13 Zbiory hiperboliczne

Definicja 13.1. M g ladka rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa riemanowska, dim M =m, f ∈ Diff^r(M ), r ≥ 1. Zbi´or Λ ⊂ M nazywamy hiperboliczntm je´sli

a) f (Λ) = Λ czyli Λ jest niezmienniczy.

b) dla ka˙zdego p ∈ cc istnieje rozk lad w przestrzeni stycznej TpM na dwie posprzestrzenie E_p^u, E_p^s

c) rozk lad na podprzestrzenie jest niezmienniczy wzgledem f tzn._, Df_p(E_p^u) ⊂ E_{f (p)}^u , Df_p(E_p^s) ⊂ E_{f (p)}^s d) ∃c ≥ 1, ∃0 < λ < 1, ∃µ > 1 takie, ˙ze ka˙zdego p ∈ Λ

||Df_p(v^s)|| < cλ||v^s|| v^s ∈ E_p^s

||Df_p(v^u)|| > cµ||v^u|| v^u ∈ E_p^u

Uwaga 13.2. Czasami warunek ||Dfp(v^u)|| > cµ||v^u|| dla v^u ∈ E_p^u zapisuje sie w postaci_,

||Df_p⁻¹(v^u)|| < cλ⁻¹||v^u|| dla v^u ∈ E_p^u, aby nie wprowadza´c drugiej sta lej µ.

Istnienie uniwersalnych λ i µ (niezale˙znych od punktu) oznacza, ˙ze struktura hiperboliczna na Λ jest jednostajna.

Dla potok´ow definicja zbior´ow hiperbolicznych jest podobna.

13.1 Solenoid

Najprostszymi przyk ladami zbior´ow hiperbolicznych sa hiperboliczne punkty krytyczne_, i orbity zamkniete (w przypadku potok´_, ow) lub hiperboliczne punkty sta le i okresowe dla dyfe-omorfizm´ow. Podamy teraz przyk lad nietrywialnego zbioru hiperbolicznego-solenoidu.

Solenoid skonstruowali topolodzy Hocking i Yang w 1961 r. W 1967 r. S.Smale poda l uk lad dynamiczny dla kt´orego zbiorem granicznym (a faktycznie hiperbolicznym atraktorem) jest solenoid.

D² = {z ∈ CI : |z| < 1}, S¹ = {t ∈ IR : t modulo 1}  [0, 1]

Niech T² := D²× S¹- oznacza wype lniony torus. Rozpatrujemy g : S¹ → S¹, g(z) = z², kt´ore mo˙zna zapisa´c w postaci addytywnej jako

g : S¹ → S¹ g(t) = 2t modulo 1 Definiujemy

f : T² → T² f (t, z) =

 g(t),1

4z +1 2e^2πit



Czym jest obraz f (T²)?

Poniewa˙z g jest dwukrotnym nawinieciem S_, ¹ na siebie, za´s druga wsp´olrzedna odwzorowa-_, nia f jest przekszta lceniem zwe˙zaj_, acym zwanym te˙z kontrakcj_, a, zatem f (T_, ²) to dwukrotnie zwiniety i ´sci´sniety torus._,

Rozpatrzmy przekroje torusa

D(t) = {t} × D². Wtedy f (D(t)) ⊂ D(2t) (modulo 1).

Np. dla t = 0 mamy, ˙ze f (0, z) = {0} × {¹₄z + ¹₂}, za´s dla t = 1/2 mamy, ˙ze f (1/2, z) = {0} × {¹₄z − ¹₂} bo e^ix = cosx + isinx.

Z kolei dla t = 1/4 mamy, ˙ze f (0, z) = {1/2} × {¹₄z +₂ⁱ} ⊂ D(1/2).

Widzimy, ˙ze przeciecia f (T_, ²) ∩ D(t) to para dysk´ow kt´ora ’obraca sie’ wraz ze wzrostem t._, Ponadto f²(T²) jest czterokrotnie zwinietym torusem zawartym w f (T_, ²), nato-miast f³(T²) jest o´smiokrotnie zwinietym torusem zawatym w f (T_, ²) itd. .

Twierdzenie 13.3. (Smale’a) Niech Λ = ∩^∞_k=0f^k(T²). Wtedy Λ jest hiperbolicznym atraktorem topologicznego wymiaru jeden.

Dow´od tego twierdzenia podamy w kolejnych wyk ladach. Teraz udowodnimy szereg ciekawych w lasno´sci zbioru Λ.

Lemat 13.4. Dla ka˙zdego t₀ ∈ [0, 1], Λ ∩ D(t₀) jest zbiorem Cantora.

Dow´od Dla t₀ ∈ [0, 1] patrzymy na obrazy dw´och przekroj´ow f (D(t₀)) =

 t₀,1

4D²+ {1 2e^πit0}



i

f (D(t0+ 1 2 )) =

 t₀,1

4D²− {1 2e^πit0}



poniewa˙z e^πit0+πi = −e^πit0. Zatem obrazy przekroj´ow D(t₀) i D(^t0+1₂ ) le˙za w tym samym_, przekroju D(t0) i sa symetrycznym odbiciem wzgl_, edem zera._,

Niech N_k := ∩^k_j=0f^j(T²) = f^k(T²).

Poka˙zemy, ˙ze dla ka˙zdego t ∈ [0, 1] zbi´or N_k ∩ D(t) jest suma 2_, ^k dysk´ow o promieniu ¹₄
k

. Dow´od jest indukcyjny. Dla k = 0 mamy wyj´sciowy torus, za´s przypadek k=1 rozpatry-wali´smy wy˙zej. Z definicji f wynika, ˙ze

N_k∩ D(t) = f (N_k−1∩ D(t/2) ∪ f (N_k−1∩ D(t/2 + 1/2))

Z za lo˙zenia indukcyjnego N_k−1∩ D(t/2) oraz f (N_k−1∩ D(t/2 + 1/2) sa suma 2_, ^k−1 dysk´ow o promieniu ¹₄
k−1

. Ponadto f jest przekszta lceniem zwe˙zaj_, acym o wsp´_, olczynniku 1/4 w przekrojach D(t) oraz dwukrotnym nawicieciem wzdlu˙z S¹. Zatem N_k∩ D(t) ma 2^k dysk´ow o promieniu ¹₄
k

.

Lemat 13.5. Zbi´or Λ jest a) sp´ojny

b) ma wymiar topologiczny 1

Dow´od Podpunkt (a) wynika z faktu, ˙ze zbiory IN_k, k ∈ IN , sa zwarte, sp´_, ojne i tworza ci_, ag_, zstepuj_, acy, zatem Λ jako ich przeci_, ecie jest zbiorem sp´_, ojnym.

(b) Dla ka˙zdego w l´okna D(t) mamy, ˙ze Λ ∩ D(t) jest ca lkowicie niesp´ojny, wiec jest zerowy-_, miarowy. Niech

D([t₁, t₂]) =[

{D(t) :∈ [t₁, t₂]}

oznacza segment wype lnionego torusa. Poniewa˙z Λ ∩ D([t₁, t₂]) jest homeomorficzne do pro-duktu Λ ∩ D(t₁) i odcinka [t₁, t₂], ma zatem wymiar topologiczny 1.

Lemat 13.6. Odwzorowanie f : Λ → Λ ma nastepuj_, ace w lasno´_, sci:

a) punkty okresowe f sa g_, este w Λ_, b) Λ jest zbiorem hiperbolicznym

Dow´od (a) Fakt, ˙ze t₀ jest punktem okresowym okresu k dla g oznacza, ˙ze g^k(t₀) = t₀+ j dla pewnego j ∈ ZZ. Zatem

t₀ = j (2^k− 1). Dla ustalonego k ∈ IN punkty

t_k,j = j

(2^k− 1) j = 0, . . . , 2^k− 2 sa punktami okresowymi okresu k tzn._,

P er_k(g) := {t_k,j = j (b) Poka˙zemy, ˙ze Λ ma strukture zbioru hiperbolicznego. W lokalnych wsp´_, o lrzednych na_, T² = S¹× D² pochodna f mo˙zna zapisa´_, c tak

Df (t, z) =

 2 0

πie^{2πti 1}₄I₂



gdzie I₂ oznacza macierz identycznosciowa na C_, I lub IR². Niech E_p^s := {0} × IR².

co da˙zy do zera gdy k → ∞. To dowodzi, ˙ze E_{, p}^sjest podprzestrzenia w T_{, p}(Λ) dla kt´orej mamy

Z poprzedniego kroku wiemy, ˙ze przeciecia_,

k

\

k=0

Df_f^j−j(p)C_f^u−k(p) = Df_f^k−k(p)C_f^u−k(p)

tworza ci_, ag zst_, epuj_, acy._,

Aby udowodni´c, ˙ze przeciecie jest prosta nale˙zy pokaza´_, c, ˙ze kat miedzy wektorami w przecie-_, ciach da˙zy do zera dla k → ∞. Niech_,

To dowodzi ze mamy zwe˙zanie k_, ata mi_, edzy wektorami. Korzystaj_, ac z indukcji wzgl_, edem k_,

Uwaga 13.7. Faktycznie pokazali´smy, ˙ze wszystkie punkty okresowe w Λ sa hiperbolicznymi_, siod lami.

13.2 Podkowa Smale’a

Podamy drugi przyk lad nietrywialnego zbioru hiperbolicznego zw. podkowa Smale’a._,

Definicja 13.8. Niech f ∈ Diff^r(M ), p-punkt okresowy hiperboliczny (siod lo), q ∈ W^s(p) ∩ W^u(p). Wtedy punkt q nazywamy punktem homoklinicznym dyfeomorfizmu f . Je´sli W^u(p) przecina transwersalnie W^s(p) w punkcie q, to q nazywamy transwersalnym punktem homoklinicznym.

Lemat 13.9. (λ-lemat) Niech p-sta ly (okresowy) punkt hiperboliczny, f ∈ Diff^r(M ), r ≥ 1, D^u-dysk wymiaru takiego jak E^u. Zak ladamy dodatkowo, ˙ze D^u jest zanurzony w M i przecina transwersalnie W^s(p). Niech D_n^u = fⁿ(D^u), n ∈ IN . Wtedy {D_n^U}^∞_n=1 zbiega do W^u(p) w C^r topologii .

Powiemy, ˙ze dysk D^u jest zanurzony w M je´sli istnieje r´o˙znowarto´sciowe przekszta lcenie g klasy C^r, r ≥ 1 takie, ˙ze g(D(0, r)) = D^u, gdzie D(0, r) ⊂ IR^k, k = dimW^u(p).

Wniosek 13.10. Niech f ∈ Diff^r(M ), r ≥ 1, p₁, p₂, p₃ ∈ M punkty hiperboliczne. Je´sli W^u(p₁) przecina transwersalnie W^s(p₂), W^u(p₂) przecina transwersalnie W^s(p₃), to W^u(p₁) przecina transwersalnie W^s(p3).

Dow´od Niech q₂ bedzie punktem transwersalnego przeci_, ecia W_, ^u(p₂) z W^s(p₃). We´zmy dysk D ⊂ W^u(p2) zawierajacy p_, 2 i q2. Wynika stad, ˙ze D przecina transwersalnie W_, ^s(p3). Dla ka˙zdego  > 0 je´sli ˜D jest dyskiem -bliskim D, to ˜D przecina transwersalnie W^s(p₃). Niech q₁ bedzie punktem transwersalnego przeci_, ecia W_, ^u(p₁) z W^s(p₂). We´zmy dysk D^u zawarty w W^u(p1) zawierajacy q_, 1. Wtedy z λ-lematu istnieje n0 > 0 takie, ˙ze fⁿ⁰(D^u) ⊃ ˜D, kt´ore jest  blisko D. Stad istnieje ˜_, q ∈ ˜D ∩ W^s(p₃). Poniewa˙z W^u(p₁) jest niezmiennicza, zatem fⁿ⁰(D^u) ⊂ W^u(p₁) czyli ˜q jest punktem transwersalnego przeciecia W_, ^u(p₁) z W^s(p₃).

’Chaos’ w otoczeniu punktu homoklinicznego transwersalnego

Niech q bedzie punktem transwersalnego przeci_, ecia W_, ^u(p) z W^s(p). Wtedy fⁿ(q) → p. Niech D^u dysk zawarty w W^s(p) przechodzacy przez f_, ⁿ⁰(q). Z λ-lematu wynika, ˙ze D_n^u da˙zy w C_, ^r topologii do W^u(p).

Poniewa˙z q ∈ W^s(p) ∩ W^u(p), to f⁻ⁿ(q) → p. Niech D^s dysk zawarty w W^s(p) przechodzacy_, przez f⁻ⁿ⁰(q). Z λ-lematu wynika, ˙ze D^s_n= f⁻ⁿ(D^s) da˙zy w C_, ^r topologii do W^s(p).

Dynamiczny chaos w otoczeniu punktu homoklinicznego transwersalnego.

Niech D := D^s× D^u oznacza produkt dysk´ow zawartych odpowiednio w rozmaito´sci stabil-nej i niestabilej punktu siod lowego p. Wtedy dla du˙zych n ∈ IN obraz fⁿ(D) jest d lugim i cienkim krzywoliniowym prostokatem, kt´_, ory przecina D i ’zawiera’ podkowe._,

Idea konstrukcji podkowy Smale’a.

D prostokat, f (D) ma kszta lt podkowy, kt´_, ora przecina D.

f (D) ∩ D ma dwie sk ladowe. Kolejny obraz f²(D) jest podw´ojnie zwiniet_, a podkow_, a zawart_, a_, w f (D). f²(D) ∩ D sk lada sie z 4 prostok_, at´_, ow.

Og´olnie fⁿ(D) ∩ D jest suma 2_, ⁿ prostokat´_, ow, stad_,

∞

\

n=0

fⁿ(D) ∩ D = I × C₁

gdzie C1 oznacza zbi´or Cantora.

Teraz patrzymy na przeciwobrazy, f⁻¹(D) ma kszta lt podkowy, kt´ora przecina D. f⁻¹(D)∩D ma dwie sk ladowe.

f⁻²(D) jest podw´ojnie zwiniet_, a podkow_, a zawart_, a w f (D), f_, ⁻²(D) ∩ D sk lada sie z 4_, prostokat´_, ow.

Og´olnie f⁻ⁿ(D) ∩ D jest suma 2_, ⁿ prostokat´_, ow, stad_,

n=0

\

n=−∞

fⁿ(D) ∩ D = C₂× I

gdzie C2 oznacza zbi´or Cantora. Niech Λ :=

n=∞

\

n=−∞

fⁿ(D) ∩ D = C₁× C₂

Zbi´or Λ nazywany jest podkowa Smale’a. Podobnie jak solenoid b_, edzie domkni_, eciem punk´_, ow okresowych. Jego dok ladny opis zostanie podany na kolejnym wyk ladzie.

Twierdzenie 13.11. (Smale’a) M - g ladka rozmaito´s´c, f ∈ Diff^r(M ), r ≥ 1, p-punkt sta ly hiperboliczny (siod lo). Zak ladamy, ˙ze q jest punktem homoklinicznym transwersalnym

odpowiadajacym punktowi p. Wtedy istnieje otoczenie U punkt´_, ow {p, q} takie, ˙ze U zawiera hiperboliczny atraktor zwany podkowa Smale’a._,

14 Strukturalna stabilno´ s´ c dyfeomorfizm´ ow i p´ ol