Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej w polityce pieniężnej

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 683. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. 2006. Katarzyna Mikołajczyk Katedra Finansów. Joanna Wyrobek Katedra Finansów Przedsiębiorstw. Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej w polityce pieniężnej 1. Wprowadzenie Badając prawidłowości przebiegu różnych procesów ekonomicznych, często szacujemy modele na podstawie szeregów czasowych. Ponieważ jednak szeregi czasowe danych ekonomicznych zazwyczaj zawierają trend, dlatego też otrzymane wyniki regresji mogą być wątpliwe i odzwierciedlać jedynie niebezpieczne dla badacza zjawisko zwane regresją pozorną (spurious regression). Może się bowiem zdarzyć, że podobieństwo zachowania zmiennych w modelu wynika nie tyle ze związków przyczynowo-skutkowych, ile z faktu występowania wspólnego trendu. W takich modelach, pomimo przypadkowości związku, otrzymujemy zazwyczaj wysokie wartości współczynnika determinacji R2 oraz statystyk istotności t-Studenta, a jedyną wskazówką sygnalizującą pozorność regresji jest bardzo niska wartość statystyki Durbina-Watsona (zazwyczaj niższa od R2). Jeżeli zatem chcemy uniknąć regresji pozornej, musimy na wstępie sprawdzić, czy dany szereg czasowy zawiera w sobie trend, jego obecność spowoduje bowiem, że podstawowe parametry szeregu będą funkcją czasu (szereg będzie niestacjonarny). W takiej sytuacji trend należy usunąć – w zależności od charakteru trendu – przez wprowadzenie do modelu zmiennej czasowej lub poprzez różnicowanie szeregu (liczenie przyrostów). Różnicowanie szeregu prowadzi jednak do utraty własności długookresowych, gdyż model oparty na przyrostach nie ma rozwiązania dłu-.

(2) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 64. gookresowego. Jeżeli zatem podobieństwo zachowania zmiennych sugeruje istnienie relacji długookresowych, wtedy chcąc zbudować model opisujący zarówno relacje krótko-, jak i długoterminowe, należy pozostać na poziomie zmiennych pierwotnych i odwołać się do koncepcji kointegracji. W tym celu poszukuje się takiej kombinacji liniowej zmiennych niestacjonarnych (ale zintegrowanych), która będzie zintegrowana rzędu niższego (w praktyce najczęściej stacjonarna). Znalezienie takiej kombinacji liniowej pozwala zbudować model, w którym współczynniki kointegrujące odzwierciedlają długookresowe relacje między interesującymi nas zmiennymi, a mechanizm korekty błędów uwzględnia procesy dostosowawcze. Występowanie kointegracji potwierdza zatem istnienie trwałej, długookresowej relacji pomiędzy analizowanymi szeregami czasowymi, natomiast brak skointegrowania sugeruje, że wszelkie relacje wiążące zmienne pierwotne mają wyłącznie charakter pozorny. 2. Stacjonarność szeregu czasowego Stacjonarność procesu stochastycznego oznacza, że jego podstawowe własności nie są funkcją czasu. Proces jest silnie stacjonarny, jeżeli łączne i warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa procesu nie zmieniają się z upływem czasu. W praktyce jednak najczęściej posługujemy się pojęciem stacjonarności w szerokim sensie (słaba stacjonarność), ograniczonym do średnich, wariancji i kowariancji procesu. Zatem proces stochastyczny {Xt} jest stacjonarny, jeżeli średnie i wariancje procesu są stałe w czasie, a wartość kowariancji dla dwóch momentów obserwacji zależy jedynie od odstępu między nimi, a nie od samych momentów obserwacji, czyli:. E(Xt) = cons = μ, var (Xt) = cons = σ2 oraz cov (Xt, Xt + j) = σj.. Szereg czasowy jest stacjonarny, jeżeli jest generowany przez stacjonarny proces stochastyczny. Niestety większość szeregów czasowych opisujących procesy ekonomiczne nie spełnia tego warunku. Przyczyną niestacjonarności może być m.in. występowanie trendu, czyli skłonność szeregu do poruszania się w jednym kierunku. Istotne jest jednak określenie charakteru trendu, gdyż od tego uzależniony jest dalszy sposób postępowania. . Por. W. Charemza, D. Deadman, Nowa ekonometria, PWE, Warszawa 1997, s. 122.. Proces stochastyczny oznacza rodzinę zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych, indeksowaną przez czas. Szereg czasowy rozumiany jest zazwyczaj jako pojedyncza realizacja procesu stochastycznego (inne interpretacje por. W. Charemza, D. Deadman, op. cit., s. 103–107). . . Tamże, s. 104..

(3) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 65. Wyróżniamy procesy o trendzie: – deterministycznym, kiedy średnia procesu jest pewną (np. liniową) funkcją czasu: yt = α + βt + εt, gdzie εt oznacza stacjonarną zmienną losową, – stochastycznym, kiedy zmiany w czasie następują wyłącznie w wyniku szoków losowych: yt = yt – 1 + εt, – mieszanym (stochastyczny i deterministyczny): yt = α + βt + yt – 1 + εt. Trend deterministyczny usuwamy najczęściej przez wprowadzenie do modelu zmiennej czasowej jako dodatkowej zmiennej objaśniającej. Szereg niestacjonarny, który można sprowadzić do stacjonarności przez usunięcie trendu deterministycznego, nazywamy szeregiem trendostacjonarnym. Szeregi przyrostostacjonarne natomiast (z trendem stochastycznym i mieszanym) sprowadzamy do stacjonarności przez obliczenie przyrostów, czyli różnicowanie szeregu. W tym celu liczymy pierwsze różnice pomiędzy kolejnymi wyrazami szeregu: ∆yt = yt – yt – 1 i sprawdzamy stacjonarność nowego szeregu zbudowanego z pierwszych przyrostów. Jeżeli szereg pierwszych przyrostów nie jest stacjonarny, wówczas, poszukując stacjonarności, obliczamy kolejne różnice. I tak np. obliczanie drugich różnic polega na liczeniu pierwszych przyrostów szeregu yt, czyli: ∆∆yt = ∆yt – ∆yt – 1 = (yt – yt – 1) – (yt – 1 – yt – 2) = yt –2yt – 1 + yt – 2.. Nie każdy szereg niestacjonarny można jednak sprowadzić do stacjonarności przez różnicowanie. Szereg niestacjonarny, który można sprowadzić do stacjonarności przez d-krotne różnicowanie, nazywamy szeregiem zintegrowanym stopnia d i oznaczamy I(d). Zatem szereg zintegrowany stopnia 0, I(0) to szereg stacjonarny, natomiast szereg zintegrowany stopnia 4, I(4) to szereg niestacjonarny, którego czwarte przyrosty są stacjonarne. W ekonomii szeregi czasowe rzadko są zintegrowane w stopniu wyższym niż 2. Zdarza się jednak, że szeregi wcale nie są zintegrowane bądź nie da się za pomocą testów ustalić stopnia ich integracji. Analizę regresji powinniśmy więc poprzedzić zbadaniem stopnia integracji każdej zmiennej i w zależności od stopnia zintegrowania szacować model dla pierwotnych zmiennych bądź określonych ich przyrostów. 3. Badanie stacjonarności Brak stacjonarności szeregu czasowego wynika zazwyczaj z faktu, że bieżąca wartość zmiennej zależy od jej wartości historycznych (zjawisko autoregresji). Poziom PKB, wielkość depozytów czy wysokość stóp procentowych w chwili t oscylują wokół wartości z okresu poprzedniego, zmieniając się proporcjonalnie do poziomu z okresu t – 1, na przykład o 5%. Dzieje się tak, ponieważ w gospo-.

(4) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 66. darce istnieje stabilna baza, która pozwala w zależności od podjętych kroków kształtować poziom wybranych wielkości w stosunku do stanu wyjściowego. Najprostszym modelem autoregresji, w którym zmienna objaśniana yt zależy od swoich wartości historycznych jest model z jednym opóźnieniem AR(1) następującej postaci: yt = α + β yt – 1 + ut ,. (1). gdzie ut reprezentuje ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, o zerowej wartości oczekiwanej i stałej wariancji σ2. Zakładamy zatem, że wartości danej zmiennej w kolejnych latach są funkcją liniową wartości z lat poprzednich plus pewne losowe odchylenie od modelu, oznaczone symbolem ut. Składnik losowy reprezentuje wszystkie nieopisane modelem czynniki, które wpłyną na analizowaną zmienną i musi on występować w każdym modelu, ponieważ nigdy nie można przy modelowaniu zjawisk ekonomicznych uwzględnić wszystkich kształtujących go czynników. Dobrze wyspecyfikowany model ekonometryczny ma uwzględniać jednak tyle czynników, aby składniki losowe spełniały powyższe założenia. Powyższy model możemy zapisać:. y1 = α + β y0 + u1,. y2 = α + β y1 + u2 = α + β (α + βy0 + u1) + u2 =. = α (1 + β) + β2y0 + (u2 + βu1),. (2). yt = α (1 + β + β2 + … + βt – 1) + βty0 + (ut + β ut – 1 + β2 ut – 2 + … + β t – 1 u1).. Jeżeli przyjmiemy, że początek badanego zjawiska miał miejsce tak dawno, że jego wartość początkowa nie wywiera już istotnego wpływu na wartość yt, wtedy powyższe równanie możemy zapisać następująco:. yt = α (1 + β + β2 + …) + (ut + β ut – 1 + β2 ut – 2 + …).. (3). E(yt)= α (1 + β + β2 + …).. (4). Warto zauważyć, że w uzyskanej postaci modelu znikły po prawej stronie jakiekolwiek wartości zmiennej y, a pozostały wyłącznie stałe (α, β) oraz obecny i przeszłe składniki losowe u. Ponieważ wartość oczekiwana składników losowych wynosi zero (oraz wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), zatem wartość oczekiwana szeregu czasowego yt wynosi:. . Por. J. Johnston, J. Dinardo, Econometric Methods, McGraw-Hill, 1997, s. 57..

(5) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 67. Wartość oczekiwana została zapisana w postaci nieskończonego szeregu geometrycznego. Aby taki szereg był zbieżny (czyli wartość oczekiwana była skończona i stała), musi być spełniony warunek zbieżności: moduł ilorazu tego szeregu musi być mniejszy od jeden. Czyli jeżeli ⎟β⎟ < 1, wtedy: E(yt) = μ =. α . − β . (5). Z takiej obserwacji wynika wniosek, że jeżeli zmienną y można opisać za pomocą historycznych składników losowych, to jeżeli współczynniki α i β tworzą nieskończony zbieżny szereg geometryczny, wtedy wartość oczekiwana zmiennej y jest stała i wynosi μ. Jeżeli jednak parametry nie tworzą szeregu zbieżnego (⎟β⎟ ≥ 1), to nie uzyskamy stałej wartości oczekiwanej, a więc nie zostanie spełniony jeden z warunków stacjonarności. Kolejnym warunkiem stacjonarności jest stała w czasie wariancja. Dla rozpatrywanego modelu (3) wariancja wynosi:. var (yt) = E [yt – E(yt)]2 =. = E [α (1 + β + β2 + …) + (ut + β ut – 1 + β2 ut – 2 + …) +. 2. (6). – α (1 + β + β2 + …)]2 = E [ut + β ut – 1 + β2 ut – 2 + …] .. Ponieważ składniki losowe z założenia są niezależne i mają zerową wartość oczekiwaną oraz stałą wariancję σ2, możemy zapisać:. var (yt) = σ2 + β2 σ2 + β4 σ2…,. czyli dla ⎟β⎟ < 1 (warunek zbieżności powyższego szeregu):. var (yt) = E(yt – μ)2 =. σ2 = σy2. − β2 . (7). (8). Ponownie widzimy, że dla określonych wartości β wariancja zmiennej y nie będzie zależała od upływu czasu, lecz wyłącznie od stałej wariancji składników losowych oraz parametru β. Korzystne statystycznie cechy takiego modelu nie kończą się wyłącznie na wartości oczekiwanej i wariancji, lecz obejmują również kowariancję. Ogólną postać autokowariancji (czyli kowariancji wartości zmiennej y dla dwóch różnych momentów obserwacji) przedstawia równanie:. cov (yt, yt – k) = E [(yt – μ) (yt – k – μ)],. gdzie: k – liczba opóźnień.. (9).

(6) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 68. Dla analizowanego modelu (3), na podstawie wcześniejszych założeń (dotyczących rozkładu składnika losowego) oraz równań (4) i (8), możemy zapisać:. cov (yt, yt – 1) =. βσ 2 = βσ 2y , − β2. cov (yt, yt – 2) =. β2 σ 2 = β2 σ 2y , 2 − β . cov (yt, yt – k) =. βk σ 2 = β k σ 2y . − β2 . (10). Okazuje się zatem, że dla ⎟β⎟< 1 autokowariancja analizowanego szeregu czasowego również nie zależy od wybranego momentu obserwacji (a zwłaszcza nie rośnie ani nie maleje z upływem czasu), a tylko od wielkości opóźnienia. Podsumowując, szereg czasowy postaci: yt = α + βyt – 1 + ut 5 jest stacjonarny, jeżeli ⎟β⎟ < 1, tylko wtedy bowiem podstawowe własności tego szeregu (średnia, wariancja i kowariancja) nie są funkcjami czasu. Zgodnie z przedstawionymi własnościami, oznacza to, że pomimo upływu czasu wartości bezwzględne yt nie będą wraz z czasem rosły w nieskończoność, lecz będą dążyły do pewnej skończonej wartości i możemy bezpiecznie stosować tradycyjne modele ekonometryczne. W przypadku jednak ⎟β⎟ ≥ 1 tradycyjne testy i rozkłady statystyczne przestają obowiązywać. Dla szeregów niestacjonarnych szczególnie istotna jest sytuacja, gdy β = 1. Mówimy wówczas, że proces ma pierwiastek jednostkowy (unit root), a analizowane równanie przybiera postać: yt = α + yt – 1 +ut, jest więc przykładem procesu błądzenia losowego z dryfem (random walk with drift). Dryf (związany z obecnością wyrazu wolnego α) oznacza trwałą tendencję do oddalania się kolejnych wartości yt od ich poprzednich stanów.. y1 = α + y0 + u1,. y2 = α + y1 + u2 = α + α + y0 + u1 + u2 = 2α + y0 + (u2 + u1),. (11). yt = t α + y0 + (ut + ut – 1 + ut – 2 + … + u1).. W przypadku procesu błądzenia przypadkowego z dryfem wartość oczekiwana oraz wariancja procesu wynoszą odpowiednio: 5 ut reprezentuje ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, o zerowej wartości oczekiwanej i stałej wariancji σ2..

(7) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. E(yt) = tα + y0,. 69. (12). var(yt) = E[yt – E(yt)] = E[(tα + y0 + ut + ut – 1 + ut – 1 +… + u1) – (tα + y0)] = 2. = E[ut + ut – 1 + u1]2 = tσ2.. 2. . (13). Jak widać, w przypadku gdy β = 1 proces jest niestacjonarny, gdyż wartość oczekiwana i wariancja procesu zależą od czasu i wraz z upływem czasu ich wartości bezwzględne rosną w nieskończoność. Jednak proces ten jest zintegrowany stopnia jeden I(1), tzn. szereg złożony z pierwszych przyrostów cechuje się stacjonarnością6. Natomiast w przypadku gdy ⎢β⎢ > 1 proces rozwija się wybuchowo.. 4. Testowanie pierwiastków jednostkowych Wiedząc, że autoregresyjne szeregi czasowe są niestacjonarne, ich analizę rozpoczynamy od badania stopnia integracji. Do testowania stopnia integracji wykorzystuje się tzw. testy jednostkowego pierwiastka (unit-root test). Najpowszechniej w praktyce stosuje się test DF (test Dickeya-Fullera), jego rozszerzoną wersję, czyli test ADF (Augmented Dickey-Fuller test) oraz test PP (test Philipsa-Perrona). W teście DF testujemy hipotezę, że zmienna jest zintegrowana stopnia jeden, czyli dla wybranego równania autoregresji7:. yt = βyt – 1 + ut (model bez stałej i trendu deterministycznego),. yt = α + βyt – 1+ ut (model ze stałą (dryfem), ale bez trendu deterministycznego),. yt = α + δt + βyt – 1 + ut (model ze stałą i z trendem deterministycznym). (14). stawiamy hipotezę, że β = 1 (dlatego właśnie test stopnia integracji nazywa się testem jednostkowego pierwiastka). Powyższe równania wygodnie jest przedstawić w postaci pierwszych przyrostów, czyli odpowiednio:. Δyt = (β – 1)yt – 1+ ut,. Δyt = α + (β – 1)yt – 1+ ut,. (15). Δyt = α +δt + (β – 1)yt – 1 + ut.. 6. Δyt = α + ut; E(Δyt) = cons = α; var(Δyt) = cons = σ2.. 7 Ponieważ w praktyce nie jest znany model opisujący zachowanie się obserwowanych zmiennych, dlatego przy testowaniu stopnia integracji sprawdzane są różne jego postacie..

(8) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 70. Dla γ = (β − 1) testowana hipoteza przyjmuje więc postać H0: γ = 0, wobec H1: γ < 0 (czyli β < 1). Test jest jednostronny, ponieważ dla γ > 0 szereg w sposób wybuchowy zmierza do nieskończoności (jest bez wątpienia niestacjonarny). Zatem odrzucenie hipotezy zerowej na rzecz hipotezy alternatywnej pozwala na stwierdzenie stacjonarności szeregu yt. Natomiast brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej może świadczyć, że zmienna jest zintegrowana w stopniu wyższym niż 0 lub wcale nie jest zintegrowana. Dlatego w celu stwierdzenia stopnia integracji powtarzamy test dla kolejnych przyrostów. Jeżeli np. odrzucimy hipotezę zerową na rzecz alternatywnej dla pierwszych przyrostów, będzie to implikować stacjonarność pierwszych przyrostów, czyli pierwszy stopień integracji szeregu yt, natomiast gdy brak będzie podstaw do jej odrzucenia, wtedy powtarzamy test dla drugich przyrostów. Procedurę przerywamy w chwili ustalenia stopnia integracji yt lub gdy stwierdzimy, że kolejne różnicowanie nie sprowadzi szeregu yt do stacjonarności8. Stosowanie testu DF ograniczone jest do sytuacji, gdy składnik losowy jest procesem białego szumu. W sytuacji gdy składnik losowy wykazuje autokorelację, należy stosować rozszerzony test Dickeya-Fullera (ADF)9. W teście ADF, w celu wyeliminowania autokorelacji składników losowych, jako dodatkowe zmienne objaśniające wprowadza się do równania opóźnione wartości zmiennej y. Równanie (15) przybiera wtedy postać: Δ yt = α + γyt – +. Σ γ Δ y p. i=1. i . t–i. + ut.. (16). Liczbę opóźnień p trudno jest założyć a priori, jej wielkość bowiem ma z jednej strony zapewnić wyeliminowanie autokorelacji ut, z drugiej strony jednak wpływa na liczbę stopni swobody. Do testowania hipotezy zerowej używamy ilorazu t-Studenta (ilorazu oceny parametru γ otrzymanej metodą MNK i jej błędu standardowego)10. Jednak przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka ta nie ma znanego rozkładu t-Studenta (jej rozkład cechuje się ujemną skośnością). Dlatego do obliczania wartości krytycznych nie możemy stosować tablic rozkładu t-Studenta, ale specjalnie skonstruowane tablice wartości krytycznych dla testów DF i ADF11. Hipotezę zerową odrzu 8 Sygnałem wskazującym taką sytuację jest wysoka dodatnia wartość statystyki DF połączona z wysokim współczynnikiem determinacji, świadczącym o nadmiernym obliczaniu przyrostów (overdifferencing). Por. W. Charemza, D. Deadman, op. cit., s. 116. 9. Także test Philipsa-Perrona zachowuje ważność w sytuacji korelacji składnika losowego.. Jeżeli jednak hipoteza zerowa obejmuje równocześnie więcej niż jeden parametr (np. przy obecności trendu deterministycznego parametry γ i δ), stosuje się test mnożnika Lagrange’a. 10. 11 Tablice te znajdują się m.in. w pracy W. Charemzy i D. Deadmana, op. cit., s. 254–260. Wartości krytyczne uzależnione są ponadto od postaci modelu: obecności stałej i trendu deterministycznego..

(9) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 71. camy na rzecz hipotezy alternatywnej, jeśli obliczona wartość statystyki t–Studenta jest mniejsza od dolnej wartości krytycznej, natomiast stwierdzamy brak podstaw do jej odrzucenia, gdy jest wyższa od górnej wartości krytycznej. Obszar pomiędzy dolną i górną wartością krytyczną stanowi przedział nieokreśloności, nie dający podstaw do wyciągnięcia jakichkolwiek wniosków. 5. Kointegracja szeregów czasowych Brak stacjonarności badanych zmiennych może powodować zatem, że regresja, mająca odzwierciedlać długookresowe relacje pomiędzy nimi, jest tylko pozorna. Często jednak teoria ekonomiczna potwierdza istnienie silnych długookresowych związków pomiędzy niestacjonarnymi zmiennymi. Może się bowiem zdarzyć, że jeżeli pomiędzy kilkoma niestacjonarnymi zmiennymi istnieje długookresowa relacja, to czynniki powodujące niestacjonarność znoszą się wzajemnie i odchylenia od ścieżki długookresowej są stacjonarne (nie wykazują wyraźnej tendencji do wzrostu lub spadku). Wtedy mówimy, że szeregi są skointegrowane. Z definicji dwa szeregi czasowe są skointegrowane stopnia d, b, gdzie d ≥ b ≥ 0 (co zapisujemy xt, yt ~ CI(d, b)), jeżeli oba szeregi są zintegrowane stopnia d oraz istnieje taka kombinacja liniowa tych zmiennych (αyt + βxt), która jest zintegrowana stopnia d – b12. Wektor [α, β] nazywamy wektorem kointegrującym. W przypadku większej liczby zmiennych nie jest konieczne, aby wszystkie były zintegrowane tego samego stopnia. Na przykład dla trzech zmiennych (yt = β1x1t + β2 x2t + ut), z których zmienna yt ~ I(1), x1t ~ I(2), x2t ~ I(2), możemy poszukiwać relacji kointegrującej, jeżeli x1t, x2t ~ CI(2, 1). Jakkolwiek w teorii ekonometrii możemy rozważać kointegracje różnych stopni, w praktyce interesujące są przypadki, w których przekształcone szeregi wyjściowe nabierają stacjonarności, tzn. d = b. W takim przypadku składniki losowe – odchylenia od długookresowej ścieżki, są I(0). Oznacza to, że niezależnie od upływu czasu, analizowane zmienne pozostają w stałej odległości od siebie, a model pozostaje tak samo dokładny i błąd modelu (mierzony składnikami. Jest to formalna definicja kointegracji dwóch zmiennych podana przez R.F. Engle’a i C.W.J. Grangera, Co-integration, Error Correction: Representation, Estimation and Testing, „Econometrica” 1987, 55, s. 251–276, cyt. za: W. Charemza, D. Deadman, op. cit., s. 124. Było to pierwsze formalne przedstawienie koncepcji kointegracji. Sam termin kointegracja pojawił się po raz pierwszy w pracach C.W.J. Grangera z 1981 r. 12.

(10) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 72. resztowymi) nie rośnie. W takiej sytuacji współczynniki tworzące wektor kointegrujący są interpretowane jako parametry relacji długookresowej13. Zatem jeżeli ustalimy już stopień integracji wszystkich wykorzystywanych do analizy szeregów czasowych, możemy, w zależności od wyniku, ustalić dalszą strategię postępowania: 1) jeżeli wszystkie szeregi są stacjonarne – możemy zastosować klasyczne metody ekonometryczne, 2) jeżeli wykorzystujemy dwa szeregi czasowe, które: – są zintegrowane tego samego stopnia (w praktyce najczęściej I(1)) – można badać czy szeregi są skointegrowane, czyli poszukiwać wiążącej je długookresowej relacji, – nie są zintegrowane tego samego stopnia – rezygnujemy z dalszej analizy, gdyż wszelkie długookresowe związki będą niestabilne (składnik losowy będzie niestacjonarny), 3) jeżeli wykorzystujemy n szeregów czasowych (n > 2), to możemy szukać relacji kointegrującej, nawet jeżeli nie wszystkie zmienne są zintegrowane tego samego stopnia14. 6. Badanie kointegracji Testy kointegracji przeprowadza się dla sytuacji, kiedy zmienne przekształcone za pomocą wektora kointegrującego stają się stacjonarne, czyli b = d. Rozpatrzmy dwie zmienne zintegrowane stopnia jeden:. yt = βxt + ut , . (17). yt – βxt = ut . . (18). Jeżeli zmienne są skointegrowane, to istnieje wektor kointegrujący [1, –β], taki że ut ~ I(0). Równanie (17) możemy zapisać w postaci regresji kointegrującej, czyli: Obecnie istnieje wiele procedur testowania kointegracji. Najwcześniejszą i jedną z prostszych metod jest procedura zaproponowana przez Engle’a i Grangera15, zgod-. W sytuacjach, kiedy b < d, wektor kointegrujący nie ma bezpośredniej interpretacji ekonomicznej. 13. Jednak wszystkie zmienne muszą być zintegrowane. Ponadto jeżeli stopień integracji zmiennej zależnej jest niższy od najwyższego stopnia integracji zmiennych objaśniających, to w równaniu muszą wystąpić co najmniej dwie zmienne objaśniające zintegrowane w tym najwyższym stopniu. Por. W. Charemza, D. Deadman, op. cit., s. 126. 14. 15. R.F. Engle, C.W.J. Granger, op. cit..

(11) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 73. nie z którą szacuje się wektor kointegrujący MNK, a następnie dla oszacowanych reszt stosuje się test jednostkowego pierwiastka w celu sprawdzenia jego stacjonarności. Test DF dla kointegracji polega na sprawdzeniu, czy δ = 0 w równaniu: Δ uˆt = δuˆt – + ξˆ t , . gdzie: uˆ t – 1 – reszty MNK regresji kointegrującej.. (19). Jeżeli hipoteza zerowa jest prawdziwa, świadczy to o braku kointegracji (reszty są I(1), czyli nie są stacjonarne), jeżeli zaś odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej (δ < 0), przyjmujemy istnienie kointegracji. Do testowania stosujemy podobnie jak przy sprawdzaniu integracji iloraz t-Studenta, a wartości krytyczne odczytujemy z tablic (uwzględniając liczbę szacowanych składowych wektora kointegrującego, ponieważ wpływają one na rozkład statystyki t-Studenta). Innym sposobem testowania kointegracji są modele z mechanizmem korekty błędu (ECM). 7. Modele z mechanizmem korekty błędu. Związek pomiędzy kointegracją i modelem ECM wynika z twierdzenia Grangera o reprezentacji. Twierdzenie to mówi, że jeżeli zmienne są skointegrowane, to mogą być przedstawione w postaci modelu ECM, ponieważ musi istnieć pewien mechanizm dostosowawczy, zapewniający stacjonarność składnika losowego w relacji długookresowej. Występowanie relacji kointegrującej pomiędzy szeregami czasowymi sugeruje, że zmienne te są powiązane w długim czasie warunkami równowagi. Z drugiej strony układ taki podlega w krótkim czasie licznym zakłócającym impulsom zewnętrznym. Dlatego w modelu musi istnieć pewien mechanizm zapewniający powrót do stanu równowagi po zaburzeniach wynikających z działania sił zewnętrznych – mechanizm korekty błędu ECM (error correction mechanism). Aby przedstawić model ECM, wykorzystany zostanie dwurównaniowy przykład Engle’a i Grangera16. Załóżmy, że rozważamy dwa szeregi czasowe I(1) : yt oraz xt, które zostały opisane modelem dwurównaniowym:. gdzie: u1t = u1, t – 1 + ε1t ,. yt – αxt = u1t ,. (20). 16 R.F. Engle, C.W.J. Granger, op. cit., cyt. za: G.S. Maddala, I.M. Kim, Units Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge University Press, Cambridge 1998..

(12) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 74. yt – βxt = u2t ,. (21). gdzie: u2t = ρ u2, t – 1 + ε2t oraz ρ< 1. Zakładamy, że ε1t i ε2t są procesami białego szumu, oraz że α ≠ β (aby układ nie był sprzeczny). Szeregi czasowe yt i xt są skointegrowane, ponieważ składnik losowy w równaniu (21) jest stacjonarny (dla ρ < 1). Oznacza to, że liniowa kombinacja tych zmiennych: zt = yt – βxt. jest stacjonarna, a (1, –β) jest wektorem kointegrującym. Powyższe równania można przekształcić do postaci tzw. reprezentacji wspólnego trendu (common trend representation), które pokazuje, że obydwie zmienne zależą od zmiennej u1t, która z założenia jest I(1)17:. yt =. β α u1t – u2 t , β–α β–α . xt =. u1t – u2 t . β–α β–α . (22) (23). Równania (22) i (23) można dalej przekształcić do interesującej nas postaci różnicowej, nazywanej reprezentacją autoregresyjną (autoregressive representation): Δ yt = α. Δ xt =. – ρ – ρ yt – – αβ xt – + ηt , β–α β–α . (24). – ρ – ρ yt – – β xt – + η2 t , β–α β–α . (25). gdzie: η1t, η2t – liniowe kombinacje ε1t i ε2t.. u1t jest przykładem procesu błądzenia przypadkowego, czyli procesem zintegrowanym stopnia 1. 17.

(13) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 75. Wracając do wyjściowego układu równań i korzystając z faktu kointegracji zawartej w równaniu (21), możemy to równanie zapisać:. albo. ∆zt = (ρ – 1) zt – 1 + ε2t Δyt = βΔxt + (ρ – 1) (yt – 1– β xt – 1) + ε2t.. (26). Końcowe równanie jest przekształceniem wyjściowego równania (21), reprezentującego relację kointegrującą do postaci zawierającej mechanizm korekty błędów, reprezentowany przez zt – 1. Współczynnik (ρ – 1) jest ujemny i pokazuje tempo, w jakim zmienna yt będzie powracała do stanu równowagi po zaburzeniach wywołanych działaniem zewnętrznych impulsów. Modele takie, z narzuconą strukturalnie kointegracją, są nazywane modelami ECM. Modele postaci (26) estymuje się przy zastosowaniu dwustopniowej procedury: najpierw szacuje się równanie (21) i testuje stacjonarność reszt, a następnie (jeżeli u2t ~ I(0)) zastępuje się parametr β jego oceną MNK i szacuje równanie (26) (ponieważ ∆yt, ∆xt oraz zt – 1 są I(0)). Metoda Engle’a i Grangera opiera się na założeniu, że pomiędzy zmiennymi istnieje długookresowa relacja, wynikająca z teorii ekonomii. Wtedy możemy (ale wcale nie musimy) odnaleźć wiążącą je relację kointegrującą, a następnie przekształcić ją do postaci zawierającej mechanizm korekty błędów (odchylenia od ścieżki długookresowej). 8. Kointegracja w modelu VAR Kointegrację szeregów czasowych można także rozpatrywać w kontekście modelowania wektorowej autoregresji VAR (vector autoregressive model). Modele VAR powstały w latach 80., a u ich podstaw leżały dość rewolucyjne w stosunku do tradycyjnej ekonometrii założenia metodologiczne Simsa18. Jedną z takich metodologicznych innowacji było zrezygnowanie z podziału a priori zmiennych na endogeniczne i egzogeniczne. Model VAR składa się zatem z regresji każdej zmiennej nieopóźnionej względem wszystkich zmiennych opóźnionych o pewną liczbę okresów. Model VAR dla k zmiennych możemy zapisać (w postaci macierzowej)19:. 18. C.A. Sims, Macroeconomic and Reality, „Econometrica” 1980, nr 48, s. 1–48.. Model VAR może być uzupełniony składowymi deterministycznymi, takimi jak wyraz wolny, trend deterministyczny czy zmienne sezonowe. 19.

(14) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 76. Yt = A1Yt – 1 + … + ApYt – p + εt =. Σ AY p. i=1. i t–i. + εt.. (27). Wszystkie elementy tego modelu są macierzami: Y’t = (y1t, y2t, …, ykt) jest k-wymiarowym wektorem nieopóźnionych obserwacji wszystkich zmiennych; zmienne te są zintegrowane i mają ten sam stopień integracji, równy zero lub jeden; Y’t – i = (y1t – i, y2t – i, …, ykt – i) jest k-wymiarowym wektorem opóźnionych obserwacji wszystkich zmiennych (i oznacza długość opóźnienia), gdzie: i = 1, …, p; Ai to macierz współczynników o wymiarach kxk, gdzie: i = 1, …, p; εt jest k-wymiarowym wektorem składników losowych (które są skorelowane dla tego samego okresu, ale nie wykazują autokorelacji). Model VAR (27) możemy poprzez transformację kointegrującą sprowadzić do postaci różnicowej20:. ∆Yt = (A1 – I)Yt – 1 + … + Ap Yt – p + εt = (A1 – I) ∆Yt – 1 +. + (A2 + A1 – I) ∆Yt – 2 + … + (Ap – 1 + Ap – 2 + … + A1 – I) =. = ∆Yt – p + (Ap + Ap – 1 + … + A1 – I) Yt – p + εt = =. p–1. Σ Γi ∆Y i=1. t–i. (28). + Π Yt – p + εt,. gdzie: Γi = –I + A1 + … + Ai – 1 + Ai, dla i = 1, …, p – 1, Π = –(I – A1 – … – Ap – 1 – Ap), I – macierz jednostkowa.. Dla takiej postaci modelu VAR stosuje się twierdzenie Grangera o reprezentacji, w myśl którego21: – jeżeli rząd macierzy Π jest równy łącznej liczbie zmiennych w modelu (czyli k), to proces wektorowy Yt jest stacjonarny, czyli wszystkie zmienne są zintegrowane stopnia zero, – jeżeli rząd macierzy jest równy r (r < k), to istnieje reprezentacja Π, taka że Π = αβ’ oraz β’Yt ~ I(0), gdy Yt ~ I(1). 20 W tym celu od obu stron równania odejmujemy Yt – 1 oraz podstawiamy za Yt – i sumę ΔYt – i + + Yt – i – 1 (dla i = 1, …, p + 1). 21. Por. W. Charemza, D. Deadman, op. cit, s. 163..

(15) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 77. Macierz β o wymiarach k x r jest zatem macierzą kointegrującą zmienne wektora Yt, a jej poszczególne kolumny reprezentują wektory kointegrujące β1, β2 , …, β r. Natomiast macierz α (także o wymiarach kxr) określa się jako macierz dostosowań, ponieważ jej elementy mierzą szybkość dostosowania poszczególnych zmiennych w wyniku zakłóceń relacji równowagi. Niestety, twierdzenie Grangera, pomimo wielkiego znaczenia teoretycznego, nie jest wygodnym narzędziem do obliczeń, gdyż nie rozstrzyga podstawowych problemów: 1) jak wyznaczyć rząd macierzy Π, czyli zidentyfikować liczbę wektorów kointegrujących, 2) jak oszacować macierz kointegrującą β. W analizach empirycznych powyższe problemy rozstrzyga się za pomocą metody Johansena22. W tym celu weryfikuje się ciąg hipotez zerowych o występowaniu co najwyżej r niezależnych wektorów kointegrujących, przy czym r = 0, 1, 2, …, k – 1. W pierwszym kroku testuje się hipotezę zerową stanowiącą, że w modelu VAR nie występują wektory kointegrujące (r = 0). Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej kończy procedurę. Jeżeli natomiast odrzucimy hipotezę zerową, w kolejnym kroku testujemy hipotezę, że w modelu VAR występuje co najwyżej 1 wektor kointegrujący (r ≤ 1). Brak podstaw do odrzucenia testowanej hipotezy implikuje istnienie dokładnie jednego wektora kointegrującego, natomiast odrzucenie powoduje powtórzenie procedury dla hipotezy zerowej, że w modelu istnieją co najwyżej dwa wektory kointegrujące itd. Procedurę Johansena można przeprowadzić dla różnych postaci modelu VAR, uwzględniając lub nie oprócz trendów stochastycznych także obecność stałych i trendów deterministycznych. W szczególności, szeregi yit mogą zawierać dryf oraz trendy deterministyczne (liniowe lub kwadratowe), z kolei równania kointegrujące mogą mieć stałe lub trendy liniowe. Z tego powodu S. Johansen wyróżnił 5 podstawowych możliwości dotyczących szacowanego modelu: – szeregi nie zawierają trendu deterministycznego, równania kointegrujące nie mają stałych, – szeregi nie posiadają trendu deterministycznego, równania kointegrujące mają stałe, – zarówno szeregi, jak i równania kointegrujące zawierają trendy liniowe, – szeregi zawierają trendy liniowe, równania kointegrujące mają tylko stałe, – szeregi zawierają trendy kwadratowe, a równania kointegrujące mają trendy liniowe. 22 S. Johansen, Likelihood Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models, 2nd ed., Oxford University Press, Oxford 1996..

(16) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 78. Dobór modelu zależy od danych empirycznych. Po dokonaniu wyboru, model szacuje się metodą największej wiarygodności. Kolumny oszacowanej macierzy β to wektory kointegrujące, które po znormalizowaniu interpretuje się jako parametry długookresowe. Jeżeli w modelu istnieją wektory kointegrujące (r > 0), wtedy macierz β’Yt – p stanowi zbiór r mechanizmów korekty błędów. Jeżeli modelujemy pojedyncze równanie, wtedy dobrze jest w procedurze Johansena uzyskać jedną relację kointegrującą. Większa liczba relacji kointegrujących jest punktem wyjścia budowy r-równaniowego warunkowego modelu korekty błędu. W tym celu wybieramy r zmiennych, pozostałe traktując jako zmienne egzogeniczne i budujemy warunkowy model wyjaśniający ich bieżące zmiany z uwzględnieniem odchyleń od relacji długookresowej. 9. Funkcja reakcji na impuls Występowanie relacji kointegrującej pomiędzy analizowanymi szeregami czasowymi potwierdza istnienie długookresowej relacji opisującej stan równowagi. Równowaga ta jest stabilna, jeżeli układ, który na skutek działania zewnętrznych impulsów został wytrącony ze stanu równowagi, po pewnym okresie do niego powraca. Interesujących informacji o charakterze układu dostarcza analiza jego reakcji na wybrane impulsy zakłócające: jak silne było odchylenie, kiedy osiągnęło maksimum, jaka była długość i kształt ścieżki powrotu do stanu równowagi. Zagadnienia te prowadzą do kolejnego etapu analizy skointegrowanych szeregów czasowych: badania funkcji reakcji na impuls (impulse response functions). Funkcja reakcji odpowiada na pytanie, jaka będzie zmiana systemu w chwili t + n, wywołana przez szok o wielkości δ, który wystąpił w chwili t (przy założeniu, że w analizowanym okresie nie wystąpiły żadne inne szoki). Funkcja reakcji w tradycyjnym ujęciu, zaproponowanym przez C. Simsa23, jest zdefiniowana jako różnica pomiędzy dwoma różnymi realizacjami Yt + n, które były identyczne do chwili wystąpienia szoku (do chwili t – 1). Jedna realizacja Yt + n zakłada, że w chwili t system został poddany szokowi zewnętrznemu δ, a później aż do chwili t + n nie pojawił się żaden inny impuls zewnętrzny, natomiast druga realizacja Yt + n – stanowiąca punkt odniesienia – zakłada, że w okresie między t i t + n nie pojawiły się żadne szoki24. W sposób sformalizowany można zapisać tradycyjne ujęcie funkcji reakcji w następujący sposób: 23. C. Sims, op. cit.. Por. G. Koop, M.H. Pesaran, S.M. Potter, Impulse Response Analysis in Nonlinear Multivariate Models, „Journal of Econometrics” 1996, vol. 74, s. 119–147. 24.

(17) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. IY (n, δ, ωt – 1) = E [Yt + n ⏐Vt = δ, Vt + 1 = 0, …, Vt + n = 0, ωt – 1] +. – E [Yt + n ⏐Vt = 0, Vt + 1 = 0, …, Vt + n = 0, ωt – 1], dla n = 1, 2, …. 79. (29). gdzie: Yt – wektor zmiennych losowych, Vt + n – wektor niezależnych zakłóceń losowych o identycznym rozkładzie, zerowej średniej i stałej wariancji, ωt – 1 – zbiór informacji wykorzystywany do prognozowania Yt.. W podejściu tradycyjnym przekształca się różnicową postać VAR (28) do postaci modelu VMA wektorowej średniej ruchomej (vector moving average model)25: Yt =. ΣB ε ∞. i=0. .. i t–i. (30). . Ponieważ Yt ~ I(1) oraz wektor β jest wektorem kointegrującym, zatem Zt = β’Yt ~ I(0). Reakcja na szok relacji kointegrującej jest wyprowadzona z równania:. Zt =. Σ β’ B ε ∞. i=0. .. i t–i . (31). Gdyby εt były ortogonalne26 (czyli macierz Ω wariancji-kowariancji składnika losowego była macierzą diagonalną), wtedy wpływ jednostkowej szokowej zmiany j-tej zmiennej w systemie εjt na i-tą relację kointegrującą, zit, po n okresach byłby wyrażony poprzez Ψzi(n, j) = βi’ Bn ej / σjj,. (32). gdzie: βi – i-ty wektor kointegrujący (i = 1, 2, …, r), ej (j = 1, 2, …, m) – wektor selekcji, którego j-ty element jest równy 1, a wszystkie pozostałe wynoszą 0, σ2jj – wariancja j-tego szoku.. Macierz Ω nie zawsze jednak jest macierzą diagonalną. W takiej sytuacji, w celu zortogonalizowania szoków, dokonujemy dekompozycji macierzy Ω. Często wykorzystuje się w tym celu dekompozycję Choleskiego, w której Ω = PP’, gdzie P jest macierzą dolną trójkątną. Równanie (31) możemy więc zapisać: 25 26. W modelu nie uwzględniono elementów deterministycznych.. Wektory są ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 0..

(18) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 80. Zt =. Σ βʹB pp ∞. i=0. i. –1. εt – i =. Σ βʹB pξ ∞. i=0. i. ,. t–i. (33). gdzie: ξt = P–1εt, E (ξt, ξt’) = Im, czyli przekształcone szoki są niezależne i mają jednostkową wariancję.. Funkcja reakcji po n okresach na jednostkowy, zortogonalizowany szok ξ jt w j-tej zmiennej w chwili t, na i-tą relację kointegrującą przedstawia równanie (34)27:. Ψzi(n, j) = βi’ Bn P ej, dla n = 0, 1, 2, … (34). Tradycyjna ujęcie funkcji reakcji na impuls ma jednak wiele istotnych niedoskonałości, będących przedmiotem krytyki. Dekompozycja Choleskiego wymaga określenia porządku przyczynowo-skutkowego między zmiennymi w analizowanym układzie. Macierz P nie jest unikalna, a wybór jej określonej postaci wpływa na postać reakcji na szok. W konsekwencji różna kolejność zmiennych w macierzy Yt będzie prowadziła do różnych rozwiązań. Wady tradycyjnej funkcji reakcji na impuls były przyczyną zaproponowania i rozwinięcia ujęcia alternatywnego28, czyli uogólnionej funkcji reakcji na impuls. W takim ujęciu rozważa się wpływ na relacje kointegrujące nie tyle szoków dotyczących poszczególnych zmiennych εjt, ile złożonych szoków na poziomie całego systemu εt (w ten sposób unika się konieczności ortogonalizacji szoków). Uogólniona funkcja może przyjmować postać29: GIY (n, Vt, ωt – 1) = E [Yt + n ⏐Vt ωt – 1] – E [Yt + n ⏐ωt – 1], . (35). dla n = 0, 1, 2, …. W takim ujęciu funkcja reakcji jest uzależniona jedynie od historii (ω t – 1) oraz bieżącego szoku (Vt), natomiast wszystkie przyszłe szoki są uśrednione. Po wyskalowaniu otrzymujemy funkcję mierzącą efekt szokowej zmiany wielkości jednego odchylenia standardowego j-tej zmiennej w czasie t na i-te równanie kointegrujące w chwili t + n.. Ψgzi(n, j) = (σjj)–0,5 βi’ Bn Ωej, dla n = 0, 1, 2, …. (36). 27 Por. M.H. Pesaran, Y. Shin, Cointergation and Speed of Convergence to Equilibrium, „Journal of Econometrics” 1996, vol. 71, s. 117–143.. 28 M.in. M.H. Pesaran, Y. Shin, op. cit.; G. Koop, M.H. Pesaran, S.M. Potter, op. cit.; M.H. Pesaran, Y. Shin, Generalized Impulse Response Analysis in Linear Multivariate Models, „Economic Letters” 1998, vol. 58, s. 17–29. 29. Por. G. Koop, M.H. Pesaran, S.M. Potter, op. cit..

(19) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 81. Uogólniona postać funkcji reakcji, w przeciwieństwie do postaci tradycyjnej, wymagającej ortogonalizacji, jest unikalna i nie zależy od kolejności zmiennych w modelu. 10. Przykład zastosowania omówionych metod Kointegracja, modele VAR i funkcja reakcji na impuls są wykorzystywane do analizy zjawisk finansowych, między innymi do analizy mechanizmu transmisji impulsów polityki pieniężnej, odzwierciedlającego, w jaki sposób i z jakim opóźnieniem decyzje władz monetarnych są przenoszone na ceny i rozmiary produkcji. Tradycyjnym kanałem transmisyjnym jest kanał stopy procentowej (restrykcyjna decyzja monetarna → wzrost nominalnych krótkoterminowych stóp procentowych → wzrost realnych krótkoterminowych stóp procentowych → wzrost realnych długoterminowych stóp procentowych → spadek wydatków inwestycyjnych → spadek globalnego popytu → spadek nominalnego PKB). Rozwinięciem i uzupełnieniem tego kanału są: kanał kursu walutowego (uwzględniający zmiany wartości waluty krajowej oraz zmiany eksportu i importu), kanał papierów wartościowych (uwzględniający między innymi teorię „q” Tobina i koncepcję efektu bogactwa Modiglianiego) oraz kanały kredytowe: kanał kredytów bankowych i kanał bilansowy30. Kanały kredytowe, uwzględniając efekt asymetrii informacji na rynku finansowym oraz postępowanie banków komercyjnych, nie zawsze zgodne z intencjami banku centralnego, akcentują rolę instytucji finansowych w kształtowaniu przepływów impulsów pieniężnych (analiza mechanizmu transmisji poprzez zmiany depozytów i kredytów). Jako przykład ilustrujący omawiane metody wybrano kanał kredytów bankowych, składający się z następujących relacji przyczynowo-skutkowych: zmiana stopy WIBOR T/N → zmiana realnej wielkości depozytów ludności → zmiana realnej wielkości kredytów udzielonych podmiotom gospodarczym → zmiana realnej wielkości produkcji sprzedanej. Model VAR zbudowano wykorzystując następujące zmienne: – stopę rynku międzybankowego WIBOR T/N będącą odzwierciedleniem polityki pieniężnej NBP (WIBOR_TN)31, – logarytm poziomu depozytów złotowych ludności w cenach stałych (LOG_ DEP_L_R), Por. Mechanizm transmisji impulsów polityki pieniężnej: przegląd głównych teorii oraz specyfika transmisji w Polsce, pod red. R. Kokoszczyńskiego, Materiały i Studia NBP, 1999, nr 91. 30. Argumenty przemawiające za wyborem stopy WIBOR T/N zob. T. Łyziak, Reakcja aktywów banków komercyjnych na instrumenty oddziaływania banku centralnego, „Bank i Kredyt” 2000, nr 3, s. 47–61. 31.

(20) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 82. – logarytm poziomu kredytów podmiotów gospodarczych w cenach stałych (LOG_KR_P_R), – logarytm produkcji sprzedanej przemysłu w cenach stałych (LOG_PROD_R). Wykorzystano średnie miesięczne za okres od stycznia 1997 r. do grudnia 2002 r. Ponieważ idea kointegracji polega na obserwowaniu wzajemnych zależności co najmniej dwóch zmiennych, dlatego też założono, że wszystkie wspomniane elementy kanału transmisyjnego mają charakter zmiennych endogenicznych (obserwowane będą wobec tego wzajemne dopasowywania się tych zmiennych na skutek zmian każdej z nich). Pierwszym etapem badania jest sprawdzenie, czy szeregi są stacjonarne, a jeżeli nie, to jaki jest poziom integracji. Do badania wykorzystano omówiony wcześniej test Dickeya-Fullera, a także test Philipsa-Perrona (test PP jest mniej wrażliwy na kwestię odpowiedniego doboru liczby opóźnień do równania autoregresyjnego). Tabela 1. Wyniki testów ADF, PP dla WIBOR T/N Poziom Poziom nominalny. Pierwsza różnica. Postać modelu. ADF. Stała. –0,27. Bez stałej i bez trendu. –1,57. Stała i trend. –3,03. Stała i trend. Stała. Bez stałej i bez trendu. PP 0,02. –1,32. –1,3 –3. **. –2,75. ***. –1,49. –9,14. ***. –8,85. ***. –9,23. ***. gdzie: *, **, *** oznaczają odpowiednio, że hipoteza o pierwiastku jednostkowym została odrzucona na poziomie istotności 10%, 5% i 1%. Tabela 2. Wyniki testów ADF, PP dla LOG_PROD_R Poziom Poziom nominalny. Pierwsza różnica. Postać modelu Stała. Stała i trend. Bez stałej i bez trendu. ADF –3,69. –3,75. 0,42. PP ***. ***. Stała. –5,45. ***. Bez stałej i bez trendu. –5,48. ***. Stała i trend. –5,4. ***. –5,34 –5,47. 0,28. ***. ***. –11,68. ***. –11,74. ***. –11,59. ***. gdzie: *, **, *** oznaczają odpowiednio, że hipoteza o pierwiastku jednostkowym została odrzucona na poziomie istotności 10%, 5% i 1%.

(21) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 83. Tabela 3. Wyniki testów ADF, PP dla LOG_KR_P_R Poziom Poziom nominalny. Stała. Postać modelu. Stała i trend Bez stałej i bez trendu. Pierwsza różnica. ADF. –2,61. *. –2,83. –0,92. –0,82. 1,88. 2,55. PP. *. Stała. –3,88. ***. –7,22. ***. Stała i trend. –4,72. ***. –7,93. ***. Bez stałej i bez trendu. –3,43. ***. –6,67. ***. gdzie: *, **, *** oznaczają odpowiednio, że hipoteza o pierwiastku jednostkowym została odrzucona na poziomie istotności 10%, 5% i 1%. Tabela 4. Wyniki testów ADF, PP dla LOG_DEP_L_R Poziom. Postać modelu Stała. Poziom nominalny. Pierwsza różnica. ADF –3,81. PP ***. –4,27. ***. Stała i trend. 0,34. 0,5. Bez stałej i bez trendu. 2,27. 3,78. Stała. –2,22. –6,52. ***. Stała i trend. –3,97. **. –8,55. ***. Bez stałej i bez trendu. –2,03. **. –5,19. ***. gdzie: *, **, *** oznaczają odpowiednio, że hipoteza o pierwiastku jednostkowym została odrzucona na poziomie istotności 10%, 5% i 1%. Jak wynika z testów ADF oraz PP przeprowadzonych dla wszystkich zmiennych modelu, zmienne WIBOR T/N oraz LOG_KRED_P_R są stacjonarne na poziomie pierwszej różnicy, a w przypadku pozostałych zmiennych: LOG_ PROD_R oraz LOG_DEP_L_R wydają się stacjonarne na poziomie nominalnym. Nie przeszkadza to jednak w tworzeniu modelu, ponieważ zmiennych jest więcej niż dwie. Następnym krokiem jest test Johansena, który pozwoli określić liczbę równań kointegrujących, jak również postać modelu VECM..

(22) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 84. Tabela 5. Wyniki testu Johansena Wartości własne. Współczynnik wiarygodności. Wartość krytyczna 5%. Wartość krytyczna 1%. Hipoteza zerowa: hipotetyczna liczba równań kointegrujących. 0,39. 69,648. 54,64. 61,24. żadna **. 0,31. 35,52. 34,55. 40,49. co najwyżej 1 *. 0,135. 10,04. 18,17. 23,46. co najwyżej 2. 0,00086. 0,059. 3,74. 6,40. co najwyżej 3. gdzie: *, ** oznaczają, że na podstawie testu Johansena odrzucono hipotezę zerową na poziomie istotności 5%, 1%. Jak wynika z tabeli 5, istnieją dwa równania kointegrujące, które po oszacowaniu wyglądają następująco (w nawiasach podano wartość statystyki t-Studenta dla oszacowanych parametrów modelu): LOG_PROD_R = 4,0 . LOG_DEP_L_R – 0,0008 . WIBORTN – 0,004 . t – 4,4293 (0,1082). (0,0016). LOG_KR_P_R = (–0,7079) . LOG_DEP_L_R + 0,0049 . WIBORTN + (0,1053). (0,0016) – 0,0014 . t – 1,4913. Wartość funkcji wiarygodności dla oszacowanych równań wyniosła 635,75. Kolejnym krokiem estymacji było oszacowanie modelu VECM, który odzwierciedlałby zależność krótkookresową pomiędzy badanymi zmiennymi. Tabela 6. Oszacowane parametry modelu VECM Błąd. DLOG_PROD_R DLOG_KR_P_R DLOG_DEP_L_R DWIBORTN. Równanie kointegrujące 1. –0,7315 (0,1869). –0,0085 (0,0589). –0,1075 (0,0431). 5,3427 (8,6448). Równanie kointegrujące 2. 0,1581 (0,2049). –0,0360 (0,0645). 0,2351 (0,0472). 10,5457 (9,4782). D(LOG_PROD_R(–1)). 0,0755 (0,1474). 0,0305 (0,0465). 0,0483 (0,0340). 5,3186 (6,8214). D(LOG_PROD_R(–2)). –0,0976 (0,1172). 0,0206 (0,0369). 0,0155 (0,0270). –4,3474 (5,4219).

(23) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 85. cd. tabeli 6 Błąd. DLOG_PROD_R DLOG_KR_P_R DLOG_DEP_L_R DWIBORTN. D(LOG_KR_P_R(–1)). 2,3075 (0,4359). –0,0078 (0,1373). 0,0106 (0,1005). –12,0772 (20,1686). D(LOG_KR_P_R(–2)). 1,2067 (0,5566). –0,0758 (0,1754). 0,0418 (0,1283). 31,1842 (25,7503). D(LOG_DEP_L_R(–1)). –0,4836 (0,5060). 0,0477 (0,1594). –0,2460 (0,1167). –35,2189 (23,4092). D(LOG_DEP_L_R(–2)). 0,0051 (0,5021). –0,0350 (0,1582). –0,2565 (0,1158). –27,6962 (23,2280). D(WIBORTN(–1)). 0,0018 (0,0033). –0,0006 (0,0010). –0,0021 (0,0008). –0,1917 (0,1506). D(WIBORTN(–2)). 0,0062 (0,0029). –0,0016 (0,0009). –0,0019 (0,0007). 0,1745 (0,1332). C. –0,0152 (0,0089). 0,0064 (0,0028). 0,0142 (0,0020). 0,4578 (0,4103). @TREND(97:01). 0,0003 (0,0002). –0,0001 (0,0001). –0,0003 (0,00001). –0,0133 (0,0081). w nawiasach podano wartości statystyki t. Źródło: obliczenia własne na podstawie danych z Biuletynów NBP.. Na podstawie tabeli 6 można zbudować równania reakcji poszczególnych zmiennych na krótkookresowe szoki. Na przykład dla zmiennej LOG_PROD_R będzie to: D(LOG_PROD_R) = – 0,73[LOG_PROD_R(–1) + + 0,0089LOG_DEP_L_R(–1) – 0,0008WIBORTN(–1) – 0,0004t – 4,43] + + 0,16[LOG_KR_P_R(–1) – 0,71LOG_DEP_L_R(–1) + + 0,0049WIBORTN(–1) + 0,0014t – 1,49] + + 0,076D(LOG_PROD_R(–1)) – 0,098D(LOG_PROD_R(–2)) + + 2,3D(LOG_KR_P_R(–1)) + 1,2D(LOG_KR_P_R(–2)) + – 0,48D(LOG_DEP_L_R(–1)) + 0,005D(LOG_DEP_L_R(–2)) + + 0,002D(WIBORTN(–1)) + 0,006D(WIBORTN(–2)) – 0,015 + 0,00029t. Na podstawie uzyskanych równań można zbudować funkcje reakcji na impuls. Jak wynika z uzyskanych wykresów funkcji reakcji, wzrost stopy WIBOR T/N o jedno odchylenie standardowe powodowało wzrost wielkości depozytów (o ok. 0,69%), spadek wielkości kredytów (o ok. 0,69%) oraz niewielki wzrost wielkości produkcji sprzedanej o 0,23%)..

(24) Katarzyna Mikołajczyk, Joanna Wyrobek. 86. 0,004. 0,003 0,002 0,001 0,000. –0,001 –0,002. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. Rys. 1. Reakcja LOG_DEP_L_R na zmianę WIBORTN o jedno odchylenie standardowe Źródło: Response of LOG_DEP_L_R to One S.D. WIBORTN Innovation.. 0,001 0,000 –0,001 –0,002 –0,003 –0,004. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. Rys. 2. Reakcja LOG_KRED_P_R na zmianę WIBORTN o jedno odchylenie standardowe Źródo: Response of LOG_KRED_P_R to One S.D. WIBORTN Innovation.. 0,008 0,006 0,004 0,002 0,000 –0,002. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. Rys. 3. Reakcja LOG_PROD_R na zmianę WIBORTN o jedno odchylenie standardowe Źródo: Response of LOG_PROD_R to One S.D. WIBORTN Innovation..

(25) Możliwości wykorzystania metody autoregresji wektorowej…. 87. Pomimo że uzyskane wyniki nie są zgodne z teorią makroekonomii, jednak podobne wyniki uzyskał T. Łyziak32, na którego modelu wzorowano przedstawiony powyżej przykład praktyczny. Ponadto celem przykładu praktycznego było bardziej przedstawienie metod ekonometrycznych niż poważna analiza kanałów transmisji impulsów polityki pieniężnej33.. Potential for the Use of the Vector Autoregression Method in Monetary Policy The purpose of this article is to present the concept of economic forecast methods that apply autoregression and co-integration. The main advantage of these methods is the avoidance of erroneous conclusions on the relationship between variables when both variables are characterised by a time trend. The authors summarise the steps involved in estimating the model and support their presentation with a brief empirical example.. T. Łyziak, Reakcja aktywów banków komercyjnych na instrumenty oddziaływania banku centralnego, „Bank i Kredyt” 2000, nr 3, s. 47–61. 32. Więcej na temat kanałów transmisji można znaleźć m.in. w: K. Rybiński, Wpływ polityki pieniężnej na proces dezinflacji w Polsce, „Bank i Kredyt” 2000, nr 7–8, s. 56–77; W. Maliszewski, Badanie polityki monetarnej Polski metodą autoregresji wektorowej, „Gospodarka Narodowa” 1999, nr 9, s. 11–25. 33.

(26)