Wzory i własności
Własności prawdopodobieństwa: (A. N. Kołmogorow)
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A jest zawsze liczbą z przedziału < 0 ÷ 1 >
0 ≤ P(A) ≤ 1
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1.
P(Ω) = 1
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0.
Przydatne wzory:
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
P(A′) = 1 − P(A)
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B ∩C)
Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń
Prawdopodobieństwo warunkowe
:
Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B
Prawdopodobieństwo warunkowe:
Jest ono zdefiniowane przez zależność
(
A
B
)
P
(
A
B
)
P
( )
B
P
(
B
A
)
P
( )
A
P
∩
=
|
⋅
=
|
⋅
Jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to
(
A
B
)
P
( ) ( )
A
P
B
P
∩
=
⋅
(
A
B
)
P
( )
A
P
|
=
Prawdopodobieństwo warunkowe:
Zależność
(
A
B
)
P
(
A
B
)
P
( )
B
P
(
B
A
)
P
( )
A
P
∩
=
|
⋅
=
|
⋅
można zapisać w formie tzw. Twierdzenia Bayesa
)
(
)
(
)
|
(
)
|
(
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P
=
⋅
Ilustracja twierdzenia Bayesa:
Załóżmy, że badamy rozpad pewnej niestabilnej cząstki.
Oprócz przypadków nas interesujących, licznik włączają również inne reakcje, tzw. tło.
P(B) - prawdopodobieństwo rejestracji dowolnego przypadku; P(A) - prawdopodobieństwo zajścia interesującej nas reakcji; P(B | A) - prawdopodobieństwo rejestracji tej reakcji;
P(A | B) - prawdopodobieństwo tego, że dana reakcja jest poszukiwanym przez nas rozpadem;
P(A | B) można ocenić ze wzoru Bayesa; P(B) można zmierzyć;
P(A) znane z innych doświadczeń;
P(B | A) można wyznaczyć znając wydajność licznika i tzw geometrię eksperymentu.
Prawdopodobieństwo całkowite:
Jeżeli zdarzenia A1, A2,..., An są parami rozłączne
oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi wzór:
Z trzech aksjomatów prawdopodobieństwa i z definicji prawdopodobieństwa warunkowego uzyskuje się prawo całkowitego prawdopodobieństwa,
gdzie podzbiór A mógłby na przykład należeć do Ai dla dowolnego podzbioru B i dla rozłącznego Ai z ∪i Ai = S.
Zadanie 1.
O zdarzeniach A oraz B zawartych w Ω wiadomo, że
P(A)=56, P(B)=23
i A∪B jest zdarzeniem pewnym.
Wtedy
A. P(A∩B)=1 / 2 B. P(A∩B)=1 / 3 C. P(A∩B)=1 / 4 D. P(A∩B)=1 / 6
Zadanie 2.
Jeżeli A jest zdarzeniem losowym
oraz A′ jest zdarzeniem przeciwnym do A i
P(A)=5⋅P(A′),
to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 4 / 5
B. 1 / 5 C. 1 / 6 D. 5 / 6
Zadanie 3.
Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi,
B′ jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A)=0,3,
P(B′)=0,4 oraz A∩B=0,
to P(A∪B) jest równe A. 0,12 B. 0,18 C. 0,6 D. 0,9
Zadanie 4.
O zdarzeniach losowych A i B zawartych w Ω wiadomo, że
B⊂A, P(A)=0,7 i P(B)=0,3. Wtedy A. P(A∪B)=1 B. P(A∪B)=0,7 C. P(A∪B)=0,4 D. P(A∪B)=0,3
Zadanie 5.
A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że A⊂B oraz
P(A)=0,3 i P(B)=0,4
Zadanie 6.
A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że A⊂B oraz
P(A)=0,3 i P(B)=0,7
Zadanie 7.
Wiadomo, że A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że
P(A)=0,7, P(B)=0,6 i P(A∪B)=0,8.
Zadanie 8.
Jeżeli A jest zdarzeniem losowym,
a A′ - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A) = 2 P(A′) , to
A. P(A)=2 / 3 B. P(A)=1 / 2 C. P(A)=1 / 3 D. P(A)=1 / 6
