– od logiki klasycznej do logiki deskrypcyjnej
6.2. Teoria mnogości
Teoria zbiorów, zwana również teorią mnogości, została stworzona około połowy XIX wieku, przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiory skończone można opisać poprzez wyliczenie ich elementów. Najczęściej używanym symbolem przy definiowaniu zbioru są nawiasy klamrowe.
A= {x1, x2, x3} (4)
Definiowanie zbiorów nieskończonych wymaga bardziej rozwiniętego języka, niemniej jednak, według Georga Cantora, każda kolekcja obiektów jest zbiorem. Podstawowym symbolem używanym przy definiowaniu i opisywaniu zbiorów jest ∈, oznaczający, że obiekt jest "elementem" pewnego zbioru [132].
Jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B i piszemy A⊆ B. W takim przypadku mówimy, że pomiędzy zbiorami A i B zachodzi inkluzja.
Najczęstszymi operacjami wykonywanymi na zbiorach są operacje sumy, przecięcia i różnicy. Sumą dwóch zbiorów A i B jest zbiór oznaczony przez A∪B w skład którego wchodzą wszystkie elementy zbioru A, wszystkie elementy zbioru B i żadne elementy spoza tych zbiorów. } : {x x A x B B A∪ = ∈ ∨ ∈ (5)
Podobnie definiujemy przecięcie zbiorów:
A∩B={x:x∈A∧x∈B} (6) Różnica zbiorów: } : { /B x x A x B A = ∈ ∧ ∉ (7)
Aksjomatyczna teoria mnogości powstała jako odpowiedź na paradoksy powstające w teorii naiwnej. Jest ona oparta o uzupełniony aksjomatami rachunek predykatów. Aksjomaty to formuły, których prawdziwość zakładamy. Aksjomaty teorii mnogości - podstawowe własności zbiorów - przyjmujemy bez dowodów i w oparciu o nie wyprowadzamy bardziej skomplikowane własności. Istotne jest, aby aksjomaty były możliwie najprostsze w formie i aby ich "prawdziwość" była oczywista. Przyjęcie złej aksjomatyki może doprowadzić do sytuacji, w której udaje się poprawnie dowodzić twierdzenia zupełnie sprzeczne z intuicją. Aksjomatyka została zaproponowana w podstawowej wersji przez Ernsta Zermelo i uzupełniona później przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela. Stąd też pochodzi jej nazwa ZF (aksjomatyka Zermelo-Fraenkla) [86]. Często używaną nazwą jest ZFC, gdzie ostatnia litera pochodzi od nazwy dodatkowego aksjomatu wyboru: Axiom of Choice.
Naiwna teoria mnogości to pojęcie używane dla określenia metod stosowanych w początkowym okresie rozwoju teorii mnogości i oznacza podejście oparte na intuicyjnym (nieformalnym) traktowaniu zbiorów. Na przykład w naiwnej teorii mnogości istnienie zbioru będącego sumą dwóch danych zbiorów jest "oczywiste", podczas gdy ZFC wymaga przyjęcia aksjomatu sumy. I tak podstawowe aksjomaty ZFC to:
− Aksjomat zbioru pustego; − Aksjomat Pary;
− Aksjomat Sumy;
− Aksjomat Wyróżniania; − Aksjomat Nieskończoności; − Aksjomat Zbioru Potęgowego; − Aksjomat Zastępowania; − Aksjomat Regularności; − Aksjomat Wyboru.
Wymienione aksjomaty stanowią bazę dla dowodów twierdzeń składających się na teorię mnogości. Teoria mnogości posiada bogatą literaturę, zainteresowanego czytelnika odsyłamy do pozycji: [2, 86, 132, 161].
Z punktu widzenia niniejszej pracy szczególnie istotne jest, że teoria zbiorów stała się podstawą dla wielu formalizmów wiedzy i systemów informacyjnych, m.in. algebry relacji (relacyjne bazy danych), teorii zbiorów rozmytych i teorii zbiorów przybliżonych, o których mowa w rozdziale 8.
6.3. Rachunek zdań
Logika zdaniowa jest językiem, który pozwala opisywać zależności pomiędzy zdaniami. Zdanie logiczne to każde stwierdzenie, któremu można przypisać dokładnie jedną z dwóch wartości: prawdę albo fałsz. Choć zdania reprezentują fakty, ich sens pozostaje bez znaczenia dla rachunku. Nazywamy je w związku z tym czasem zmiennymi zdaniowymi. Nie ma w nim wyrażeń stwierdzających jakiś stan rzeczy, zajście jakichś faktów, czy też wyrażeń orzekających o własnościach obiektów. Przedmiotem zainteresowania są tu tylko możliwe zależności pomiędzy stwierdzeniami, oraz to w jaki sposób prawdziwość zdań złożonych zależy od prawdziwości ich składowych. Zdania złożone budujemy ze zmiennych za pomocą literałów (p, q, ~p, ~q), spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) takich jak:
− alternatywa: ∨
− koniunkcja: ∧ − negacja:
~,¬
− implikacja: ⇒,→,⊃
− równoważność: ⇔,↔
− inne, np.: alternatywa wykluczająca (XOR): ⊕, ; − czy kreska Sheffera (NAND - dysjunkcja):|, ↑, /
Źródło: opracowanie własne na podstawie [2]
Rysunek 43. wartość logiczna podstawowych zdań złożonych w zależności od wartości logicznych p i q
W tworzeniu zdań używane są również stałe logiczne (prawda, „1”) i ⊥ (fałsz, „0”), oraz nawiasy.
Schematy zdań, które przyjmują wartość logiczną 1 niezależnie od wartości logicznych tworzących je zdań nazywamy tautologiami lub prawami rachunku zdań. Przykłady tautologii [82]:
− (p ⇒ p); zasada tożsamości;
− ~(p ∧ ~p); zasada niesprzeczności – to samo zdanie nie może być zarazem prawdziwe i fałszywe;
− (p ∨ ~p); zasada wyłączonego środka– jedno i to samo zdanie musi być prawdziwe albo fałszywe;
− ~(~p) ⇔ p; zasada podwójnego przeczenia – binegacji – zawsze, jeżeli nieprawdą jest, że p jest fałszywe, to jest ono prawdziwe.
− (p ⇒ ~p) ⇒ ~p; prawo redukcji do absurdu – jeżeli z p wynika ~p, to nieprawda, że p – jeżeli z jakiegoś zdania wynika zaprzeczenia tego zdania, to uznajmy, że zdanie to jest fałszywe;
− [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q; sylogizm konstrukcyjny, reguła odrywania (modus ponendo ponens) – wnioskowanie z prawdziwości pewnego wyrażenia o prawdziwości innego – o ile prawdziwa ma być implikacja i prawdziwy jest poprzednik p, to prawdziwy także musi być następnik q;
− [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ ~p; sylogizm destrukcyjny (modus tollendo tollens) – wnioskowanie z fałszywości pewnego wyrażenia o fałszywości innego – jeżeli prawdziwa ma być implikacja, to jeżeli jej następnik q jest fałszywy, to fałszywy musi być poprzednik p;
− (p ⇒ q) ⇒ (~q ⇒ ~p); prawo transpozycji prostej – zdanie warunkowe jeżeli p to q przekształcone jest tu na inne zdanie warunkowe, w którym q i p są zanegowane i zmieniona jest ich kolejność;
− ~(p ∧ q) ⇒ (~p ∨ ~q); I prawo de Morgana – negacja koniunkcji jest równoważona alternatywie jej zanegowanych składników – pierwsze, albo drugie zdanie jest fałszywe, albo oba.
− ~(p ∨ q) ⇒ (~p ∧ ~q); II prawo de Morgana – negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji jej zanegowanych składników.
− q ⇒ (p ⇒ q); charakterystyka prawdy = prawo symplifikacji – o ile następnik implikacji jest prawdziwy, to cała implikacja jest prawdziwa, niezależnie od tego jaką wartość przyjmie poprzednik.
− ~p ⇒ (p ⇒ q); charakterystyka fałszu – jeżeli poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest zawsze prawdziwa, niezależnie od wartości, jakie przyjmie następnik.
− (p ∧ ~p) ⇒ q; prawo Dunsa Szkota – koniunkcja dwóch zdań sprzecznych implikuje wszelkie zdanie o dowolnej treści.
− ~(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p); prawo negowania implikacji – jeżeli nieprawda, że p to q, czyli jeżeli nieprawda, że p implikuje q, to oznacza, że q implikuje p.
− prawo sylogizmu hipotetycznego koniunkcyjnego – zdanie warunkowe posiadające w poprzedniku koniunkcję dwóch implikacji, w których tylko jedna zmienna q jest wspólna, zmiennej tej jest brak w następniku, w którym występują zmienne nie powtarzające się w poprzedniku.
Prawa rachunku zdań pozwalają budować reguły wnioskowania. Wśród wymienionych znalazły się takie reguły jak modus ponens – reguła odrywania (sposób potwierdzający przez potwierdzenie) pozwalająca budować schematy wnioskowania na zasadzie:
q Zatem p q to p JeŜeŜe : , (8)
Reguła dedukcyjna modus ponens jest podstawą mechanizmu wnioskowania wprzód, który stosowany jest w systemach ekspertowych, m.in. w stosowanym przez system CastExpert języku CLIPS (rozdział 7.2. Mechanizm wnioskowania).
Często reguły wnioskowania zapisuje się w schemacie formalnym w postaci:
wniosek przeslanki
(9)
Co dla reguły odrywania (modus ponens) przyjmuje postać:
ψψ ϕ
ϕ
⇒ ,(10)
Przykłady reguł wnioskowania zamieszczono w tabeli 8.
Tabela 8. Przykłady stosowania reguł wnioskowania
Źródło: opracowanie własne
Dowolną formułę atomową nazywamy literałem pozytywnym, a dowolną formułę atomową poprzedzoną operatorem negacji - literałem negatywnym. Formułę, która ma
postać alternatywy dowolnej liczby literałów (pozytywnych lub negatywnych), nazywamy klauzulą. W szczególności, pojedynczy literał także jest klauzulą. Na szczególną uwagę zasługują klauzule, które zawierają nie więcej niż jeden literał pozytywny. Nazywane są one klauzulami Horna. Klauzula Horna mówi, że zagadnienie dające się zapisać w języku logiki można wyrazić jako reguły o jednym wniosku, w tzw. postaci kanonicznej.
Jeżeli reguła zawiera kilka konkluzji, to można ją rozbić na kilka reguł o pojedynczej konkluzji; jeżeli określony warunek może być spełniony przez kilka zbiorów różnych przesłanek, to zamiast operatora alternatywy możemy rozbić regułę na kilka reguł.
Np.: regułę o dwóch zbiorach przesłanek i dwóch konkluzjach
(p, q) ∨ (r, s) ⇒ (v1, v2) (11)
można zapisać jako:
p, q ⇒ v1
p, q ⇒ v2
r, s ⇒ v1
r, s ⇒ v2
Klauzula Horna umożliwia zwiększenie przejrzystości części poprzednika i następnika reguł oraz ułatwia implementację systemu ekspertowego przez uproszczenie maszyny wnioskującej. Klauzule Horna, zapisane w postaci implikacji, to dogodna forma zapisu formuł do stosowania wnioskowania modus ponens. Jeżeli bazę wiedzy można zapisać w postaci klauzul Horna, to wnioskowanie polega na zastosowaniu reguły odrywania tyle razy ile to konieczne bądź możliwe, w przypadku gdy dalszy wywód nie jest możliwy, stosuje się nawracanie wnioskowania (backtracking on failure).
Rachunek zdań stanowi podstawę dla mechanizmów wnioskowania, jednak dla reprezentacji wiedzy potrzebne są jeszcze możliwości przedstawienia sensu zdań, na co pozwalają predykaty (wyrażenia opisujące własności i relacje) oraz kwantyfikatory [93].
6.4. Logika pierwszego rzędu
Logika pierwszego rzędu (First Order Logic, FOL), będąca rozszerzeniem rachunku zdań, jest takim systemem logicznym, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem zbioru, ale nie może być zbiorem. Logika ta nazywana jest też rachunkiem predykatów lub rachunkiem kwantyfikatorów. Rachunek kwantyfikatorów zajmuje się wnioskowaniami odwołującymi się do wewnętrznej budowy zdań. W zagadnieniach wnioskowania w zbiorze formuł, który stanowi początkową zawartość bazy wiedzy, nie występują zmienne wolne - wszystkie wystąpienia zmiennych są związane z pewnym kwantyfikatorem. Kwantyfikator jest oznaczeniem dla zwrotów:
− ogólny (generalny) – ∀x, – ‘dla każdego’, ‘dla wszystkich’;
− szczegółowy (egzystencjalny) -∃x, – ‘istnieje’, ‘dla pewnego’, ‘dla niektórych’. Logika pierwszego rzędu zajmując się wewnętrzną budową zdań kładzie nacisk na sens poszczególnych napisów. Stąd oprócz zmiennych zdaniowych (literałów) mamy tu:
− Nazwy generalne – Np. (nazwa generalna jednostkowa) moduł systemu CastExpert+ , (nazwa generalna ogólna) wada odlewu,
− Deskrypcje – nazwy złożone co najmniej z dwu słów. Wyrażenie to jest deskrypcyjnym funktorem nazwotwórczym, którego argumentami są nazwy indywidualne, a nazwy generalne są częścią składową deskrypcyjnego funktora nazwotwórczego, np. „granica między fazami α i γ” – „α” i „γ” to argumenty i terminy jednostkowe, a ‘granica między fazami’ jest deskrypcyjnym funktorem nazwotwórczym opartym na dwu argumentach – nazwach jednostkowych.
− Term – łącznie nazwa indywidualna i deskrypcja – zbiór nazw jednostkowych i zakres nazwy ‘term’ jest równy sumie zakresów nazwy ‘jednostkowa nazwa indywidualna’ i ‘deskrypcja’. Term jest wyrażeniem składającym się ze zmiennych oraz symboli funkcyjnych.
− Predykat – to wyrażenie opisujące własności i/lub relacje. Nazywane są funktorami zdaniotwórczymi (jedno lub wieloargumentowymi), gdyż połączone z terminem jednostkowym tworzy zdanie.
Np. w zdaniu:
Niska temperatura zalewania jest przyczyną fałdy (W207).
− zwrot „jest przyczyną” jest predykatorem dwuargumentowym argumentów „temperatura zalewania” oraz „fałda (W207)” odzwierciedlającym relację;
− zwrot „niska” jest predykatem jednoargumentowym argumentu „temperatura zalewania” odzwierciedlającym własność.
Zdanie to można zatem zapisać:
) , ( _ ) ( _ 207 , ) ( ) ( _
,temp zalewania p niska p x W falda x jest przyczyną p x
p ∧ ⇒∃ ∧
∀
Zalety reprezentacji logicznej:
− spójność - wszystkie fakty to stwierdzenia logiczne,
− zupełność - można wywnioskować wszystkie prawdziwe stwierdzenia dające się wyrazić w ramach FOL,
− oddzielenie części epistemologicznej od dedukcyjnej. Wady reprezentacji logicznej:
− problemy z eksplozją kombinatoryczną, − niewielka efektywność wnioskowania,
− niektóre formy wiedzy trudno jest wyrazić za pomocą reprezentacji logicznej. Logika pierwszego rzędu i rachunek predykatów pierwszego rzędu mają ograniczone możliwości ekspresji
FOL, pomimo trudności w reprezentacji informacji niepewnej i niekompletnej stała się podstawą systemów wnioskowania, w tym języków budowania kodu (Prolog, CLIPS). Do dziś mimo jej ograniczeń przypisuje się jej szczególnie duże, wręcz paradygmatyczne znaczenie ze względu na jej precyzję i walory edukacyjne.
Język logiki stał się podstawą większości formalizmów wiedzy, takich jak: − reguły produkcji (reguły IF.. THEN, rozdział 7.2)
− bazy danych (SQL)
− logika deskrypcyjna (DL, rozdział 6.7) − ontologie (OWL, rozdział 9)
− sieci neuronowe [25, 87, 88] − algorytmy genetyczne
− sieci Bayes’a
− logika przybliżona (Pawlak [1982], rozdział 8.2)
oraz innych systemów logiki stosowanych w systemach informacyjnych, takich jak: − Common Logic – języki logiki oparte na FOL
− F logic (Kifer [1995])
− Logika ciągła (R. Poli, M. Ryan, A. Sloman 1995) − Teoria wiarygodności (Dempster - Schaefer 1968) − Zbiory cieniowane (Pedrycz W., 1998)
− logiki modalne, logiki temporalne, − logika możliwych światów.
6.5. Sieci semantyczne
Rozwój sieci semantycznych (semantic networks) datuje się od publikacji Quillian’a [130]. Ich celem było opisanie modelu wiedzy i wnioskowania za pomocą wzajemnych relacji istniejących pomiędzy obiektami. Struktury takie są grafami, w których wnioskowanie jest proste, gdyż ścieżka inferencyjna jest po prostu konkatenacją tych łuków (krawędzi) grafu, które wiodą od przesłanek do tezy.
Każda koncepcja jest węzłem sieci, mogą nimi być obiekty, typy lub klasy, zdarzenia, działania, epizody, miejsca, czasy itd. Łuki reprezentują przykłady, podklasy, relację IS-A (subsumpcję).
Rozumowanie w sieciach jest podobne do działania mózgu w czasie tworzenia skojarzeń i rozumowania; podobny model używany jest w psychologii do wyjaśniania czasów odpowiedzi. Polega na pobudzeniu koncepcji: aktywność rozszerza się od pobudzonego węzła na węzły z nim połączone, aż dojdzie do pożądanych własności. Umożliwia to łatwe dziedziczenie koncepcji.
Zdanie:
Zbyt niska temperatura zalewania jest przyczyną powstawania wady odlewu - fałdy (W207).
można przedstawić za pomocą sieci:
Źródło: opracowanie własne
Rysunek 44. Przykład sieci semantycznej dla zdania „Zbyt niska temperatura zalewania jest przyczyną powstawania wady odlewu - fałdy (W207).”
Jak widać na przykładzie (rys. 44) w sieci występują dwa rodzaje relacji (hierarchia i właściwości) i dwa rodzaje obiektów (klasy, obiekty i wartości). Relacje mogą przedstawiać hierarchię abstrakcji składającą się z kolei z relacji uszczegółowienia pomiędzy klasami
(Zalewanie formy jest procesem) oraz relację egzemplifikacji zachodząca pomiędzy wystąpieniem a klasą (Fałda jest wystąpieniem wady odlewu).
Właściwości mogą obejmować dowolne zależności pomiędzy obiektami i klasami (Fałda ma symbol), a także między obiektami a wartościami (Symbol ma wartość W207).
Niektóre relacje mają predefiniowane znaczenie, jak na przykład relacja „zawiera” oznaczająca agregację, a „jest” (is-a) subsumpcję. W zależności od przyjętego modelu sieci, podklasa dziedziczy wszystkie atrybuty lub też mogą istnieć atrybuty niedziedziczone (dopuszczalne są wyjątki) [33].
Choć sieci semantyczne są notacją logiczną, nie posiadają formalnej semantyki, przez co nie ma jednoznacznej interpretacji. Interpretacja łuku X is-a Y może być:
− X podzbiorem Y; − X częścią Y; − X rodzajem Y .
Sieci semantyczne poprzez brak zastosowania kwantyfikatorów mają również ograniczone możliwości ekspresji.
Zastosowania sieci semantycznych w kontekście systemów informacyjnych są różnorodne, a w tym do: konceptualnego opisu projektowanych systemów informacyjnych, rozumienia języka naturalnego, rozpoznawania i rozumienia mowy czy budowy interfejsów do systemów baz danych opartych na języku naturalnym. Ich wady, nieprecyzyjność, ogólność powodują jednak znaczne trudności w przetwarzaniu komputerowym.
6.6. Ramy (frames)
Zapoczątkowane przez Minsky’ego [103] rozszerzenie idei sieci semantycznych. Ramy w swoim założeniu są raczej funkcjonalne aniżeli strukturalne, jak sieci semantyczne. W swoich podstawach zbliżone do koncepcji sieci semantycznych, nawiązują do znanych z psychologii poznawczej obserwacji, że bieżące zachowania są oparte na stereotypowych sekwencjach zdarzeń, które utworzono na podstawie doświadczeń wyniesionych z przeszłości.
Cytując Minsky’ego podstawą teorii ram jest spostrzeżenie [102]:
„Kiedy człowiek spotyka nową sytuację lub zmienia punkt widzenia na bieżący problem, wydobywa z pamięci strukturę zwaną ramą. Jest to zapamiętany szkielet, który można dopasować do rzeczywistości zmieniając jedynie szczegóły. Rama jest strukturą danych reprezentującą stereotypową sytuację, jak na przykład przebywanie w pewnym rodzaju pokoju lub wyjście na imprezę urodzinową dziecka.”
Ramy są zatem złożonymi strukturami powstałymi w wyniku nagromadzenia się wcześniejszych doświadczeń; ich zadaniem jest opisać obiekt lub koncepcje i możliwości jej użycia. Rama jest reprezentacją elementu świata rzeczywistego i jest przedstawiona jako zbiór tzw. slotów (slot), które zawierają deklaratywną lub proceduralną informację o obiekcie, przy czym ramy zwykle zorganizowane są w struktury hierarchiczne (z dziedziczeniem slotów - własności).
Każdy slot przedstawia własność (atrybut) i jej wartość. Wartości slotów posiadają fasety (facet), czyli ograniczenia nałożone na te wartości.
<OBIEKT><ATRYBUT><WARTOŚĆ> (12) Na ramy mogą być dodatkowo nałożone aksjomaty wyrażone w języku logiki.
Źródło: opracowanie własne
Rysunek 45. Przykładowe ramy dla fragmentu modelu wiedzy o staliwie
Ramy mogą być łączone w strukturę hierarchiczną (graf-drzewo). Wierzchołkami takiego grafu są ramy, a jego gałęzie określają relację podrzędności ram. Relacja podrzędności oznacza dziedziczenie właściwości obiektu określonego ramą nadrzędną przez obiekt określony ramą podrzędną. Wprowadza się slot zawierający nazwę ramy nadrzędnej. W ten sposób uzyskuje się odwołania do innych ram. Wprowadzenie mechanizmu dziedziczenia znacznie ogranicza redundancję baz wiedzy.
Ramy w swojej podstawowej strukturze nie zawierają specjalnych mechanizmów sterowania wnioskowaniem. Ramy spełniają jednak zasady opisu strukturalnego, a to dzięki powiązaniom i procedurom zawartym w ramach. Daje to możliwość wykorzystania ram przy wnioskowaniu. Dzięki dziedziczeniu jest możliwe prowadzenie procesu wnioskowania, ponieważ właściwości obiektów nadrzędnych przechodzą na obiekty podrzędne. Wykorzystuje się ten mechanizm w procesie tworzenia systemów ekspertowych opartych na tego typu reprezentacji wiedzy.
Podobnie jak w przypadku sieci semantycznych, wady ram to zbytnia ogólność, niejednoznaczność, a także brak ścisłej, formalnej definicji. W 1995 r. opracowano nawet w związku z tym odrębny system logiki zwanej f-logic [61], na potrzeby przetwarzania maszynowego modeli ram.
Jednak mimo tych niedoskonałości ramki stały się podstawą standardowego interfejsu OKBC (Open Knowledge Base Connectivity), przeznaczonego do jednolitej reprezentacji wiedzy i dostępu do ontologicznych baz wiedzy. Ponadto, jak nietrudno zauważyć, idea ram jako elementów świata, rozszerzona o aspekty behawioralne, znalazła swoje wyraziste odzwierciedlenie w obiektowych metodykach inżynierii oprogramowania. Zastosowaniem tej koncepcji jest również język KRL (Knowledge Representation Language).
Pomimo iż ramy jako niedoskonała koncepcja na dość długo zagościła w systemach integracji wiedzy, nadal pracowano nad udoskonalonymi językami logiki pozwalającymi wyeliminować wady ram i sieci semantycznych. Rozwijała się idea ontologii, której owocem stała się logika deskrypcyjna stworzona na potrzeby teorii ontologicznych. Obecnie systemy oparte na ramach ustępują systemom opartym na ontologiach zapisanych w języku logiki deskrypcyjnej OWL-DL.
6.7. Logika deskrypcyjna
Sieci semantyczne i ramy były pierwszymi językami ontologii. Choć opierały się na notacji logicznej, brakowało im formalnej semantyki i siły ekspresji (np. kwantyfikatorów), która pozwoliłaby w pełni opisać model wiedzy. Nadal poszukiwano języka logiki, który pozwoliłby na opis nie tylko znaczeń, ale także reguł oddających w pełni zależności między obiektami, będąc przy tym dostatecznie formalnym językiem by sprostać wymaganiom matematyki i algorytmicznego przetwarzania. Jak dotąd najlepiej w tej roli sprawdza się opracowana specjalnie na potrzeby ontologii logika opisowa, zwana również deskrypcyjną.
Logika opisowa (deskrypcyjna, description logic DL) jest podzbiorem logiki pierwszego rzędu (FOL), którego można użyć do reprezentacji domeny w sformalizowany i ustrukturyzowany sposób, przetwarzalny komputerowo. Opiera się na założeniu, że ramy mogą zyskać semantykę w oparciu o logikę pierwszego rzędu, jeśli podstawowym elementem reprezentacji będą jednoargumentowe predykaty odpowiadające zbiorowi obiektów oraz dwuargumentowe predykaty odwzorowujące zależności miedzy obiektami [39]. Kolejnym ważnym odkryciem na drodze rozwoju logiki opisowej była obserwacja, że remy i sieci semantyczne nie wymagają do opisu całego aparatu rachunku predykatów pierwszego rzędu, ale można uznać je za fragmenty tegoż [12]. Tym samym logika opisowa pozwala tworzyć deskrypcje opisujące domenę za pomocą konceptów (pojęć - jednoargumentowe predykaty – unary predicates) oraz ról (dwuargumentowe predykaty – binary predicates). Warto zauważyć, że pojęcie Logiki Deskrypcyjnej (DL) obejmuje całą rodzinę języków logiki, takich jak ALC, FL, SHIQ. Skróty nazw poszczególnych języków oznaczają wg konwencji nazewniczej składowe logiki będące dozwolonymi operatorami. W ten sposób już sama nazwa logiki deskrypcyjnej określa jej ekspresyjność.
Do tworzenia zdań w logice deskrypcyjnej (DL) używa się konstruktorów: − alternatywa: − koniunkcja: − negacja:
¬
− implikacja: − równoważność: − prawda i fałsz: ,− konstruktory ograniczające (kwantyfikatory): − ograniczenie istnienia (existential restriction): ∀,
− ograniczenie wartości (value restriction): ∃,
− ograniczenie liczebności (number restriction): ≥, ≤. Przykładowo chcemy wyrazić koncept:
w zapisie DL może wyglądać następująco:
Odlew ∃wykonany.Staliwo (≥2 wadliwy) ∀wadliwy.PekniecieNaGoraco
Jak widać, koncepty mogą być zbudowane z pojęć atomowych (Odlew, Staliwo, PekniecieNaGoraco), ról atomowych (wykonany = wykonany z , wadliwy = posiada wadę), oraz konstruktorów.
Z pomocą logiki można tworzyć definicje pojęć:
Odlew Wyrób ∃odlewany.Forma
lub aksjomaty:
Staliwo Stop („każde Staliwo to Stop”)
6.8. Interpretacje w DL
Ważnym pojęciem w DL jest Interpretacja. Interpretacja I=(∆I, •I) składa się z: − niepustego zbioru ∆I (dziedziny)
− funkcji •I (funkcji interpretacji) − odwzorowującej
− każde pojęcie atomowe A na podzbiór AI⊆ ∆I
− każdą rolę R na podzbiór RI ⊆∆I x ∆I
W przykładowej interpretacji I=(∆I, •I), gdzie:
∆I= {staliwo, żeliwo, brąz, wada, wyrób, odlew, materiał, stop, walec}
Mamy np.:
Stop I= {staliwo, żeliwo, brąz} StopŻelaza I= {staliwo, żeliwo}
¬
StopŻelaza I= {brąz}jestWykonany I= {(wyrób, materiał), (odlew, stop), (walec, staliwo)} wadliwy I= {(wyrób, wada), (odlew, wada), (walec, wada)}
Wtedy:
(jestWykonany. StopŻelaza) I= {walec}
6.9. Baza Wiedzy w DL
Baza wiedzy w logice deskrypcyjnej zbudowana jest z faktów, będących opisem świata w postaci formuł A(a) lub R(a,b) , gdzie A jest pojęciem atomowym, R nazwą relacji, a i b są nazwami obiektów. Przykładami faktów są: Odlew(walec); jestWykonany(walec, staliwo).
ABox jest skończonym zbiorem faktów, czyli twierdzeń o stałych, a TBox jest skończonym zbiorem stwierdzeń o pojęciach, czyli definicji predykatów. Bazą wiedzy w logice deskrypcyjnej jest para (T, A) składająca się z TBox T i ABox A.
Źródło: opracowanie własne na podstawie [5]
Rysunek 46. Architektura systemu reprezentacji wiedzy opartego na logice deskrypcyjnej Zakładając, że I jest interpretacją, mówimy, że [141]:
− I spełnia (satisfy) pojęcie C, jeśli CI≠Ø − I waliduje (valid) pojęcie C, jeśli CI≠ ∆I
− I jest modelem TBox T jeśli I waliduje każde C ∈ T − I jest modelem ABox A jeśli: