9.1. Koo.pdf

(1)

9. 1. KOŁO

Odcinki w okręgu i kole

Cięciwa okręgu (koła) – odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu

Średnica okręgu (koła) – odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu przechodzący przez środek okręgu (koła)

Promień okręgu ( koła) – kaŜdy odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu.

r

d

2

1 =

Kąty w okręgu

Kąt środkowy α w okręgu (kole) – kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu.

kąt środkowy ASB jest oparty na łuku ACB

A C B

W

β Kąt wpisany β w okrąg (koło) – kąt , którego wierzchołek leŜy na okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy okręgu . A B

C kąt wpisany AWB jest oparty na łuku ACB

d

r

S α

•S

S•

•S

(2)

Twierdzenia dotyczące kątów środkowych i wpisanych

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

α

Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku

Przykład 9.1.1. KaŜdy rysunek przedstawia okrąg o środku S. Oblicz miary kątów

trójkąta ABC.

°

=

55 α

Rozwiązanie

Komentarz

Miara kąta CBA jest równa

55 °

Kąt CBA jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku

co kąt

α

.

Zatem na podstawie twierdzenia : Kąty wpisane

oparte na tym samym łuku są równe, kąt CBA jest równy

kątowi

α

Miara kąta ACB jest równa

90 °

Kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku

co kąt środkowy ASB, który ma miarę

180 .

°

Zatem na

podstawie twierdzenia : Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego

opartego na tym samym łuku, kąt ACB jest równy połowie kąta ASB.

Miara kąta BAC jest równa

35 °

Miarę kąta BAC obliczamy korzystając z własności: Suma

kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180 .

°

α α

2 α

S

(3)

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności

·

Przykład 9.1.2. Styczne do okręgu o promieniu 5cm przecinają się pod kątem 80° .

Jaka jest odległość punktu przecięcia stycznych od środka okręgu ?

Wynik podaj z dokładnością do pełnych cm .

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane:

°

=

40 α

K

cm

r

=

5

Analiza zadania.

Styczna jest prostopadła do okręgu , zatem trójkąt ASB jest prostokątny. Kątem prostym jest kąt SBA.

K

r

=

α

sin

K

5

40 sin

°

=

cm

K

8 6428

,

0 :

/

5 6428

,

0 /

5 6428

,

0 ≈

=

⋅

=

K obliczamy korzystając z funkcji sinus:

stokatna

przeciwpro

naprzeciw

katna

przyprosto

α

_

sin

=

Z tablic z przybliŜonymi wartościami funkcji trygonometrycznych odczytujemy przybliŜoną

wartość

sin

40 °

≈

0 ,

6428

.

Wynik podajemy z dokładnością do pełnych cm .

(4)

Pole wycinka koła i długość łuku

Wzór na pole wycinka koła 2

360 r

P

⋅

°

=

α

π

Wzór na długość łuku

l

⋅

r

°

=

α

2 π

360 Przykład 9.1.3. Punkty A, B leŜą na okręgu o średnicy 10 cm, Odległość między punktami

A i B wynosi 5 cm . Ile jest równa długość łuku AB ?

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane:

cm

r

10

2 =

l

– długość łuku

cm

a

=

5

Analiza zadania.

5 =

r

°

=

60 α

_{trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym.}

AB

=

AS

=

BS

=

5 cm

, zatem

W trójkącie równobocznym kaŜdy kąt ma

miarę

60 °

.

3

5

6

10

5

2

360

60 π

π

=

⋅

°

=

l

Obliczamy długość łuku

∩

AB

korzystając ze wzoru:

l

⋅

r

°

=

α

2 π

360 α

l

r

(5)

Pole i obwód koła

Wzór na pole koła

P

=

π

⋅

r

2

Wzór na obwód koła ( długość okręgu)

Ob

=

2 π

⋅

r

Przykład 9.1.4. Ile cali powinna mieć średnica koła roweru, aby na trasie o długości 1 km

koło obróciło się 433 razy.(1cal = 2,54 cm)

Rozwiązanie

Komentarz

Dane : Szukane:

km

s

=

1

2 r

433 =

o

o – ilość obrotów

cal

cm

km

s

39370

,

078

54 ,

2 100000

100000

1 =

=

Analiza zadania. Zamieniamy km na cale.

433

078 ,

39370

=

o

s

Ob

Obliczamy obwód koła, które na drodze s wykonuje o = 433 obroty.

14 ,

3 :

/

433

078 ,

39370

14 ,

3

2

433

078 ,

39370

2 =

⋅

=

r

π

29

2 r

≈

Odp. Koło ma średnicę około 29 cali.

Obliczamy średnicę koła wykorzystując

wzór na obwód koła

Ob

=

2 π

⋅

r

i

przyjmując, Ŝe

π

=

3 ,

14

(6)

Przykład 9.1.5. Z materiału w kształcie kwadratu o boku 40 cm wycięto koło o maksymalnej

średnicy. Oblicz pole skrawków, które pozostaną po wycięciu koła.

Wynik zaokrąglij do dwóch cyfr po przecinku.

Rozwiązanie

Komentarz

Dane: Szukane: Wzory:

cm

a

=

40 P

P

=

a

2

−

π

⋅

r

2

Analiza zadania.

Jeśli z materiału w kształcie kwadratu wycięto koło o największej średnicy , to koło jest wpisane w ten kwadrat.

Pole skrawków jest równe róŜnicy pola kwadratu i pola koła.

20

2

1 =

=

a

r

344

20

14 ,

3

40

2

−

⋅

2

=

≈

P

Odp. Pole skrawków jest równe około

344 cm

2

Promień koła jest równy połowie boku kwadratu.

Obliczamy P przyjmując, Ŝe

π

=

3 ,

14 Ć

_WICZENIA

Ćwiczenie 9.1.1. (3pkt )

Promień okręgu jest równy r. Znajdź kąty

α

,

β

,

γ

.

a)(3pkt.) b) (3pkt.) c)(3pkt.)

S γ β α

r

S

r

γ α β S α β γ

r

(7)

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wartości kąta α

1

2 Podanie wartości kąta β

1

3 Podanie wartości kąta γ

1 Ćwiczenie 9.1.2. (2pkt )

Dane są dwa okręgi współśrodkowe. Cięciwa większego okręgu

styczna do mniejszego okręgu ma długość 10 cm . Oblicz pole pierścienia

utworzonego przez te okręgi.

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wartości róŜnicy

2

_r

R

−

,

gdzie R – promień większego okręgu, r – promień mniejszego okręgu.

1

2 Podanie pola pierścienia utworzonego przez okręgi

1 Ćwiczenie 9.1.3. (3pkt )

Długość średnicy koła jest równa 20 cm . Oblicz , ile obrotów w

ciągu godziny wykona to koło, gdy samochód jedzie z prędkością 70 km/h

schemat oceniania

Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie drogi w cm jaką przejedzie koło w ciągu godziny.

1

2 Podanie obwodu koła. NaleŜy przyjąć, Ŝe

π

=

3 ,

14

.

₁

3 Podanie ilości obrotów wykonanych przez koło w