Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli y 6= 0. Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x².

Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli y 6= 0. Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli y 6= 0. Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

Oczywiście, mamy tu funkcję uwikłaną i f (x , y ) = y²− x³− x². Warto zwrócić uwagę, że dla x < −1 żadne y nie spełnia równania f (x , y ) = 0, więc założenie x ­ −1 jest konieczne. Możemy teraz obliczyć f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x oraz f_y⁰(x , y ) = 2y .

Pochodną możemy obliczyć, o ile f_y⁰(x , y ) 6= 0, czyli y 6= 0. Dana krzywa spełnia y = 0, gdy f (x , 0) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 0}, więc y⁰(x ) można obliczyć dla x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞).

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) =

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) =

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

f_x⁰(x , y ) = − 3x²− 2x, f_y⁰(x , y ) = 2y .

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

y⁰(x ) = ^3x2_2y^+2x = ^{x (3x +2)}_2y .

y⁰(x ) = 0 ⇔ x = −²₃ (dla x = 0 nie mamy zdefiniowanej pochodnej y⁰(x )). Tak więc, dla punktów w których y (x ) jest różniczkowalna, ekstremum może się pojawić tylko dla x = −²₃. Łatwo zauważyć, że istotnie tak jest: licznik y⁰(x ) zmienia wtedy znak, a mianownik nie (bo wtedy y 6= 0), więc, w zależności od znaku mianownika, funkcja y ma tam minimum lub maksimum.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

y⁰(x ) = ^3x2_2y^+2x = ^{x (3x +2)}_2y .

y⁰(x ) = 0 ⇔ x = −²₃ (dla x = 0 nie mamy zdefiniowanej pochodnej y⁰(x )).

Tak więc, dla punktów w których y (x ) jest różniczkowalna, ekstremum może się pojawić tylko dla x = −²₃. Łatwo zauważyć, że istotnie tak jest: licznik y⁰(x ) zmienia wtedy znak, a mianownik nie (bo wtedy y 6= 0), więc, w zależności od znaku mianownika, funkcja y ma tam minimum lub maksimum.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

y⁰(x ) = ^3x2_2y^+2x = ^{x (3x +2)}_2y .

y⁰(x ) = 0 ⇔ x = −²₃ (dla x = 0 nie mamy zdefiniowanej pochodnej y⁰(x )). Tak więc, dla punktów w których y (x ) jest różniczkowalna, ekstremum może się pojawić tylko dla x = −²₃.

Łatwo zauważyć, że istotnie tak jest: licznik y⁰(x ) zmienia wtedy znak, a mianownik nie (bo wtedy y 6= 0), więc, w zależności od znaku mianownika, funkcja y ma tam minimum lub maksimum.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej - przykład 2

Zadanie

Rozważmy funkcję y (x ), o której wiemy tylko, że spełnia równanie y²(x ) = x³+ x² dla x ­ −1. Dla jakich x możemy obliczyć jej pochodną (przy podanym y (x ))? Obliczyć ogólną postać y⁰(x ) (tam gdzie się da), y⁰(1), gdy y (1) =√

2 i wskazać argumenty dla których funkcja y jest różniczkowalna i ma ekstrema lokalne.

y⁰(x ) = ^3x2_2y^+2x = ^{x (3x +2)}_2y .

y⁰(x ) = 0 ⇔ x = −²₃ (dla x = 0 nie mamy zdefiniowanej pochodnej y⁰(x )). Tak więc, dla punktów w których y (x ) jest różniczkowalna, ekstremum może się pojawić tylko dla x = −²₃. Łatwo zauważyć, że istotnie tak jest: licznik y⁰(x ) zmienia wtedy znak, a mianownik nie (bo wtedy y 6= 0), więc, w zależności od znaku mianownika, funkcja y ma tam minimum lub maksimum.

W dokumencie 10. Reguła łańcuchowa, funkcje uwikłane i funkcje jednorodne (Stron 44-64)