Pokaż, że w modelu Gaussa-Markowa statystyka testowa testu cząstkowego dla porówna- nia modelu o macierzy planu X

Ekonometria 2, zadania

Analiza wariancji w modelu Gaussa-Markowa

1. Niech

Y = Y₀₁ Y₀₂ . . . Y_0n0 Y₁₁ Y₁₂ . . . Y_1n1 . . . Y_k−1,1 Y_k−1,2 . . . Y_k−1,nk−1
0

. Pokaż, że w modelu Gaussa-Markowa statystyka testowa testu cząstkowego dla porówna- nia modelu o macierzy planu

X =









1 1 . . . 1 0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 1 . . . 1 . . . 0 0 . . . 0 . . . .

| {z }

n0

0 0 . . . 0

| {z }

n1

0 0 . . . 0 . . .

| {z }

nk−1

1 1 . . . 1









0

z modelem stałym ma postać:

T = 1 k − 1

k−1

X

i=0

ni(Yi·− Y··)² 1

n − k

k−1

X

i=0 ni

X

j=1

(Y_ij − Y_i·)² ,

gdzie n =

k−1

X

i=0

ni, Yi· = 1 n_i

ni

X

j=1

Yij, Y··= 1 n

k−1

X

i=0 ni

X

j=1

Yij.

2. Niech

Y = Y₀₁ Y₀₂ . . . Y_0n0 Y₁₁ Y₁₂ . . . Y_1n1
0

. Pokaż, że w modelu Gaussa-Markowa o macierzy planu

X = 1 1 . . . 1 0 0 . . . 0

| {z }

n0

0 0 . . . 0

| {z }

n1

1 1 . . . 1

⁰

test brzegowy dla testowania hipotezy H : β₀ = β₁ jest testem Studenta dla dwóch prób niezależnych. Wskazówka: skorzystaj z wyników cząstkowych z poprzedniego zdania, przyjmując k = 2. Posłuż się następującymi oznaczeniami:

Y_0·= 1 n₀

n0

X

j=1

Y_0j, Y_1· = 1 n₁

n1

X

j=1

Y_1j.

Uogólnione modele liniowe

3. Pokaż, kanoniczną funkcją wiążącą dla rodziny rozkładów normalnych N (µ, 1), µ ∈ R, jest funkcja identycznościowa.

4. Rozważamy poissonowski model liniowy z kanoniczną funkcją wiążącą.

(a) Pokaż, że poszukiwanie estymatora największej wiarogodności wektora parametrów w tym modelu prowadzi do równania postaci X⁰Y = X⁰EY (podobnie jak w modelu logitowym).

(b) Wyznacz macierz drugich pochodnych logarytmu funkcji wiarogodności w tym mo- delu.

(c) Wyznacz ciąg aproksymujący estymator największej wiarogodności wektora parame- trów w tym modelu otrzymany dzięki iterowanej ważonej metodzie najmniejszych kwadratów.

5. Uogólniony model liniowy, w którym Y_i ∼ b(1, p_i), i = 1, 2, . . . , n zaś funkcją wiążącą jest funkcja kwantylowa standardowego rozkładu normalnego (tzn. Φ⁻¹(p_i) = Pk−1

j=0x_ijβ_j), i = 1, 2, . . . , n, nazywamy modelem probitowym. Wykaż, że poszukiwanie estyma- tora największej wiarogodności wektora parametrów w tym modelu prowadzi do układu równań postaci:

n

X

i=1

x_iaz_i(Y_i− p_i), a = 0, 1, . . . , k − 1,

gdzie zi = 1 p_i(1 − p_i) φ

k−1

X

j=0

xijβj

!

, i = 1, 2, . . . , n, zaś φ jest gęstością standardowego rozkładu normalnego. Porównaj ten wynik z odpowiednim układem równań dla modelu logitowego. Zwróć uwagę, że w modelu logitowym posługujemy się kanoniczną funkcją wiążącą.

6. Rozważamy model logitowy, w którym

Y = Y₀₁ Y₀₂ . . . Y_0n0 Y₁₁ Y₁₂ . . . Y_1n1
0

, zaś

X = 1 1 . . . 1 1 1 . . . 1

| {z }

n0

0 0 . . . 0

| {z }

n1

1 1 . . . 1

⁰ .

Wykaż, że estymatory metody największej wiarogodności paramtrów p₀ = P (Y_0j = 1), j = 1, 2, . . . , n₀, i p₁ = P (Y_1j = 1), j = 1, 2, . . . , n₁, są postaci:

ˆ

p₀ = Y_0·= 1 n₀

n0

X

j=1

Y_0j i pˆ₁ = Y_1·= 1 n₁

n1

X

j=1

Y_1j.

Zwróć uwagę, że taki same estymatory otrzymamy, gdy weźmiemy X = 1 1 . . . 1 0 0 . . . 0

| {z }

n0

0 0 . . . 0

| {z }

n1

1 1 . . . 1

0

(jako że kolumny obu macierzy rozpinają tę samą przestrzeń liniową). Wskazówka: wyjdź od równania X⁰Y = X⁰EY .

Elementy teorii szeregów czasowych 7. Udowodnij nierówność Schwarza:

Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y określonych na tej samej przestrzeni probabi- listycznej jeśli EX² i EY² istnieją, to

|Cov(X, Y )| ≤p

V ar(X) · V ar(Y ).

Równość w powyższej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby a, b, c ∈ R, że a 6= 0 lub b 6= 0 i P (aX + bY = c) = 1.

8. Pokaż, że jeśli dwa procesy stacjonarne (w szerszym sensie) {X_t}_t∈Z i {Y_t}_t∈Z są niesko- relowane tzn.

∀ s ∈ Z ∀ t ∈ Z Cov(Xs, Y_t) = 0,

to proces {X_t+ Y_t}_t∈Zrównież jest stacjonarny (w szerszym sensie). Wyznacz jego funkcję autokowariancji i autokorelacji. Posłuż się następującymi oznaczeniami: µ_X = EX₀, µ_Y = EY₀, γ_X(h) = Cov(X₀, X_h), γ_Y(h) = Cov(Y₀, Y_h).

9. Niech {Z_t} ∼ W N (0, σ²) i niech a, b ∈ R. Sprawdź, czy proces {Xt} jest stacjonarny i jeśli tak, to podaj jego wartość oczekiwaną, funkcję autokowariancji i funkcję autokorelacji, jeśli

(a) X_t= Z_tcos at + Z_t−1sin at, (b) Xt= a + bZ₀,

(c) X_t= Z₀cos at, (d) Xt= Z_tZ_t−1.

10. Niech {Z_t}_t∈R będzie szumem gaussowskim o średniej 0 i wariancji 1. Pokaż, że wówczas proces {Xt}_t∈R zdefiniowany jako

X_t=











Zk, t = 2k Z_k²− 1

√2 , t = 2k + 1

jest białym szumem (choć nie jest IID-szumem).

11. Które z następujących funkcji zdefiniowanych na zbiorze liczb całkowitych są funkcjami autokorelacji procesów stacjonarnych:

(a) f (h) = 1 dla h = 0 oraz f (h) = ¹_h dla h 6= 0, (b) f (h) = (−1)^h,

(c) f (h) = 1 + cos^πh₂ + cos^πh₄ , (d) f (h) = 1 + cos^πh₂ − cos^πh₄ ,

(e) f (h) = 1 dla h = 0, f (h) = ¹₂ dla h ∈ {−1, 1} i f (h) = 0 poza tym?