M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Zadania zamkni˛ete

Z

1

Dla dowolnych liczb x >0, x 6=1, y >0, y 6=1 warto´s´c wyra ˙zenia  log√ x√3 y  ·log_y√4 _x jest równa A) ₁₂1 B) ₁₈1 C) ₂₄1 D) 1₆

Z

2

Która z poni ˙zszych funkcji jest rosn ˛aca w zbiorze₍₋∞,+∞)? A) f(x) = x3+5x2_{+10 B) f(x) = x}4₊₁ C) f(x) = x3−9x2+27x−27 D) f(x) = x5−x

Z

3

Wiadomo, ˙ze w´sród pierwiastków wielomianu 330x4−371x3+141x2−21x+1 s ˛a odwrot-no´sci czterech ró ˙znych liczb pierwszych. Mediana wszystkich pierwiastków tego wielomia-nu jest równa

A) ₁₅4 B) ₁₅8 C) ₁₂5 D) ₃₅6

Z

4

Boki równoległoboku ABCD maj ˛a długo´sci 2 i 5, a jego dłu ˙zsza przek ˛atna ma długo´s´c 6.

A

_B

D

C

Pole tego równoległoboku jest równe

A)√39 B) 48 C) 48√3 D) 3₂√39

Z

5

Zbiorem rozwi ˛aza ´n nierówno´sci 2x+1 ₆₆x_{jest przedział}

A)_hlog₂3,+∞) B)(−∞, log₃2i C)(−∞, log₂3i D)hlog₃2,+∞)

Z

6

Oblicz granic˛e lim n→+_∞  8n−9n2 5n2−7n−3n3+5− 1−n4 5n3+2  . 3

Z

7

Dana jest funkcja f okre´slona wzorem f(x) = 7−16x2

x2+3 dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x. Oblicz warto´s´c f′_{(−9)pochodnej tej funkcji dla argumentu−9.}

Z

8

Dany jest niesko ´nczony ci ˛ag geometryczny(an)okre´slony dla n > 1, w którym a1<0. Suma S wszystkich wyrazów tego ci ˛agu jest sko ´nczona i spełnia nierówno´s´c S > 4a2. Wyznacz iloraz tego ci ˛agu.

Z

9

Na bokach AB i AC trójk ˛ata ABC wybrano odpowiednio punkty K i L w ten sposób, ˙ze |BK_{| = |}AL_|. Punkt D jest ´srodkiem odcinka BC. Przez punkty K i L poprowadzono pro-ste równoległe do AD, które wyznaczyły na boku BC punkty E i F odpowiednio (zobacz rysunek). Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli|BC_{| =}2_|EF_|, to_|AB_{| = |}AC_|.

A

B

C

K

L

E

F

D

Z

10

Funkcja f jest wielomianem stopnia 3, a jej wykres znajduje si˛e powy ˙zej osi Ox na zbiorze (−∞,−3) ∪ (−3, 1). Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x = −3₂ je ˙zeli wiadomo, ˙ze styczna ta jest równoległa do prostej 4y−7x+2=0.

Z

11

Wyka ˙z, ˙ze 3 sinπ 9 −sin

π

3 =4 sin3 π₉.

Z

12

Czterdzie´sci osób usadzono w sposób losowy przy czterech dziesi˛ecioosobowych okr ˛agłych stołach. Oblicz prawdopodobie ´nstwo zdarzenia polegaj ˛acego na tym, ˙ze trzy ustalone wcze-´sniej osoby siedz ˛a przy jednym stole.

Z

13

Na boku AB trójk ˛ata ABC wybrano punkt D w ten sposób, ˙ze|AD_{| =} 3_|BD_{| =} 3. Bok BC tego trójk ˛ata ma długo´s´c 2. Oblicz stosunek długo´sci odcinków AC i DC.

A

_B

D

C

3

1

2

Z

14

Punkt S= 1, 5₂

le ˙zy wewn ˛atrz figury F opisanej układem nierówno´sci (

x >2|y−3| −8 x 610−2|y−2|.

Wyznacz równanie najwi˛ekszego okr˛egu o ´srodku S, który jest zawarty wewn ˛atrz figury F.

Z

15

Wielomian okre´slony wzorem W(x_{) =} 2x3_{+ (}m3₋1₎x2₋11x₋2₍8m₊1₎ jest podzielny przez dwumian(x₊2₎oraz przy dzieleniu przez dwumian₍x₋1₎daje reszt˛e 12. Oblicz m i dla wyznaczonej warto´sci m rozwi ˛a˙z nierówno´s´c W(x₎>0.

Z

16

Obj˛eto´s´c graniastosłupa prawidłowego trójk ˛atnego jest równa 8, a przek ˛atne dwóch ´scian bocznych poprowadzone z jednego wierzchołka tworz ˛ak ˛at α. Oblicz długo´s´c kraw˛edzi pod-stawy tego graniastosłupa.

Z

17

Rozpatrujemy trapezy równoramienne ABCD o przek ˛atnej długo´sci 1 i sumie długo´sci pod-staw równej x. Zapisz pole trapezu ABCD jako funkcj˛e zmiennej x. Wyznacz dziedzin˛e tej funkcji i oblicz sum˛e długo´sci podstaw tego z rozwa ˙zanych trapezów, którego pole jest naj-wi˛eksze. Oblicz to najwi˛eksze pole.