— G u = m in Y u (iwu), (12)

gdzie wu — częstotliwości, dla k tó ry ch Im Y u (iw) = 0.

Z ty ch sam ych rysunków w ynika, że w otoczeniu p u n k tu — G u =

= m in Y u (iw) krzyw a Y u (iw) m usi mieć przebieg z dołu do góry:

Jm Y(iiü) du

albo

dcp(o>)

d to

< 0

u)u

<

0

.

(13)

(14) D o w ó d

Tylko w ted y p rzy ro st k ą ta AClu, arg Y u (iw) z p u n k tu 0 może być m n iej

szy od zera

ACu), arg Yu (iw) < 0,

co jest rów noznaczne z istnieniem zera, a więc niestabilnością. G dyby Ac w, arg Y u (iw) > 0, to m ielibyśm y biegun, co jest sprzeczne z założe

niem.

Spraw dzenia, czy d an a fu n kcja Y u (p) spełnia podane w yżej w aru n ki, m ożna dokonać w d w ojaki sposób:

1. Przez badanie fu n k cji Y u (p), ustalenie jej zer i biegunów . 2. P rzez badanie krzyw ej Y u (iw).

(19)

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 87 D rug i sposób je s t zazw yczaj łatw iejszy. M ożna go jed n a k stosować tylko w tedy, gdy z góry wiadomo, że fu n k cja Y u (p) nie m a biegunów na praw ej półpłaszczyźnie.

3.4. Przykłady funkcji spełniających w ym agania podane w punktach 3.1 — 3,3

1. N ajprostszą fu n k cją Yu (p) spełn iającą powyższe w ym agania jest:

A d m ita n c ja ta odpow iada układow i zastępczem u B ark h au sen a (ustęp 2.3, rys. 6). K sz tałt krzyw ej ad m itan cji dla p = tco p rzedstaw iony jest na rys. 14 a.

a) A d m itancja pow yższa posiada jed e n jed y n y biegun p = o°, speł

n ia więc w a ru n e k c) (ustęp 3.2). Dalsze p u n k ty m ożna spraw dzić bądź przez b adanie ad m ita n c ji Yu (p), bądź przez badanie krzyw ej Yu (iro) w edług m etod y podanej w u stęp ie 3.3.

b) F u n k c ja posiada jed e n p ierw ia ste k dodatni

spełnia więc w a ru n e k d) (ustęp 3.2). N a ry su n k u 14 a k rzy w a Cw obej

m u je p u n k t 0.

c) D la G > G u imamy:

co w idać rów nież z w ykresu, k tó ry p rzed staw ia rys. 14 b. F u n k c ja speł

n ia więc w a ru n e k a) (ustęp 3.2).

d) D la G < G.j m am y jed en pierw iastek dodatni:

(P) = — + P Cu. (15)

J m Wyf/io)

Rys. 14. W ykres w y (uo) d la u k ła d u zastępczego B a rk h a u se n a

co w idać z rys. 14 c.

(20)

e) Z ry su n k ó w 14 a, b i c widać, że:

— Gu = m in Y (icou), przy czym w ty m p rzy pad k u iou = 0.

f) Z ry su n k u 14 a widać, że

d ^ Q

dco

U kład tak i p rzed staw ia opór u jem n y w całym zakresie częstotliwości 0 < a> <C oo. Ma on więc dla p rą d u stałego c h a ra k te ry sty k ę opadającą (np. dynatron). W p rzypadku niestabilności z oporem czynnym w ystę

p u je jeden człon czasowy ty p u ePfc4, gdzie pk rzeczyw iste > 0.

S ta n n ieustalo n y jest więc aperiodyczny — u k ła d p rzesk aku je do in

nego p u n k tu pracy, dla którego m oże już być stabilny.

2. Jak o d ru gi przykład ro zp atrzym y adm itancję:

r u(p) = - G 0 + — i — = _ G 0 + — PC— , (16)

R 4 - — 1 + p R C

pC

k tó rej odpow iada uk ład zastępczy p rzedstaw iony na rys. 15.

-G o

J

Rys. 15. U kład zastępczy oporu ujem nego

a) A dm itancja m a jed en jed y n y biegun p = U leżący na lewej półpłaszczyźnie.

b) P ierw iastk iem Yu (p) jest

RC

p - G ”

C (I — G„R) P ie rw ia ste k te n jest w iększy od zera, gdy

G„ < U

J e s t to więc w arunek, by Yu (p) mogło być oporem ujem nym .

(21)

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 89 c) Obliczmy G u. W edług u stęp u 3.3 (12)

— G.j = m in Y (i©u), Y(i«) = — G 0 itoC

zatem

d) D la G > G U m am y:

P = e) D la G < G u m am y:

1 -f~ iwRC G u = Go.

G„ — G _____

C[1 + (G — G„)R]

<

0

.

Gu — G > 0,

zaś m iano w nik jest w iększy od zera, a więc p > 0.

Rys. 16, W ykres w y (iw) d la u k ła d u z rys. 15

f) Z ry su n k u 16 w idać, że

d tp (to)

<

0

.

U) = 0

U kład ta k i p rzed staw ia opór u jem n y w zakresie częstotliw ości 0 < co <

<C©2, m a więc rów nież c h a ra k te ry sty k ę staty czną opadającą.

3.5. Wzmacniacz ze sprzężeniem zwrotnym napięciowym jako opór ujemny klasy 1 1

W edług Bodego [1] ad m in istrację w ejściow ą w zm acniacza z napięcio

w ym sprzężeniem zw ro tn y m m ożna p rzedstaw ić jako:

y u (p) = Yo ^(P)[1 — K (p) p (p)], (17) gdzie

Yo (p) — ad m itan cja w ejściow a tego w zm acniacza przy w yłączonych lam pach (z uw zględnieniem oporów w ew n ętrzn y ch lam p), K (p) — w spółczynnik w zm ocnienia w zm acniacza bez sprzężenia

zw rotnego,

(1 (p) — fu n k cja przejścia obwodu sprzężenia zwrotnego.

Szczególny p rzy p a d ek tego ro d z a ju ro z p a try w a ł C risson [6],

(22)

N a w stępie m ożna zaznaczyć,, że Y0 (p), K (p) i P (p) nie m ają biegu

nów na p raw ej półpłaszczyźnie:

Y0 (p) jako ad m itan cja obw odu pasyw nego,

K (p) jako w spółczynnik w zm ocnienia w zm acniacza stabilnego (bez sprzężenia zwrotnego),

(3 (p) jako fu n k cja przejścia pasyw nego obwodu.

W obec tego Yu (p) nie m a biegunów na praw ej półpłaszczyźnie, gdyż biegu n y Y u (p) są rów nocześnie biegunam i Y0 (p), K (p) lub P (p) i speł

niony jest w a ru n e k c) (ustęp 3.2).

A by ad m itan cja w ejściowa Y u (p) m iała co n ajm n iej jed en p ierw ia

ste k na praw ej półpłaszczyźnie p m usi być spełniony w arunek:

1 — K (p) (3 (p) = 0

dla Re (p) > 0 dla co najm niej jedn ej w arto ści p. W aru n ek ten najlepiej spraw dzić za pom ocą w ykresu N yąuista.

Jeżeli k rzyw a N yąuista dla danego w zm acniacza obejm uje p u n k t — 1, to w a ru n e k te n jest spełniony, istn ieje w te d y co n ajm n iej jed en p ie r

w ia ste k z dod atn ią częścią rzeczyw istą. Inaczej m ówiąc, w zm acniacz ta k i m usi być n iestabilny, aby m ógł być oporem ujem ny m .

Obliczm y teraz G„. W edług (12)

— Gu = m in Y (icoj = m in Y 0 (icou) [1 — K (icou) p (icoŁ,)].

W ielkość tę znajdziem y z c h a ra k te ry sty k i częstotliw ościow ej oporu ujem nego. C h a ra k te ry sty k ę tę m ożna otrzym ać z krzyw ej N y ąu ista przez m nożenie dla każdej w artości w, Y0 (ico) z [1 — K (ico) (1 (iw)].

1 — K (p) p (p) m a co n ajm n iej jed en pierw iastek na praw ej półpłasz

czyźnie; Y0 (p) [1 — K (p) P (p)] m a te sam e pierw iastki. Jeżeli -więc k rzy w a

1 — K (ico) p (ico) ob ejm u je p u n k t 0, to i krzyw a

Y0 (ico) [1 — K (ico) p (ico)]

m u si obejm ow ać p u n k t 0. Z tego w ynika, że dla pew nych w artości co Yu (ico) = \ Y a\e*»,

m usi być

90° < cp < 270°, a więc m am y dla pew nego zakresu opór ujem ny.

Z kolei rozpatrzym y zachow anie się takiego wzm acniacza przy p rzy łączeniu na jego w ejście przew odności G. Dołączenie takiej przew odności spow oduje przesunięcie się c h a ra k te ry sty k i częstotliwościowej o w a r

tość odpow iadającą G w praw o (rys. 17). Jeżeli G < G a, to k rzyw a obej

m u je p u n k t 0, układ jest więc niestabilny (pun kt b), u stęp 3.2). Jeżeli

(23)

A n a liza w łasności oporów u je m n y c h 91 G > G U, to krzyw a nie o b ejm u je p u n k tu 0, u k ła d jest więc stabiln y (pkt a), u stęp 3,2). Jeżeli m am y K (0) = 0 (wzm acniacz w zm acnia tylko składowe zm ienne) lub (3 (0) = 0 (sprzężenie zw ro tne tylko dla składo

wych zm iennych), to

Y u (0) = Y0 (0) > 0.

Jmwy(iw) Jm Wy (iw)

Rys. 17. W ykres w y (iw) dla w zm ac- / ? Ru-1

niacza ze sprzężeniem zw rotnym T J Re Wy (iw) \ -6 * 1 7 Rewy(iw) (7-o

a b

K rzy w a Y u (ico) zaczyna się więc na p raw ej półpłaszczyźnie. P rak ty czn ie zaw sze sp ełniony je s t w aru n ek :

K (ioc) = 0 lu b (3 (i°°) = 0, w ted y

Y u (zoo) = Y0 (ioo).

K rz y w a Y u (ico) m usi się więc kończyć n a p raw e j półpłaszczyźnie. Możli

w e są tu dw a przypadki:

1) Y0 (ico) = w arto ści rzeczyw istej stałej, w ted y k rzy w a m a k ształt p rzed staw io n y n a ry s. 18 a,

2) Y0 (ioo) = ioo, w ted y k rzy w a m a k sz ta łt przedstaw ion y na rys. 18 b.

W obu p rzy p ad k ach m am y do czynienia z dw ójnikiem klasy I, k tó ry tylko w p ew n ym zak resie częstotliw ości CR < co < . to2 p rzedstaw ia opór ujem ny. U kłady takie nie m ają c h a ra k te ry sty k i statycznej opadającej.

W p rzyp ad ku niestabliności z oporem czynnym w y stę p u ją dw a czło-

- i .

ny ty p u e k , przy czym R e Pk > 0, m ogą zatem w pew nych p rzy p a d  kach zaistnieć d rgania (sinusoidalne lub relaksacyjne).

Jeżeli

K (0) 4= 0 i (3 (0) 4= 0

(24)

92 A d a m Macura

(wzm acniacz napięcia stałego i sprzężenie zw rotne dla napięcia stałego), to przy

K (0) P (0) > 1

Rys. 19. W ykres w y (iw) dla w zm ac

niacza p rą d u stałego ze sprzężeniem zw rotnym d la p rą d u stałego

k rzy w a Yu (ico) zaczyna się n a lew ej półpłaszczyźnie (rys. 19). D w ójnik w zakresie 0 < c o < ( o 2 p rzed staw ia więc opór u jem ny. Tego rod zaju u k ła d będzie m iał c h a ra k te ry sty k ę staty czn ą opadającą.

4. Własności oporu ujemnego klasy II

W edług klasyfikacji przeprow adzonej w ustęp ie 1.1 dw ójnik a k ty w n y połączony z dużym oporem czynnym pow inien być stabilny, zaś p rzy zm niejszaniu w artości tegoż oporu czynnego przy pew nej jego w arto ści pow inien on* p rzejść ze stan u stabilnego do niestabilnego.

4.1. W łasności „doświadczalne”

a) Układ, jest stabilny p r z y oporze R w ię k s z y m od pewnego oporu R u>

którego wartość zależy ty lk o od d w ó jn ika aktyumego.

b) Układ je s t niestabilny p r z y oporze R m n ie js z y m od tegoż R u- Jak o dw a p rzy p ad k i szczególne otrzym am y:

c) Układ jest niestabilny p rzy zwarciu.

d) Układ jest stabilny p rzy biegu luzem.

4.2. Dualność obu klas oporów ujemnych

J a k łatw o spraw dzić, w szystkie tw ierdzen ia poprzednio w yprow adzo

ne dla oporu ujem nego k lasy I będą w ażne dla klasy II po zam ianie elem entów

G przez R,

C przez L, *

L przez C, Y przez Z, więc przez elem enty analogiczne.

(25)

*

A na liza w łasności oporów u je m n y c h 93 Z p u n k tu w idzenia teo rii obwodów opory u jem n e klasy I i II są więc u kładam i dualnym i. W szczególności oba u k łady zastępcze B ark- h a u sen a są u k ład am i dualnym i. P rz y k ła d y oporów u jem n y ch klasy II m ożna więc otrzym ać przez k o n stru k c ję graficzną [34] z odpow iednich p rzykład ó w dla k lasy I. Na p rzy k ła d z rys. 15 otrzym am y rys. 20.

-Ro

Rys. 20. U k ład zastępczy oporu ujem nego k la sy II

C h a ra k te ry s ty k i am plitudow o-fazow e dla oporów klasy II będziem y ry so w a li n a płaszczyźnie Z (ko), o trzym am y w ted y dla dualn y ch u kładów te sam e k sz ta łty c h a ra k te ry sty k .

C iekaw ym p rzy k ła d em oporu ujem nego klasy II je s t w zm acniacz z p rąd o w y m sprzężeniem zw rotnym . J e st to rów nież uk ład dualny.

5. Stabilność układów zawierających opór ujemny

Jak ik o lw iek u k ła d zaw ierający opór u jem n y przedstaw ić m ożna w po

staci połączenia dw óch d w ójników — oporu ujem nego — i reszty u k ła du, trak to w a n ej jak o dw ójnik. R ozpatryw ać będziem y jedynie układy, które, jako jed y n y ele m en t a k ty w n y zaw ierają opór ujem ny.

5.1 Stabilność układów zawierających opór ujemny klasy I

W obwodzie p rzedstaw ion y m na rys. 21 działa SEM jednostkow a E (p), wówczas

E(p) E Y(p) Y „ (p) • J(p) =

Y(p) + Yu(p) (18)

Y«(P) Y(p) Jtt) ^E(t)

- Q -

y j p > y(p>

Rys. 21. Z ałączenie SEM E (p) na obwód Yu(P), Y (P)

U kład będzie stabilny, jeżeli J (p) nie m a na p raw ej półpłaszczyź- nie p biegunów .

(26)

94 A d a m Macura

Licznik w y rażenia nie m a tam biegunów : Y (p) jako adm itancja obwodu pasyw nego,

Y„ (p) jako opór ujem n y klasy I (ustęp 3.2, p u n k t c).

Wobec tego biegunam i J (p) m ogą być ty lko zera m ianow nika. W aru n

kiem stabilności je s t zatem :Y (p) + Yu (p) nie m a zer na prawej pół- płaszczyźnie. B adanie tego w a ru n k u m ożna w ykonać przy użyciu m e

tody podanej w ustępie 3.2. Zaznaczyć należy, że fu n k cja Y (p) + (p) jest reg u la rn a n a praw ej półpłaszczyźnie (nie m a tam biegunów , bo ani Y (p), ani Y u (p) ich tam nie m a). W m yśl podanego ta m sposobu należy w ykreślić krzyw ą:

w y (iw) = Y (iw) + Y,j (iw) dla w > 0

‘ oraz badać p rzy ro st k ąta pro m ienia wodzącego z p u n k tu 0 przy pełnym jego obiegu w zdłuż tej krzyw ej (dla 0 < w < o o ) . M ając k rzyw e Y (iw) i Yu (iw) podane z osobna na w ykresie, należy utw orzyć ich sumę, p u n k t po punkcie dla każdego w.

Jeżeli m am y do czynienia z układam i zastępczym i B arkhausena, to n ary so w anie krzyw ej w y (iw) jest nadzwyczaj pro ste [12],

Podzielm y k rzyw ą w y (iw) n a odcinki leżące na praw ej półpłaszczyź

nie (k+) i na odcinki leżące na lewej półpłaszczyźnie (k_) w ów czas

n m

\ c w, arg w g (ico) = 2 Ak- + £ A*+ = — N z , (19)

gdzie *_1

Afc_ — p rzy ro st k ą ta na „ u jem n y m “ k -ty m odcinku krzyw ej, ' — p rzy ro st k ą ta na „d o d atn im “ k -ty m odcinku krzyw ej.

N a ry su n k u 22 a, b, c i d są przedstaw ion e n iek tó re m ożliw e p rze

biegi krzyw ej w y (iw) n a lew ej półpłaszczyźnie. Z rysunków tych w y  nika, że

Ak_ =ł= 0 oraz Ak+ 4= o,

jeżeli początek i koniec k-tego (ujem nego) odcinka leżą na różnych p ó ł- osiach, zaś

Afc_ — 0 oraz Ak+ = 0,

jeżeli początek i koniec k-tego odcinka leżą n a tej sam ej półosi. D alej w y nik a z rysunk u , że dla u k ład u stabilnego (rys. 22 a i d)

2 Afc_ = 0. (20)

w tedy, ja k w ynika z ró w n an ia (19), rów nież

2 A k+ = 0. (21)

T w i e r d z e n i e 1

W celu rozstrzygnięcia kw estii stabilności; można ograniczyć analizę albo do części k r z y w e j leżącej na lewej półpłaszczyźnie, albo do części leżącej na praw ej półpłaszczyźnie.

(27)

é

A naliza w łasności oporów u je m n y c h 95

Jeżeli d w ó jn ik I (II) jest oporem u j e m n y m w zakresach częstotliwości

< ( O < C 0 2 ,

co3 < co < co4, (22)

C 0 2 n _ i < c o < c o 2 n ,

to celem zbadania stabilności u k ła d u w y sta rc z y zbadać sum ę przyrostów k ató w prom ieni wodzących po poszczególnych odcinkach k r z y w e j

w y (¿co) = Y (¿co) + Y u (ico) dla tyc h zakresów częstotliwości.

Jmr>y(iu) JmtVyiioj)

C C

( f CJ=0 GJ*oo (Jj-o CO= oo

s / Rewy(ia>) Rewyfiw

c ( " b

J m w y (iu i)

(

O m w y(iu )

6 • O ■ CO=oo • C0=0

.6>.0 :üJ -oo R eWy (i(j) Re Wy

(

C d

w ych w y (ico)

D o w ó d

D la sk ra jn y c h częstotliw ości pasm a

cos = co1} co2 . . . • <»2n

Re [wy (¿cos)] = Re [Y„ (ico,) + Y (icos)] > 0, (23)

bo Re Y u (icos) = 0,

a Re Y (icos) > 0,

zaś e w en tu aln e odcinki krzy w ej w y ^(ico) leżące n a lew ej półpłaszczyźnie odpow iadać m ogą ty lk o częstotliw ościom leżącyim w e w n ątrz pasm a, bo tylko dla

COj i < co < cos

może być

Re [w y (ico)] < 0.

(28)

*>

G dy dla każdego co, dla którego

Re Yu (ico) < 0 jest

| Y (ico) | > | Yu (ico) | , to ukła d jest stabilny.

D o w ó d

Jeżeli u k ład m a być stabilny, to m usi być:

^ cw a r § [y (ico) + Yu (ico)] = 0,

(24) (25)

Aca , arg [Y ^{(ico) -f-}Y„ ^(ico)]= Ac . arg j Y ^(ico) 1

Y u ^(ico)

Y(ico)

11

= hcw’ arg Y (ico) - f

+ A<V arg ^1- ^Y^u^(ico)

Y (ico)

ale AclI/a r g Y (ico), jako p rzy ro st k ą ta dla u k ład u stabilnego (Y (ico) jest a d m ita n c ją u k ład u pasywnego) m usi być ró w n y zeru.

Z badajm y dalej krzyw ą

Ya (ico) _ | Y u (ico) j e'?u [ Y„(ico)

Y (ico)

poniew aż to

a więc

I Y(ico) [ e,f I Y (ico)

| Y ( t o ) | < | Y „ (ico) I ,

Re Yu (ico) Y (ico)

Yu (ico) !

Re 1

Y (ico)

, Y « (ico)

>

0

.

Y ^(ico)

K rzy w a ta leży więc w zupełności na praw ej półpłaszczyźnie, zatem i dla niej

A 1 I ^U (itó)l - Cw' a r§ Y (ico)

J _

T w ierdzenie powyższe w y nikałoby w pro st z twierdzenia R.ouche’a [16] [1], gdyby nierów ność (25) spełniona była dla każdej w artości co.

J e d n a k w artość takiego tw ierd zenia b yłaby znacznie m niejsza, stosowa

nie tw ierdzen ia R ouche’a w ym aga bow iem znajom ości ty ch odcinków k rzy w y ch Y u (ico) i Y (ico), które, ja k tu ta j w ykazano, na stabilność nie -wpływają i k tó re poza ty m są dośw iadczalnie tru d n e do otrzym ania ze w zględu n a to, że częstotliw ości dla ty ch odcinków krzyw ych są albo b liskie zeru albo bardzo wysokie.

T w ierdzenie odw rotne do powyższego nie zawsze jest ważne.

(29)

A naliza w łasności oporów u je m n y c h 97 T w i e r d z e n i e 4

Układ jest stabilny, jeżeli

|Y u (ic o )|< |Y (ic o )| (26)

dla tyc h częstotliwości, dla których

arg [Yu (ico) + Y (ioi)] = 0. (27) D o w ó d

W szystkie p u n k ty przecięcia się krzyw ej Y u (i°J) + Y (im) = w y (ico)

z osią rzeczyw istą leżą w ted y na praw ej półosi rzeczyw istej (patrz rys.

22 c).

T w ierd zen ie odw rotne do powyższego nie m usi być praw dziw e.

Na ry su n k u 23 przedstaw io n a jest c h a ra k te ry sty k a częstotliw ości u kład u stab iln ego nie spełniającego tw ierdzenia odw rotnego.

Rys. 23. W ykres w y (¿w) dla u k ła d u nie spełniającego tw ie rd z en ia od

w rotnego do tw ie rd z e n ia 4

Rys. 24. M ożliw e p rzebiegi k rzyw ych w y (ico)

Jeżeli dany dw ójn ik je s t oporem u jem n y m począw szy od często

tliwości co = 0, to m ożna podać tw ierd zenie o niestabilności.

Układ zawierający opór u j e m n y posiadający własność

Y„ (0) < 0 (28)

jest na pew no niestabilny w połączeniu z obwodem, dla którego

Y (0) < Y u (0). (29)

D o w ó d

K rzyw a Y (ico) + Y u (ico) = w y (im)

może m ieć ty lko k sz ta łt 1— 3 p rzedstaw iony n a rys. 24. K ształt 4 i 5 jest w ykluczony, dla niego bow iem

A cw, arg W y < 0.

7 E l e k t r y k a z e s z . 4