8 Zachowanie si e potoku w otoczeniu orbity zamkni , etej ,

 yh_Y



 yh_Y x₀(Y ) ∈ h_Y(U ) ψ_t

−→ ψ_t(h_Y(U ))

8 Zachowanie si e potoku w otoczeniu orbity zamkni

etej

Niech M g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa, dim M=m, X pole wektorowe klasy C^r, r ≥ 1, φ_t -potok generowany przez pole X. Niech γ(T ) oznacza zamkniet_, a orbit_, e okresow_, a pola X o_, okresie podstawowym T > 0 przechodzaca przez punkt x_{, 0}. Wtedy φ_T(x₀) = x₀ oraz

D_x0φ_T : T_x0M → T_x0M Poniewa˙z

X(x~ ₀) = d dt|t=0

(φ_t(x)), to wektor styczny do orbity zamknietej γ(T ) punkcie x_{, 0} wynosi

d

dt|t=T(φ_t(x)) = d

dt|t=0(φ_t(x)) = ~X(x₀), czyli 1 jest warto´scia w lasna r´_, o˙zniczki

D_x0φ_T : T_x0M → T_x0M (bo wektor ~X(x₀) jest wektorem w lasnym D_x φ_T.)

8.1 Przekszta lcenie Poincar´ ego

Definicja 8.1. Lokalnym cieciem transwersalnym trajektorii γ w punkcie x_{, 0} nazywamy podrozmaito´s´c S wymiaru m − 1 taka, ˙ze x_, 0 ∈ S oraz

Tx0M = Tx0S ⊕ { ~X(x0)},

gdzie { ~X(x₀)} oznacza jednowymiarowa podprzestrze´_, n generowana przez wektor ~_, X(x₀).

Definicja 8.2. Niech S bedzie lokalnym ci_, eciem transwersalnym orbity zamkni_, etej γ(T ) w_, punkcie x₀. Dla dostatecznie ma lego otoczenia U ⊂ S punktu x₀ definujemy przekszta lcenie P : U → S

P(x) = φ(t(x), x),

gdzie t(x) jest najmniejsza liczb_, a dodatni_, a tak_, a, ˙ze φ(t(x), x) ∈ S. Odwzorowanie P nazywamy_, przekszta lceniem Poincar´ego.

Twierdzenie 8.3. Dla ka˙zdego ciecia transwersalnego S orbity zamkni_, etej γ(T ) w punkcie_, x0 ∈ γ, przekszta lcenie P jest dobrze okre´slone dla dostatecznie ma lych otocze´n U punktu x0

w S.

Dow´od Twierdzenie ma charakter lokalny. Mo˙zna za lo˙zy´c, ˙ze S mie´sci sie w jednej mapie._, Wybierajac odpowiedni uk lad wsp´_, o lrzednych mo˙zemy S zapisac jako_,

S = {x = (x₁, . . . , x_m) :∈ IR^m : x_m = 0},

x0 = (0, . . . , 0), ~X(0) = [0, . . . , 1]. Niech φ(t, x) = (φ1(t, x), . . . , φm(t, x)). W´owczas

φ(t, x) ∈ S wtedy i tylko wtedy gdy φ_m(t, x) = 0. Poniewa˙z φ(T, 0) = 0 oraz ^dφ_dt^m(T, 0) = 1, wiec na mocy twierdzenia o funkcjach uwik lanych istniej_, a: otoczenie U punktu 0, przedzia l_, (T − , T + ) i funkcja t(x) klasy C^r takie, ˙ze φm(t(x), 0) = 0 i t(x) ∈ (T − , T + ). Liczba t(x) jest czasem najmniejszego powrotu punktu x do S (gdy˙z T jest okresem podstawowym).

Stad P(x) = (φ(t(x), x) dla x ∈ U jest dobrze okre´slon_, a funkcj_, a klasy C_, ^r. Faktycznie P jest dyfeomorfizmem.

Twierdzenie 8.4. Niech γ(T ) bedzie zamkni_, et_, a orbit_, a okresow_, a. Je´_, sli S₁ i S₂ sa dwoma_, cieciami transwersalnymi w punktach x_{, 1}, x₂ ∈ γ(T ) a P₁ i P₂ oznaczaja odpowiednio dwa_, przekszta lcenia Poincar´ego, to P1 i P2 sa dyfemorficznie sprz_, e˙zone, tzn. istnieje taki dyfe-_, omorfizm h : V₁ → V₂, gdzie V₁, V₂ sa odpowiednio otoczeniami punkt´_, ow x₁ i x₂ w S₁ i S₂, ˙ze P₁◦ h = h ◦ P₂.

Uwaga 8.5. Dla ka˙zdego przekszta lcenia Poincar´ego P orbity zamknietej γ(T ) w punkcie x_{, 0} zachodzi, ˙ze

spektrum(Dx0P) ∪ {1} = spektrum(Dx0(φT)) gdzie T jest okresem podstawowym orbity γ(T ).

Przyk lad 1

Niech M = IR², pole wektorowe X(x, y) = [−y, x]. Trajektorie sa koncentrycznymi_, okregami. Przekszta lcenie Poincar´_, ego jest identyczno´scia dla ka˙zdej orbity zamkni_, etej._,

8.2 Hiperboliczne orbity zamkni ete

Definicja 8.6. Orbite zamkni_, et_, a γ(T ) pola X ∈ C_, ^r(T M ) przechodzac_, a przez punkt x_{, 0}, o okresie podstawowym T nazywamy transwersalna je´_, sli spektrum operatora D_x0φ_T je´sli 1 jest jednokrotna warto´_, scia w lasn_, a._,

Definicja 8.7. Orbite zamkni_, et_, a γ(T ) pola X ∈ C_, ^r(T M ) przechodzac_, a przez punkt x_, 0, o okresie podstawowym T nazywamy hiperboliczna, je´_, sli γ(T ) jest transwersalna i D_x0φ_T nie ma innych warto´sci w lasnych o module 1 r´o˙znych od 1.

Wniosek 8.8. Orbita zamkniet_, a γ(T ) jest hiperboliczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego_, przekszta lcenia Poincar´ego P w punkcie x₀ ∈ γ(T ) punkt x₀ jest hiperbolicznym punktem sta lym przekszta lcenia P.

Definicja 8.9. Klasyfikacja hiperbolicznych orbit zamknietych Niech γ(T ) b_, edzie hiperboliczn_, a_, orbita zamkni_, et_, a przechodz_, ac_, a przez punkt x_{, 0} o okresie podstawowym T powiemy, ˙ze

• γ(T ) jest orbita siod low_, a je´_, sli x0 jest punktem sta lym hiperbolicznym siod lowym dyfe-omorfizmu Poincar´ego P

• γ(T ) jest orbita stabiln_, a je´_, sli x₀ jest punktem sta lym hiperbolicznym przyciagaj_, acym_, (´sciekiem) dyfeomorfizmu Poincar´ego P

• γ(T ) jest orbita niestabiln_, a je´_, sli x₀ jest punktem sta lym hiperbolicznym odpychajacym_, (´zr´od lem) dyfeomorfizmu Poincar´ego P

Definicja 8.10. Niech γ(T ) bedzie hiperboliczn_, a orbit_, a zamkni_, et_, a przechodz_, ac_, a przez punkt_, x₀ o okresie podstawowym T . Poniewa˙z x₀ jest sta lym punktem hiperbolicznym, to z twierdze-nia Hadamarda-Perona wynika, ˙ze istnieja lokalne rozmaito´_, sci stabilna W_loc^s (x0) i niestabilne W_loc^u (x₀) punktu x₀ dla P. Niech

W^s(γ) = [

t∈IR

φ_t(W_loc^s (x₀))

W^u(γ) = [

t∈IR

φ_t(W_loc^u (x₀))

Zbiory W^s(γ) i W^u(γ) nazywamy odpowiednio rozmaito´sciami stabilnymi i niestabilnymi or-bity zamknietej γ._,

Uwaga 8.11. Topologicznie podrozmaito´sci W^s(γ) i W^u(γ) sa immersyjnym w lo˙zeniem walca S¹× IR^k lub uog´olnionej wstegi M¨_, obiusa w M

latwo zauwa˙zy´c, ˙ze

dimW^s(γ) = dimW_loc^s (γ) + 1, dimW^u(γ) = dimW_loc^u (γ) + 1 oraz

dimW^s(γ) + dimW^u(γ) = dimM + 1 Przyk lad 2 Orbity hiperboliczne w IR³

Twierdzenie 8.12. M zwarta g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa riemanowska, dim M=m, C^r(T M ) -przestrze´n p´ol wektorowych klasy C^r, r ≥ 1 z norma || ||. Wtedy G_{, 2}- zbi´or p´ol wektorowych, kt´orych wszystkie punkty krytyczne i zamkniete orbity okresowe s_, a hiperboliczne_, tworzy zbi´or II kategorii Baire’a. Poniewa˙z przestrze´n C^r(T M ) z norma || || jest zupe lna to_, G₂ jest gestym podzbiorem C_, ^r(T M ).

8.3 Lokalna strukturalna stabilno´ s´ c hiperbolicznych orbit zamkni etych

Twierdzenie 8.13. Niech M g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa riemanowska, dim M=m, C^r(T M ) -przestrze´n p´ol wektorowych klasy C^r, r ≥ 1 z metryka d, γ(T )- hiperboliczna orbita_, zamknieta pola X ∈ C2(T M ) przechodz_, aca przez punkt x_{, 0}, φ_t - potok pola wektorowego X.

Wtedy pole X jest lokalnie strukturalnie stabilne w otoczeniu orbity γ(T ) tzn.

• istnieje otoczenie V pola wektorowego X

• istnieje otoczenie U orbity γ(T ) = γ_X(T ) w M takie, ˙ze dla ka˙zdego Y ∈ V istnieje dokladnie jedna hiperboliczna orbita zamknieta γ_{, Y}(T ) pola wektorowego Y nale˙zacy do_, U

• potoki φ_t pola X i ψ_t pola Y sa topologicznie sprz_, e˙zone w otoczeniu orbit zamkni_, etych_, γ_X(T ) i γ_Y(T ) czyli istnieje homeomorfizm h_Y : U → h_Y(U ) taki, ˙ze nastepujacy dia-_, gram komutuje:

γX(T ) ∈ U φt

−→ φt(U )





yh_Y 

 yh_Y γY(T ) ∈ hY(U ) ψt

−→ ψt(hY(U ))

8.4 Zbiory graniczne

Definicja 8.14. Niech M g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa, f ∈ Diff^r(M ), x₀ ∈ M . Zbiory ω(x0) := {x ∈ M : ∃kn ∈ IN, kn→ +∞ t.˙ze lim

n→+∞f^kn(x) = x0} α(x₀) := {x ∈ M : ∃k_n ∈ IN, k_n→ −∞ t.˙ze lim

n→−∞f^kn(x) = x₀} nazywamy zbiorami granicznymi punktu x₀.

Definicja 8.15. Niech M g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa, X ∈ C^r(T M ), x₀ ∈ M . Zbiory ω(x₀) := {x ∈ M : ∃t_n ∈ IR, t_n→ +∞ t.˙ze lim

n→+∞φ_tn(x) = x₀} α(x₀) := {x ∈ M : ∃t_n∈ IN, k_n → −∞ t.˙ze lim

n→−∞φ_tn(x) = x₀} nazywamy zbiorami granicznymi punktu x₀.

Twierdzenie 8.16. Niech M zwarta g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa, X ∈ C^r(T M ). W´owczas dla ka˙zdego punktu x₀ ∈ M zbiory ω(x₀) i α(x₀) sa niepuste, domkni_, ete i sp´_, ojne. W przypadku dyfeomorfizmu f ∈ Diff^r(M ) zbiory ω(x₀) i α(x₀) sa tylko niepuste i domkni_, ete._,

Definicja 8.17. Orbite zamkni_, et_, a γ(T ) nazywamy cyklem granicznym je´_, sli istnieje otoczeniie U orbity γ(T ) takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ U zachodzi ω(x) = γ(T ) lub dla ka˙zdego x ∈ U zachodzi α(x) = γ(T ).

Uwaga 8.18. Ka˙zda hiperboliczna orbita zamknieta stabilna lub niestabilna jest cyklem_, granicznym.

Przyk lady zbior´ow granicznych

1. p1-punkt krytyczny hiperboliczny -´zr´odlo, p₂-punkt krytyczny hiperboliczny -siod lo, p₃-punkt krytyczny hiperboliczne -´sciek,

W^u(p2) = W^s(p2) = {φt(−a, 0) : t ∈ IR} ∪ {φt(a, 0) : t ∈ IR}

Dla ka˙zdego (x, y) ∈ D₁\ {p₁} zachodzi, ˙ze

α(x, y) = {p₁} oraz

ω(x, y) = {φt(−a, 0) : t ∈ IR} ∪ {p2} Analogicznie dla ka˙zdego (x, y) ∈ D₂\ {p₃} zachodzi, ˙ze

ω(x, y) = {p₃} oraz

α(x, y) = {φ_t(a, 0) : t ∈ IR} ∪ {p₂} 2. Niech A : IR² → IR²

A = λ 0 0 λ



λ ∈ IR, λ 6= 0

Dla λ > 1 zero jest punktem sta lym hiperpolicznym (´zr´od lo). Korzystajac z rzutu_, stereograficznego otrzymamy dyfeomorfizm F = π⁻¹ ◦ A ◦ π : S² \ {N } → S² \ {N }.

Dookre´slamy k ladac F (N ) = N . Zatem dla F biegun po ludniowy S jest punktem sta lym_, odpychajacym, za´s N punktem sta lym przyci_, agaj_, acym. Dla ka˙zdego x ∈ S_, ² \ {N } mamy, ˙ze α(x) = {S}, za´s x ∈ S²\ {S} mamy, ˙ze ω(x) = {N }.

3. Na IR² mamy zdefiniowane r´ownanie x⁰⁰ = −x, kt´ore jest r´ownawa˙zne uk ladowi r´owna´n postaci

 x⁰ = −y y⁰ = x

Jego rozwiazaniami jest rodzina koncentrycznych okr_, eg´_, ow na IR². Korzystajac z rzutu_, stereograficznego mo˙zemy zdefiniowa´c pole wektorowe na S², kt´orego potok ma same orbity okresowe.