Transfer functions o f a cantilever beam: a) with a dynamic damper, b) with a damper without damping, c) without damper

Bardziej ogólnym sposobem rozwiązania tego zagadnienia jest dyskretyzacja z wykorzystaniem metody sztywnych bądź odkształcalnych elementów skończonych, a następnie zastosowanie metod optymalizacji do doboru cech dynamicznych tłumika. Badania takie przeprowadzono z wykorzystaniem wcześniej przedstawionego algorytmu. Belkę podzielono na 8 sztywnych elementów skończonych. Model belki z tłumikiem posiadał 49 stopni swobody, a wyniki doboru cech dynamicznych tłumika przedstawiono na rysunku 8.2.

Belka z dynamicznym tłumikiem drgań, dobranym w procesie optymalizacji, wykazuje znaczne zmniejszenie amplitud przemieszczeń w zakresie pierwszego rezonansu (rys. 8.2 a).

Porównując przebiegi charakterystyk rezonansowych układu z tłumieniem i bez tłumienia przedstawione na rysunku 8.2 a i b, można stwierdzić, że wartości maksymalne amplitud dla przypadku tłumienia odpowiadają punktom charakterystycznym P i Q, zatem znalezione optimum jest optimum globalnym.

8.2. O PT Y M A LIZA C JA C H A R A K T E R Y ST YK D Y N A M IC Z N Y C H U K Ł A D U C IĄ G Ł E G O Z TŁU M IK IE M C IĄ G Ł Y M

Zastosowanie tłumika drgań w postaci masy skupionej do układu o wielu stopniach swobody umożliwia skuteczne eliminowanie tylko jednego rezonansu. Może to się okazać niewystarczające, szczególnie wtedy, gdy zależy nam na obniżeniu zarówno poziomu drgań, jak i hałasu. Badania doświadczalne [108,109] wykazały, że dołączenie tłumika ciągłego, o postaci konstrukcyjnej zbliżonej do układu wyjściowego, umożliwia jednoczesne rozstrojenie kilku rezonansów. Jednakże dobór metodą doświadczalną cech konstrukcyjnych takiego tłumika jest procesem złożonym. Badania są kosztowne i pracochłonne, dlatego też przeprowadzono próby określenia długości tłumika metodami optymalizacji. Rozpatrywano przypadek belki o wymiarach 0 ,0 1 9 x 0,1 x 0,4 m z tłumikiem o przekroju poprzecznym 0,002 x 0,03 m (rys. 8.3), gdyż dla takich wartości dysponowano wynikami doświadczalnymi, pochodzącymi z testów modalnych [109].

Rys. 8.3. Belka utwierdzona z ciągłym, dynamicznym tłumikiem drgań Fig. 8.3. Cantilever beam with a continuous dynamic vibration damper

Porównując charakterystyki rezonansowe układu otrzymane dla różnych długości tłumika (rys. 8.4) można stwierdzić, że w zakresie długości le= 0 ,l+ 0 ,2 m istnieje wyraźne minimum globalne dla wartości około 0,134 m. Jednakże minimalizacja amplitud drgań, przy wykorzystaniu funkcji celu opisującej wartości maksymalne w strefie rezonansu, wymaga zastosowania metod poszukiwania minimum globalnego, gdyż dla tak wybranej funkcji celu istnieje wiele minimów lokalnych. W takim przypadku bardzo efektywna okazuje się optymalizacja prowadzona według schematu opisanego w podrozdziale 7.2.6, gdyż krzywe, opisujące położenie punktów P i Q, dla pierwszego rezonansu, mają tylko jedno minimum, odpowiadające wartości około 0,134 m (rys. 8.5 i 8.6). Wyznaczone w ten sposób optimum

jest niezależne od opisu własności tłumiących w układzie. Szczególnie ta ostatnia cecha jest bardzo ważna z punktu widzenia dokładności przyjętego modelu układu i braku możliwości precyzyjnego opisu własności tłumiących.

(O [rud/s]

Rys. 8.4. C h a ra k te ry sty k a re zo n a n so w a w fu n k c ji d łu g o śc i tłu m ika c ią g łe g o

Fig. 8.4. R e so n a n ce c h a ra c te ristic versu s the length o f a con tin u ous d yn a m ic v ib ra tio n d a m p e r

(O [ r a d /s ]

Rys. 8.5. C h a ra k terystyk a rezo n a n so w a z n a n iesio n ym i pu n ktam i P i Q d la tłu m ik a c ią g łe g o

Fig. 8.5. R e so n a n ce c h a ra c te ris tic w ith p lo tte d p o in ts P a n d Q f o r a con tin u ous d yn a m ic vibration d a m p e r

co [r a d /s] /, [m ]

R ys. 8.6. K r zy w e p o ło ż e ń p u n k tó w P i Q w fu n k c ji d łu g o śc i tłum ika

Fig. 8.6. C u rves o f p o sitio n s o f p o in ts P a n d Q versu s the d yn a m ic d a m p e r 's length

Analizowany układ zamodelowano z wykorzystaniem metody sztywnych elementów skończonych i dokonano następującego podziału na elementy skończone:

• belka - 8 elementów,

• tłumik - 8 elementów.

Tak przygotowany model o 96 stopniach swobody opisano układem równań różniczkowych (3.1) i wyznaczono widmową funkcję przejścia (4.50). Następnie przeprowadzono badania optymalizacyjne dla jednej zmiennej decyzyjnej, opisującej długość jednej gałęzi tłumika.

Optymalizację przeprowadzono według schematu opisanego w podrozdziale 7.2.6. W wyniku obliczeń, prowadzonych dla pierwszej częstości rezonansowej układu, wyznaczono długość tłumika, który umożliwia rozstrojenie tej częstości (rys. 8.7).

on [rad's]

Rys. 8.7. P ie rw szy rezon an s b elk i ro zstro jo n y p r z e z o ptym aln y tłum ik d rgań

Fig. 8.7. F irst reson an ce o f the sy stem d etu n ed with a dyn am ic d a m p e r a fte r o p tim iza tio n Analizując otrzymane wyniki obliczeń dla układu z tłumikiem po optymalizacji (przedstawione na rysunku 8.8), można zauważyć jednoczesne rozstrojenie zarówno pierwszego, jak i drugiego rezonansu. Potwierdza to wyniki badań doświadczalnych [109].

Amplituda drgań rezonansowych została obniżona o około 45% (rys. 8.9 a, c). Należy podkreślić, że pomimo braku dokładnego opisu własności tłumiących i podziału na niewielką liczbę elementów, błąd wyznaczenia długości w stosunku do wyniku z pomiarów doświadczalnych wyniósł około 0,5%.

J_L 1

A

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

co [rad/s] ^ co [rad/sJ h)

Rys. 8.8. C h a ra k terystyk i re zo n a n so w e układu z dyn am iczn ym tłum ikiem d rg a ń : a) b e z tłu m ienia o ra z b) z tłum ieniem

Fig. 8.8. R eson an ce cu rv es o f the sy stem with a dyn am ic vibration d a m p er: a ) w ith ou t dam ping, b) with dam pin g

R ys. 8.9. C h a ra k te ry sty k i d la w y b ra n ych za k re só w c z ę s to ś c i o d p o w ia d a ją c e p ie r w sz e m u i dru giem u rezo n a n so w i: a ) belki, b) b elk i z tłum ikiem b e z u w zg lęd n ia n ia tłum ienia, c) b elk i z tłum ikiem z u w zg lęd n ien iem tłu m ienia w e w n ętrzn eg o

Fig. 8.9. C h a ra c te ristic s f o r se le c te d fre q u e n c y ra n g es co rresp o n d in g to th e f ir s t a n d the se c o n d reso n a n ce: a ) o f the c a n tile v e r beam , b ) o f the beam w ith the d a m p e r w ith ou t dam pin g, c ) o f th e b ea m w ith d a m p e r taking into a cco u n t in tern al dam pin g

Rys. 8.10. P unkty c h a ra k te ry sty c zn e P i Q d la zakresu c z ę sto ś c i o d p o w ia d a ją c e g o I re zo n a n so w i belki, g d zie : a) k rz y w a re zo n a n so w a b elk i b e z tłum ika, b) k rz y w e d la b e lk i z tłum ikiem w y k reślo n e p r z y ró żn ych w a rto śc ia c h w sp ó łczy n n ik a tłum ienia. D o d a tk o w o za zn a c zo n o r o zw ią za n ie optym aln e

Fig. 8.10. C h a ra c te ristic p o in ts P a n d Q f o r the fre q u e n c y ra n g e co rresp o n d in g to the 1st re so n a n ce o f the beam , w h ere: a ) re so n a n ce cu rv e o f the b ea m w ith o u t dam per, b ) re so n a n ce c u rv e s o f the b ea m w ith a d a m p e r o b ta in e d f o r differen t va lu es o f its in tern al d am pin g

1

Częstość [rad's]

Rys. 8.11. P unkty ch a ra k te rystyczn e P i Q d la za k resu c zę sto śc i o d p o w ia d a ją c e g o U re zo n a n so w i belki, g d zie : a) k rzy w a re zo n a n so w a b elk i b ez tłum ika, b) krzyw e d la b elk i z tłum ikiem w y k reślo n e p r z y ró żn ych w a rto śc ia c h w sp ó łczy n n ik a tłum ienia

Fig. 8.11. C h a ra c te ristic p o in ts P a n d Q f o r the fre q u e n c y ra n g e co rresp o n d in g to the 2 nd re so n a n ce o f the beam , w here: a ) reson an ce cu rv e o f the beam w ith ou t dam per, b) re so n a n ce c u rv e s o f the b ea m w ith a d a m p e r o b ta in e d f o r differen t valu es o f its in tern al d a m pin g

xlOJ

Częstość [rad 's]

Rys. 8.12. Punkty c h a ra k te rystyczn e P i Q dla za k resu c zę sto śc i o d p o w ia d a ją c e g o III re zo n a n so w i belki, g d zie : a) k rzy w a re zo n a n so w a b elk i b e z tłum ika, b) k rzyw e d la b elk i z tłum ikiem w y k reślo n e p r z y ró żn ych w a rto ścia ch w sp ó łczy n n ik a tłum ienia

Fig. 8.12. C h a ra c te ristic p o in ts P a n d Q f o r the fre q u e n c y ra n g e co rresp o n d in g to the 3 rd reson an ce o f the beam , w here: a ) reso n a n ce cu rv e o f the b ea m w ith ou t dam per, b ) reso n a n ce c u rv e s o f the beam with a d a m p e r o b ta in ed f o r differen t va lu es o f its in tern al d am pin g

Na podstawie otrzymanych wyników optymalizacji można stwierdzić, że zastosowany schemat obliczeń jest efektywnym narzędziem w procesie kształtowania charakterystyk dynamicznych elementów maszyn. Analiza krzywych rezonansowych wykreślonych dla różnych wartości współczynnika tłumienia wskazuje, że dla małego tłumienia stałe punkty P i Q można zaobserwować również dla kilku wyższych rezonansów (lys. 8.10+8.12).

Zwiększanie wartości współczynnika tłumienia poza wartość graniczną powoduje jednak

„rozmycie się” tych punktów. Wyniki optymalizacji dla poszczególnych wariantów obliczeń zamieszczono w tabeli 8.1.

Tabela 8.1 Zestawienie wyników doboru cech dynamicznych tłumika drgań____________

L p . M e to d a d o b o r u c ec h d y n a m ic z n y c h U Im] b,[m ] h,[m ] c, [Ns/m]

1 Doświadczalna \ 1091 0,135 0,03 0,002 materiałowe

2 Odczyt z wykresu 0,134 0,03 0,002 materiałowe

3 Optymalizacja gradientowa 0,1348 0,03 0,002 materiałowe

4 Optymalizacja AG 0,1341

0,03 0,002 materiałowe

0,1348 3,736-105

5 Optymalizacja wszystkich parametrów (AG) 0,2 0,0426 0,0037 1,019106

Długości gałęzi tłumika wyznaczone różnymi metodami mają zbliżone wartości. Badania optymalizacyjne prowadzono również, wykorzystując algorytm ewolucyjny z reprezentacją zmiennoprzecinkową. Przebieg zmian funkcji celu opisującej wartość największej amplitudy krzywej rezonansowej w poszczególnych generacjach, podczas optymalizacji długości i współczynnika tłumienia, przedstawiono na rysunku 8.13.

R ys. 8.13. P rz e b ie g zm ia n w a r to ś c i fu n k c ji celu n a jle p sze g o o so b n ik a w p o sz c z e g ó ln y c h p o k o len ia ch . Z a sto so w a n o re p re ze n ta c ją zm ien n o p rzecin k o w ą

Fig. 8.13. C h a n g es o f the o b je c tiv e fu n ctio n o f the b e s t in d ivid u a l in p a rtic u la r gen era tio n s. The re a l valu e re p re se n ta tio n h as been a p p lie d

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800

Częstość [rad/s]

Rys. 8.14. C h a ra k terystyk i rezo n a n so w e układu z dyn am iczn ym tłum ikiem drgań: a) m o d el p o c zą tk o w y , b) p o o p tym a liza cji dłu gości, c) z d o d a tk o w ym tłum ieniem , d) p o o p ty m a liza c ji

w szystk ich p a ra m e tr ó w tłum ika

Fig. 8.14. R eson an ce cu rv es o f the sy stem w ith a d yn a m ic da m p er: a ) in itial m odel, b ) a fter o p tim iza tio n o f the length, c) with a d d itio n a l dam ping, d ) a fter o p tim iza tio n o f a ll d esig n p a ra m e te rs

Algorytm wykazał szybką zbieżność do wartości optymalnej. Przeprowadzono również badania optymalizacyjne zmierzające do doboru wszystkich parametrów konstrukcyjnych tłumika (rys. 8.14). Obliczenia prowadzono, wykorzystując 25 osobników w każdej populacji.

Otrzymane parametry tłumika zamieszczono w tabeli 8.1. Główną zaletą zastosowania algorytmów ewolucyjnych do doboru cech dynamicznych tłumika była łatwość sformułowania zadania optymalizacji, z wykorzystaniem nieciągłej funkcji celu i ograniczeniami jedynie na wartości zmiennych decyzyjnych (8.3):

M ini// = a - H max(b ,w ) (8.3)

gdzie: a - współczynnik skalujący funkcję celu, / / max - maksymalna wartość widmowej funkcji przejścia.

Zastosowanie algorytmu ewolucyjnego dla złożonych modeli o wielu stopniach swobody wymaga dłuższego czasu obliczeń w porównaniu z czasem rozwiązania analogicznego zadania optymalizacji metodami gradientowymi.

9. PODSUMOWANIE

Jednolity, macierzowy opis struktury i własności fizycznych układu ułatwia uogólnienie algorytmów i stwarza możliwości stosowania funkcji celu opisujących jego własności oraz charakterystyki dynamiczne rozpatrywane zarówno w dziedzinie czasu, jak i częstotliwości.

Opracowano algorytmy i programy komputerowe do optymalnego kształtowanie

• przedstawione funkcje celu prawidłowo opisują zjawiska dynamiczne w parach kinematycznych i mogą być stosowane do doboru własności dynamicznych układów,

• metody optymalizacji umożliwiają odpowiedni dobór cech konstrukcyjnych układu, zapewniających minimalizację poziomu drgań,

• efektywnymi metodami optymalizacji dla rozpatrywanej klasy zagadnień są metody sekwencyjnego programowania liniowego i kwadratowego oraz, dla pewnej grupy

• dalszego rozwoju algorytmów analizy wrażliwości i optymalizacji cech dynamicznych układów napędowych,

• opracowania funkcji celu opisujących zjawiska, decydujące o trwałości i niezawodności układu.

L I T E R A T U R A

1. Abramson M .A., Chrissis J.W.: Sequential quadratic programming and the ASTROS structural optimization system. Structural Optimization, Vol. 15, pp. 24-32, Springer Verlag 1998. dynamic response. AS M E Journal of Mechanical Design, Volume 122, Issue 4 pp. 508- 514.

5. Anthony D.K.: Robustness of optimal design solutions to reduce vibration transmission