Transport krawędziowy

Przypadek pomijalnego oporu doprowadzeń elektrycznych

Symulacje omównione w tym rozdziale mają na celu określenie wpływu geometrii obszaru znajdującego się poza bramką na mierzoną wartość oporu.

W pierwszej kolejności przeprowadzono symulacje transportu elektronowego w strukturze o znacząco zmniejszonej (do 0.001 Ω) wartości oporu właściwego ma-teriału znajdującego się poza zasięgiem działania elektrody bramkowej. Pozwoliło to, jak również zwiększenie oporu właściwego przez bramkę do wielkości 10⁸Ω, na skorygowanie oporności fragmentów modelu reprezentujących kanały krawędziowe.

W ten sposób uzyskano opory kanałów krawędziowych wynoszące z dobrą dokład-nością h/e². Założono więc, że istnieje ochrona topologiczna przewodnictwa krawę-dziowego, tj. występuje kwantowe spinowe zjawisko Halla.

Po ustaleniu odpowiednich parametrów wejściowych przeprowadzono symulacje przepływu prądu przez badane struktury w różnych konfiguracjach oraz określono wartości oporów w wielu konfiguracjach cztero- oraz dwusondowych (rys. 5.12 – 5.16).

Analiza jakościowa uzyskanych wyników pozwala na potwierdzenie poprawności zmodyfikowania modelu obliczeniowego. Rysunki 5.12 oraz 5.13 prezentują gęstość

ROZDZIAŁ 5. SYMULACJE KLASYCZNE 127 prądu w całej badanej strukturze. Uzyskana mapa gęstości prądu wskazuje na roz-dzielenie strumienia prądu na dwie równe części, które ponownie łączą się w obrębie sondy numer 4. Obserwacja analogicznej mapy gęstości prądu dla przypadku sond prądowych 1 oraz 2 (rys. 5.15) również wskazuje na rozdzielenie strumienia prą-du, tym razem na dwie gałęzie o różnym natężeniu prądu. Przechodząc do map potencjału w tychże konfiguracjach (lokalna — rys. 5.14, nielokalna — rys. 5.16) wskazuje na kolejną diametrialną zmianę w porównwaniu do wyników przedstawio-nych na rys. 5.8 oraz 5.11. Można bowiem zauważyć, że w przypadku dominacji przewodnictwa krawędziowego w centralnej części struktury różnica potencjałów między sondami prądowymi jest niepomijalna nawet w konfiguracji nielokalnej.

Ilościowo uzyskane wyniki wskazywały na bardzo dobrą zgodność z oporami wyznaczonymi z zastosowaniem analizy Landauera-B¨uttikera. Zestawienie warto-ści wybranych oporów czterosondowych uzyskanych różnymi metodami (forma-lizm Landauera-B¨uttikera, model opornikowy) oraz dane uzyskane stosując opisaną w tym podrozdziale metodą przedstawione jest w tabeli 5.2.

j(10⁻³A/m) 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

G

₂

1

2 3

4

5 6

I I

Rysunek 5.12: Gęstość prądu uzyskana dla struktury G2w konfiguracji lokalnej (I14) przy dominacji tranportu krawędziowego. Opór właściwy materiału poza obrębem elektrody bramkowej wynosił ρ₁ = 0.001 Ω, opór właściwy materiału zubożonego ρd= 10⁸Ω. Całkowity prąd wstrzykiwany do struktury I = 10⁻⁸A.

ROZDZIAŁ 5. SYMULACJE KLASYCZNE 128

Rysunek 5.13: Gęstość prądu uzyskana w centralnej części struktury G₂w konfigura-cji lokalnej (I₁₄) przy dominacji tranportu krawędziowego. Opór właściwy materiału poza obrębem elektrody bramkowej wynosił ρ₁ = 0.001 Ω, opór właściwy materiału zubożonego ρ_d = 10⁸Ω. Całkowity prąd wstrzykiwany do struktury I = 10⁻⁸A.

Zielone strzałki reprezentują przybliżony kierunek przeływu prądu w obszarze do-prowadzeń. Strzałki czerwone przedstawiają kierunek przepływu prądu wewnątrz kanałów krawędziowych.

Rysunek 5.14: Potencjał uzyskany dla struktury G₂ w konfiguracji lokalnej (I₁₄) przy dominacji tranportu krawędziowego. Opór właściwy materiału wynosił ρ₁ = 0.001 Ω, opór właściwy materiału zubożonego ρ_d = 10⁸Ω. Całkowity prąd wstrzy-kiwany do struktury I = 10⁻⁸A. Stały potencjał w obrębie doprowadzeń elektrycz-nych do sond napięciowych (2, 3, 5 oraz 6) wskazuje na możliwość zastosowania dowolnego ich punktu jako sondy pomiarowych.

ROZDZIAŁ 5. SYMULACJE KLASYCZNE 129

Rysunek 5.15: Gęstość prądu uzyskana w centralnej części struktury G₂ w konfi-guracji nielokalnej (I₁₂) przy dominacji tranportu krawędziowego. Opór właściwy materiału poza obrębem elektrody bramkowej wynosił ρ₁ = 0.001 Ω, opór właści-wy materiału zubożonego ρ_d = 10⁸Ω. Całkowity prąd wstrzykiwany do struktury I = 10⁻⁸A. Zielone strzałki reprezentują przybliżony kierunek przeływu prądu w obszarze doprowadzeń. Strzałki czerwone przedstawiają kierunek przepływu prą-du wewnątrz kanałów krawędziowych.

U(10⁻⁴V)

Rysunek 5.16: Potencjał uzyskany dla struktury G₂ w konfiguracji lokalnej (I₁₂) przy dominacji tranportu krawędziowego. Opór właściwy materiału wynosił ρ₁ = 0.001 Ω, opór właściwy materiału zubożonego ρ_d = 10⁸Ω. Całkowity prąd wstrzy-kiwany do struktury I = 10⁻⁸A. Stały potencjał w obrębie doprowadzeń elektrycz-nych do sond napięciowych (3, 4, 5 oraz 6) wskazuje na możliwość zastosowania dowolnego ich punktu jako sondy pomiarowych.

ROZDZIAŁ 5. SYMULACJE KLASYCZNE 130

typ Landauer- model symulacje

konfiguracji sondy -B¨uttiker opornikowy z ρ₁ = 0.001 Ω [h/e²] [h/e²] [h/e²]

R_L R_{L 14,23} 1/2 1/2 1/2

R_{L 13,64} 2/3 2/3 2/3

RL 13,56 1/3 1/3 1/3

R_{L 23,56} 1/6 1/6 1/6

R_NL R_{NL 12,43} 1/6 1/6 1/6

R_{NL 12,53} 1/3 1/3 1/3

Tabela 5.2: Zestawienie czerosondowych oporów uzyskanych różnymi metodami, w tym formalizm Landauera-B¨uttikera, model opornikowy oraz opisaną w niniej-szym rozdziale metodę symulacji z wartością oporu właściwego doprowadzeń zre-dukowaną do ρ₁ = 0.001 Ω). Wszystkie wyniki dotyczą struktury o geometrii G₂. Porównanie dotyczy zarówno oporów lokalnych jak i nielokalnych. W przypadku modelu opornikowego i symulacji przedstawione wielkości przyjmują wartości po-danych ułamków z dokładnością lepszą niż 0.1%.

Przypadek rzeczywistej wartości oporu właściwego doprowadzeń elek-trycznych

Następnym krokiem było ponowne wprowadzenie realistycznej wartości oporu właściwego w obszarze znajdującym się poza zasięgiem elektrody bramkowej.

W tym przypadku otrzymane wielkości oporów różniły się od przewidywań mo-delu Landauera-B¨uttikera. Zestawienie wartości oporów czterosondowych uzyska-nych przy różuzyska-nych wartościach oporu właściwego przedstawione jest w tabeli 5.3.

Co istotne, wszystkie te wielkości odnoszą się do układów, w których kanały krawę-dziowe są niezaburzone. Można zatem wnioskować, że odchylenia od skwantowanych wartości ma swe źródło w efektach związanych z obszarami nie podlegającymi dzia-łaniu elektrody bramkowej, tj. doprowadzeniami elektrycznymi do struktury.

By potwierdzić ten fakt przeprowadzono analogiczne symulacje dla zmodyfi-kowanych parametrów. Symulacje dotyczące struktury o geometrii próbki G₂ dla oporu właściwego ρ₁ = 0.001 Ω oraz ρ₃ = ρ₀ = 400 Ω rozszerzono o dwukrotnie zmniejszoną (ρ₂ = ρ₀/2 = 200 Ω) oraz dwukrotnie zwiększoną (ρ₄ = ρ₀· 2 = 800 Ω) wartość oporu właściwego materiału. Jako dodatkowe uzupełnienie obliczeń analo-giczne symulacje przeprowadzono dla struktury o geometrii próbki G₁ (rys. 5.17) i kolejnych wartości oporów właściwych: ρ₁ = 0.001 Ω, ρ₂ = 200 Ω, ρ₃ = 400 Ω oraz ρ₄ = 800 Ω.

Wyniki symulacji dla wybranych konfiguracji oporów czterosondowych przed-stawione są w tabeli 5.3.

ROZDZIAŁ 5. SYMULACJE KLASYCZNE 131

1 µm

G

₁

1

2 3

4

6 5

Rysunek 5.17: Model centralnej części struktury G₁ w programie QuickField.

typ ρ₁ ρ₂ = ρ₀/2 ρ₃ = ρ₀ ρ₄ = ρ₀ · 2

konfig. sondy 0.001 Ω 200 Ω 400 Ω 800 Ω

[h/e²] [h/e²] [h/e²] [h/e²]

R_L R_{L 14,23} G₁ 0.500 0.530 0.559 0.615

G₂ 0.500 0.534 0.566 0.629

R_{L 13,64} G₁ 0.667 0.700 0.733 0.796

G₂ 0.667 0.704 0.741 0.813

R_{L 12,56} G₁ 0.333 0.355 0.376 0.416

G₂ 0.333 0.358 0.381 0.426

R_{L 23,56} G₁ 0.167 0.180 0.193 0.217

G₂ 0.167 0.182 0.196 0.224

R_NL R_{NL 12,43} G₁ 0.167 0.170 0.174 0.181

G₂ 0.167 0.171 0.175 0.184

R_{NL 12,53} G₁ 0.333 0.340 0.348 0.363

G₂ 0.333 0.342 0.350 0.368

Tabela 5.3: Zestawienie czerosondowych oporów uzyskane opisaną w niniejszym roz-dziale metodę symulacji z wartością ze zmieniającą się wartością oporu właściwego doprowadzeń od ρ₁ = 0.001 Ω do ρ₄ = 800 Ω). Wyniki dotyczą zarówno struktury o geometrii G₁ jak i G₂. Porównanie zawiera opory lokalne jak i nielokalne.

Wszystkie uzyskane wartości są zawyżone w stosunku do wielkości uzyskanych

ROZDZIAŁ 5. SYMULACJE KLASYCZNE 132 z zastosowaniem formalizmu Landauera-B¨uttikera czy też prostego modelu oporni-kowy. Łatwo zauważyć, że opory lokalne i nielokalne ulegają zwiększeniu wraz ze wzrostem oporu właściwego materiału stanowiącego doprowadzenia elektryczne do centralnej części struktury (od ρ₀/2 przez ρ₀ aż do ρ₀· 2). Co więcej, odczytywane wielkości rosną wraz ze zwiększeniem szerokości struktury (przejście od G₁ do G₂), co odpowiada wydłużaniu się odległości pomiędzy sąsiednimi kanałami krawędzio-wymi. Można więc wywnioskować, że im dłuższy fragment ścieżki prądu biegnie przez niezubożony gaz dwuwymiarowy oraz im większy opór właściwy tego obszaru tym większy dodatkowy wkład do mierzonego oporu. Jest to zgodne z klasycznym sumowaniem się spadków napięć.

5.8 Podsumowanie rozdziału

Przeprowadzone symulacje pozwalają wnioskować, że w przypadku struktur o niepomijalnym oporze właściwym najbli˙szego otoczenia kanałów krawędziowych i przy założeniu dyfuzyjnego charakteru transportu w tym obszarze (co w języku kwantowym odpowiada małej efektywnej liczbie modów przewodzących) uzyskiwa-ne doświadczalnie opory czterosondowe wskażą wartości zawyżouzyskiwa-ne względem warto-ści skwantowanych wynikających z modelu Ladauera-B¨uttikera. Efekt ten powinien być obserwowany nawet w przypadku całkowitej ochrony topologicznej w obrębie wszystkich segmentów kanałów krawędziowych w układzie. Różni to omawiane tu-taj kwantowe spinowe zjawisko Halla od przypadku kwantowego zjawiska Halla i kwantowego anomalnego zjawika Halla, w których opory doprowadzeń nie wpływają na dokładność kwantyzacji oporności hallowskiej.

Pakiet obliczeniowy QuickField opisuje poprawnie transport w reżimie klasycz-nym. Dlatego też korzystając z niego nie ma możliwości przeanalizowania sytu-acji, w której poszczególne segmenty kanałów brzegowych znajdują się w odległości mniejszej niż długość drogi spójności fazowej oraz liczba modów przewodzących w obszarze doprowadzeń do krawędzi jest znaczna, tj. R << h/e². Trudno jest zatem rozszerzyć uzyskane w tym rozdziale wnioski na przypadek struktur o szerokościach doprowadzeń elektrycznych mniejszych niż 1 µm.

Rozdział 6

Podsumowanie

Wyniki przedstawione w rozprawie poszerzają wiedzę dotyczącą dwuwymiaro-wych izolatorów topologicznych wytworzonych ze studni kwantodwuwymiaro-wych tellurku rtęci.

Głównym wynikiem pracy jest wyznaczenie zależności oporu pojedynczego ka-nału krawędziowego od jego długości. Pomiary przeprowadzone na dwóch próbkach z bramkami o geometrii globalnej o długościach kanałów krawędziowych od 2 do 20 µm pozwoliły na potwierdzenie istnienia transportu krawędziowego. Dzięki ana-lizie uzyskanych danych doświadczalnych metodą opornikową możliwe było oszaco-wanie oporów poszczególnych kanałów krawędziowych. Stwierdzono, że graniczna długość kanału krawędziowego, dla którego możliwa jest całkowita ochrona topo-logiczna, a co za tym idzie również skwantowana wartość oporu, jest mniejsza niż 2 µm. W zakresie długości mierzonych doświadczalnie zaobserwowano znaczny roz-rzut wartości oporów kanałów krawędziowych o długości 2 µm oraz zmniejszanie się względnego odchylenia od wielkości średniej wraz ze wzrostem długości.

Przeprowadzono także symulacje teoretyczne transportu w badanych struktu-rach wyznaczając przestrzenny rozkład natężenia prądu elektrycznego metodą ele-mentów skończonych. Obliczenia te pozwoliły na określenie jednego z prawdopo-dobnych powodów odchylenia mierzonych doświadczalnie oporów od wartości prze-widywanych teoretycznie. Zastosowanie pakietu obliczeniowego QuickField umoż-liwiło zbudowanie modelu badanych mikrostruktur i przeanalizowanie transportu elektronowego w reżimie klasycznym. Efektem tej analizy było określenie wpły-wu geometrii i parametrów materiałowych na uzyskiwane doświadczalanie wartości oporów czterosondowych. Stwierdzono, że w strukturach o rozmiarach większych niż długość drogi spójności fazowej, nawet w przypadku całkwitej ochrony topo-logicznej w obrębie kanałów brzegowych, opór czterosondowy może przyjmować wartości większe niż przewidywane teoretycznie. Odchylenie to wynika z niepomi-jalnego spadku napięcia wewnątrz obszaru doprowadzeń elektrycznych znajdującego się tuż przy brzegu elektrody bramkowej. Poprawki te w przypadku badanych do-świadczalnie próbek sięgają kilkunastu procent wartości spodziewanej. Jest to więc wielkość dostatecznie duża, by brać ją pod uwagę, jednak wciąż zbyt mała, by wyja-śniała odchylenia wartości oporów w przypadku próbek o długich kanałach. Dlatego też poprawki te należy traktować jako dodatkowy wkład do mierzonego oporu, a nie mechanizm tłumaczący duże odchylenia od wartości spodziewanej. Otrzymane w pracy wyniki potwierdzają więc istnienie wydajnego mechanizmu rozpraszania

133

ROZDZIAŁ 6. PODSUMOWANIE 134 między helikalnymi kanałami krawędziowymi. Intensywne prace poszukujące tego mechanizmu, zainspirowane naszymi wynikami doświadczalnymi, są obecnie pro-wadzone przez Zespół prof. Timo Hyartha w Międzynarodowym Centrum Badań MagTop Instytutu Fizyki PAN.

Istotną częścią pracy jest opis metody wytwarzania badanych struktur. Ze wzglę-du na to, że heterostruktury ze związków rtęci są szczególnie wrażliwe na warunki przetwarzania (w tym dyfuzję międzywierzchniową wywołaną zbyt wysoką tempera-turą), niezbędne było dopasowanie metod strukturyzacji i wytwarzania kontaktów elektrycznych do wymagań materiału. W tym celu rozwinięto niskotemperaturową metodę strukturyzacji studni kwantowych tellurku rtęci. Ograniczenie grzania prób-ki udało się osiągnąć na etapie przygotowywania warstw rezystów elektronoczułych oraz na etapie naświetlania masek wykorzystywanych następnie do wytworzenia elektrod bramkowych. Oprócz tego zmodyfikowany został etap wytwarzania konta-ków elektrycznych do struktury, dzięki czemu mogły one zostać wykonane bez prze-grzewania materiału. Opisana metoda została zastosowana do wytworzenia struktur niezbędnych do przeprowadzenia dalszych badań własności transportowych.

Bibliografia

[1] M. K¨onig, H. Buhmann, L. W. Molenkamp, T. Hughes, Chao-Xing Liu, Xiao-Liang Qi, and Shou-Cheng Zhang. The Quantum Spin Hall Effect: Theory and Experiment. J. Phys. Soc. Jap., 77:031007, 2008.

[2] M. Z. Hasan and C. L. Kane. Colloquium: Topological insulators. Rev. Mod.

Phys., 82:3045–3067, 2010.

[3] Xiao-Liang Qi and Shou-Cheng Zhang. Topological insulators and supercon-ductors. Rev. Mod. Phys., 83:1057–1110, 2011.

[4] C. L. Kane and E. J. Mele. Quantum Spin Hall Effect in Graphene. Phys. Rev.

Lett., 95(22):226801, November 2005.

[5] A. Roth, C. Br¨une, H. Buhmann, L. W. Molenkamp, J. Maciejko, Xiao-Liang Qi, and Shou-Cheng Zhang. Nonlocal Transport in the Quantum Spin Hall State. Science, 325:294–297, 2009.

[6] G. M. Gusev, Z. D. Kvon, O. A. Shegai, N. N. Mikhailov, S. A. Dvoretsky, and J. C. Portal. Transport in disordered two-dimensional topological insulators.

Phys. Rev. B, 84:121302, 2011.

[7] G. M. Gusev, A. D. Levin, Z. D. Kvon, N. N. Mikhailov, and S. A. Dvoretsky.

Quantum Hall Effect in n-p-n and n-2D Topological Insulator-n Junctions.

Phys. Rev. Lett., 110(7):076805–, February 2013.

[8] G. Grabecki, J. Wróbel, M. Czapkiewicz, Ł. Cywiński, S. Gierałtowska, E. Gu-ziewicz, M. Zholudev, V. Gavrilenko, N. N. Mikhailov, S. A. Dvoretsky, F. Tep-pe, W. Knap, and T. Dietl. Nonlocal resistance and its fluctuations in micro-structures of band-inverted HgTe/(Hg,Cd)Te quantum wells. Phys. Rev. B, 88:165309, 2013.

[9] Chao-Xing Liu, Xiao-Liang Qi, Xi Dai, Zhong Fang, and Shou-Cheng Zhang.

Quantum Anomalous Hall Effect in Hg_1−yMn_yTe Quantum Wells. Phys. Rev.

Lett., 101:146802, 2008.

[10] K. Suzuki, Y. Harada, K. Onomitsu, and K. Muraki. Gate-controlled semimetal-topological insulator transition in an InAs/GaSb heterostructure.

Phys. Rev. B, 91:245309, 2015.

135

BIBLIOGRAFIA 136 [11] F. Nichele, H. J. Suominen, M. Kjaergaard, C. M. Marcus, E. Sajadi, J. A. Folk, Fanming Qu, A. J. A. Beukman, F. K. de Vries, J. van Veen, S. Nadj-Perge, L. P. Kouwenhoven, Binh-Minh Nguyen, A. A. Kiselev, Wei Yi, M. Sokolich, M. J. Manfra, E. M. Spanton, and K. A. Moler. Edge transport in the trivial phase of InAs/GaSb. New J. Phys., 18:083005, 2016.

[12] Susanne Mueller, Atindra Nath Pal, Matija Karalic, Thomas Tschirky, Christo-phe Charpentier, Werner Wegscheider, Klaus Ensslin, and Thomas Ihn. Non-local transport via edge states in InAs/GaSb coupled quantum wells. Phys.

Rev. B, 92:081303, Aug 2015.

[13] Tingxin Li, Pengjie Wang, G. Sullivan, Xi Lin, and Rui-Rui Du. Low-temperature conductivity of weakly interacting Quantum Spin Hall edges in strained-layer InAs/GaInSb. Phys. Rev. B, 96:241406, 2017.

[14] Lingjie Du, Ivan Knez, Gerard Sullivan, and Rui-Rui Du. Robust Helical Edge Transport in Gated InAs/GaSb Bilayers. Phys. Rev. Lett., 114:096802, Mar 2015.

[15] Lingjie Du, Tingxin Li, Wenkai Lou, Xingjun Wu, Xiaoxue Liu, Zhongdong Han, Chi Zhang, Gerard Sullivan, Amal Ikhlassi, Kai Chang, and Rui-Rui Du. Tuning Edge States in Strained-Layer InAs/GaInSb Quantum Spin Hall Insulators. Phys. Rev. Lett., 119:056803, Aug 2017.

[16] Susanne Mueller, Christopher Mittag, Thomas Tschirky, Christophe Charpen-tier, Werner Wegscheider, Klaus Ensslin, and Thomas Ihn. Edge transport in InAs and InAs/GaSb quantum wells. Phys. Rev. B, 96:075406, Aug 2017.

[17] Xiaofeng Qian, Junwei Liu, Liang Fu, and Ju Li. Quantum Spin Hall effect in two-dimensional transition metal dichalcogenides. Science, 346:1344–1347, 2014.

[18] Zaiyao Fei, T. Palomaki, Sanfeng Wu, Wenjin Zhao, Xinghan Cai, Bosong Sun, Paul Nguyen, J. Finney, Xiaodong Xu, and D. H. Cobden. Edge conduction in monolayer WTe₂. Nat. Phys., 13:677–682, 2017.

[19] Sanfeng Wu, V. Fatemi, Q. D. Gibson, K. Watanabe, T. Taniguchi, R. J. Cava, and P. Jarillo-Herrero. Observation of the Quantum Spin Hall effect up to 100 kelvin in a monolayer crystal. Science, 359(6371):76–79, 2018.

[20] M. K¨onig, S. Wiedmann, C. Br¨une, A. Roth, H. Buhmann, L. W. Molenkamp, Xiao-Liang Qi, and Shou-Cheng Zhang. Quantum Spin Hall Insulator State in HgTe Quantum Wells. Science, 318:766–770, 2007.

[21] Kalle Bendias, Saquib Shamim, Oliver Herrmann, Andreas Budewitz, Pragya Shekhar, Philipp Leubner, Johannes Kleinlein, Erwann Bocquillon, Hartmut Buhmann, and Laurens W. Molenkamp. High mobility HgTe microstructures for Quantum Spin Hall studies. Nano Letters, 18(8):4831–4836, 2018. PMID:

29975844.

BIBLIOGRAFIA 137 [22] Ivan Knez, Rui-Rui Du, and Gerard Sullivan. Evidence for helical edge modes

in inverted InAs/GaSb quantum wells. Phys. Rev. Lett., 107:136603–, 2011.

[23] Cui-Zu Chang, Jinsong Zhang, Xiao Feng, Jie Shen, Zuocheng Zhang, Minghua Guo, Kang Li, Yunbo Ou, Pang Wei, Li-Li Wang, Zhong-Qing Ji, Yang Feng, Shuaihua Ji, Xi Chen, Jinfeng Jia, Xi Dai, Zhong Fang, Shou-Cheng Zhang, Ke He, Yayu Wang, Li Lu, Xu-Cun Ma, and Qi-Kun Xue. Experimental Ob-servation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a Magnetic Topological Insulator. Science, 340:167, 2013.

[24] Cui-Zu Chang, Weiwei Zhao, Duk Y. Kim, Haijun Zhang, B. A. Assaf, D. He-iman, Shou-Cheng Zhang, Chaoxing Liu, Moses H. W. Chan, and J. S. Mo-odera. High-precision realization of robust Quantum Anomalous Hall state in a hard ferromagnetic topological insulator. Nat. Mater., 14:473–477, 2015.

[25] E. J. Fox, I. T. Rosen, Yanfei Yang, George R. Jones, Randolph E. Elmquist, Xufeng Kou, Lei Pan, Kang L. Wang, and D. Goldhaber-Gordon. Part-per-million quantization and current-induced breakdown of the Quantum Anoma-lous Hall Effect. Phys. Rev. B, 98:075145, Aug 2018.

[26] Martin G¨otz, Kajetan M. Fijalkowski, Eckart Pesel, Matthias Hartl, Steffen Schreyeck, Martin Winnerlein, Stefan Grauer, Hansj¨org Scherer, Karl Brun-ner, Charles Gould, Franz J. Ahlers, and Laurens W. Molenkamp. Precision measurement of the Quantized Anomalous Hall resistance at zero magnetic field. Applied Physics Letters, 112(7):072102, 2018.

[27] Tsuneya Ando, Yukio Matsumoto, and Yasutada Uemura. Theory of Hall effect in a two-dimensional electron system. Journal of the Physical Society of Japan, 39(2):279–288, 1975.

[28] K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper. New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance.

Phys. Rev. Lett., 45:494–497, Aug 1980.

[29] W. Poirier and F. Schopfer. Resistance metrology based on the Quantum Hall Effect. The European Physical Journal Special Topics, 172(1):207–245, Jun 2009.

[30] Alexander Tzalenchuk, Samuel Lara-Avila, Alexei Kalaboukhov, Sara Paolillo, Mikael Syv¨aj¨arvi, Rositza Yakimova, Olga Kazakova, T. J. B. M. Janssen, Vla-dimir Fal’Ko, and Sergey Kubatkin. Towards a quantum resistance standard based on epitaxial graphene. Nature Nanotechnology, 5:186–189, Mar 2010.

[31] B. Jeckelmann and B. Jeanneret. The Quantum Hall Effect as an electrical resistance standard. Reports on Progress in Physics, 64(12):1603–1655, nov 2001.

[32] B. N. Taylor and T. J. Witt. New international electrical reference standards based on the josephson and Quantum Hall Effects. Metrologia, 26(1):47–62, jan 1989.

BIBLIOGRAFIA 138 [33] B. A. Bernevig, T. L. Hughes, and Shou-Cheng Zhang. Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells. Science, 314:1757–1761, 2006.

[34] A. M. Kadykov, S. S. Krishtopenko, B. Jouault, W. Desrat, W. Knap, S. Ruffe-nach, C. Consejo, J. Torres, S. V. Morozov, N. N. Mikhailov, S. A. Dvoretskii, and F. Teppe. Temperature-induced topological phase transition in HgTe qu-antum wells. Phys. Rev. Lett., 120:086401, 2018.

[35] C. Br¨une, A. Roth, H. Buhmann, E. M. Hankiewicz, L. W. Molenkamp, J. Ma-ciejko, Xiao-Liang Qi, and Shou-Cheng Zhang. Spin polarization of the quan-tum spin Hall edge states. Nat. Phys., 8:486, 2012.

[36] A. Kononov, S. V. Egorov, Z. D. Kvon, N. N. Mikhailov, S. A. Dvoretsky, and E. V. Deviatov. Evidence on the macroscopic length scale spin coherence for the edge currents in a narrow HgTe quantum well. JETP Lett., 101:814–819, 2015.

[37] K.-M. Dantscher, D. A. Kozlov, M. T. Scherr, S. Gebert, J. B¨arenf¨anger, M. V.

Durnev, S. A. Tarasenko, V. V. Bel’kov, N. N. Mikhailov, S. A. Dvoretsky, Z. D. Kvon, J. Ziegler, D. Weiss, and S. D. Ganichev. Photogalvanic probing of helical edge channels in two-dimensional HgTe topological insulators. Phys.

Rev. B, 95:201103, 2017.

[38] M. Zholudev, F. Teppe, M. Orlita, C. Consejo, J. Torres, N. Dyakonova, M. Czapkiewicz, J. Wróbel, G. Grabecki, N. Mikhailov, S. Dvoretskii, A. Ikon-nikov, K. Spirin, V. Aleshkin, V. Gavrilenko, and W. Knap. Magnetospectro-scopy of two-dimensional HgTe-based topological insulators around the critical thickness. Phys. Rev. B, 86:205420, 2012.

[39] Jianhui Wang, Y. Meir, and Y. Gefen. Spontaneous breakdown of topological protection in two dimensions. Phys. Rev. Lett., 118:046801, 2017.

[40] L. Kimme, B. Rosenow, and A. Brataas. Backscattering in helical edge states from a magnetic impurity and Rashba disorder. Phys. Rev. B, 93:081301, 2016.

[41] M. Kharitonov, F. Geissler, and B. Trauzettel. Backscattering in a helical liqu-id induced by Rashba spin-orbit coupling and electron interactions: Locality, symmetry, and cutoff aspects. Phys. Rev. B, 96:155134, 2017.

[42] J. I. V¨ayrynen, M. Goldstein, Y. Gefen, and L. I. Glazman. Resistance of helical edges formed in a semiconductor heterostructure. Phys. Rev. B, 90:115309, 2014.

[43] S. Essert, V. Krueckl, and K. Richter. Two-dimensional topological insulator edge state backscattering by dephasing. Phys. Rev. B, 92:205306, 2015.

[44] S. Essert and K. Richter. Magnetotransport in disordered two-dimensional topological insulators: signatures of charge puddles. 2D Mater., 2:024005, 2015.

BIBLIOGRAFIA 139 [45] G. Tkachov and E. M. Hankiewicz. Ballistic Quantum Spin Hall State and enhanced edge backscattering in strong magnetic fields. Phys. Rev. Lett., 104:166803, 2010.

[46] B. Scharf, A. Matos-Abiague, and J. Fabian. Magnetic properties of HgTe quantum wells. Phys. Rev. B, 86:075418, 2012.

[47] Eric Yue Ma, M. R. Calvo, Jing Wang, Biao Lian, M. M¨uhlbauer, C. Br¨une, Yong-Tao Cui, Keji Lai, W. Kundhikanjana, Yongliang Yang, M. Baenninger, M. K¨onig, C. Ames, H. Buhmann, P. Leubner, L. W. Molenkamp, Shou-Cheng Zhang, D. Goldhaber-Gordon, M. A. Kelly, and Zhi-Xun Shen. Unexpected edge conduction in mercury telluride quantum wells under broken time-reversal symmetry. Nat. Commun., 6:7252, 2015.

[48] M. Orlita, K. Masztalerz, C. Faugeras, M. Potemski, E. G. Novik, C. Br¨une, H. Buhmann, and L. W. Molenkamp. Fine structure of zero-mode Landau levels in HgTe/HgxCd_1−xTe quantum wells. Phys. Rev. B, 83:115307, Mar 2011.

[49] R. Landauer. Spatial variation of currents and fields due to localized scatterers in metallic conduction. IBM Journal of Research and Development, 1(3):223–

231, July 1957.

[50] R. Landauer. Conductance determined by transmission: probes and quanti-sed constriction resistance. Journal of Physics: Condenquanti-sed Matter, 1(43):8099, 1989.

[51] M. B¨uttiker. Four-terminal phase-coherent conductance. Phys. Rev. Lett., 57:1761–1764, Oct 1986.

[52] M. B¨uttiker. Role of quantum coherence in series resistors. Phys. Rev. B, 33:3020–3026, Mar 1986.

[53] M. B¨uttiker, Y. Imry, R. Landauer, and S. Pinhas. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings. Phys. Rev. B, 31:6207–

6215, May 1985.

[54] S. Dvoretsky, N. Mikhailov, Yu. Sidorov, V. Shvets, S. Danilov, B. Wittman,

[54] S. Dvoretsky, N. Mikhailov, Yu. Sidorov, V. Shvets, S. Danilov, B. Wittman,

W dokumencie Praca doktorska wykonana pod kierunkiem prof. dr. hab. Tomasza Dietla (Stron 128-143)