Über den einfluss nichtlinearer effekte auf hydrodynamische kräfte bei erzwungenen tauchbewegungen prismatischer körper

FO1LSUHUNGS HEFTE Fila SCHIFFBAU UND SCIIIFFSMASCIIINENBAIJ

Uber den Einfluß nichtlinearer Effekte. auf, hydrodynamische Kräfte

bei erzwungenen Tauchbewegungen prismätischer Körper

Prof. Cheung Hun Kim *)

Einleitung

In dieser Arbeit wird die Untersuchung von Grim über hydrodynamische Kräfte bei erzwungenen Tauchbewe-gungen prismatischer Körper unter linearisierten Voraus-setzungen weitergeführt und auf Bewegungen endlicher Amplitude ausgedehnt.

Es wird nach dem Einfluß nichtlinearer Effekte auf die hydrodynamischen Kräfte gefragt, die bei großen Ampli-tuden der Schwingung des Körpers berücksichtigt werden

müssen.

Die folgenden nichtlinearen Effekte müssen bei endlicher Amplitude der Schwingung beachtet werden:

Erfüllung der Randbedingung an der freien Wasserober. fläche mit Berücksichtigung der Glieder zweiter Ordnung. Erfüllung der Randbedingung an der Körperoberfläche nicht nur in der Mittellage, sondern auch in einigen davon abweichenden tatsächlichen Positionen der

Körperober-fläche.

8. In der Druck- und Kraftberechnung Berücksichtigung nicht nur des linearen, sondern auch des quadratischen Gliedes des Druckes der Bernoullischen Gleichung. Das Ziel der Arbeit, nämlich die Lösung, die die erwähnten

Nichtlinearitäten berücksichtigt, wird in drei Schritten erreicht:

Für den Grenzfall verschwindender Frequenz der

Schwin-gung mit endlicher Amplitude wird eine genaue Lösung gefunden. Das ist möglich, weil dafür die Bedingung an

der freien Wasseroberfläche sehr einfach ist.

Da die Bedingung an der freien Wasseróberfl.che für den Fall endlicher Frequenz die größte Schwierigkeit bereitet,

ist zunächst eine angenäherte Lösung bestimmt, für die als

Bedingung an der freien Wasseroberfläche nur die linea-risierte Bedingung benutzt ist. Die nichtlineare Rand-bedingung an der Körperoberfläche ist aber völlig

berück-sichtigt, ebenfalls das nichtlineare Glied in der

Bernoul-lischen Gleichung.

') Der Fakultät für Maschtnenwesen der Technischen Hoch-schule Hannover vorgelegte und genehmigte Dissertation

Hauptreferent Prof. Dr.-Ing. Otto G rim Horre ferent Prof. Dr. Ing. Kurt W e n d o L

(Gekürzte Fassung)

StillIFFSTECllI1i

Heft 73, September 1967 (14. Band)

Die Lösung B wird für eine Iteration benutzt, durch die zusätzlich die Glieder zweiter Ordnung der Bedingung an der freien Wasseroberfläche berücksichtigt werden. Die hier behandelten prismatiechen Körper sind Keil-formen, die mathematisch sehr einfach darzustellen sind.

Den Lösungen wurden, wie üblich, folgende Vorausset-zungen der klassischen Hydrodynamik zugrunde gelegt:

Wasser als ideale Flüssigkeit

Bewegung dea Körpers ab Ruhelage, d.h. die Störung kann

durch ein Geschwindigkeitspotential beschrieben werden. Es liegt daher ein reines Grenzwertproblem der Potential-theorie vor.

Um die

mchtlinearen Randbedingungen erfüllen zu

können, werden den höheren Ordnungen der Schwingung entsprechende Potentiale mit dem Grimsehen Potential kombiniert. Nach Erfüllung der Randbedingung des sich harmonisch bewegenden Profllrandes mit diesem Ansatz erhält man die gefragte Lösung, d. h. die Werte der unbe-kannten Koeffizienten der Teilpotentiale.

In jedem der drei oben genannten Schritte werden die hy-drodynamischen Druckverteilungen an der Körperober-flache und damit die hydrodynamischen Kräfte, welche zur Erhaltung der Schwingung erforderlich sind, errechnet. Die Ergebnisse sind aufgetragen und werden diskutiert.

Rechnungen sind für die dimensionslose Frequenz der Schwingung bis 0,8 und das Verhältnis Amplitude der Schwingung zu Halb breite des Körpers bis 0,3 für verschiedene

Profile ausgeführt. Die Methode kann nicht mehr angewandt

werden, wenn das Modell austaucht oder nahe am Austauchen ist.

1. Eine genaue Lösung für den Grenzfall verschwindender

Frequenz der Schwingung mit endlicher Amplitude.

lA: Komplexes Potential.

Wenn die Frequenz o gegen Null geht, wird das Grimsche komplexe Potential (siehe Anhang) fhr die lineare Tauchbe-wegung in folgender Form dargestellt:

i,r - -if. i'.'-Y v1

i

+

_¿j

VA

_(x+i

_y)2n}

n=1

Um die nichtlineare Randbedingung an der Korperobor-fläche erfüllen zu können, kombiniert man das der zweiten Schwingungsordnung entsprechende Potential mit dem obigen Crimschen Potential und nimmt dio folgende Formol als cias komplexe Potential an:

(T+i'V=Ue

A01 Íln(yvl/x+

Iy)'7r] +

- -ir (4-'v, iVY

I F1 (t.)

Al(

(1.1)

worin A01, A02, F(t) und A dio Unbekannten bedeuten. Dieses Potential für -*0 erfüllt die Bedingung der Konti. nuität dor Flüssigkeit und die linearisierte. Randbedingung an der freien Wasseroberfläche. Das Geschwindigkeitspo-tential und dio Stromfunktion sind

ql = Re(cD), _4'

=

Ro (T) (1.2)

i.B: Erfüllung der. Randbedingung an der

Körper-oberfläche.

Die Gleichung des sich harmonisch bewegenden Proffi. randes in bezug auf die feste Koordinatenachse xy lautet

y

= -

ax

_{+ b +}

o cos(ce t), (13)

wobei

a das Verh.ältnis Tiefgang in der Mittellage zu Halbbreite b den Tiefgang in der Mittellage

e die Amplitude der Tauehbewegung bezeichnet.

Bild 1.1

9-O

Für die Randbedingung an der Körperoborfläche gilt:

4'ist

=

Ux .sin (cet)

(1.4)

Zu unserem Zweck werden obige Formeln in Polarkoördi-naten dargestellt:

b + e cos(cet) rp

sin O + a cos O

=

Ur

eQs (0) . sin (cet)

Durch die Gegenüberstellimg von 4'ist und 4'bestimmt man

die Unbekannten:

4' = 4'ist (1.5)

Wird die obige Beziehung (1.5) zunächst an den beiden Punkten O ₌

j-

,O

=

O und dann für beliebige Winkel O zwischen O und

j-

erfüllt, so erhält man folgende Lösung:

2h e

A.01 = -

i,

A.02 = -

i,

ira

Tra

F (t)

=

[b + e - cos (cet)J2n+i . sin (cet)

(sin O + a cos O)2fl+1 . sin(2nO)

=

cosO___ (1__-O) (sinO + acosO)

Nun braucht man nur noch die Koeffizienten A zu be-stimmen. Da die rechte Seite dieser Gleichung für O

= j

und O = O verschwindet, wird sie in eine Reihe gerader Sinus-Funktionen verwandelt. Von der Reihenentwicklung der beiden Seiten erhält man daslineare Gleiehnngsystem.

1)1 n \Ç1 r1 i r r wird cii r h > ( i'rlo ri fdw'- h' i

- _\

A11

J3rnn

1Il I ii--1 in - i

durch welches man A bestimmen kann, wobei Bmn und Cm die Koeffizienten der entwickelten Reihen der beiden Seiten bedeuten:

(1

1

ï±\

1) 2 12n+1' Bmn

₌

--;-22fl-5

m n (a2 +

_{)-kO K k}

.[(_1)m_1c.cos[(2n+ 1_2k)arct]

+sinI

111

(2n+ 1-2k)arctgI i

_aJJ

r.

(2n+1-2k)

((4n-2k+ 1)2-4m2) ((2k

1)2_4m2)}J, und Cm

81/

1'

4m

R1m'

a)(4m2_1)21.

1-C: Hydrodynamische Drucke und Kräfte.

Durch Einsatz der bisher errechneten Koeffizienten in die Beziehung (1.1) erhält man das Geschwindigkeitspotential, das die Randbedingung an der Körperoberfläche erfüllt:

ql

=

U-ln(yvr) -5m (ce t) + ---(---)

-ln(4yvr) sin(2cet)

+ Bcos(cet) + .-(--) cos(2 cet)

cos (2 0) + A1 (b

₊

e cos (ce t))3 - sin (ce t)

r2

cos (4 0) + A2 (b + e cos (ce t))5 sin (ce t)

r4

cos (6 0) + A3 (b + e cos (ce t))7 - sin (ce t)

cos(8O)

+ A4 (b + e cos (ce t))0 - sm (ce t) .

+

Für die Druckberechnung werden die beiden Glieder des hydrodynamischen Druckes in der Bernoullischen Gleichung

bzw.

_°

¿ '2

aql i ql i

J(aØ\

lfaql

p=

p---p(Vql)-=

_p---p1----1

+---berücksichtigt.

Man integriert die hydrodynamischen Drucke entlang des Profils zu einem beliebigen Zeitpunkt bzw. in einer zu be-stimmenden Lage des Körpers und definiert wie folgt:

(1.6)

Schiftstechnjk Bd. 14 - 1967 Heft 73 _{- 80}

(1.3)' (1.4)'

und

-ds

KinstationAr = P $ a t Kqunsjstjonar

- p $ (V q$)2 d s

Rand

In dem Ergobnis für die Krâfte sind Gieder gleicher Ord-nung (hinsichtlich ihrer Abhängigkeit von der Zeit) zu-sammengefaßt, und diese Reihe ist bei der Kroisfroquenz 3

abgebrochen.

1-D: Numerische Beispiele.

Durch die Feststellung der Breiten der Modelle in den mittleren Positionen und auch durch die Variierung der Keilwinkel erhält man verschiedene Modelle mit dem gleichen

Völligkeitskoeffizient. Man wählt drei Modelle und stellt sie

Bild 1.2

Die berechneten Werte der Koeffizienten A01, A02, A1 usw. rur diese Modelle sind in folgenden Tafeln angegeben:

1,0000 0,57735

Band

1-D (1) Hydrodynamische Kräfte im linearen Fall.

Im linearen Fall geht die Amplitude e gegen Null, und die Kraft lautet wie folgt:

11 i S2a a2

K=pUoB2j-lnF+--ln(ay)---+-L

cos(ot)-L' ir ir 4

- pU co B2 sin (cot)

wobei F =

die dimensionslose Frequenz und L und S2

Konstanten der Profilform bezeichnen.

Da Geschwindigkeit und Beschleunigung dos Körpers je - U sin(cot) und - U co cos(cot) sind, werden hydrodyna-mische Masse m" und Därnpfungskoefflzient N wie folgt dargestellt:

ri

i s

= -pB2 I-lnF + -ln(ay)-- +

_ir

ir

4]

N = pcoB2.

Somit werden Koeffizient der hydrodynamischen Masse C und Amplitudonverhältnis (Amplitude der ablaufenden Oberflächenwellen zu Amplitude der Tauchboweguiig) wie

folgt angegeben:

8 8 1 S2a a2

(1.7).

C=--'ln]-- -ln(aï)--+--L

ir2 ir iv iv 4

A..=B-v=2F

Die errechneten Werte von C und A sind in Bild 1.3 auf-getragen. (1 ;8) 4 3- 2-C O _{o.Oi 0:02 0:03 0:04 0:05 0:06} 2 H = 1,73205 und H und 0,04 lautet wie

R 1.73205 0.57735 H 1,73205 0,57735 4' __5_ fICO

Bild 1.3 Koeffizient der hydrodynamischen Masse C und AmplitúdenverhAitnis A

Der dimensionslose Kraftkoeffizient für die Modelle

pgcB

= 0,57735 bei den Frequenzen F = 0,01

folgt:

/ K

p g c B) F

0,01 - 0,0285 ens (ut) - 0,02 sIn (ut) - 0,0251 coo (ut) - 0,02 sin (ut)

/ K _\

tp. g. C B) F 0,04 - 0,0787 coO (ut) - 0,08 sIn (ut)

- 0,0051 coo (ut) - 0,08 sIn (ut)

siehe Bild 1.4. I lnF.O,1036(H:I,732t9) 'y2 tnF-02976(Kl) in F- 05339 (H=57735) 004- 0.03- 0.02-1. A 0.01 0b2 0:03 0.04 2

(K

I

F40l, -0.0285 coo (.t)-0ß2 ¡In (ut)

F404 0,0H7co (.l)-0t ¡1% CuI) Bild 1.4 Kraftkoeffizient Im linearen Fall

1-D (2) Hydrodynamische Kräfte im nichtlinearen'

Fall.

Von den Gleichungen (1.7) und (1.8) können die

dirnen-K1081 Kquagj

sionslosen Kraftkoeffizienten

_pgcB

und usw. wie

pgcB

folgt dargestellt werden:

I

45 J Hl,73205 i Hnl,O LH0,57737 p H 1,73 205 3f 4 - 81 - Siiftstethnhjc Bd. 14- 1967 - Heft 73 H 1.73205 A,, A,,

cH Il.

-

-1

b ,t A, - 0,2012 A, - 0,1877 A, - 0.1091 A4 0,0005 o - 0,0390 0,0184 0,0084 o - 0.0011 0,0021 0,0003

in der Tabelle wie folgt dar:

a H 13

0,57735 1,73205 0,5

1,0000 1.0000 0,5

= X0 + ic1 cos (òt) + x2 sin(cùt)

pg'c'B

+ X3c08(20t) + X4Bin (2clt)

+ x5cos(3c.t) + x0sin(3øt),

Kquasj

-X +xcos(cut)

p'g.cB

o + 1C cos(2c.t) + xcos(3c,t) K

p.g'c'B

(x+ x') + (x1 +

cos(cet) +x2 gin(cet)

+ (x3 + x') cos(2cet) + x4sin(2cet) + (x5 + x') cos (3cet) + x sin (3 tat)

Bild 1.5 Kraftkoeffizient ini nichtilnearen Fall

fr,,

fir ir

__

I

Bild 1.6 Kraftkoefflzlent im niditilnearen FaU

Die berechneten Koeffizienten x und x' sind in folgender Tabelle angegeben und die Kraftkoefflzienten in den Bildern 1.5 und 1.6 aufgetragen.

c=O,4

øo

cJt

Schiftstechnlk Bd. 14- 1967 - Heft 73 ₈₂

-F =Frequenz, C= Amplitude der Schwingung.

-

-Da der KoeffizIent viel kleiner ist als der

Koef-K

p'g'c'B

fizient Inst , kann er im asymptotisehen Falle

vernach-p'g'cB

lässigt werden. Wesentlich ist, daß das Vorzeichen des Koeffi-zienten Kquasi immer minus ist. Das positive Vorzeichen

p'g'c'B

in Bild 1.8 ist durch das Abbrechen nach einer begrenzten Zahl von Gliedern der trigonometrischen Reihe verursacht.

1-D (3) Hydrodynamische Druckverteilung.

I ni 1 in earen Fall wird der diinensionslose Druckkoeffi-zient in folgender Form dargestellt:

(-__)

=

y lu (b y y) - .- ln (sin O + a cosO)

Rand

+A1 - b 'COB (20) - (sinO + a 'cos 0)2

+ A2 'b . cog (40) - (sin 0 + a ' cos 0)'

+

A3 - b 'COB (60) '(sin O + a - cos

+ A4 'b . COB (SO) ' (sin O + a cos0)8]Cog (cet)

y. B' sin (cet)

Im nichtlinearen Fall wird die rechte Seite abhängig von der Amplitude.

Die Druckverteilung ist am Profllrand des Modells

pgc

H

=

1,73205 für zwei Positionen berechnet, und zwar für

3 7

cet

= -ir und

-ir.

Für die fünf Punkte des Profils O

=

0,

2 4

j-» j-» j-und

j-,

die Frequenz 0,04 und für die Amplitude 0,4 ist der Druck in den Bildern L7 und 1,8 aufgetragen worden.

-» kf4zooe

Bild 1.7 Druckverteilung im lInearen Fall

H 1,73205 F 0,04 4 F H 1,73205 - 0,0003x, - 0.0003z, + 0,0004z,' + 0.0001 0,01 1.0000

-

0,0005 -0,0001 + 0,0005 + 0,0001 0,57735

- 0;0006 -

0,0000 + 0,0006 + 0,0000 1,73205 - 0,0013 - 0.0012 + 0,0018 + 0,0000 0,04 1,0000 - 0,0019 - 0,0004 + 0,0021 0.0004 0,57735 - 0,0025 - 0,0003 + 0,0025 + 0,0003 C = 0,4 F H z. z, z, z, z4 z, z, [1,73205 -0,0075 -0,0304 -0.0247 -0,0207 -0,0207 -0,0027 -0,0047 0,0*1,0000 -0,0041 -0,0275 -0,0215 -0,0112 -0.0120 -0,0008 -0,0015 0,57735 -0,0020 -0,0246 -0,0205 -0,0058 -0,0069 -0,0002 -0.0005 (1,73205 -0,0178 -0,0777 -0.0991 -0,0402 -0,0831 -0,0024 -0,0191 0,041,0000 -0,0094 -0,0719 -0,0863 -0,0239 -0,0480 -0,0003 -0,0063 \0.57735 -0,0044 -0,0647 -0.0821 -0.0115 -0,0277 -0.0000 -0.0021 F H (1,73205 -0,0078-0,0307g,+x, -0,0247z, -0,0203g,+z, -0,0207z. c,+x, -0,0026-0,0047z, O.OML0000 -0,0046 -0,0270 -0,0215 -0,0107 -0,0120--0,0007 -0,0015 0,57735 -0,0028 -0,0246 -0,0205 -0,0052 -0,0069 -0,0002 -0,0005 r1.73205 -0,0191-0,0789 -0,0901 -0,0444 -0,0831 -0,0018 -0,0191 0,041,0000 -0,0113 -0,0723 -0,0863 -0,0217 -0,0480 +0,0001 -0,0083 0,57735 -0,0069 -0,0650 -0,0821 -0,0090 -0,0277 +0,0003 -0,0021 g-c

I:..

i

L1uuUIj

iSwt

+e

f(t)=

[1

+--sin(cet)

2i

f'(t)

G(t)=f0(t)--f' (t)

SC,) " 52ce2

und die Symbole folgendes bedeuten: A01, A1, A02, A2, A03, A3 Unbekannte U

C b

ce

V

2. Erste angenäherte Lösung für endliche Frequenz

und Amplitude der Tauchbewegung.

2-A: Komplexes Potential.

Um die nichtlinearen Randbedingungen numerisch er-fullen zu können, kombiniert man die den höheren Ord-nungen der Schwingung entsprechenden Potentiale mit dem Grimschen Potential (siehe Anhang). Da in dem komplexen Potential des asymptotischen Falles (Kapitel 1) die Zeit t durch die Funktion Fn (t) in den Quelipotentialen höherer Ordnung enthalten ist und damit die nichtlinearen Rand-bedingungen gut erfüllt wurden, wurde nun auch für end-liche Frequenzen eine analoge Zeitfunktion beibehalten. Vergleichsrechnungen, die auch mit harmonischen Zeit-funktionen ausgeführt wurden, konvergierten schlechter.

( lk(x+iy)

f hútí I e

+i'F=Ue

1A0 lim dk

I L

L-OJ kv+i

o

Ç

_f fn(t) hGn1(t)

+Z_jAn3(X_{+ iy)2°}

_{(x + iy)2°(2n-1)}

I2t I

+ ly)

+e

IA02lim dk J

&-+OJ k-4v+i

o N-1

/

f0(t)

i4vG2(t)

+

An2( + iy)2fl _{(x + iy)2fl_1(2n_!))J} n 1 n FA03

l

im eIk(x + ly) o N-1

f(t)

i9vG3(t)

+

_{An3((X + iy)2fl}

(x + iy)2°'(2n 1))1}

wobei die Funktionen f0(t) und G08 (t) wie folgt definiert werden:

j

2n + i

8=1,2,3

Amplitude der Schwingungs-geschwindigkeit

Amplitude der Tauchbewegung

Tiefgang des Profils

Kreisfrequenz der Schwingung

Wellenzahl BIld 1.8 Drudcvertellung im nichtilnearen Fall H 1,73205 C 0,4 F = 0,04 Pinot ogc

Für die Randbedingung an der Körperoberfläche gilt:

Ux cos (cot) (2.3)

Durch die Gegenüberstellung von 4,iat und 4, erhält man die Unbekannten. Dies Verfahren wird wie folgt ausführlich dargestellt:

3 N-1

{(Ans)r [cos (scot) (4,ns)r - sin (scot) . (4,,)j]

8i n0

+ (A,)j [- cos (scot) . (4,,)j - sin (scot) (4,n)r]}

= x cos (cot) (2.4)

2-C: Numerische Lösung.

Um die 6xN Unbekannten (A)r und (A)j zu bestimmen, muß man 6xN lineare Gleichungen, deren Determinante nicht verschwinden darf, verwenden. Für diesen Zweck 83 - Schiff stechnllc Bd. 14 1967 - Heft 73

Geschwindigkeitspotential Ø und Stromfunktion 4i werden in die folgenden Formen gebracht.

Ø = U (Äno)r Ecos (scot) (Çne)r ,- sin (scot) -(Øns)i]

s=1 n=O

+ (A00)i j cos (scot) (Ø,,)j - sin (scot) . (Øns)r] (2.1) 4, = U (Ans)r [cos (scot) (4,ns)r - sin (scot)

_{. (4,)j]}

8=1 n=O

+ (A08)j j cos (scot) (4,,)j - sin (scot) (4,,$)rJ

(2.2) wobei (øns)r bzw. (Ø,,)j und (4,no)r bzw. (4,,) die realen bzw. imaginaren Teilkomponenten des Geschwindigkeits-potentials und der Stromfunktion und (Ana)r bzw. (A8)j den realen bzw. imaginären Teil der Unbekannten A, bedeuten. Das komplexe Potential (Ø + i4,) erfüllt die Bedingung der Kontinuität der Flüssigkeit und die linearisierte

Rand-bedingung an der freien Oberflñche.

2-B: Erfüllung der Randbedingung an der

Körp ero b er flache.

Die Gleichung des sich harmonisch bewegenden Profil-randes in bezug auf die feste Koordinatena.chse xy lautet:

y = - ax + b + e sin cot,

wobei b Tiefgang des Profils in der Mittellage, c Amplitude und a Verhältnis Tiefgang in der Mittellage zu Halbbreite

bezeichnet. Siehe Bild 2.1.

wählt man zuerst 6 Positionen der Schwingung, die den

Zeit-7V 3v 5 37V

punkten ot

=

0, -, -, 7V,

44

und entsprechen.

4 2

Dann wählt man auf der Proffikoritur

10 Punkte, die durch eine gleiche Teilung des Winkels durch 9 erhalten

werden (Bild 2.1).

Die Koordinaten der fünf Punkte 1, 3, 5, 7, 9 des Profils

jeder Position werden in die Beziehung (2.4) eingesetzt, und damit kann man 30 lineare Gleichungen, deren Determinate nicht zu klein werden wird, erhalten. Die LösUng des Glei-chungssystems liefert die Unbekannten und damit das Ge-schwindigkeitspotential und die Stromfunktion, die an den Punkten 1, 3, 5, 7 und 9 in jeder der sechs Positionen .ût= 0,

7

3r

5r

3v

-,

2V, - und

2 die Randbedingungen (2.4) genau

erfüllt.

Dio hydrodynamische Kraft K lautet wie folgt:

13/2 B/2

K=2p$__dx_P J(VØ)2dx

wobei B/2 die Raibbreite des Körpers zu beliebigem Zeit-punkt an der x.Achse bezeichnet.

Von dem oben erhaltenen Geschwindigkeitspotential kann man einfach die hydrodynamischen Drücke an den Punkten

1, 2, 3, , 10 für jede Position berechnen.

Für die hydrodynamische Kraft werden wieder die har-monischen Komponenten höherer Ordnung angegeben.

K

pg-cB

2.D: Darstellung der Ergebnisse.

(Aos)j:

Die Quellenstärken der Wellenquelipotentiale A05 sind in

dimensionsloser Form (Aos)j in Bild 2.2 und 2.3 aufgetragen.

(A04 to

(A)I

0.8 0.6 0.4 0.2

=

z0 + z1 cos (ot) -f- x2 sin (cit) + 2(3 cos (2cut) + 2(4 sin (2øt) + 2(5 cos (3c,t) + x sin (3et)

Wert nach .yrnptatlsdiarl.dsung IO D 05 H'LO

0.2 0.4 05 05

Wert nach asymptosdWr Ldsung -O.

Schiffstechritk Bd. 14 - 1967 - Heft 73

₈₄

-Bild 2.2 links

12 14 Quelistärken abhängig von 2 Frequenz und Amplitude (A05)

--Bild 2.3 rechts

Quellstärken abhängig von Frequenz und Amplitude (A05)

-i-1' 0.5

,2 04 0.6 0. 1.0

Bild 2.4 KoeffizIent der hydrodynamisdien Masse C

Die Stärken sind abhängig von der Frequenz und Amplitude der Schwingung und der Form des Profils.

Im nichtlinearen Fall führt die benutzte Methode für den asymptotischen Fall (c.

-

0) zu den gleichen Ergebnissen wie die in Kapitel i behandelte Methode, nämlich

A03

=0

A01

j-=

i A0,

j =

i.

Für die Amplitude

=

0,3 beginnen die Ergebnisse bei der

Frequenz F

=

0,6 unsicher zu werden. Weitere numerische

Rechnungen wären nötig, um diese Unsicherheit aufzuklären.

(A03) 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -O., 0.2 04 05 1.4 z.5.

405 0l 0.15 BHd 2.5 Amplituden-Verhältnis A C und A:

Koeffizient C der hydrodynamischen Masse und Ampli-tudenverhältnjs A sind für den linearen Fall für den Fre-quenzbereich F = O bis 1,4 berechnet. Diese Werte unter-scheiden sich nur wenig von den in [4] für Lewis-Profile berechneten Werten. Siehe Bilder 2.4 und 2.5.

pgcB

Der dimensjoiose Kraftkoeffizient

_p'gcB

ist für das

Modell H = 1,73 205, die Frequenz F 0,04 und für die 2c

Amplituden - = 0, 0,2 und 0,288 in Bild 2.6 aufgetragen. A

02 04

Bild 2.6 Kraftkoefftzlenl F 0,04

In Bild 2.6 ist auch ein Ergebnis für dasselbe Mode1l nach der

a.symptotischen Lösung zum Vergleich aufgetragen. Die

Differenzen zwischen den beiden Lösungen können dadurch verursacht sein, daß die asymptotisehe Lösung für die end. liche Frequenz F = 0,04 nicht mehr ausreichend genau ist.

3. Berücksichtigung der nichtlinearen Glieder in der Bedingung an der freien Oberfläche.

3.A: Korrektur Potential Ø(2).

Das Ceschwindigkeitspotentjal ql im Kapitel 2, welches die linearisierte Oberflächenbedingung und die nichtlineare Randbedingung auf der Oberfläche des Profils erfüllt, nennt man jetzt das Potential der ersten Ordnung und bezeichnet es mit ql(l). _{Das ganze Potential q1, das die nichtlineare} Randbedingung an der Körperoberfläche und die nicht-lineare Bedingung an der freien Wasseroberfläche erfüllen soli, wird wie folgt dargestellt

ß 45 H.17320 HI H.05773 / 2c__{0.2 nach} asymptotisch., L8sun9 2T ql = Ø(1) + çl(2) (3.1)

und in ähnlicher Weise die Stromfunktjon 4

4i(') + 4i,

(3.2)

wobei qI(I) und 4(2) als Korrekturpotential und Korrektur. stromfunktion bezeichnet werden.

Die linearisierte Oberflächenbedingung, die flIr qI(i)

erfüllt ist, lautet:

- gØO) = O für y = 0 (3.3)

Während für das Korrekturgiied, d. h. das Potential zweiter Ordnung «)(2), die folgende Formel benutzt wird (siehe [5]):

- gØ(l) _{(V Ø('))2 - ç4i> (ø}

_{- --}

c)

für y = 0 (3.4)

Die Iterationsformel (Gleichung (3.4)) ist sehr schwierig direkt zu lösen. Es scheint aber erlaubt zu sein, sie für dieses Problem durch eine einfachere angenäherte Formel zu

er-setzen.

3-B: Annäherung der Iterationsformel.

Zu dem erwähnten Zweck betrachten wir zunächst qIO):

Wenn x groß ist, wird unser Potential

Ø(» _{einfach. Es}

bleiben nur die abandemden Wellen

(1) _{-'.y - i (vx oit)}

ql

tURe{ii(A01).e

bv.(A02)

-4vy-l(4vx-Ziut)

-Ovy - I (gvx -3oit)}

lTr(A03).e (3.5)

wobei die Koeffizienten (A01), (A02) und (A03) schon in

Ka-pitel 2 berechnet wurden.

Wenn man mit diesem Potential die reèhte Seite von (3.4)

bildet, erhält man

(Vql(»)2= U222 {

{((A01)r _{(Ao2)r + (A01)j . (2)I)}

sin (3vx - ût)

- ((Aoi)r . (A02)1 - (A02) . (A)1) nos (3vx -+ 36 [((Aoi)r (A03)r + (A01)i . (A03)1)

sin (8vx - 2cet) - ((Aoi)r . (A03)j - (A03)r . (A01)1)

cos (8vx - 2cut)]

+ 72 [((Ao2)r (A03)r + (A02)1 . (A03)i)

sin (5vx - t)

- ((Ao2)r . (A03)1 - (A03), . (A02)j) cos (5vx - c,t)])

(3.6)'

Das zweite Glied der rechten Seite (3.4) verschwindet, d. h.

(r'

- -

b1))= o für das Potential (3.5).

Es stellt sich die Frage, ob es ausreicht, in der rechten Seite

der Iteratjonsformel (3.4) den 'einfachen Ausdruck für qIO) nach (3.5) zu verwenden, der eigentlich nur für große x gilt.

Profil rand

Bild 3.1

- 85 -

Schft2stethnjk Bd. 14 - 1957 - Heft 73

Um diese Frage zu beantworten, wird zuerst mit Hilfe der Rechenmaschine die rechte Seite von (3.4) im ganzen Be-reich von x, d. h. von der Wand des Körpers x = i bis x = unendlich, für den vollständigen Wert von Ø(1) berechnet. Ein Ergebnis der Rechnung ist in Bild 3.2 aufgetragen.

Anteil der Frtqu.nz 2 u in F'm,l (3.6)

Bild3.2 Zeitableitung der Druckverteilung

an der freien Oberfläche

P bezeichnet in dem Bild die Form

i-- --(vø»)

_Ø(1)((1)_Ø(1)"

U2ù at

''

g uY/

welche physikalisch die Zeitableitung der Druckverteilung in dimensionsloser Form darstellt. Außerdem ist in Bild 3.2 der einfachere Ausdruck (3.6) aufgetragen, allerdings nur

das maßgebende Glied der 2. Ordnung (Kreisfrequenz =

Daraus ergibt sich:

daß es ausreichend erscheint, in der Iterationsformel (3.4) die rechte Seite mit dem einfachen, eigentlich nur für x -+ geltenden Wert für Ø(1) zu bilden;

daß, je weiter die Punkte an der freien Wasseroberfläche vom Körper entfernt liegen, desto kleiner der hierdurch verursachte Fehler wird;

daß das Glied 2. Ordnung (Frequenz 2ei) in der Formel

(3.6), d. h.

22 . 36 [((A.) (A0)i.+ (A01)j .(A03)j) sin (8vx - 2cût)

((A01)1. (A3)j (A03)1. (A03)1) CO5 (8vx

2t)]

der wesentliche Beitrag ist. (Dieser Anteil ist in dem Bild 3.2 durchgestrichelte Linien dargestellt).

Und wir setzen daher

Ø) _gØ) =

für y = 0 (3.7) mit Ø(1) nach (3.5).

3-C: Lösung der Iterationsformel.

Man setzt die rechte Seite der Gleichung (3.6) in die gleiche

Seite der Formel (3.7) ein, und damit wird unsere Differen-tialgleichung konkret wie folgt dargestellt:

(ø(2)_gø)) =

IL yO U2 ce r2v2 [A* . cos (3vx tût) ±

± B sin (3vx :

cet) + A' - cos (Svx :F 2cet) ±

± B sin (8vx

2cet)

+ A34 cos (5vx cut) ±

± B: sin (5vx f t)J (3.8)

wobei das obere Vorseichen für x> O und das untere Vor-zeichen für x < O gelten soll und ferner bedeutet

A" 8 ( [(Aoi)r . (A02)j (A02)1. . (A01)i]) B * 8 ([(A01)1. - (A02)1. + (A01)i . (A02)j])

I

A4 = 36 {₂ [(A0) (%s)j (A03)r (A01)1])

B = 36 {[(Aoi)r . (A03)r + (A03)i .₂ (A03)1])

A:, = 72 { [(A02)1. . (Ao3)i (A03)r . (A02)1])

B: = 72 {[(A02)r . (A03)r + (A02)i . (A03)1]) (3.8) besteht aus Formeln der Form:

(pugp) = Atcos(rx R st) ± B0sin(rx i

st)

y=O

= cos(rx).[A4cos(st)B0sin(st)] ±

± siñ(rx) .[Asin(st) + B4c05(st)] (3.10) wobei r und s die Beziehung s2 -.-- gr + O erfüllen und das obere Vorzeichen für x> O und das untere für x < O gelten soli.

Nun kann man die Lösung p der Gleichung (3.10) wie folgt ansetzen: p = p& + ,b und A4 cos (st) B4 sin (st) pa = ire-rY cos (rx)

ir(s2gr)

i.e-kY cos (kx)

[A4cos(st)B4sin(st)] D I

₅₂ dk J

k-- + i1L

o g pb A4 sin(st) + B4 cos (st) [

Ss2

dk u 1 re-kY cos(kx)

+a+j

k+r

dk o u

i

te-kYcos(kx)l

s2_grJ

kr

jdk

(3.11) wobei C und D beliebige Konstante sein können. Der Beweis ist in [8] gegeben.

Für die beliebigen Konstanten in (3.11) wird angenommen C = D = O, da Glieder dieser Gesetzmäßigkeit schon in dem Ansatz rur q(I) enthalten sind und im 2. Iterationsschritt wieder neu berechnet werden. Es wird daher das Potential p in allgemeiner Form wie folgt dargestellt:

lAcos(st)Bsin(st)

=

I 7V(2 gr)

re cos (rx)

+

A * sin (st) + B * cos (st) i fe-kYcos(kx)

7V

s2+grJ

k+r

(3.9) o u i _{Ce_kYcos(kx)dk1}

kr

_.11

Wir können durch lineare Superposition einen Ausdruck für Ø(e) finden, welcher der Bedingung (3.8) genügt, indem wir

setzen:

I

-caU2v,r2 f

=

g [A'cos (cat) B sin (cat)]

e3vY coB (3vx)

(-2)

+ [Acos(2cut)_B*sin(2cat)}.

₍₄₎

ecos(8vx)

+ [A3* cos (cat) B" sin (cat)]. e5vY cos (5vx)

[A B *

+

sin (cat) + cos (cat)]

o +. [A: sin (2cat) + B cos (2cat)]

[i

_ÍeYco8cx)

dk+

lfl-k:cos(kx)

]

+ [A: sin (cat) + B: cos(cat)]

[1

eYcosx)

+ 1$

okx)

_{dk J}}

o o (3.12)

und Entsprechendes gilt für die Stromfunktion.

Die Integrale in obigen Gleichungen können für große Werte von sv Vx2 + y2 (s = 3, 8, 5) annäherungsweise wie

folgt geschrieben werden [8]:

j e3vY sign (x) sin (3vx) u

e-kïcos(kx) I C ekYcos(kx)

k+8v

dk+4J

k-8v

dk

o o

ir

-

e'1 . sign (x)

sin (Svx)

4

u u

r e'Y cos (kir)

+

i e-" cos (kx)

üJ

_k+5v

4J

k-5v

05VY . sign (x) . sin (5vx) Durch Einsatz dieser Formel wird das angenfiherte

Kor-rekturpotential Ø(2) wie folgt dargestellt:

Ø(2)

TJ2 _{> Vir}

A* cos (cat) ± B* sin (cat)].

2g

e_IVY cos (3vx)

+ [- A: cos (2cat) + Ba sin (2cat)] i

e'Y cos (8vx)

+ [ A cos (cat) + B: sin (cat)]

evY cos (5vx)

2

+ [

A' sin (cat)

-

B' cos (cat)].

sign (x) . sin (3vx)

+ [ A; sin (2 cat)

B COB (2 cat)] i

eY . sign (x) . sin (8vx)

+ [ A' sin (cat)

B2* COB (cat)]

wobei die Koeffizienten A, A usw., B1", B: usw. in (3.9) gegeben sind.

Entsprechendes gilt für die Korrekturstromfunktion. Nun wird dio Iteration begonnen:

Die Randbedingung an der Körperoberfläche lautet jetzt

wie folgt:

4ìjstO)k= Ux COB cat (2) _(3.14)

Wir setzen die aus Ø(1), wie vorstehend beschrieben,

beÑch-neto Stromfunktion (2) ein, beginnen die Berechnung von

vorne und rechnen ein korrigiertes Potential Ø(1)lc und damit ein korrigiertes Potential b(2)k aus.

Durch die Erfüllung der Beziehung (3.14) erhält man die unbekannten Korrekturkoeffizienten Ak und durch Ein-_liS setzen von Ak in dio Koeffizienten A der Potentiale

XIS us

Ø(1) + Ø(2)

erhält man das völlig korrigierte Potential q$(1)k + Ø(2)k

Die Gleichung (3.6) zeigt, daß (Vqs(1))2 für y = O und x -+ einen von dr Zeit t und der Koordinaten x unab-hängigen, d. h. konstanten Teil

= U2ir2v2 {((A01)2 + (A01)) +

y=O

+ 16 ((A02)2 + (A02)) +

+ 81 ((A01)2 + (A03))}

sowie periodische Teile enthãlt. Der konstante Teil ist in der Korrekturrandbedingung (3.7) infolge der Ableitung nach der Zeit unberücksichtigt geblieben. Nur die perio-dischen Teile sind durch das Potential der zweiten Ordnung

berücksichtigt.

3-D: Hydrodynamische Drucke und Kräfte.

Nun korrigieren wir die in Kapitel 2 berechneten hydro-dynamischen Drücke und Kräfte mit dem korrigierten Po-tential ç$k = q$(l)k + Ø(l». Da an der freien Wasserober-fläche nicht nur die Ableitung 'verschwinden, sondern außerdem der Druck gleich dem atmosphärischen Druck

(AØ('))2 mitt.

sign (ir) sin (5vx)) (3.13)

xl. u linearer Fall Ht735 205 BUd 3.3 Kraítkoefßzlent F = 0,4 - 87 - Schlffstechnjk Bd. 14 1987 - Heft 73 u u

r j

dk+

dk] cos (kx) 1$ e-kYcos(kx)

k3v.

2

k-3v

u u i ekYcos(kx)

dk+

I ekYcos(kx) dk

4J

_o

k+3r

2J

_o

k-3r

Bild 3.4 Kraftkoeffizlent F = 0,4

sein muß, muß der konstante Druck .4 p (VØ(')) mittel für

x -+ , y = O an jedem Punkt der Körperoberfläche addiert werden. Daher werden die hydrodynamischen Drucke am Proflirand wie folgt dargestellt:

aØ i i

p = p---- p(V)2

+--

p(Vç)2 Mittel fürx =

y=o

Durch Integration der Drücke am Proflirand ergeben sich die hydrodynamischen Kräfte.

3-E: Darstellung der Ergebnisse

Die errechneten Ergebnisse zeigen, daß geringe Unter-schiede zwischen den korrigierten und nicht korrigierten Kraftkoeffizienten Kj,,t- bestehen, so daß also der

Ein-p ge-B

fluß der nichtlinearen Glieder in der Bedingung an der freien Wasseroberfläche klein ist in dem Bereich, in dem gerechnet wurde. Die Koeffizienten x0, x usw. der Formel

K

=

+ x1cos(c.t) + xsin(cot) + x3cos(2cet)

p-gcB

+ z4sin(2c,t) sind in Bild 3.3 und 3.4 aufgetragen.

linearer Fail

Bild3.5 Druckverteilung an der Lage wt = 7/,

SthlftstedrnlkBd. 14 -1967 - Heft 73 _{- 88}

-p0.5

Die dirnensionslose Druckverteilung am Proflirand für das Profil H 1,73205, = 0,5 und die Position cet =

4

ist in Bild 3.5 aufgetragen; für zwei verschiedene Ampli-tudenverhältnisse = 0,05, Ô, 15 und drei verschiedene Frequenzen F = 0,4, 0,6 und 0,8. Das Bild zeigt, daß je größer die Amplituden der Schwingung und je höher (lie Frequenzen sind, desto höher und größer sind dio Drücke und die Schwankungen des Verlaufs. Die wiçhtigsto Tat-sache hierbei ist die Erkenntnis, daß der maximale Druck in jedem Falle an dem Punkt angreift, wo sich der Proflirand mit der glatten Wassorlinie kreuzt. Die maximalen Drucke für die Profile H = 1,0 und 1,73205 sind über dem

pgc

Amplitudenverhâltnis --- für die Frequenzen F = 0,2, 0,3,

0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 in Bild 3.6 aufgetragen, wobei die Zahlen

I, II und III auf die Punkte hinweisen, an denen der

maxi-07 06 0,5 04 03 02 0.I 0

Bild3.6 _{Maximaler bydrodynamischer Druck}

C 7

L

über Ampiltudenvei-hältnjs -- an der Position wt

gc B/2 4

male Druck entsteht. Die Bilder zeigen, daß der Punkt des maximalen Druckes immer dann mit dem Punkt I über-einstimmt, wenn die Amplitude groß und die Frequenz hoch ist. Je größer die Amplitude und je höher die Fre-quenzen sind, desto größer werden die maximalen Drucke.

Pma 4u2 25 20 15 I0 25 20 15 10 0' 3 0/. ma, Druckes ß' 0,5 H' 1,73205 F ß' 0,5 H' 1.0 012

Blid3.7 Maximaler hydrodynamischer Druck -- über Amplitudenverhältuis

i--

U, B,2 C B/2 F' 08 ¡3 '0,5 H '1,73205

Wenn der maximale hydrodynamische Druck in der Form

flUX

über der Amplitude aufgetragen wird (Bild 3.7), findet p/2 U2

man, daß dieser Wert nur wenig von der Frequenz abhängt, dagegen sehr mit zunehmender Amplitude abnimmt.

Es ist interessant, don Wert, der für die grö'ßten Ampli-tuden und Frequenzen berechnet ist, mit dem Ergebnis von Wagner für den Stoßdruck eines in eine Wasseroberfläche eindringenden Keils zu vergleichen (Bild 3.8). Die Theorie

2 30 40 0 o4]

Bild 3.8 Maximaler hydrodynamlscher Druck P

--

über Winkel des Keils a

-Fu'

Wagners gilt gut für den Keilwinkel a zwischen 200 und 30° [6]. Unsere Lösung gilt für den Bereich a zwischen 25° und 50°. Wagner hat allerdings für die konstante Geschwindig-keit des Keils gegen ruhiges Wasser gerechnet, während unsere Geschwindigkeit als harmonische Funktion U cos (cet)

gegeben und dafür der maximale Druck in dem Zeitpunkt cet =

i

7m errechnet ist.

4

Zusammenfassung und Ausblick.

Das Problem der Tauchschwingungen mit endlicher Am-plitude eines Zylinders ist noch nicht vollstandig gelöst. Zwar ist es gelungen, für kleine Frequenzen und Ampli-tuden bis 0,3 x halber Breite ausreichende Lösungen zu finden. Für solche Fälle sind Rechnungen durchgeführt und die Ergebnisse dargestellt worden. Diese Ergebnisse zeigen, daß die nichtlinearer' Effekte zwar deutlich festzustellen sind, jedoch werden für die Berechnung der Bewegungen eines Schiffes im Seegang die Ergebnisse der linearen Lösung

zu ausreichenden Ergebnissen führen.

Dio Konveigenzschwierigkeiten, welche bei größeren Fre-quenzen und Amplituden auftreten, sind wahrscheinlich dadurch verursacht, daß dio Profilkontur zu nahe an die bei x = O und y = O liegenden Singularitäten der benutzten Potentiale herankommt. Der Druckverlauf und die Erfüllung der Randbedingung müßten für diese Positionen (nahe der

obersten Position) des Profils eingehender untersucht werden,

und zwar für eine größere Zahl von Punkten an der Profil-kontur. Daraus könnten dann wahrscheinlich Schlüsse ge-zogen werden für eine Abänderung der Methode, welche dann wahrscheinlich zu ausreichenden Ergebnissen auch für größere Frequenzen und Amplituden führen würden.

Die Methode ist nicht nur für die Dreiecksprofile brauch-bar, sie ist ebensogut für beliebige Profile brauchbrauch-bar, die dann in das Rechenprogramm durch diskrete Punkte ein-gegeben werden können. Rechnungen sind auch für andere Profile ausgeführt worden. Die Ergebnisse führen jedoch z. Z. zu keinen weiteren interessanten Erkenntnissen, daher ist auf ihre Wiedergabe verzichtet worden.

89

-Anhang

Grinisehes komplexes Potential

für die lineare Tauchbewegung.

Das von Grim benutzte komplexe Potential für die lineare Tauchbewegung, das dio linearisierten Randbedingungen erfûlit, lautet:

a

mt r

r

lk(x + 13')

+i'FUo

lAolim e [ _-0J dk ,,

kv+im

a n

+AnJ1(n-1)

ik(z+iy) k

(k+v)e

dk n i

wobei U die Amplitude der Schwingungsgeschwindigkeit,

ce2

ce die Kreisfrequenz der Schwingung und y = - die Wellen. zahl der erzeugten Oberflàchenwellen und A0 und A die Unbekannten bezeichnet. Der Ursprung des Koordinaten-systems liegt in bezug auf die Ruhelge in der Wasserlinie und in der Profilmitte. Die x-Achse liegt horizontal, die y-Achse zeigt vertikal nach unten.

und 4, erfüllen je die Kontinuitätsbedingung und die linearisierte Bedingung an der freien Wasseroberfläche. Die Bedingung am Proffirand lautet:

= Ux . cog cet

Die Koeffizienten A werden durch die Erfüllung der Be-dingung am Proflirand, d. h.

4, =

bestimmt werden. Diese Koeffizienten sind komplexe Zahlen.

Geschwindigkeitspotential Ø und Stromfunktion 4, können wie folgt entwickelt werden:

= U {[(An)r (çn)r - (A)j . (n)j] cog cet

- [(A0)j (Øn)r + (An)r - (ç$nh] sin cet), a

4, = U {[(An)r (4,n)r - (As), - '(4)i] cos cet .n=o

- [(A) (4n)r + (An)r

(4,n)i] sin cet), wobei r den realen und i den imaginären Teil bezeichnet. Die Teilkomponenten (» und (Ø)j bzw. (4,n)r und (4,)j werden in folgenden Formen dargestellt:

a

00 = (øo)r + i (Ø0)i = lin3

-oJ kv+i

r e-kv cos (kx) dk o

a

= (4,o)r + i (4,0k = hm

_{.IL-'-OJ kv+i&}

f

e'u' sin (kx) dk,

o

Schiff stechnik Bd. 14 1987 - Heft 73

Pmox 20

15

On = (Øn)r + i O = Das als Quelipotential höherer Ordnung bekannte Po-tentiat (0e + i 4) fui- n = 1, 2, 3 ..., wird in

Polarkoordi-= Re [Jk2n_»(k + y) elk (x+IY)dkl naten wie folgt angegeben:

e12"

jy_t(2.n_1)

-o

1

iv

=Ln[

_{(x + iy)2fl}

_{(x + iy)2fl-'}

(2n-Das sogenannte Wellenpotential n

C e-kY eIkx

0o+i4o=limI

dk

ky + i&

kann durch folgende Formeln explizite dargestellt werden:

Wenn y Vx2 + y2 klein Ist,

(øo)r =

cos(vx) . ln (1 -781

y VX2 + y2 (v Vx2 + y2)" cos (n nOn! J n=1 -vy

+e

-sin(vx)-n (v/x2 + y2)"sin(nO) x

arctg_k,

n-n!

11=1 -vy (0e). = r e cos (y x), -vy

(4) '= e

cos (y x) r

n.1

(vx2 + y2)"sin(nO)

x

n-n!

+ arctg-

_y!

+ e' sinyx

(1 781v Vx2 + y°) -(y Vx2 + y2)" cos (n O)

fl.fl!

0=1

(4'o =

r e sin (y x), wobei O = arctg y

Wenn y Vx2 + y2 groß ist,

I

(n-1)!1(y + ix)" + (yix)"

=

2 vn (y2 + x2)° n=1 -vy

Xe .Bign(x)-sin(v Ix!),

-vy

(00). = 7re

coS(yx),

(4)1(fl__1)!í(Y+iX)n_(Y_iX)fl}+

y" _(y2+x2)" n=1

vy

+ r e

sign (x) - cos (y x),

vy

('0).=e

sin(vx).

i Schlffstecbnjk Bd. 14 1967 Heft 73 [1] 0. Grim I

90

-o r2"

(2n-1)r2fl'

=Re1

PI wob ei

= arctg,

y

[ (x + iy)"'

(x + iy)2'' (2n - 1)

I r = Vx2 + y2 X

4'n = (n)r + i

O =

= Im

[2(n_i)

(k + v)eik(x+ÍY) dkJ SCHRIFTTUM

Berechnung der durch Schwingungen eines Schiffskörpers erzeugten hydro-dynamischen Kräfte. (Jahrbuch STG

1953.)

(2] 0. Grim Die Schwingungen von

schwimmen-den zweidimensionalen Körpern.

(HSVA, Bericht Nr. 1090, 1956.)

[3] 0. Grim Die Schwingungen von schwimmen.

den zweidimensionalen Körpern. (HSVA, Bericht Nr. 1171, 1959.)

(4] 0. Grim Eine Methode für eine genauere

Be-rechnung der Tauch- und Stampf

be-wegungen in glattem Wasser. (HSVA,

Bericht Nr. 1217, 1960 bzw. Beitrag in ,,Third Symposium on Naval Hy-drodynamics in Scheveningen") J. V. Wehausen Surface Waves. (Handbuch der

Phy-sik, Band IX, Springer Verlag, Ber-lin, 1960.)

G. Vomers Resistance, Propulsion and Steering of Ships. Behaviour of Ships in Waves.

(The Technical Publishing Company H. Stam N. V., Haarlem, Netherlands, 1962.)

K. Wendel Hydrodynamische Massen und hydro-dynamische Massenträgheitsmomente (JSTG, Band 44, 1950.)

(8] C. H. Kim tìber den Einfluß nichtlinearer Ef-fekte auf hydrodynamische Kräfte bei, erzwungenen Tauchbewegungen prismatischer Körper. (Dissertations. schrift der Technischen Hochschule

Hannover, Juli 1965).

VERZEICHNIS DER VERWENDETEN SYMBOLE

Zeichen Erklärung

a Verhältnis Tiefgang in der Mittellage zu

Halbbreite des Profils

A, A08 unbekannte Koeffizienten in komplexen oder realen Zahlen

(An)r, (A,u)r realer Teil der Unbekannten A und A08 (A)j, (A0)1 imaginärer Teil der Unbekannten A und A0

Ai"

Abkürzung für 8- { [(A)- (A02)j

(A02),. - (A01)1])

A: Abkürzung für 36- ( [(A01 )r - (A03)j

(Aoi)r - (A01)j])

A° Abkürzung für 72 ([(A02)r - (A03)j

(Aos)r - (A02)j])

Ak _{unbekannter Koeffizient}

no

A Amplitudenverhältnis der ablaufenden

Erklärung

Quellstärke in dimensionsloser Form Tiefgang dea Profils in der Mittellage

Breite dea Profils Fourierkoeffizient

Abkürzung für 8 _{[(A01) (A02)r +

+ (A01)1 (A02)1]}

Abkürzung für 36. {[(A01)r (A3)r +

+ (A01)1 (A03)j])

Abkürzung für 72 {[(A02) (A03)r +

+ (A02)j (A03)j]}

Amplitude der Tauchbewegung

Koeffizient der hydrodynamischen Masse m'

bzw. oder beliebige Konstante (Itap. 4) Tr

pB2

8 Fourierkoeffizient beliebige Konstante substantiale Ableitung dimensionsloser Frequenzparameter bzw y

unbekannte Funktion von der Zeit t

Schwerkraftbeschleunigung

Verhältnis von Halbbreite und Tiefgang in

der Mittellage des Profils

hydrodynamische Kraft

instationäre hydrodynamische Kraft quasistationäre hydrodynamische Kraft

ganze Zahl

Konstant abhängig von der Profilform

ganze Zahl

hydrodynamische Masse ganze Zahl

ganze Zahl

hydrodynamischer Druck

instationärer hydrodynamiacher Druck quasistationàrer hydrodynamischer Druck

Abkürzung für (q$(l))O -UI ce

- (1)

-

Ø(l) t \YY _g ttY reale Zahl Polarkoordinaten; O = arctg y Zeichen Erklärung (r, ç) r5 s da

t

U (x,y) X0, X1, Xg, X3, X4, X, X6 Polarkoordiiiaten; ç = arctg -Radius für den Punkt am Proflirand reale oder ganze Zahl

Linienelement Zeit

Amplitude der Schwingungsgeschwindigkeit

kartesische Koordinaten

Völligkeitskoeffizient des Profils

Eulersche Konstante

Koeffizienten der trigonometrischen Reihe, K dio aus dem Kraftkooffizienten

K18

oder

_pgcß

errechnet werden

x, x, x, x

Koeffizienten der trigonometriachen Reihe, Kquasj

die aus errechnet werden

pgcB

Reibungskoeffizient nach Rayleigh

ce2

Wellenzahl bzw. -g

p Dichte dea Wassers

'D Geschwindigkeitspotential dea komplexen Potentials = 'D + i T

0 Geschwindigkeitspotential = Re ('D)

OflB Teilkomponenten dea Geschwindigkeits.

potentials

(Øns)r, (Øns)i realer und imaginärer Teilkomponent von

ç, ça, çb _{Geschwindigkeitspotential}

Ø(1), q$(i) _{Geschwindigkeitspotential erster und zweiter}

Ordnung

Ø(2) _{Korrekturpotential bzw.}

Geschwindigkeits-potential zweiter Ordnung

(i)k, Ø(2)k, Øk korrigierte Geschwindigkeitspotentiale

T

Stromfunktion des komplexen Potentials =

'D + iT

Stromfunktion bzw. Re (T)

Stromfunktion als die Randbedingung an der

Körperoberfläche

4(i), 4i(2) _{Stromfunktion erster und zweiter Ordnung}

Korrekturstromfunktion bzw. Stromfunktion zweiter Ordnung

4ns Teilkomponent der Stromfunktion

4(1) k _{korrigierte Stromfunktion}

ce Kreisfrequenz der Schwingung

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Schlftstethnlk Bd. 14 1987 - Heft 73 eichen

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