Une condition équivalente a la mesurabilité d'une fonction de deux variables

(1)

ZESZYTY NAUKOWE WYŻSZEJ SZKOŁY PEDAGOGICZNEJ W BYDGOSZCZY Problem y Matema ty c z n e 1982 z . 3

WŁODZIMIERZ ŚLĘZAK Bydgoszcz

UNE CONDITION ÉQUIVALENTE A LA MESURABILITÉ D'UNE PONCTION DE DEUX VARIABLES

S o it R l 'e s p a c e des nombres r é e l s . Pour une fo n c tio n quelcon que f : R —*-R posons

Aa ( f ] = j x : a < f(x )| - e t Ab (f ] = | x : f (x) < b | .

щ . . Convenons de d ir e que l a d e n s ité e x t é r ie u r e s u p é r ie u re Dg (x ,E j de l'e n s e m b le £ c R au p o in t x , a p p a rte n a n t ou non â l'e n s e m b le E, e s t é g a le à d lo r s q u 'o n a

m*IE Л Гх-h .x + k l) lim sup --- 1— г ? Г — x = d ,

0-ch ,k-»0 ü

l 'e x p r e s s i o n au n um érateur in d iq u a n t l a mesure e x t é r ie u r e de l a p a r t i e de E com prise e n tr e x -h e t x+k. On d é f i n i t de même f a c on la d e n s ité e x t é r ie u r e in f é r i e u r e e t l a d e n s ité to u t c o u rt -( v o ir [ 16] e t [ l l ] , p . b . ) .

Pour une fo n c tio n de deux v a r ia b l e s f:R ^ —* R posons

f x ^ = e t = f Ь »у) •

Ce so n t l e s s e c t io n s de l a fo n c tio n f co rresp o n d an t aux v a le u r s x e R / r e s p . y e R / f i x e e s . Dans p ré s e n t t r a v a i l , nous a llo n s r é - fo lm u le r l e s r é s u l t a t s de Z.Grande de [1 0 ] aux term s des ensem b le s a s s o c ié s / v o ir [1]/ en obtenant une n o u v e lle c o n d itio n équ i v a le n t e à l a m e s u r a b ilit é au sen s de Lebesgue d 'u n e f o n c tio n f : R 2—* R . Dans l e t r a v a i l [1 0 ] Z.Grande a in t r o d u it l a d e f in it io n

(2)

s u iv a n t e .

D é f in itio n 1. Une fo n c tio n m esurable f :R —*R e s t d i t e dégéné r é e au p o in t x Qé- R l o r s q u ' i l e x i s t e un i n t e r v a l l e o u v ert U = ( a ; b ) c R t e l que f ( x ) U e t que xq e s t un p o in t de d is p e r s io n de l'e n s e m b le f Нц) = | x : a < f ( x ) < b j = A ^ f ) /> A ^ f j c ' e s t - à - d ir e Ds ( x o, f " 1 (u)) = 0 .

On v o i t , que ce so n t l e s p r o p r ié t é s d es im ages r é c ip r o q u e s d 'u n e b ase to p o lo g iq u e de l'e s p a c e R, q u i jo u ie n t l a r ô l e fo n dam en tale dans c e t t e d é f i n i t i o n . Dans c e t a r t i c l e on expose l e s conséq uences de re m p la c e r dans l a d é f i n i t i o n 1 des im ages r é c ip ro q u es d 'u n e base p a r c e l l e s d 'u n e d e m i-b a se . Dans c e t but nous a l lo n s a c c e p te r l a d é f i n it io n p lu s l a r g e .

D é f in itio n 2 . On d i t , que une f o n c t io n m esu rab le F :R -*-R e s t dé g én é ré e au p o in t x e R l o r s q u ' i l e x i s t e un nombre b e R t e l que

о Ъ

1/ f ( x j < b, 2/ xq e s t un p o in t de d is p e r s io n d e l'e n s e m b le A (f). Une f o n c tio n m esurable g:R -^ R e s t d i t e f-d é g é n é ré e au p o in t Xq£- H, lo r s q u e l a fo n c tio n f = - g e s t ^ -d égén érée en ce p o in t xq.

P ro p o s itio n 1. S i l a fo n c tio n m esu rab le f:R ~ ^ R e s t 'f’- d é g é - n fé e au p o in t XQe H ou b ie n j,—d ég én érée au p o in t x q €.R , e l l e est a u s s i d égén érée au sen s de l a d é f i n it io n 1, en ce p o in t xq.

D ém onstration. S o it f une f o n c tio n ^—d égén érée au p o in t xq. I l en r é s u l t e que x e s t un p o in t de d is p e r s io n de l'e n s e m b le Àa (f) = f “ 1( ( a , oû)J pour c e r t a i n a e R . S o it b e R un p o in t t e l que b ? f ( x o) > a . Remarquons que f(.XQ) c ( a , b ) e t f 1 ^ (a ,b )) = Aa ( f ) 0 A b( f ) c A a ( f ) . En se s e r v a n t des f a i t s co n cern an t l a me

su re on v é r i f i e f a c ile m e n t que l a d e n s ité s u p é r ie u r e de l'e n se m » b le f “ 1((a ,b )) au p o in t x q ne d ép asse p as l a d e n s ité de l'e n s e m b le A ( f ) en ce p o in t . E lle s 'a n n u le donc, comme f e s t une fo n -_3, ctio n f - dégénérée au x q. La f o n c tio n f est donc d ég én érée au sens do l a d é f i n it io n 1.L a même méthode peut ê t r e a p p liq u é e au  s s i aux fonctions j,- d é g é n é ré e s. □

(3)

- 39 _

V o ic i deux exem p les, q u i exprim ent une in é q u iv a le n c e e n tr e d é f i n it io n s 1 e t 2 .

x Ć 0 Exemple 1 . l a fo n c t io n R $ x i - > t ( x ) =

; x = 0

n ' e s t n i f.- d é é é n é ré e , n i d égén érée au p o in t xq= 0 , c a r pour to u s l e s nombres f i n i s a< 0 e t b > 0 l a d e n s ité de l'e n s e m b le Aa W au p o in t x q = 0 e s t é g a le à ~ ~ e t l a d e n s ité de l'e n s e m  b le A ^(f] e s t l â - bas a u s s i é g a le à . Cependant x q = 0 e s t un p o in t i s o l é de l'e n s e m b le f “ 1( ( a , b ) ) « Aa ( f j 0 Ab ( f j . Le p o in t x q = 0 e s t donc un p o in t de d is p e r s io n de c e t ensemble e t f e s t d égén érée a u p o in t x q = 0 au se n s de l a d é f i n it io n 1. On s a i t , que chaque d é r iv é e b o rn ée, r i 'e s t n i f - d é g é n é ré e , n i j , - d é g é n é ré e en aucun p o in t . M ais, m a ig re c e l a e l l e p eu t e t r e de'genéree p a r exemple au xq = 0 . En e f f e t posons 0 <"x ^ l/ n 3 , l/ n 3 < x ^ l / 2 - 1/n3 , 1/2 - l/ n 3C x ^ l / 2 + 1/n3 , l/2 + 1/n3< x^"1 - 1/n3 , f n ^ ) = r _n3x 1 * 3 ( ] -1 3 -n \ V 0 n3 ( l - x ] 1 - 1/nJ < X < 1 C e là é t a n t , formons l a f o n c tio n : 00 Э х ! —2> g (x ) = f n ( n 2X + nx - n ) - 2 “. “ SX - n 2x )e H . n=2 n=2

Eemarquons, que l a fo n c tio n g e s t b ie n d é f i n ie , comme, q u e l que s o i t l a . p o in t x & R , e l l e ne s 'a n n u le au p lu s s u r une des compo

(4)

4 0 -s a n te -s de l a -s é r i e à d r o i t e , Ch v o it f a c ile m e n t que g (o ) = 0 e t que |g(x)| $ 1 , g(-x) = - g (x ) en to u t p o in t x . S o it h un nombre p o s i t i f . D ésignohs p ar n^ l ' e n t i e r de 1/h. I l e s t é v id e n te , que — L - * h < - 3 -

V 1

nh

I l en d éco u le que J g t d t I < I “ y g t d t

j

=

V

d t = — L- - j - = 0 1 / n . +1 1 1 / n , +1 % l i h

1

V v 1) d 'o ù i l v ie n t | - J - / g ( t ) d t + l ) - ^ T 7 J où nous avons u t i l i s é du f a i t , que <T n^ + 1 .

Nous avons d é jà m ontré, que g e s t une d é r iv é e b o rn ée. I l e s t m a n ife s te que

**0 ^ »(i*= l« W U i l H - h u ü - ^ f b i - 1 . ( { „ I**

j

W U

hj.

Ł + 1 . = ---

2

--- 2m(|xî |g(x)}< l} .n | o fh ] ) . Du С "1 f a i t [o » h j С

j

v j;y ; —

J—

i l r é s u l t e que m({xs |g(x)) < 1 } n [ 0 ,h ] ^ 2 , — J , ^ ^ " V • 1 J k=nh k*(k+ l) k=nfa k4

Pour v é r i f i e r c e s i n é g a l i t é s rem arquons, que chaque i n t e r v a l - - t * - ■; ~~J e s t l a somme des P p e t i t s i n t e r v a l l e s congru e n t s . Seulem ent l e s 4 de ęux a p p a r t ie n t à l'im a g e ré c ip ro q u e g” ( ( - u . ) ) , d 'o ù i l v ie n t n o tre e s t im a t io n . I l d éc o u le de c e s

(5)

_ 41

-ra iso n n e m e n ts que

En p o san t U = ( - 1 ,1 ) nous voyons: g e s t dégén érée au p o in t xq= 0 . ' La d e n s ité s u p é r ie u r e de l'e n s e m b le à a (g] siu p o in t x q =

jo

e s t é g a le au moins 1/2, q u e l que s o i t l e nombre a < 0 , c ' e s t - à - d i r e l a f o n c tio n g n 'e s t p as d égén érée au p o in t x q = 0 . Pu is q u e l a f o n c tio n g e s t im p a ire , e l l e n 'e s t d égén érée non - p lu s . Donc l a fo n c tio n g a to u te s l e s p r o p r ié t é s e x ig é e s .

D é f in itio n 3 . ([11] , d é f i n it io n 4 ) On d i t qu'une fo n c tio n f : H — possède l a p r o p r ié t é (&) lo r s q u e , q u e ls que s o ie n t un ensem ble A cE m esurable de mesure m(A) p o s it iv e e t l a nombre j > 0 , i l e x i s t e un i n t e r v a l l e o uvert U cE t e l que т (А л и ^ > 0 e t ose f< £ s u r l'e n s e m b le de to u s l e s p o in t s de d e n s ité de l'e n se m b le A n U , c 'e s t - à - d i r e s u r l e d - i n t e r i e u r de l'e n s e m b le A f\ D

( v . [ 6 ] ) .

T o utes l e s f o n c tio n s f : E —>-R de p rem ière c l a s s e de B a ire ont l a p r o p r ié t é (g) . I l e x i s t e des f o n c tio n s n o n -b o ré llie n n e s q u i a p p a r t ie n t à l a c l a s s e de to u te s l e s fo n c tio n s a y a n t l a p ro p r ié té . (g) .

T oute f o n c tio n f : R — a y a n t l a p r o p r ié t é (g) e s t m esurable (v . [ 1 1 ] ) .

Hous u sé ro n s dans ce q u i s u i t l e s r é s u l t a t s s u iv a n t s .

Lemme 1 . ( [5] , Ы , [8j ) * S o it (x ,ÎIJ,^ )u n esp ace m esurable iavec l a m esure ß lf in ie y H . ‘ Supposons q u 'un e f o n c tio n f :X —»H s o i t t e l l e q u e, q u e l s o i t l e nombre ,1 a c l a s s e d 'en sem b les

De = j D e

Ш

: ose f ^

t J

s a t i s f a s s e à l a c o n d itio n s u iv a n te :

(6)

42

-ensem ble D e | ){ t e l que D e l et/<(p)> 0 .

Dans c e s h yp o th èses l a f o n c tio n f e s t / i- m e s u r a b le , où ^ d é s i g n e l a com plété de l a mesure

* Lemme 2 . ( 7 ] . lemme 2} [ 8 ] , p . 1 5 7 ). S o it A cR ^ un ensem ble m ^-m esurable. Dans c e s h yp o th èses i l e x i s t e un ensem ble В du t y pe Ify e t t e l que m2 (A \ B ) = 0 e t B c+ B c ' e s t - à - d i r e : 1° to u t p o in t ( x ,y jg B e s t un p o in t de d e n s it é de l'e n s e m b le B, 2° q u e l que s o i t l e p o in t ( x , y ) e B , x e s t un p o in t de d e n s it é de l a s e c t io n B^ = j t g R : ( t , y ) e bJ e t y e s t un p o in t de d e n sit'é de l a s e c t io n B = j u e R : (x ,u ) e B>. ^ л 2 Lemme 3 . ( [lÔ]j. S o it f :R —»H une fo n c t io n m e su ra b le . A lo rs l'e n s e m b le j ( x , y ) g R 2 :f ^ e s t d égén érée au p o in t x j e s t de mesure n u l l e . D

Le théorèm e dont i l s ' a g i t dans c e t a r t i c l e , s'é n o n c e de l a f aç on s u iv a n te :

2

Théorème 1. S o it une f o n c tio n f :R —? R t e l l e que t o u t e s s e s s e c t io n s f x ^ e 3 p o ssèd en t l a p r o p r ié t é ( ß ) e t t o u t e s s e s s e c t io n s f ^ ° (x ) = f ( x , y Q) ", y Q£R s o ie n t m e su ra b le s. Pour que l a fo n c tio n f s o i t m e su ra b le , i l f a u t e t i l s u f f i t que l'e n s e m b le A(f ) = { ( * . у ) е й 2 :f ^ e s t f-d é g é n é ré e ou b ie n ^ .-d égén érée au po^-

i n t x j s o i t m esurable de mesure z é ro .

D ém onstration. =£> : L 'in c lu s io n A (f) c . | (x ,y ) &R ^ :f^ e s t dégé n é ré e au p o in t x j r é s u l t e i d e l a p r o p o s itio n 1. A lo rs m(.A(f)) = 0 c a r d 'a p r è s l e lemme 3 l'e n s e m b le A (f) e s t un so u s-en sem b le d 'u n ensem ble de mesure n u l l e .

: La d ém o n stratio n s e r a fondée su r l e lemme 1. S o it un ensem b le m esurable E cR ^ , t e l que ш,Де) > 0 e t f ix o n s un nombre r é e l . £ > 0 .

D ésignons p a r Q l'e n s e m b le des p o in ts xe-R pour l e s q u e l s l a coupe E^ e s t m esurable e t m(Ex j? > 0 , I l r é s u l t e du théorèm e de Fu - b in i ( [ 1 3 ] , p . 147) que l'e n s e m b le 4 e s t m esurable e t q u ' i l e s t de mesure p o s i t i v e . S o ie n t (T- ) l a s u i t e dénombrable de to u s l e s

(7)

_ 43 _

i n t e r v a l l e s o u v erts d 'e x t r é m it é s r a t i o n n e l l e s e t ( l a s u i t e de to u s l e s i n t e r v a l l e s ferm és d 'e x t r é m it é s r a t i o n n e l l e s dont l a lo n g u eu r <T(x ) e s t p lu s p e t i t e que £ . D ésignons p ar Q l'e n s e m

-4 П' Г8

b le de to u s l e s p o in ts x e Q pour l e s q u e l s m 0 e t f (x *s) 6 К pour to u t p o in t y q u i e s t un p o in t de d e n s ité de l'e n s e m b le

EX r f r - ’ '

Evidemment U L l Q с Q. r s r s

Toute coupe f^ p o ssède l a p r o p r ié t é (g) e t p ar conséq uent on a CJ = \ J Q , I l e x i s t e donc un co u p le d 'in d ic e s n a t u r e ls

r s

( r o, s o) t e l que l a mesure e x t é r ie u r e n i* ^ a ) e s t ' p o s i t i v e . D ési gnons p a r P l'e n s e m b le de to u s l e s p o in ts x e f i dans l e s q u e l s l a d e n s it é e x t é r ie u r e de l'e n s e m b le Q_ e s t é g a le à 1 . L 'ensem ble

/ 1 ^ o s o

P e s t ! d 'a p r è s l e théorèm e connue de L ebesgue, v . |_16J , p . 1 4 7 / me s u r a b le e t m(P) e s t p o s i t i v e .

Posons G = E n f P x ' ^ ^ \ A (f) . L 'en sem ble G e s t a u s s i m esura b le e t m (g) > 0 , p u isq u e pour chaque x£ Q , on a m(G ) > 0 .

t*o®o

D 'a p rè s l e lemme 2 i l e x i s t e l'e n s e m b le Z cG , du ty p e [F$- e t t e l que m^(GNZ) = 0 e t ZC + -Z.

Remarquons, que Z cE e t Z e s t m e su ra b le , de mesure p o s i t i v e . Pour f i n i r l a d ém o n stratio n i l s u f f i t de

to u te s l e s p o in ts ( x ,y ) e Z .

F ix o n s ( Х0»У0) £ Z. Supposons, au c o n t r a ir e , que f ( x o, y Q) ^ Kg=* = [ k , l ] . A lo rs ou b ie n f ( x Q, y oJ > l ou b ie n f (x ^ y ^ J <: k . Par r a iso n de d u a l it é nous pourrons san s r e s t r e in d r e l a g é n é r a l i t * su p p o s e r, que f ( x Q, y o^ > 1 > k .

Posons

a = + f ( x o, y o)) .

Liais une s e c t io n f ^ n 'e s t n i f - n i ^ .-d égén érée, a l o r s x q£ | te -R :

f ( t , y Q^ > a | e t le d e n s it é s u p é r ie u re de c e t ensem ble au p o in t x0 m ontrer que f ( x , y ) é

(8)

_ 44 _

e s t p o s i t i v e .

D ésignons c e t t e d e n s it é p ar oC :

* * = Ds ( v { t e 1 ^ : f (t ' y 0') > a j ) • '

D 'a u tre p a r t l e p o in t x q e s t un p o in t de d e n s ité e x t é r ie u r e de l'e n s e m b le Q e t y e т . Ain&i i l e x i s t e l ' i n t e r v a l l e ou-

r 0s 0 o h о

v e r t jr co n ten an t x q e t t e l , que l a d e n s it é moyenne de l'e n s e m b le £ t : f ( t , y ^ > a

J

s u r ^ e s t p lu s grande que ^/2 e t l a d e n s i t é moyenne de l'e n s e m b le | t : f ( t » y Q) e ^ su r ^ e s t p lu s g ra n de que 1 - °^/4.

P ar conséquent c e s deux ensem bles ont un p o in t commune, que nous d ésig n o n s p ar t Q. Remarquons que f ( t o, y Q) > a , ce q u i e s t c o n t r a ir e avec l e f a i t que f ( t , y _{' o J о I} _{s 0 e t l a d ém o n stratio n e s t -}.. i jx ± л. a c h e v é e .

Remarque 1. Dans l e théorème 1 on ne p eut p as se b o rn er à l'h y p o t h è s e que p resq u e to u te s l e s s e c t io n s f ^ sont seu lem en t

î — n o ndégénérées on b ie n seulem ent J—• n o n d égén érées. En e f f e t , 2

s o i t S c S l'e n s e m b le nonm esurable, q u i a au p lu s un p o in t com mun av ec chaque d r o it e h o r iz o n ta le e t avec chaque d r o it e v e r t i c a l e . La c o n s tru c tio n de t e l ensem ble a é t é donnée p a r W. S ie r p iń s k i dans [/17] . L 'i n d i c a t r i c e de c e t ensem ble e s t une f o n c t io n 1 nonm esurable dont to u te s l e s s e c t io n s p r o p r ié t é ( & ) f e t to u t e s l e s coupes ont ^— d ég é n é ré e s ta n d is que e l l e s ne sont p as ^— d é g é n é ré e s.

Remarque 2 . En com parant l e théorème 1 av ec l a théorèm e don n ée1 p a r Z.Grande dans son a r t i c l e [10] on v o it f a c ile m e n t , que pour l e s fo n c tio n s m e su ra b les de deux v a r ia b l e s l e s c o n d itio n s c i - desso us sont é q u iv a le n t e s :

(1) ftc.y ) : f ^ e s t jt — dégénérée ou b ie n jr -d é g é n é r é e au po i n t x j j = 0 f

(9)

45

-(2 ) т ,Д | ^ ,у ) : f^ e s t d égén érée au p o in t x^') = 0 .

D é f in itio n 4 . ( [ 1 8 ] , p . 3 ) : L 'en sem ble E du type !)> n 'é t a n t p as v id e e s t d i t q u ' i l r e m p lit l a c o n d itio n ¥, s ' i l e x i s t e une

4

s u i t e des ensem bles ferm és ( pn ) e t une s u i t e de n o n b res(^ n }, 0< tJn <1 t e l s que E = F^ e t que pour chaque x e F e t to u t

n=1 - , c > 0 i l e x i s t e un nombre 1 = £ ( x , c ) > 0 jo u is s a n t de l a p ro p r ié  t é s u iv a n t e : pour to u s l e s h e t t e l s que hh^> 0 , h/h^< c , |h + h -,|< É.(x »°) on a ...ф . O.&.th .x + h + h J > ï] >Q I M ‘ n

En o u tre on d i t , q u 'u n ensem ble v id e r e m p lit - a u s s i c e t t e condi t io n 1Л . l a fo n c tio n f : R - * R a p p a r t ie ù t / p ar d é f i n i t i o n / à l a c l a s s e il* , s i pour to u t a g R l'e n s e m b le A ( f ) a p p a r t ie n t à U ,;

4 & : 4

f a p p a r t ie n t à l a d a sse *M, s i - f a p p a r t ie n t à ŁI". E nfin on d

é-4 ‘ 4

f i n i t

\ = ц; о * и 4 .

I l e s t connu, que l e s d é r iv é e s bornées a p p a r tie n n e n t l a c l a s

se j v o ir И / . /

Théorème 2 . S o it f :R ^ —^R une fo n c tio n de deux v a r ia b l e s dont t o u t e s l e s s e c tio n s f ont l a p r o p r ié t é (g) e t to u t e s l e s s e c t io n s f^ a p p a r tie n n e n t à l a d asse M de Z ah o rsk i, l a fo n c tio n f e s t m e su ra b le .

D ém o n stratio n : En u t i l i s a n t l e théorèm e 1, i l f a u t dém ontrer que to u te fo n c tio n de l a c l a s s e n 'e s t n i f — n i d é g én érée. Dans ce but i l s u f f i t de dém ontrerî

Lemme 4 . Supposons que l'e n s e m b le E r e m p lit l a c o n d itio n A lo rs dans E i l n 'y a p as aucun p o in t de d is p e r s io n .

D ém o n stratio n . Ź tan t f i x é un p o in t x € E supposons au c o n tr a i r e que d(x,e) = 0 . ^

E crivo n s E sous l a forme E = F , Gi(fJ = F , n=1

(10)

- 46 _

où C l (P ^ /-désign e comme d 'h a b itu d e l a fe rm e tu re de l'e n s e m b le P^. I l e x i s t e l e nombre n , t e l que x e F . . D 'ap rès l a d é f i n it io n 4_X _- _nx c h o is is s o n s Y] > 0 e t l - £ ( x , c = 2 ) > 0 t e l s que pour to u t e s nom- b re s h , h^ pour le s q u e ls

(a ) hh > .0, (b) h/h1 <c=2 , ( c ) ] h + h | < 6 on a m(E nQx+h,x+h+h1] )

Posons’ h = ^ > 0 / g ra c e c=2 nous pourons le f a i те/. Pour h < V 2 i l e s t m a n ife ste que ) m (e [x - 2 h ,x - h 3 )> 7n h

(2) m(s 0 fx+h,x+2hjj> h .

I l n 'y a q u 'à décomposer l'e n s e m b le E /) [x-2h,x+2h~] sous l a f o r  me (e Л [ x - 2 h ,x - h ] ) u (e Л [x-h ,x+ h ]^ V Ê f] [x-t-h, x+2h3j . Des ( i j e t (2 ) on o b tie n t l a r e l a t i o n (3) mÊ Л [x-h,x+ h3 ) = ' = m (E £ [x -2h,x+2hJ J - т ( в л [x+h,x+2h] mÊ r\ [x - 2 h ,x - h 3 'j < < m(E n [x -2 h ,x + 2 h ]) - 2 ^ h ; co n sid é ro n s le ra p p o rt — in ,(g _ flly.-RhjX t.ghD. ___ * T5 _ n (x к ^ 4h h=iD " - "Vх » En d iv is a n t l ' i n é g a l i t é ^3) p ar 4 h 7 0 e t en p a ss a n t av ec h v e r s 0 n o u s;o b ten o n s

„

D<D - ~i~ >? 2 4 2 I nx

I l d éco u le immédiatement de n o tre c a l c u l que D^V7 > 0 , ce q u i lnx

c o n t r é d it l'h y p o th è s e que x e s t un p o in t de d is p e r s io n de l 'e n semble E. C e tte c o n tr a d ic tio n f i n i t l a d ém o n stratio n .

2 C o r o lla ir e 1. S i to u te s l e s s e c t io n s d 'u n e fo n c tio n f :R —■ R

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ont l a p r o p r ié t é /g^ e t s i to u te s s e s s e c t io n s f ^ so n t l e s d é r i v é e s b o rn ées /ou l e s d é r iv é e s a p p ro x im a tiv e s bornées - v o ir JjĄji l a f o n c t io n s f e s t m e su ra b le .

C et r é s u l t a t a é t é exposée au ^9^, m ais l a méthode Je st to u t d i f f é r e n t . Dans l e s c o n s id é r a tio n s de Z,Grande sont fo n dées su r l a p r o p r ié t é (;j/de £ l5 j • Pour des d é r iv é e s nbnbornées sub* s i s t e l e même r é s u l t a t J v o ir £l4j/. OUVRAGES CITES [ 1 ] A .M .B ruckner ; On C h a r a c t e r is in g c l a s s e of fu n c t io n s in term s of a s s o c ia t e d s e t s , C anad.M ath. B u l l . , v o l. 10, no 2 /1967/, p . 227-231 [2] J A .M .B ruckner; D if f e r e n t a t io n of r e a l f u n c t io n s , L e c tu re Notes in M ath. 659/1978/, p . 246 [3] A .M .B ruckner; C u rre n t tr e n d s in d i f f e r e n t i a t i o n th e o r y , R e a l A n a ly s is Exchange, v o l . 5/l979/80/, p . 9-60

[4] A .M .B ruckner; R ecen t developm ents in approxim ate d i f f e r e n t i a t i o n , i b i d . , p .1 1 3 —118

[5] R ,0 ,D a v ie s ; S e p a r a te approxim ate c o n t in u it y im p lie s m easura b i l i t y , Math. P ro c . Camb. P h il . S o c . 73/1973/, p . 461-465 H C .G o ffm an ,C .J.N e u g e b au e r,T .N ish iu ra ; D e n sity tp p o lo g y and

ap p ro x im ate c o n t in u it y , Duke Math. J . , 12 / l9 6 l/ ,p .497-505 [7J Z .G rande; Sur l a m e s u r a b ilit é des fo n c tio n s de deux v a r ia b

l e s , B u l l . A cad. P o lo n . Sc i . , S é r . Sc i . M a th .,A s t r . , P h y s ., v o l . XXI, N- 9/19 7 3/, p . 813-816

[8] Z .G rande; Les f o n c t io n s , q u i ont l a p r o p r ié té /к/ e t l a mesu r a b i l i t é des f o n c tio n s de deux v a r i a b l e s , Fund. M ath. XCIII

/1976/,p . 155-160

[9] Z.G rande; Sur l e s fo n c tio n s de deux v a r ia b l e s dont l e s cou pes sont des d é r iv é e s , r r o c . Amer. M ath. S o c ., 5 7 /1976/ , p . 69-74

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I

[10] Z.G rande; On th e m e s u r a b ilit y of fu n c t io n s of two v a r i a b l e s , M ath. P ro c. Camb. P h i l . S о е. 77 / l975/, p . 335-536

[11] Z.G rande; l a m e s u r a b ilit é des f o n c tio n s de deux v a r ia b l e s e t de l a s u p e r p o s itio n F(x , (f (x )) , D is s e r t a t io n e s Mathema- t i c a e , CLIX/19 7 8 / ,p . 1-45

[12] Z.G rande; Deux exem ples de fo n c t io n s non m e su ra b le s, C o l loquium M ath ., XL, [13] 2/79/ , p . 305-309

P.R .H alm os, M easure Theory, D. Van N ostrand Comp., P rin c e ton /1950/

[14] M.L a c z k o v ic h ; On th e me s u r a b i l i t y of f u n c tio n s whose s e c t io n s a r e d e r iv a t iv e s / subm ited to P e r io d ic a M athem atics Hun- g a r ic a /

[15] J . S .L i p iń s k i; On m e s u r a b ilit y of f u n c tio n s of two v a r i a b l e s , B u l l . A cad. P olon. Sc i . S é r . Sc i . M ath. Astronom. P h y s ., 20

/1972/, p . 131-135

[16 ] S .Ł a ja s ie w ic z , Wstęp do t e o r i i f u n k c ji r z e c z y w is ty c h , PWN, W-wa / 1973/

[17 ] W .S ie r p iń s k i; S u r un problème co n cern an t l e s ensem bles me s u r a b le s s u p e r f ic ie lle m e n t , Fund. Math. 1 /1 920/ , p . 112-115 [ 18 ] Z .Z ah o rsk i; Sur l a prem ière d é r iv é e , T ran s. Amer. M ath. S o c .,

6 9 /1 9 5 0 / ,p. 1-54 ОДНО УСЛОВИЕ ЭКВИВАЛЕНТНО ИЗМЕРИМОСТИ ФУНКЦИИ 2 ПЕРЕМЕН НЫХ«

Содержание

В работе доказы вается условие эквивалентно измери мости функции 2 переменных такой, что секции обладают свойством ( C j ) , a \Id - измеримы. - 48 _

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I 4 9

-Отсвда вытекает измеримость функции, у которой «р* о6->

ладают свойством ( G ) а ^ ^ являются ограниченными произ водными.