Systemy rozmyte

Podstawowym elementem niezbędnym do podejmowania decyzji jest wiedza o analizowanym problemie. W przypadku systemów rozmytych wiedza ta modelowana jest z wykorzystaniem reguł rozmytych, które umożliwiają prowadzenie procesu wnioskowania rozmytego.

Wnioskowanie rozmyte polega na przetworzeniu zmiennych ilościowych na pojęcia lingwistyczne, następnie modelowaniu problemu na podstawie bazy reguł, która odzwierciedla naszą wiedzę o problemie, a na koniec przetworzeniu wyjść z powrotem na zmienne ilościowe. Wiele procesów myślowych nie ma charakteru formalnego i nie opiera się o schematy wnioskowania klasycznej logiki. Systemy rozmyte naśladują poniekąd ludzkie rozumowanie i dobrze radzą sobie w złożonych sytuacjach (Rykaczewski 2006; Rutkowska i in. 1999; Perka 2003).

Systemy rozmyte znajdują zastosowanie wszędzie tam, gdzie nie posiadamy precyzyjnych danych do stworzenia modelu matematycznego opisującego dane zjawisko oraz tam, gdzie odtworzenie takiego modelu jest niemożliwe ze względów technicznych i ekonomicznych.

Klasyczny system rozmyty składa się z bazy reguł, bloku rozmywania, bloku wnioskowania oraz bloku wyostrzania (rysunek 22).

Rysunek 22. Schemat systemu rozmytego (źródło: Rykaczewski 2006)

Baza reguł reprezentuje wiedzę jakościową o możliwych wartościach zmiennych stanu

tzn. o problemie w postaci zbioru reguł rozmytych w postaci wyrażeń if-then. Reguły te mogą pochodzić z kilku źródeł: wiedzy eksperckiej, modelowania jakościowego lub algorytmów automatycznego pozyskiwania wiedzy. Przesłanki (poprzedniki) składają

44

się z koniunkcji i/lub alternatyw wyrażeń lingwistycznych typu “x jest A”, gdzie x jest zmienną, a A jej wartością lingwistyczną. Lingwistyczne „jest” oznacza przynależność do zbioru rozmytego opisanego etykietą “A”. Konkluzje (następniki) są zazwyczaj pojedynczym wyrażeniem typu “y jest B” (Discover…, 2016). Reguły takie można łatwo zapisać metodami logiki rozmytej przez wyrażenia warunkowe połączone operatorami logicznymi. Reguły mogą opisywać zarówno modele o wielu wejściach i jednym wyjściu jak i wielu wyjściach. Na bazę reguł składa się zatem zbiór pewnych rozmytych reguł w postaci (Rutkowska i in. 1999):

) jest jest jest ( ) jest jest jest ( 2 2 1 2 2 1 ) ( 1 1 k m m k k k n n k k k B y B y B y A x A x A x R AND AND THEN AND AND IF :   (22) gdzie:

A_ik – zbiory rozmyte takie, że A_ik ⊆ X_i ⊂ R, i = 1, ..., n,

B_jk – zbiory rozmyte takie, że B_jk ⊆ Y_j ⊂ R, j = 1, ..., m,

x₁, x₂, ..., x_n, – zmienne wejściowe modelu lingwistycznego, przy czym (x₁, x₂, ..., x_n)T = x X₁ × X₂ × ... × X_n

y₁, y₂, ..., y_m, – zmienne wyjściowe modelu lingwistycznego, przy czym (y₁, y₂, ..., y_m)T = y Y₁ × Y₂ × ... × Y_m

Blok rozmywania (fuzzyfikacji) umożliwia przeprowadzenie operacji przekształcających

sygnały wejściowe z dziedziny ilościowej na wielkości jakościowe reprezentowane przez zbiory rozmyte na podstawie określających je funkcji przynależności.

Zmienne wejściowe jak i wyjściowe są wartościami rzeczywistymi, więc w praktyce zakres ich zmienności jest skalowany w większości zastosowań do domkniętego przedziału, np. [-1 ; 1]. W tej fazie konkretna wartość liczbowa poddana zostaje procesowi rozmywania (ang. fuzzification), w wyniku czego zostaje odwzorowana na zbiór rozmyty.

W bloku wnioskowania następuje uruchomienie każdej z reguł, której przesłanki są spełnione. W oparciu o przesłanki wyznaczany jest rozmyty zbiór reprezentujący konkluzję wynikową.

W procesie wnioskowania można używać wiele typów reguł (schematów) wnioskowania. Często stosowanymi regułami są: modus ponens oraz modus tollens. Rozmyta reguła modus ponens wygląda następująco (tabela 7) (Rykaczewski 2006):

Tabela 7. Schemat wnioskowania modus ponens

Przesłanka Implikacja

x jest A′

IF x jest A THEN y jest B

Wniosek y jest B′ Źródło: (Rykaczewski 2006)

45

gdzie A, A′ ⊆ X oraz B, B′ ⊆ Y są zbiorami rozmytymi, natomiast x i y są tzw. zmiennymi lingwistycznymi.

Wniosek reguły rozmytej odnosi się do pewnego zbioru rozmytego B′, który jest określony przez złożenie zbioru rozmytego A′ i rozmytej implikacji A → B, tzn. B′ = A′ ∘ (A → B), przy czym funkcja przynależności zbioru rozmytego B′ ma postać:

)}

,

(

*

)

(

{

sup

)

(y x

_{A B}

x y

T A x B    

  



X (23)

Uogólnioną (rozmytą) regułę wnioskowania modus tollens określa następujący schemat wnioskowania (tabela 8) (Rykaczewski 2006):

Tabela 8. Schemat wnioskowania modus ponens

Przesłanka Implikacja

y jest B′

IF x jest A THEN y jest B

Wniosek x jest A′ Źródło: (Rykaczewski 2006)

gdzie A, A′ ⊆ X oraz B, B′ ⊆ Y są zbiorami rozmytymi, natomiast x i y są tzw. zmiennymi lingwistycznymi.

Wniosek reguły rozmytej odnosi się do pewnego zbioru rozmytego A′, który jest określony przez złożenie relacji A′ = (A → B) ∘ B′, przy czym funkcja przynależności zbioru rozmytego A′ ma postać:

)}

(

*

)

,

(

{

sup

)

(x x y

_B

y

T B A y A    

  



Y (24)

W przypadku wyżej opisanej reguły decyzyjnej modus ponens (zastosowanej w niniejszej dysertacji) stosuje się spójnik „i”, czyli koniunkcję zbiorów rozmytych. W tym przypadku zdecydowano się na wykorzystanie operatora T-normy: MIN (ze względu na powszechność oraz prostotę uzycia tego operatora, poza tym jest on operatorem najbardziej „pesymistycznym”, co oznacza, że wyniki danych reguł będą najbardziej restrykcyjne).

Wnioskowanie w systemach rozmytych może opierać się na wnioskowaniu typu Mamdaniego lub wnioskowaniu typu Takagi-Sugeno.

W modelach rozmytych opartych na wnioskowaniu typu Mamdaniego podstawą jest baza reguł (If –Then) i stosowanie operatorów lingwistycznych stanowiących jakościowy opis systemu. Wyjście każdej reguły opisane jest etykietą lingwistyczną, a wyjście całego modelu wyznaczane jest przez superpozycję wyjść poszczególnych reguł.

46

Interpretacja reguł rozmytych w modelu Mamdaniego składa się z dwóch podetapów (Jach 2012):

­ W pierwszym etapie realizowany jest proces obliczania mocy reguł. W tym celu, dla każdej zmiennej w przesłankach reguły wyznaczane są stopnie przynależności do odpowiedniego zbioru rozmytego i jednocześnie jest wyznaczany zbiór rozmyty będący rezultatem uaktywnienia reguły.

­ W drugim etapie ma miejsce agregacja aktywnych reguł, która polega na sumowaniu rozmytych zbiorów wynikowych ze wszystkich reguł. Otrzymany zbiór rozmyty jest zbiorem wynikowym wnioskowania rozmytego.

Wnioskowanie według Mamdaniego jest wykorzystywane głównie w układach regulacji, gdzie reguły tworzą wyrażenia lingwistyczne oparte na znajomości eksperckiej systemu i zdrowym rozsądku. Ustalenie wynikowego zbioru rozmytego, dla koncepcyjnego systemu składającego się z czterech reguł i czterech zbiorów rozmytych na wyjściu systemu przedstawiono na rysunku 23.

Rysunek 23. Przykład agregacji zbioru końcowego dla systemu składającego się z czterech reguł (źródło: Rusek 2010)

Alternatywnym sposobem wnioskowania rozmytego jest metoda Takagi-Sugeno oparta na bazie reguł specjalnego formatu. Modele te różnią się od modeli

47

Mamdaniego postacią reguł. O ile w przypadku modelu Mamdaniego systemu jedno wejście/jedno wyjście reguła ma postać (Piegat 1999):

IF (x jest A) THEN (y jest B) (25)

gdzie:

A, B – zbiory rozmyte typu „mały”, „blisko” itp., to w przypadku modelu Takagi-Sugeno reguły mają następującą postać (Piegat 1999):

IF (x jest A) THEN (y=f(x)) (26)

Ich konkluzja zawiera funkcję f(x), a nie zbiór rozmyty. Funkcja ta może być nieliniowa, chociaż najczęściej stosowane są funkcje liniowe. Wówczas reguły Takagi-Sugeno mają formę:

IF (x jest A) THEN (y=ax+b) (27)

Struktura tego modelu wymaga znajomości funkcyjnej zależności f między wejściami i wyjściami, przy czym dla każdej z możliwych realizacji zmiennych wejściowych zależność funkcyjna może (ale nie musi) być inna. Modele Takagi-Sugeno należy stosować głównie wtedy, gdy funkcje przynależności mają charakter trapezowy lub podobny. Model zawiera trzy podstawowe bloki – fuzyfikacji, wnioskowania i wyznaczania ostrej wartości wyjściowej (Łachwa 2001).

Blok wyostrzania (defuzyfikacji) umożliwia przeprowadzanie operacji

przekształcających sygnały wyjściowe systemu z dziedziny jakościowej na ilościową. Dane wyjściowe bloku wnioskowania (jeden lub więcej zbiorów rozmytych) odwzorowuje się w jedną wielkość, która będzie wyjściowym sygnałem sterowania (Rykaczewski 2006). W ogólności wyostrzanie jest transformacją dowolnego zbioru rozmytego B opisanego na przestrzeni Y na pewną wartość numeryczną (rysunek 23). Operację wyostrzania można wykonać z wykorzystaniem różnych metod, polegających na wyznaczeniu wartości reprezentatywnej w odniesieniu do geometrii pola zamkniętego przez zagregowany zbiór rozmyty.

Wśród możliwych metod wyostrzania najczęściej spotykanych w literaturze są (Yager, Zadeh 1992, Piegat 1999):

­ metoda pierwszego maksimum (First of Maxima - FOM), ­ metoda ostatniego maksimum (Last of Maxima - LOM), ­ metoda środka maksimum (Middle of Maxima - MOM), ­ metoda środka ciężkości (Center of Gravity - COG), ­ metoda wysokości (Height Method),

48

W metodzie pierwszego maksimum za ostrego reprezentanta y* rozmytego zbioru konkluzji wynikowej przyjmuje się najmniejszą wartość y1 odpowiadającą

maksymalnemu stopniowi przynależności µwyn(y). Graficzną interpretację tej metody przedstawiono na rysunku 24, na którym widać, iż ze wzrostem stopnia aktywizacji zbioru najbardziej zaktywizowanego (C2), jego reprezentant y*= y1 przesuwa w stronę

największej wartości ym2 tego zbioru. Jeżeli stopień aktywacji zbioru C2 zmniejsza się, reprezentant y*= y1 odsuwa się od największej wartości zbioru C2 w stronę największej wartości ym1 zbioru C1.

Rysunek 24. Defuzyfikacja metodą pierwszego maksimum y* = y1 (źródło: Piegat 1999)

Metoda ostatniego maksimum za ostrego reprezentanta y* rozmytego zbioru konkluzji

wynikowej przyjmuje największą wartość y2 odpowiadającą maksymalnemu stopniowi

przynależności µwyn(y). Ilustrację metody stanowi rysunek 25. W przypadku, gdy aktywizacja zbioru C2 (decydującego o wyborze reprezentanta y*) maleje, a zbioru C1 rośnie (rośnie znaczenie zbioru C1 w procesie wnioskowania) wartość y* = y2 oddala się do maksymalnej wartości ym1 zbioru C1.

Rysunek 25. Defuzyfikacja metodą ostatniego maksimum y* = y₂

49

W metodzie środka maksimum funkcję przynależności do zbioru rozmytego można rozumieć jako funkcję informującą o podobieństwie poszczególnych elementów zbioru do elementu najbardziej typowego dla tego zbioru. Często jednak zbiór wartości elementów może zawierać więcej niż jeden element. Jest tak m.in. na przykładzie przedstawionym na rysunku 26. Dlatego uznaje się za reprezentanta zbioru wynikowego konkluzji wartość średnią według poniższego wzoru:

y = 0,5(y1* + y2*) (28)

Rysunek 26. Graficzna interpretacja wynikowej funkcji przynależności z określoną ilością elementów y o najwyższej przynależności (y₁* ≤ y ≤y₂*)

(źródło: Piegat 1999)

Metoda środka ciężkości za ostrego reprezentanta y* wynikowego zbioru rozmytego

zdefiniowanego funkcją przynależności µwyn(y) przyjmuje współrzędną yc* środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją (rysunek 27).

Rysunek 27. Defuzyfikacja metodą środka ciężkości (źródło: Piegat 1999)

Wartość współrzędnej y_c środka ciężkości można obliczyć jako iloraz momentu

powierzchni pod krzywą µ_wyn(y) względem osi pionowej µ(y) i wielkości tej powierzchni, co opisuje następujący wzór:

50

(29)

W metodzie wysokości każdy zbiór rozmyty Cj(y) wyjścia modelu zastępuje się singletonem umiejscowionym w wartości modalnej tego zbioru. Następuje zatem zastąpienie wyjściowych zbiorów rozmytych ich ostrymi wartościami umieszczonymi w punktach, w których przyjmują one wartości maksymalne y_j = m_j. Ilustrację tej metody przedstawiono na rysunku 28. Metoda ta umożliwia uwzględnienie przy obliczaniu ostrej wartości wyjściowej wszystkich reguł z bazy.

Rysunek 28. Przykład defuzyfikacji z użyciem metody wysokości (źródło: opracowanie własne na podstawie Piegat 1999)

Po zastąpieniu zbiorów rozmytych właściwymi im zbiorami jednoelementowymi dalsze operacje na nich są identyczne jak w przypadku zwykłych zbiorów rozmytych. Do obliczenia wyjścia modelu y* (wyniku defuzyfikacji) stosuje się wzór:

(30)

Inną metodą wyostrzania (dającą zbliżone wyniki do metody środka ciężkości) jest

metoda środka sum (SS) – Bisector of Area (BOA), która za ostrego reprezentanta y`

wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B` zdefiniowanego funkcją przynależności

przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność:

1 C3 C2 C1 m₃ y₃ m₂ y₂ m₁ y₁ y (y)

51

(31)

gdzie:

Graficzne porównanie wymienionych metod przedstawiono na rysunku 29.

Rysunek 29. Graficzne porównanie metod wyostrzania (źródło: Wierzchoń 2009)

W ostatnich latach teoria zbiorów rozmytych cieszy się coraz większą popularnością i znajduje szerokie zastosowanie między innymi w elektronicznych systemach sterowania maszynami, pojazdami i automatami (w medycynie i w różnych gałęziach przemysłu), zadaniach eksploracji danych czy też w budowie systemów ekspertowych. W niniejszej rozprawie zostanie przedstawiony przykład wykorzystania systemu rozmytego w metodzie wspomagającej wybór kierunku rekultywacji terenów poeksploatacyjnych kruszyw naturalnych.

52

W dokumencie Index of /rozprawy2/11117 (Stron 43-52)