CBA  1,2,1,5,2,6,1,1,3 a 

(1)

Działania na wektorach. Zastosowania iloczynu skalarnego i wektorowego

1. Dane są wektory a 



5,6,1



, b 



4,3,1



, c 



1,2,3



. Obliczyć wartość wyrażenia

2

2 2 2

3a  abbc c .

Odp. 231 2. Dane są wektory a 



²^,³^,⁴



^, b



¹^,⁰^,¹



^, c



²^,¹^,²



. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów

c b a v b a

u2,  2.

Odp

.

u  v ⁵⁸ 3. Dane są wektory a 



²^,¹^,²



^, b



²^,¹^,¹



^, c



¹^,²^,¹



. Znaleźć cosinusy kata między

wektorami a i d

, jeżeli d a₂b b₂c c₂a



 .

Odp.

 

26 3 , 11 cosa d  4. Dane są wektory a



1,3,3



, b 



0,3,4



, c



1,2,1



. Znaleźć długość wektora

 

a bc b a



a c



b

d        







 ²

25

2 1 .

Odp. 83

5. Czy czworokąt o wierzchołkach A



³^,⁵^,⁶



^, B



¹^,⁵^,⁷



^, C



⁸^,³^,¹



^, D



⁴^,⁷^,²



jest kwadratem?

Odp. Tak 6. Obliczyć:

a) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach u3i2jk, vij2k. Odp.

3 5

b) pole trójkąta o wierzchołkach A



3,4,3



, B



6,2,3



, C



0,1,5



. Odp. 24,5

7. Dane są wierzchołki trójkąta A



3,1,1



, B



6,2,5



, C



1,2,1



. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B na bok AC.

Odp. 5

8. Dany jest czworościan o wierzchołkach A



3,1,1



, B



1,4,1



, C



1,1,7



, D



3,4,9



. Obliczyć jego objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D. Odp.

14 ,

14 

 h

V

9. Obliczyć objętość równoległościanu wyznaczonego przez punkty



1,0,3



, B



1,2,0



, C



3,0,4



, D



0,1,3



A .

Odp. 4 10. Sprawdzić, czy punkty A



¹^,¹^,¹



^, B



⁰^,¹^,²



^, C



¹^,³^,⁰



^, D



⁵^,⁰^,⁴



należą do jednej

płaszczyzny.

Zadanie 11

Dane są punkty A=(1, -1) B=(3, 5) C=(-7, 11). Punkt M jest środkiem odcinka AB, a N środkiem odcinka BC.

Oblicz współrzędne i długości następujących wektorów.

a) , ,

b) + +

c)

d) + +

12)Wskaż wektor przeciwny do wektora u⃗ =[3,−5]. Odp [-3,5] (dlaczego?) 13Oblicz długości wektorów: a)u⃗ =[6,3] b) AB⃗, gdzie A=(5,2) i B=(1,2).

14)Oblicz sumę wektorów u⃗ =[3,−1] i v⃗ =[2,2].

15)Dane są dwa niezerowe wektory u⃗ i v⃗ takie, że: u⃗ =[3p+1,2], v⃗ =[4,−2p].

(2)

Oblicz parametr p tak by a) wektory były równe b) aby trójkąt rozpięty na wektorach u⃗ i v⃗ był równoramienny.

2

(3)

Przykład 1

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji y = f(x) o 5 jednostek w górę, wówczas dla tych samych argumentów x otrzymamy wartości funkcji y większe o 5.

y = f(x) po przesunięciu y = f(x) + 5

Niech f oznacza funkcję określoną wzorem y = x² + 2x + 2.

Po przesunięciu wykresu tej funkcji o 5 jednostek w górę otrzymamy funkcję y = f(x) + 5, czyliy = (x² + 2x + 2) + 5

y = x² + 2x + 7 Przykład 2

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji y = f(x) o 2 jednostki w dół, wówczas dla tych samych argumentów x otrzymamy wartości funkcji y mniejsze o 2.

y = f(x) po przesunięciu y = f(x) - 2

Po przesunięciu wykresu tej funkcji o 2 jednostki w dół otrzymamy funkcję y = f(x) - 2, czyli y = (x² + 2x + 2) - 2

y = x² + 2x Przykład 3

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji y = f(x) o 5 jednostek w prawo, wówczas funkcja nie zmienia swych wartości, a zmieniają się tylko jej argumenty. Ponieważ na osi x liczby rosną w prawą stronę, aby przy przesunięciu wartości funkcji (y) pozostawały takie same, pierwotne wartości argumentów funkcji muszą być pomniejszane.

y = f(x) po przesunięciu y = f(x-5)

Po przesunięciu wykresu tej funkcji o 5 jednostek w prawo otrzymamy funkcję y = f(x-5) , czyli y = (x-5)² + 2(x-5) + 2 Po przekształceniu y = x² - 12x + 17.

Przykład 4

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji y = f(x) o 3 jednostek w lewo, wówczas funkcja nie zmienia swych wartości, a zmieniają się tylko jej argumenty. Ponieważ na osi x liczby rosną w prawą stronę, aby przy przesunięciu wartości funkcji (y) pozostawały takie same, pierwotne wartości argumentów funkcji muszą być powiększane.

y = f(x) po przesunięciu y = f(x + 3)

Po przesunięciu wykresu tej funkcji o 3 jednostek w lewo otrzymamy funkcję y = f(x+3) , czyli y = (x+3)² + 2(x+3) + 2 Po przekształceniu y = x² + 8x + 17.

ZADANIA

a)y = 2x³ + 2x + 2, przesun o wektor u=[1,2] podpowiedz – przesun o 1 w prawo a potem o 2 w gore b)y = x² - 4x + 1, przesun o wektor u=[2,-2], c)y = -x³ + 7x + 5, przesun o wektor u=[0,5]

d)y = -x⁴ + x - 2, przesun o wektor u=[-1,7], e)y = 2x³ + 2x + 2, przesun o wektor u=[-1,-1]

Zadanie

W jaki sposób należy przesuną wykres funkcji f, aby otrzymać wykres funkcji g , jeżeli:

a) f(x) = 2(x – 3)² + 5 g(x) = 2(x+3)² , b) f(x) = x²+x g(x) =(x-1)² + x-1.

(4)

4