W tab . 1 podane są dla pięciu kolejnych dni rezu ltaty porów nali zegarów w B orow cu i Poczdam ie m e to d ą TV o raz w yniki pom iarów fazy sygnałów DCF i OMA. Średni błąd pojedynczego porów nania fazy, po przeliczeniu pom iarów borow ieckich na p oczdam ską skalę czasu, wynosi dla DCF ± 0,5’1 0 '6s,
T a b e l a 1
R ezultaty p orów nań zegarów m iędzy Poczdam em i Borowcem m etoda TV o raz w yniki pom iaru fazy sygnałów DCF i OMA
1973 TV DCF OMA T V - D C F TV —OMA 0 1.22 - 4,5 4,2 11,0 - 8,7 - 15,5 23 - 6,0 3,9 10,5 - 9,9 - 16,5 24 - 1,8 7,8 15,5 - 9,6 - 17,3 25 - 0,9 8,2 16,0 - 9,1 - 16,9 26 - 2,3 6,7 15,0 - 9,0 - 17,3 mo =±0,5 m o =±0,8 TV = UTCB 0 - U T C P 0 , TV —DCF = D C F7 7 5 -U T C p 0 , DCF = UTCBO- D C F 77 5 , T V -0 M A = OMA5 0 -U T C p 0 , Jed n o stk a : jed n a m ikrosekunda.
a dla OMA ±0,8'10"‘ s. W błędach ty ch tkw i nieznany błąd porów nania zegarów m e to d ą TV, w yno szący najpraw dopodobniej ± 0 ,2 '1 0 ‘6 s.
322
Z pracowni i obserwatoriówZastosowanie w Borowcu metody TV i pomiaru różnicy fazy pozwala na powiązanie lokalnej skali czasu UTCb() z TAI z dokładnością mikrosekundową. Przy codziennym korygowaniu fazy lokalnego zegara i dostrajaniu generatora w przybliżeniu co 10 dni można bez trudu utrzymać lokalną skalę cza su w zgodzie z czasem TAI (lub UTC) w przedziale + 1 5 '1 0 '6s, znając przy tym w każdej chwili popraw kę zegara z dokładnością l'1 0 "6s. Częstotliwość generatora można utrzymać bez trudu w granicach ±2-1 0 '10, znając dla każdego mom entu błąd częstotliwości z dokładnością +2-10"11.
Autor dziękuje dypl. inż. F. B u c k b e s c h o w i z Instytutu Fizyki Ziemi (ZIPE) w Poczdamie za cenne informacje i współpracę.
L I T E R A T U R A
D o m i ń s k i, I., 1972, Metoda telewizyjnego porównywania zegarów z dokładnością mikrosekundo wą, Przegląd Telekomunikacyjny 3, s. 9 5 —96,
C i e r n i e w s k i, S., D o m i rf s k i, I., 1973, Generator kwarcowy o stabilności dobowej ±5‘1 0 " '1 Post. Astr. XXI, 4,
T o 1 m a n, J., P t a ( e k, V., S o u ć e k, A., S t e c h e r, R., 1967, Microsecond clock comparison by means of TV synchronizing pulses, IEEE Transactions on Instrum entation and Measurement, Vol. IM—16, No. 3, p. 2 4 7 -2 5 4 ,
W i n k l e r , G.M.R., 1972, Recent Experiments w ith Flying Atomic Clocks, Report to XVII General Assembly, Warsaw 1972, o f the International Union o f Radio Science.
POSTĘPY ASTRONOM II Tom X X I(1 9 7 3 ). Zeszyt 4
D R U G A W A R I AC J A I U O G Ó L N I E N I E R Ó W N A N I A C H A N D R A S E K H A R A B. K U C H O W I C Z
W ydział Chemii U niw ersytetu Warszawskiego (R eferat w ygłoszony na XVI Zjeżdzie PTA )
S t r e s z c z e n i e — Podobnie ja k pierw sza w ariacja całki działania prow adzi do rów nali Einsteina wraz z rów naniam i ru ch u , tak druga w ariacja daje rów nania opisujące zagadnienie stabilności. Ogólny układ takich równarf dla drgań radialnych i ad iabatycznych przy dow olnej m etryce o sym etrii sferycz nej daje się sprow adzić do jednego rów nania różniczkow ego rzędu ty p u Sturm a-Liouville'a. Rów nanie to stanow i uogólnienie rów nania C handrasekhara, podanego przez niego w 1964 r. dla szczególnego układu w spółrzędnych.
BTOPAfl BAPMALJUfl M OBOBUJEHME YPABIIEHMH 4AHZJPACEKAPA. B . Ky XOBMM. Co f l e p / Ka HHe - AHajionwHO Touy, KaK ypaBHeHMH 3itHuiTeHHa, coBM ecTHo c ypaBHeHHflMM fl3M*eHMJi,n0Jiyiiai0Tca m nepBOM aapnanm fleiicTBHfl, TaK h BTopaM BapMauMH BefleT k ypaHeHMHM ripoSjieMbi ycToiimtBoc™. 06maa CHCTeMa t aKwx ypaBHeHwK aflwa6aTimecKMx paAHajibHbix nyjibcaunit npw n p o -
M3B0JlbH0M C^epUMeCKM - CMMMeTppWeCKOH M6TpilK8 CBOflHTCfl K OflHOMy ypaB - HeHHK)
TMna
IliTypMa-JIbiOBMjiJifl. 3 t o - o6o6meHMe ypaBHeHMa flaHHoro MaHflpa- cen ap oM b 1 9 6 4 r o fly .THE SECOND V A RIA TIO N AND A G EN ERA LIZA TIO N OF C H A N D RA SEK H A R’S EQUA TION. S u m m a r y . — In a similar w ay as th e first variation o f th e actio n integral gives us the E instein equations to g eth er w ith th e e q uations o f m o tio n , th e second variation o f th e action integral gives us a system o f eq u atio n s describing th e stab ility problem . A general system o f such eq uations fo r infini tesim al, adiabatic, radial oscillations is derived fo r the m ost general m etric o f spherical sym m etry. This system m ay be reduced to a single equation o f th e Sturm -Liouville ty p e, w hich is a generalization o f C handrasekhar’s eq u atio n th a t was derived in 1964.
W analizie stahilnosci kul relatyw istycznych nie należałoby ograniczać się do rozw ażań w jednym ty lk o specyficznym układżie w spółrzędnych. Najczęściej prow adzi się rozw ażania we w spółrzędnych kanonicznych, k tó re są w praw dzie nader w ygodne w użyciu, jed n ak że nie są dozw olone we w szystkich ty p ach przestrzeni o sym etrii sferyczcnej (T a k e n o 1966). Do układów n atom iast zawsze dopuszczal nych należy układ w spółrzędnych izotro p o w y ch i układ w spółrzędnych biegunow ych Gaussa: Ogólne rozw iązanie form alne we w spółrzędnych izotro p o w y ch ( K u c h o w i c z 1972a) o kazało się p rz y d at ne do prostego zapisu w arunków , jakie m uszą spełniać fizycznie sensow ne rozw iązania ( K u c h o w i - w i c z 1972b): o trzy m u je się układ nierów ności różniczkow ych dla dw óch funkcji jednej zm iennej.
324 Z pracowni i obserwatoriów
Można inieć nadzieję, że równie przydatne okaże się wyprowadzone niedawno ogólne rozwiązanie niestatyczne we współrzędnych biegunowych Gaussa (K u c h o w i c z 1973) Warto więc przedsta wić podstawowe równania dla zagadnienia stabilności w takiej postaci, by można było użyć ich w każ dej chwili do przeprowadzenia analizy w dowolnym układzie współrzędnych. Równanie powyższe mo żna by w zasadzie wyprowadzić metodą podobną do tej, którą posługiwał się C h a n d r a s e k h a r (1964) w swych wywodach. Podał on równanie dla infinitezymalnych, radialnych pulsacji adiabatycz nych kuli relatywistycznej, posługując się układem współrzędnych kanonicznych. Jest to wywód dość długi i żmudny, w którym łatwo o pomyłkę.
Znacznie wygodniej będzie nam posłużyć się metodą odmienną, bardziej formalną, rozważając dru gą wariację całki działania dla układu dynamicznego, złożonego z cieczy doskonałej (o gęstości energii p i ciśnieniu p)o raz z pola grawitacyjnego o ogólnej metryce sferycznie symetrycznej:
ds2 = evdt2 - eXdr2 - e °r2 (d d2 + sin2 ^ 2 ). (1)
Równanie Eulera dla pierwszej wariacji całki działania są to znane równania Einsteina, których po stać w różnych układach współrzędnych znaleźć można w poprzedniej pracy ( K u c h o w i c z 1971). Można wykazać, że traktując występujące w tych równaniach wielkości dynamiczne jako funkcje współ rzędnych i pewnego parametru 11, oraz różniczkując je formalnie względem e i i podstawiając na ko niec £ i =0, otrzymujemy równanie Eulera dla drugiej wariacji całki działania. Poniżej podajemy układ tych równali, który jest układem liniowym dla wielkości zaburzonych, oznaczonych wskaźnikiem „1 ” (wielkości te otrzymuje się w standardowy spos/Sb poprzez różniczkowanie wielkości niezaburzonych
dp I \ względem e j i położenie £ i = 0 , np. p \ = — )'■ £ i £ 1 = 0 f v' v'o' / 1 ct'\2"1 , / I a '\ e '° 8 7Tpi = — + ~ + —J e Xi + ^ — + —J e V1 + ~ ° l + (2 )
/
v '1 a '\ . ,
+ ( — + — + — Je Oi + e v (Ti, \ 2 r 2 / / o ' + P ' 1 \ x , •• ( 2 v ' + a ' - V 1 \ , , 87Tpj = — 87TpAj — ( --- + — ) e’ X j --- + ( --- + je V V 4 2 r l 2 \ 4 2r / 1— y",(— — - 1i*),-*„i - • '
2 \ 4 r )
(3) + --- ' 1 + --- + — 1 e Ot + ---- O i --- Ox y
2 2
Z pracowni i obserwatoriów 325 Niezaburzone wielkości X ^ C ^ p i p spelniaja równania ( K u c h o w i c z 1971):
87rp = r v ' v 'a ' / 1 a '\2 ~ L r 2
(riT
( 6 ) 87Tp = - - . • * e"CT . f „ o " + — (a)2 + - - - - — + - 3 , 3 a ' X' X V l ' r2 L 4 r r 2 r2. (7)Jak zwykle, różniczkowanie względem zmiennej radialnej r oznaczyliśmy kreską, różniczkowanie względem czasu t — kropką.
Cały powyższy układ równań można zredukować do jednego rówannia różniczkowego dla zabu rzenia Oi, trzeba jedynie przyjąć, że istnieje równanie stanu postaci p = p(p). Jeśli zapisać:
Oi(r,t) = - e i u t , | = Kr),
r (8)
326
Z pracow ni i obserw atoriówSym bol a oznacza szybkość dźw ięku. W ężykiem oznaczyliśm y w artości p oczątkow e odpow iednich w ielkości, np. ? i = i”i ( r ) = ^ ( r .O ) . R ów nanie pulsacji (9 ) stanow i w zasadzie konsekw encje rów no ści (2 ), natom iast rów ność ( 3 ) nie w nosi tu nic now ego, a rów ność (4 ) prow adzi do następującego zw iązku m iędzy „w artościam i początk o w y m i” :
-A. i X ' y 1 ~ , ‘ — X1 + - X ',
r r / r
4 7 T{p + p ) „
+— —--- 1 ^ = 0 . ( I D
W rach u n k ach naszych przyjęliśm y w artość p o czątk o w ą O i jak o ró w n ą zeru, co znacznie uprości ło obliczenia. G dy ju ż o trzy m am y funkcję £ (r) po rozw iązaniu rów nania (9 ), w tedy podstaw iam y ją do w yrażenia (8 ), a następnie d o w yrażeń dla dw óch dalszych zaburzeń:
X i ( r , t ) = X i( r ) + 1 + - ( a - v ) o Ot + r Oi (12) Vl ( r , t ) (r) +
(■i"')1
/ 3o-y \
Ń ' 2 y
(1 3 ) Je st rzeczą najprostsza przyjąć „w artości p o czątkow e” Xj i V\ jak o rów ne zeru. W tedy do rów na nia (9 ) m ożna stosow ać całą znaną teo rię równarf ty p u Strum a-Liouville’a. Celem naszej analizy jest rozw iązanie problem u dla w artości własnej co2 . Oscylacje sta ją się niem ożliw e dla ujem nych w artości c j 2. Ł atw o stąd o trzy m ać w arunek w ystarczający dla niestabilności dynam icznej, b ęd ący uogólnie niem odpow iedniego w arunku danego w rozdziale VI w spom nianej pracy C h a n d r a s e k h a r a (1 9 6 4 ).Jeśli p ołożym y Xj = Vi = 0 o raz przejdziem y do układu w spółrzędnych k anonicznych d an y ch me try k ą (1 ) z O = 0 , w tedy po podstaw ieniu a2 = y p l(p + p ) mieć będziem y rów nanie (5 9 ) C h a n d r a s e k h a r a . Tutaj w ielkość 7 jest to indeks ad iab aty (stosunek C ^IC v ):
y = p
+ p 9 p
9p
(1 4 ) S = const.
W ielkość tę w prow adzono w sw oim czasie do rów nania, dogodnie jest bow iem przyjąć j ą za stałą we w n ętrzu kuli podczas rachunków . Szczegółow e w yprow adzenie w yników wraz z analizą w arun ków d o stateczn y ch stabilności zn ajd u ją się w przygotow aniu ( K u c h o w i c z 1974).
L I T E R A T U R A C h a n d r a s e k h a r , S., 1 964, A p J ., 140, 417.
K u c h o w i c z , B., 1 9 7 1 , A cta Phys. Polon., B 2 , ^ 51.. K u c h o w i c z , B., 1972a, Post. A str., 2 0 ,1 5 1 . K u c h o w i c z , B., 1 9 7 2 b , Post. A str., 2 0 ,1 5 5 . K u c h o w i c z, B., 1 9 7 3 , Phys. L etters 4 3 A , 347.
K u c h o w i c z, B., 1 9 7 4 , A cta Phys. Pol. (w przy g o t. do d ru k u ). T a k e n o , H „ 1 9 6 6 , S cient. R ep o rt H iroshim a U niversity, No. 5.
['OSTĘPY ASTRONOMII Tom XXI ( 1973). Zeszył 4
K U L E R E L A T Y W I S T Y C Z N E WE W S P Ó Ł R Z Ę D N Y C H B I E G U N O W Y C H G A U S S A B. K U C H O W I C Z
Wydział Chemii Uniwersytetu Warszawskiego (Referat wygłoszony na XVI Zjeżdzie PTA)
S t r e s z c z e n i e — Znane są już ogólne rozwiązania równań Einsteina dla statycznych rozkła dów materii o symetrii sferycznej we współrzędnych kanonicznych i izotropowych. Obecnie wypro wadzone jest analogiczne rozwiązanie dla przypadku współrzędnych biegunowych Gaussa.Jest to ogól ne wewnętrzne rozwiązanie niestatyczne, wyrażone poprzez całki z gęstości i ciśnienia w kuli relaty wistycznej.
PEJ1HTHBMCTCKME C'I>EPbl B H O JIflPIIblX PA YC C O B blX KOOP/JHIIA- T A X , B. K y x o B i m . C o A e p w a n i i e - M3BecTHbi ya<e o6mne CTaTwqecKiie
pemeHMfl ypaBHenwM IwmiiTeiiHa flJia ocJjepmłecKM CMMMeTpimecKwx pacnpeAeJiemiM
M/łeajibHow w m a k o c t m. ZJaeTCH ofiinee H ecT aT im ecK oe BHyTpenHee peiuemie b no-
jiH pub ix r a y c c o B b ix KoopAMHaTax, KOTopoe c b o a h t c h k HHTerpauMn iu io t m o c t m
M 3T e pn n m efi AaBJieHMH.
RELATIV1STIC SPHERES IN POLAR GAUSSIAN COORDINATES. A b s t r a c t . - General solutions of the Einstein equations for spherically symmetric matter distributions have been derived already in canonical and isotropic coordinates. An analogous solution is derived for the case of polar Gaussian coordinates. It is a general nonstatic solution, given in terms of integrals over density and pressure, with four arbitrary functions of time.
W czasoprzestrzeni riemannowskiej układ współrzędnych gaussowskich jest zawsze układem do puszczalnym, podczas gdy istnieją np. znane trudności ze stosowaniem w całej czasoprzestrzeni współ rzędnych kanonicznych, w których rozwiązanie zewnętrzne Schwarzschilda przybiera nadzwyczaj pro stą i podawaną we wszystkich podręcznikach postać. Z tego też względu warto podać rozwiązania równań Einsteina we współrzędnych gaussowskich dla przestrzeni wypełnionej materią. Rozwiązania takie mogą stanowić uproszczone modele sfer relatywistycznych, w analogii do rozważanych już po przednio nieraz kul relatywistycznych we współrzędnych kanonicznych ( K u c h o w i c z 1968) i izotropowych (K u c h o w i cz 1972a, b, c).
Układ współrzędnych biegunowych Gaussa wprowadzimy w ślad za S y n g e’ e m (1964),biorąc za podstawę linię geodezyjną C, która stanowi oś symetrii w tym znaczeniu, źe w każdym jej punkcie wszystkie jednostkowe wektory ortogonalne względem niej są sobie równoważne. Nie ma to oczywiś cie oznaczać równoważności wszystkich punktów położonych na linii geodezyjnej C. Ustalmy pewien
3 2 8 Z pracowni i obserwatoriów
punkt początkow y 0 na linii C i wystawmy w tym punkcie ortonormalną trójkę wektorów A,'i), A|2 ) prostopadle do linii C, a następnie przesuwajmy tę trójkę równolegle wzdłuż linii C. Jeśli mamy teraz wyznaczyć współrzędne punktu E czasoprzestrzeni, wtedy z punktu tego poprowadzić musimy linię geodezyjną EN, która przetnie linię C prostopadle (w punkcie N na rys. 1). Odległość EN wzdłuż geodezyjnej obieram y jak o współrzędną radialną r, odległość zaś ON wzdłuż linii geodezyjnej C jest to współrzędna czasowa t. Z kierunku stycznej do NE w punkcie N wyznaczamy wreszcie kąty bieguno we d i ip. Czwórka wspomnianych biegunowych współrzędnych Gaussa prowadzi do następującej me tryki czasoprzestrzeni:
d s2 = evd t2 - d r2 - R 2 (d d 2 + sm 2 d d f). (1)
W przypadku symetrii sferycznej funkcje v i ft zależą od r i t. Przyjmując standardową postać ten sora energii i pędu dla cieczy doskonałej:
T \ = t \ = t \ = - p , 1A4 = p , (2)
otrzym ujem y w naszym zgeometryzowanym układzie jednostek (gdzie stała grawitacyjna C = pręd kość światła c = 1 ) z równali E iiU ein a następujące równania do wyznaczenia v i R przy znanej gęstości energii p i znanym cienieniu p :
V + — ) ♦ 2ft ft2 + — . f t
-ft2 ft
^ R // - ftft2
ft-J e = "87Tp, (3 ) 2 ft" (ft')2\ ft2 , . — + --- ) + — j e’ = 87TP,ft2 \ ft ft2 / ft2
(4 ) 2ft
---V — = 0.ft ft
(5 )Ostatnie z przytoczonych równań wynika z faktu, że T \ = 0. W równaniach powyższych kropką oznaczaliśmy różniczkowanie względem czasu t, kreską - względem współrzędnej radialnej r.
Ogólne rozwiązanie równania (5 ) m a postać:
ft = ev/2 F (t). (6 )
Tutaj F (t ) jest dow olną funkcją czasu. Podstawiwszy to wyrażenie zamiast ft do równania (4), otrzymujemy następującą całkę pierwszą tego ostatniego równania:
( f t ') 2 = 1 + F 2(t) +
/,(t) - //(ft,
t)R
gdzie oznaczyliśm y’.
H ( R , t ) = 8TTfpR2dR,
(7 )
(8)
traktując gęstość p jako funkcję ft i f. Z równości (7 ) możemy teraz otrzym ać współrzędną r jako funkcję zależną od ’ i t:
'A pracowni i obserwatoriów 3 2 9 r
h
+ F 2(t) + -j- [ / , ( » ) - H(R,'t)] dR (9) a z odwrócenia dostajemy fi = R(r,t).Podstawiając wyrażenia dane wzorami (6) i (7) do równania (3) otrzymujemy pozostałą funkcję występującą w metryce:
W obu tych wyrażeniach traktujemy wszystkie występujące w nich funkcje jako zależne od zmiennych r i t, równanie (9) pozwala nam bowiem na wyznaczenie R = R(r,t). Oprócz dowolnej funkcji F (t) otrzymujemy trzy dalsze funkcje dowolne czasu: /.(()•
W przypadku statycznym funkcje / . redukują się do stałych, a funkcja F zanika. Mamy wtedy następującą prostą po stad rozwiązania:
w którym wyrażenia podcałkowe traktujemy jako funkcje zmiennej R, ale zawsze można przejA? od R do r — i na odwrót.
Rozwiązanie wewnętrzne dane wzorami (12) i (13) można oczywiście zszyć dla r = z rozwiąza niem zewnętrznym dla próżni (p = p = H = 0), które jest analogiem rozwiązania zewnętrznego Schwarzschilda i podobnie jak to ostatnie nie może być traktowane jako rozwiązanie statyczne dla dostatecznie małych wartości r. Oto po stad rozwiązania zewnętrznego:
(10) Tutaj oznaczyliśmy: ( U ) (12) (13) r - \ / r 2 + c\R — — In I 2 \ / r ? + c j R + 2R + e j I + cj (14) 2 (15)
33 0 2 pracowni i obserwatoriów
Ma ono sens dla R > lej I; z zachowania się asymptotycznego przy dużych r wynika, że stała c, musi być ujemna. Warto zauważyć, że jeśli we wzorach (12) i (13) wziętych dla p = H = 0 utożsamimy naszą funkcję R z kanoniczną współrzędną radialną, wtedy wzory tc dają nam natychmiast zewnętrzne rozwiązanie Schwarzchilda we współrzędnych kanonicznych (r^ zamiast dotychczasowej współ rzędnej r ):
rkan
Wspominaliśmy o ograniczeniach dla R w przypadku statycznym. Łatwo zauważyć, że ogranicze nia podobne pozostają w mocy i w przypadku ogólnym, niestatycznym; wynika to np. z zadania nie- ujemnej określoności prawej strony równania (7). Zastosowanie tego warunku do wewnętrznego roz wiązania statycznego (12) prowadzi do wymagania, by gęstość traktowana jako funkcja zależna od R spełniała we wnętrzu kuli relatywistycznej następującą nierówność:
1
87TP < — . (17)
Ogólne rozwiązanie niestatyczne we współrzędnych biegunowych Gaussa, dane wzorami (9) i (10), może przydać się do rachunków dla pulsacji albo zapaści grawitacyjnej w przypadku, gdy mamy żąda ną postać zależności gęstości i ciśnienia od zmiennych R i i. Nie wspominam już o zastosowaniu od powiednich wyrażeń ogólnych dla kul statycznych, gdyż kulami takimi dostatecznie się już zajmowa liśmy w serii prac (patrz np. K u c h o w i c z 1972). Warto jedynie dodać, że możliwość dziwnego zachowania się rozwiązań wewnętrznych dla wartości R < R m^n wydaje się wskazywać na odejście od topologii euklidesowej w tym obszarze.
L I T E R A T U R A K u c h o w i c z , B., 1968, Acta Phys. Polon., 33, 541. K u c h o w i c z , B., 1972a, Acta Phys. Polon., B 3, 209. K u c h o w i c z, B., 1972b, Post. Astr., 20,151. K u c h o w i c z, B., 1972c, Phys. Letters, 38 A, 369.
POSTĘPY ASTRONOMII Tom XXI (1973). Zeszyt 4
POLE NEUTRINOW E W PR Z E ST R Z E N I KOSMICZNEJ B. K U C H O W I C Z
Wydział Chemii Uniwersytetu Warszawskiego (Referat wygłoszony na XVI Zjeździe PTA)
S t r e s z c z e n i e — Nadzwyczaj słabe oddziaływanie neutrin z m aterią sprawia, że nie da się wy kluczyć znacznego wkładu gęstości neutrin do średniej gęstości materii we Wszechświecie. Problem tła neutrinowego we Wszechświecie wiązano zazwyczaj z możliwością przejścia od otw artych do zamknię tych modeli friedmannowskich oraz z ewentualnym testowaniem lokalnym (w laboratorium jądro wym) występowania wspomnianego tła. Tymczasem wpływ neutrin na kosmologię może być znacznie głębszy i nie ogranicza się do roli przyczynka do gęstości materii. Nie tylko w początkowej fazie ewo lucji Wszechświata, ale i dzis' jeszcze wpływ neutrin na strukturę czasoprzestrzeni może być decydują cy — i to w takich kwestiach, jak mozliwos'c a priori symetrii sferycznej oraz przejście do rozmaitości ogólniejszych (np. z torsją).
HEMTPMHHOE HOJIE B KOCMMHECKOM H P O C T PA H C T B E . E . K y x o - b h m . C o a e p j K a H n e - OneHb cjiaóoe B3anM0fleMCTBne HeiiTpMHo
c
MaTepweiinpMBOflMT K T O M y, MTO B03M0)KeH OqeHb 3HaMMTeJlbHbIM B3H0C HeJlTpHHHOH
njiothoctm k oóiueM njioTHocTH MaTepMM bo "BcejieHHośt flpo6jieM a HeftTpwHHoro
cJ)0Ha bo BceJieHHofó oGbmHo CBM3biBaJiacb c B03M0*H0CTbK) nejJexofla o t o t-
KpblTblX K 3aKpbITbIM (|3p MAMaHOBbIM MOflSJIHM H C JlOKajlbHbIM OtipeflejieHMeM MOflejiew b aflepHOM Jia6opaTopnu. OflHaKO BJiMHHHe HeMTpwHo Ha KocMOJioniio 6oJiee rjiy60K0, oho He orpaHimMBneTCH k BKJiaay b njioTHocTb MaTepiiM. He
T0JibK0 b Hanajie 3bojiioumh BcejieHHoM ho h Tenepb bjihhhhb Ha CTpyKTypy
npocTpaHCTBa BpeMenw pewaiomee b Bonpocax CB«3aHHbix c o ę^iepimecKoii
cMMMeTpMeM, BBefleHw eM K py^eH iiH MTfl.
THE NEUTRINO FIELD IN COSMIC SPACE. A b s t r a c t — The very weak neutrino-m atter interaction points to the fact th at a relatively large contribution of the neutrino density to the overall density o f m atter cannot be excluded. The neutrino problem in the Universe was usually related to a transition from open to closed Friedmann models, and to a possible laboratory testing o f the degene rate neutrino background. Now, the effect o f the neutrino upon cosmology can be much deeper. Not only in the initial evolution stage of the Universe but even at the present epoch the neutrino backgro und can decisively influence the structure o f the space-time, in such questions as the possibility of a spherical symmetry, and in the transition from Riemann manifolds to more general ones (e.g. those with an inherent torsion).
332
Z p ra c o w n i i o b se rw a to r ió wOdkąd P o n t e c o r v o i S m o r o d i n s k i ( 1 9 6 1 ) przeprowadzili głęboką analizę możliwości istnienia trudno obserwowalnego tła neutrinowego* przyjęte stało się umieszczanie owego tła w naj różnorodniejszych modelach kosmologicznych. Nader często przedstawiono argumenty na rzecz wyso kiej gęstości materii neutrinowej, być może wielokrotnie przewyższającej gęstość obserwowalnej ma terii (W e i n b e r g 1962). Podsumowaniem różnych aspektów teoretycznych owego hipotetycznego tła neutrinowego we Wszcchświecie zająłem się niedawno w rozdziale V obszernego przeglądu mono graficznego (K u c h o w i c z 1972a). Obecnie moim celem jest zwrócenie uwagi na te problemy, któ re wiążą się z polowym podejściem do problematyki neutrinowej w ramach ogólnej teorii względności. W standardowym ujęciu tła neutrinowego uwydatnia się zwykle jego aspekt korpuskulamy: hipo tetyczne neutrina tła z szybkością światła przebiegają przestrzeń kosmiczną w różnych kierunkach, a ewentualne efekty obserwowalne takiego tła wiążą się przede wszystkim ze stosowaniem statystyki Fermiego-Diraca do „gazu neutrinowego” . Wszystko to znane jest już od lat (K u c h o w i c z 1963a). Istnieją nawet lokalne możliwości sprawdzenia w laboratorium jądrowym, czy rzeczywiście istnieją określone składowe tła neutrinowego ( W e i n b e r g 1962; K u c h o w i c z 1963b).
Podczas rozważania roli neutrin w modelach kosmologicznych uwzględniono dotychczas w zasa dzie dwa jedynie problemy:
1) wkład gęstości neutrin do gęstości materii we Wszechświecie, 2) rolę neutrin w początkowych fazach ewolucji Wszechświata.
W pierwszym ze wspomnianych problemów chodziło właściwie o to, czy wkład pochodzący od gęstości materii neutrinowej może wystarczyć do przejścia od modeli otwartych do zamkniętych (mówimy o klasie modeli friedmanowskich). W związku z drugim problemem wymienić trzeba cykle prac dotyczących mechanizmu wygładzenia pierwotnej anizotropii we Wszechświecie ( D o r o s z k i e - w i c z, Z e l d o w i c z i N o w i k o w 1967,1968, 1969a, b; M i s n e r 1967a, b; M a t z n e r 1 9 7 2 ; S t e w a r t 1968).
Brak było dotychczas głębszej analizy kosmologicznych konsekwencji prowadzonych w ciągu ostat nich paru lat badari nad geometryczną teorią neutrin. Jest to podejście w zasadzie całkowicie polowe, wynikające z przeniesienia podejścia R a i n i c h a , W h e e l e r a i M i s n e r a z teorii pola elektro magnetycznego w dziedzinę teorii neutrina. Wspomnianym autorom (R a i n i c h 1925; M i s n e r i W h e e l e r 1957) udało się podać tz w ., ju ż jednolitą” teorię grawitacji i elektromagnetyzmu, tzn. sprzężonym polom grawitacyjnym i elektromagnetycznym nadać interpretację wyłącznie geometryczną. Zastanówmy się obecnie, na czym polegać ma geometryczne podejście do pola neutrinowego. Bie rzemy równania Einsteina dla pola grawitacyjnego:
C = - UKT . (1)
liv
Tutaj (w układzie jednostek, w którym stała grawitacyjna G = prędkość światła c = 1)G jest to geometryczny tensor Einsteina dla czasoprzestrzeni riemannowskiej, a tensor T ^ jest tensorem energii- -pędu pola neutrinowego. Pole neutrinowe jest zaś opisane równaniem Diraca we wspomnianej już za krzywionej czasoprzestrzeni riemannowskiej. Równania Diraca i Einsteina wiążą się więc ze sobą i nie podobna rozwiązać ich niezależnie'od siebie. Ciekawe wyniki dla sprzężonych pól neutrinowo-grawita- cyjnych udało sig uzyskać dzięki prowadzeniu rachunków w odpowiednio dobranych współrzędnych anholonomicznych, stosując tetrady, które mogą zmienić swą orientację od punktu do punktu, jednak zawsze pozostają ortonormalne i przemieszczają się wzdłuż linii strumienia neutrinowego w przestrze ni. Można wtedy stosować metodę skalarów optycznych, współczynników Newmana-Penrose’a i inne nowe metody matematyczne ogólnej teorii względności. Wyniki tego podejścia, rozwiniętego w pra cach grupy brytyjskiej, kanadyjskiej i niemieckiej, podsumowałem w ubiegłym roku ( K u c h o w i c z 1972b). Obecnie pragnę wskazać jedynie na pewne ogólne właściwości pól neutrinowych w zakrzywio nej czasoprzestrzeni.
Chcąc właściwości te przedstawić poprawnie, musimy najpierw wprowadzić dwa typy pól neutri nowych:
*W dalszym ciągu stosować będziemy tę nazwę do tła złożonego z neutrin i antyneutrin obu rodza jów: V ,~V , V i v .
Z pracowni i obserwatoriów
333
1 ) pola klasy E , — są to p o la, spełniające w arunek T u ^ u " * 0 dla w szystkich o bserw atorów w
każdym punkcie P, w k tó ry m m am y T * 0 . T utaj T jest tensorem energii-pędu pola, a jes t to skierow any w przyszłość w e k to r prędkości o b serw atora w punkcie P,
2 ) pola czystego prom ieniow ania — są to tak ie rozw iązania rów nań n eu trinow ych, dla k tó ry ch prze pływ energii w jak im ś punkcie odb y w a się dla w szystkich o bserw atorów z pręd k o ścią św iatła w ty m sam ym k ierunku. Pola te są analogiem tzw . zerow ych pól elektrom agnetycznych.
W szystkie fizyczne sensow ne pola neu trin o w e są polam i klasy E , . O bow iązuje dla nich ważne