Une nouvelle minoration de

LXIV.1 (1993)

Une nouvelle minoration de |log α − β| , |α − exp β| , α et β alg´ ebriques

par

Guy Diaz (Saint-Etienne) I. Introduction, r´ esultats

I.1. Introduction. De la naissance de la th´ eorie des nombres transcen- dants jusqu’en 1978 de nombreux auteurs ont ´ etudi´ e les mesures de tran- scendance des nombres associ´ es ` a la fonction exponentielle (ainsi qu’aux fonctions elliptiques). Classiquement, chaque mesure faisait l’objet d’une d´ emonstration autonome. En 1978, M. Waldschmidt montre que ces r´ esul- tats dispers´ es peuvent se voir comme corollaires d’une minoration de formes lin´ eaires de nombres alg´ ebriques (th´ eor` eme de Baker effectif). Pr´ ecis´ ement, il suffit de savoir minorer |β − log α| et |β 1 log α 1 − log α 2 | o` u α, β, α 1 , α 2 , β 1

sont des nombres alg´ ebriques, pour avoir les r´ esultats classiques (voir [W2], th´ eor` emes A, B, et [W1]).

On s’int´ eresse ici ` a la minoration de |β − log α|, qui rel` eve de la m´ ethode de Gel’fond–Schneider “standard” (alors que celle de |β 1 log α 1 − log α 2 | utilise la m´ ethode de Baker, ou l’une des m´ ethodes alternatives introduites par M. Waldschmidt dans [W2], [W4]).

Pr´ ecisons quelques notations. Pour un polynˆ ome P ` a coefficients com- plexes, H(P ) et L(P ) sont respectivement le plus grand et la somme des mo- dules des coefficients de P (hauteur et longueur). Pour un nombre alg´ ebrique α, d(α) est le degr´ e, M (α) est la mesure de Mahler, h(α) la hauteur loga- rithmique absolue (h(α) = d(α) ⁻¹ log M (α); voir [W2] pour les propri´ et´ es).

Soit ϕ(x, y) une fonction ` a valeurs r´ eelles positives, d´ efinie pour x ≥ 1,

y ≥ log 16 (hypoth` ese de commodit´ e). On dit que ϕ est une mesure de

transcendance du nombre complexe w si on a log |P (w)| ≥ − ϕ(D, log H)

pour tout polynˆ ome non nul P ∈ Z[X] de degr´e au plus D, de hauteur

au plus H. On dit que ϕ est une mesure d’approximation de w si on a

log |ω − ξ| ≥ − ϕ(D, log M ) pour tout nombre alg´ ebrique ξ de degr´ e au plus

D, de mesure de Mahler au plus M . On sait passer d’une mesure ` a l’autre

(voir par exemple [W2, lemme 2.3]).

On va donner une nouvelle minoration de |e ^β − α|, puis en corollaire de |β − log α|, compl´ etement explicite en α, β. De ce r´ esultat on d´ eduira une mesure d’approximation et une mesure de transcedance de exp β. La seconde contiendra comme cas particulier le r´ esultat suivant de K. Mahler (voir [M1]) :

|P (e ^β )| ≥ exp(−c(β)D log H) pour H ≥ H 0 (D) , ce qui n’´ etait pas le cas des mesures ant´ erieures (voir [W2], p. 455).

I.2. La forme lin´ eaire β − log α. La m´ ethode de Gel’fond–Schneider permet de travailler aussi bien sur β − log α que sur exp β − α, suivant la fonction auxiliaire que l’on utilise. L’habitude, depuis les travaux d’A. Baker au moins, consiste ` a faire apparaˆıtre β − log α. Comme ici la principale application est une mesure de exp β, on va exprimer le r´ esultat principal avec exp β − α. Il s’´ enonce ainsi.

Th´ eor` eme. Soient α et β deux nombres alg´ ebriques, β suppos´ e non nul. Soient D 0 un entier et E, V des r´ eels satisfaisant

D 0 ≥ [Q(α, β) : Q] , V ≥ max{h(α); 1/D 0 ; e|β|/D 0 } , e ≤ E ≤ min{exp(D 0 V ); D 0 V /|β|} . On note V ⁺ := max(1, V ) et on d´ efinit U 1 , U 2 par

U 1 := D ₀ ² V (1 + D 0 (log D 0 )(log E) ⁻¹ )(h(β) + log ED 0 V ⁺ )(log E) ⁻¹ , U 2 := D 0 log M (β) .

Alors

|exp β − α| ≥ exp(−10 ¹¹ max(U 1 , U 2 )) .

On a suppos´ e β non nul, car la minoration de |1 − α| ne rel` eve pas des m´ ethodes transcendantes (th´ eor` eme de Liouville). Le th´ eor` eme sera d´ emontr´ e au §III. On va commencer par en d´ eduire les corollaires, en parti- culier une minoration de |β − log α|.

Corollaire 1. Soient α et β deux nombres alg´ ebriques non nuls et log α une d´ etermination quelconque du logarithme de α. Soient D 0 un entier et V , E des r´ eels satisfaisant

D 0 ≥ [Q(α, β) : Q] , V ≥ max{h(α); 1/D 0 ; e|β|/D 0 } , e ≤ E ≤ min{exp(D 0 V ); D 0 V /|β|} . On note V ⁺ := max(1, V ) et on d´ efinit U 1 , U 2 par

U 1 := D ₀ ² V (1 + D 0 (log D 0 )(log E) ⁻¹ )(h(β) + log ED 0 V ⁺ )(log E) ⁻¹ ,

U 2 := D 0 log M (β) .

Alors

|β − log α| ≥ exp(−2 · 10 ¹¹ · max(U ₁ , U 2 )) .

Ce r´ esultat am´ eliore le th´ eor` eme A de [W2] en rempla¸ cant le facteur D 0 (log D 0 E)/log E qui y apparaissait par le facteur (1 + D 0 (log D 0 )

× (log E) ⁻¹ ). L’am´ elioration n’est ´ evidemment pas spectaculaire, mais c’est le contraire qui aurait ´ et´ e surprenant; pour faire beaucoup mieux il faudra probablement renouveler les m´ ethodes en profondeur.

Pour obtenir le corollaire 1 on note que pour z ∈ C on a par le th´eor`eme des accroissements finis : |exp z −1| ≤ |z| exp |z|. Si |β −log α| est plus grand que 1/2 le corollaire est d´ emontr´ e. On suppose donc maintenant |β − log α|

plus petit que 1/2 et on applique le r´ esultat ci-dessus ` a z := log α − β; cela donne

|α − exp β| ≤ exp(|β| + 0,5) |β − log α| .

On applique le th´ eor` eme pour minorer |α − exp β|; en notant que e|β| ≤ D 0 V ≤ max(U 1 , U 2 ) on a donc

exp(−10 ¹¹ max(U 1 , U 2 )) ≤ exp(|β| + 0,5)|β − log α|

≤ exp((0,5 + e ⁻¹ ) max(U 1 , U 2 ))|β − log α| . D’o` u l’on tire la minoration de |β − log α| annonc´ ee.

I.3. Mesures d’approximation, de transcendance pour exp β. Le th´ eor` eme de Hermite–Lindemann sur la transcendance de exp β, o` u β est alg´ ebrique non nul, date de 1892. D` es 1899 Borel donnait une mesure de transcendance de e. Depuis les travaux ont ´ et´ e nombreux (pour ceux qui sont ant´ erieurs

`

a 1967, voir le survey [FS], p. 25). Au d´ epart c’est la m´ ethode d’Hermite, compl´ et´ ee des apports de Siegel, Mahler, qui est exclusivement utilis´ ee (voir l’appendice de [M2] ou [S]). Puis apparaˆıt la m´ ethode de Gel’fond–Schneider, avec un r´ esultat de Feldman pour e dans [F]; on peut citer ensuite le travail de Cijsouw [Ci], celui de Chudnovsky (annonc´ e en 1974, voir [Ch], p. 41), et celui de M. Waldschmidt [W2, corollaire 3.9]. Les mesures de exp β donn´ ees par ces trois auteurs ne contiennent pas le r´ esultat de Mahler de 1932, rappel´ e plus haut.

A ce propos on peut citer un r´ esultat de Galochkin qui pr´ ecise le r´ esultat de Mahler (voir [G] et Mathematical Reviews 45, 1973, #8608).

Th´ eor` eme (Galochkin). Soit β un nombre alg´ ebrique non nul. Il ex- iste un r´ eel positif c(β) tel que pour tout polynˆ ome P ∈ Z[X] non nul, de degr´ e D, de hauteur plus petite que H, o` u D et H v´ erifient log log H ≥ (7/4)Dd(β), on a

|P (e ^β )| ≥ exp(−c(β)D log H) .

Dans le cas β ∈ Q, il existe un r´esultat de ce type dˆ u ` a A. Durand (voir [Du, th´ eor` eme]), et pour β = 1 on trouve une d´ emonstration assez

´

el´ ementaire de K. Ramachandra dans [R]. Il est ` a noter que l’approche de Galochkin est du type Hermite–Siegel–Mahler, et fournit d’excellentes con- stantes au moins pour β rationnel (c(β) est alors de l’ordre de 1). De telles constantes sont actuellement hors de port´ ee de la m´ ethode de Gel’fond–

Schneider, mais par contre cette m´ ethode fournit pour tout β de bonnes mesures en (D, log H) sans avoir ` a supposer H grand devant D (ce que ne permet pas la premi` ere!). En voici une illustration.

Corollaire 2 (Mesure d’approximation de exp β). Soit β un nombre alg´ ebrique non nul. Il existe un r´ eel positif c 1 (β) tel que l’expression suivante soit une mesure d’approximation de exp β :

c 1 (β)D(log M ) log(D log M ) log log M



1 + D log D log log M

 .

Cela am´ eliore l´ eg` erement la mesure [W2, th´ eor` eme 3.8], le facteur (1 + D log D/log log M ) rempla¸ cant D(1 + log D/ log log M ). Comment d´ eduit- on ce corollaire 2 du th´ eor` eme? On se donne donc un nombre alg´ ebrique α de degr´ e d(α), de mesure de Mahler M (α) ≤ M avec M ≥ 16 (de fa¸ con ` a avoir log log M ≥ 1, log M ≥ e). On pose

D 0 = d(α)d(β), V = (log M )(1 + e|β|)d(α) ⁻¹ , E = log M.

On v´ erifie sans peine que V est plus grand que max{h(α); 1/D 0 ; e|β|/D 0 }, et que E est plus petit que min{exp(D 0 V ); D 0 V /|β|}. On majore V ⁺ par (log M )(1 + e|β|) et on applique le th´ eor` eme; on a alors

(a) U 1 ≤ c(β)U o` u U := d(α) log M ·



1 + d(α) log d(α) log log M

 log(d(α) log M ) log log M

 , c(β) := 2d(β) ³ (1 + e|β|)(1 + log d(β))

× (h(β) + log d(β) + log(1 + e|β|) + 1) ; (b) U 2 = d(α)d(β) log M (β).

On voit que U 2 est inf´ erieur ou ´ egal ` a U et donc le th´ eor` eme donne

|e ^β − α| ≥ exp(−10 ¹¹ c(β)U ) .

C’est exactement le corollaire 2 (en posant c 1 (β) := 10 ¹¹ c(β)). Il est ` a noter que la constante c(β) n’est probablement pas ce que l’on peut faire de mieux.

Le passage d’une mesure d’approximation ` a une mesure de transcendance

est automatique (voir [W2, lemme 2.3] par exemple). Le corollaire 2 permet

d’obtenir le corollaire 3, suivant :

Corollaire 3 (Mesure de transcendance de exp β). Soit β un nombre alg´ ebrique non nul. Il existe un r´ eel positif c 2 (β) tel que l’expression suivante soit une mesure de transcendance de exp β :

c 2 (β)D(log DH) log(D log H) log log DH



1 + D log D log log DH



(on peut prendre c 2 (β) = 2c 1 (β)).

Cela am´ eliore (l´ eg` erement) la mesure de [W2, th´ eor` eme 3.9] et les r´ esul- tats ant´ erieurs de [Ch, p. 46], [Ci]. Et enfin cela redonne le th´ eor` eme de Mahler.

Corollaire 4. Soit β un nombre alg´ ebrique non nul. Il existe un r´ eel positif c 3 (β) tel que pour tout polynˆ ome P ∈ Z[X] non nul, de degr´e D, de hauteur inf´ erieure ou ´ egale ` a H avec H ≥ 16 et log log H ≥ D log D on ait

|P (e ^β )| ≥ exp(−c 3 (β)D log H) (on peut prendre c 3 (β) = 16c 1 (β)).

I.4. Note finale. Dans le corollaire 4 on suppose log log H ≥ D log D, alors que dans son r´ esultat Galochkin suppose seulement log log H  D. La question se pose donc de savoir s’il est possible d’am´ eliorer le corollaire 3 ou le th´ eor` eme pour obtenir ce raffinement. La r´ eponse est oui et le lecteur int´ eress´ e trouvera la d´ emonstration dans le texte : Une nouvelle minoration de |log α − β|; Compl´ ements, paru dans le S´ eminaire d’Arithm´ etique de Saint-Etienne 1990–1992.

Il semble par ailleurs possible (probablement au prix d’un assez gros travail) de raffiner le th´ eor` eme pour qu’il contienne les r´ esultats de [Di] sur les mesures d’approximation de π. Cela reste ` a faire.

II. Pr´ eliminaires

II.1. Polynˆ omes de Feldman. Les polynˆ omes de Feldman sont les poly- nˆ omes ∆(z; k) d´ efinis par ∆(z; 0) = 1, ∆(z; k) = (z + 1) . . . (z + k)/k! pour k entier > 0. Pour l et t entiers positifs on note

∆(z; k, l, t) = 1 t!

 d dz

 t

(∆(z; k)) ^l .

Les propri´ et´ es utiles sont rassembl´ ees dans le lemme 1 (voir [W4], lemme 2.2 ou [W1], lemme 2.4).

Lemme 1. Soient l, t, k des entiers positifs (avec k ≥ 1), et z un nombre complexe; on note ν(k) le p.p.c.m. de 1, 2, . . . , k. On a

(1) |∆(z; k, l, t)| ≤ (1 + |z|/k) ^kl (2e) ^kl ;

(2) log ν(k) < 1,04k;

(3) pour tout a ∈ Z, ν(k) ^t ∆(a; k, l, t) est entier ;

(4) si k, R, L sont des entiers strictement positifs avec k ≥ R, la famille de polynˆ omes {∆(z + r; k) ^l : 0 ≤ r < R, 1 ≤ l ≤ L} est libre.

Le recours ` a ces polynˆ omes de Feldman est actuellement indispensable pour obtenir de bonnes minorations de formes lin´ eaires de logarithmes de nombres alg´ ebriques (voir [W1], [W4] par exemple).

II.2. Fonction auxiliaire, polynˆ omes auxiliaires. On se donne deux nom- bres alg´ ebriques α, β et on note D le degr´ e du corps de nombres Q(α, β).

On fixe une base {ξ 1 , . . . , ξ D } du Q-espace vectoriel Q(α, β) constitu´ee d’´el´e- ments de la forme α ^h β ^k avec 0 ≤ h < d(α), 0 ≤ k < d(β), h + k < D (d(α), d(β) ´ etant les degr´ es de α et β); on notera alors (h i , k i ) le couple (h, k) relatif ` a ξ i , i = 1, . . . , D (donc ξ i = α ^h

β ^k

).

On suppose donn´ es les entiers strictement positifs L ₋₁ , L 0 , L 1 . Dans la suite λ = (λ −1 , λ 0 , λ 1 ) est toujours un triplet d’entiers v´ erifiant 0 ≤ λ −1 <

L −1 , 0 ≤ λ 0 < L 0 , 0 ≤ λ 1 < L 1 ; on note L l’ensemble de ces triplets. A une famille {p λ : λ ∈ L} de nombres complexes on associe la fonction F

F (z) := X

λ∈L

p λ ∆(z + λ ₋₁ ; L ₋₁ ) ^1+λ

exp(λ 1 βz) . On a donc pour tout entier t ≥ 0

F ^(t) (z) := X

λ∈L

X

τ

p λ

t!

(t − τ )! ∆(z + λ −1 ; L −1 , 1 + λ 0 , τ )(λ 1 β) ^t−τ exp(λ 1 βz) , o` u la seconde somme porte sur tous les τ variant de 0 ` a min(t; (1 + λ 0 )L ₋₁ ).

Et donc pour tout entier s ≥ 0 ν(L −1 ) ^t F ^(t) (s)

= X

λ∈L

X

τ

p λ

t!

(t − τ )! ν(L −1 ) ^t ∆(s + λ −1 ; L −1 , 1 + λ 0 , τ )(λ 1 β) ^t−τ (e ^β ) ^λ

^s . On voit apparaˆıtre, en plus des coefficients p λ , une expression polynˆ omiale en (β, e ^β ), ` a coefficients entiers (voir le (3) du lemme 1). Plus pr´ ecis´ ement, on introduit pour tout (λ, t, s) ∈ L×N ² le polynˆ ome R λts (X 1 , X 2 ) ∈ Z[X 1 , X 2 ],

R λts (X 1 , X 2 ) := X

τ

t!

(t − τ )! ν(L ₋₁ ) ^t ∆(s + λ ₋₁ ; L ₋₁ , 1 + λ 0 , τ )(λ 1 X 1 ) ^t−τ X ₂ ^λ

^s . La relation pr´ ec´ edente s’´ ecrit

ν(L −1 ) ^t F ^(t) (s) = X

λ∈L

p λ R λts (β, e ^β ) .

Supposons maintenant chaque p λ de la forme P λ (α, β) avec P λ (X 0 , X 1 )

∈ Z[X 0 , X 1 ]; la relation ci-dessus devient, pour tout (t, s) ∈ N ² (1) ν(L −1 ) ^t F ^(t) (s) = Q ts (α, β, e ^β )

o` u Q ts (X 0 , X 1 , X 2 ) ∈ Z[X 0 , X 1 , X 2 ] est d´ efini par Q ts (X 0 , X 1 , X 2 ) := X

λ∈L

P λ (X 0 , X 1 )R λts (X 1 , X 2 ) .

La relation (1) sera dite relation fondamentale, et les polynˆ omes Q ts seront appel´ es polynˆ omes auxiliaires attach´ es ` a la fonction auxiliaire F . Au cours de la d´ emonstration vont intervenir les nombres alg´ ebriques Q ts (α, β, α), et il faudra pouvoir dire que l’un d’entre eux est non nul; donc il faut imp´ erativement que les coefficients P λ (α, β) soient non tous nuls (cela n’a pas de raison d’ˆ etre suffisant ´ evidemment). C’est pour cela que l’on pren- dra des polynˆ omes P λ combinaisons lin´ eaires des monˆ omes {X ₀ ^h

X ₁ ^k

: i = 1, . . . , D} pr´ ec´ edemment d´ efinis; en notant P λ = P D

i=1 p λi X ₀ ^h

X ₁ ^k

, on aura P λ (α, β) =

D

X

i=1

p λi α ^h

β ^k

=

D

X

i=1

p λi ξ i .

Il suffira alors de savoir que les p λi (λ ∈ L, 1 ≤ i ≤ D) ne sont pas tous nuls pour conclure que les P λ (α, β), λ ∈ L, ne sont pas tous nuls!

Cette fa¸ con de faire est maintenant classique (voir entre autres [W1], [W4]), mais elle n’est pas absolument neutre au niveau des estimations comme on le verra au moment de l’application du th´ eor` eme de Liouville dans le §III. La contribution ` a ces estimations dˆ ue aux polynˆ omes R λts est impos´ ee par la fonction auxiliaire utilis´ ee; ce que l’on souhaite c’est que celle des polynˆ omes P λ (qui ont un cˆ ot´ e arbitraire, eux) soit au plus du mˆ eme ordre, et ce n’est pas exactement le cas dans la situation pr´ esente.

III. D´ emonstration du th´ eor` eme. La d´ emonstration qui suit est du type Gel’fond–Schneider, avec deux diff´ erences par rapport ` a celle de [Ci]

vue comme “classique”. D’une part dans la construction nous utiliserons un r´ esultat tout fait de M. Waldschmidt; d’autre part nous mettrons en oeuvre le lemme de z´ eros g´ en´ eral de P. Philippon et non pas un lemme de petites valeurs.

Les donn´ ees et les hypoth` eses sont celles du th´ eor` eme; on utilise les notations du §II, et en particulier D est le degr´ e du corps Q(α, β), D ⁰ un entier plus grand que D. Rappelons que β est non nul; cette hypoth` ese intervient uniquement dans le §III.2 (lemme de z´ eros). On suppose que

|exp β − α| est inf´ erieur ` a 1, puisque sinon le r´ esultat annonc´ e est trivial

(cette hypoth` ese ne sert que dans la v´ erification des contraintes, §III.4, qui

ne sera pas d´ etaill´ ee).

Les param` etres sont les entiers L −1 , L 0 , L 1 , T , S (tous sup´ erieurs ou

´

egaux ` a 1) et les r´ eels positifs ∆, R, U . La d´ emonstration va se d´ erouler sous un certain nombre de conditions (C1), (C2), . . . portant sur ces param` etres.

III.1. La construction. A une famille {p λi : λ ∈ L, 1 ≤ i ≤ D} d’entiers on associe la famille de polynˆ omes

{P _λ (X 0 , X 1 ) : λ ∈ L} o` u P λ :=

D

X

i=1

p λi X ₀ ^h

X ₁ ^k

. A chaque (λ, i) on associe la fonction

ϕ λi (z) := ξ i ∆(z + λ −1 ; L −1 ) ^1+λ

exp(λ 1 βz) . On a alors avec les notations du paragraphe II

F (z) = X

λ∈L

P λ (α, β)∆(z + λ −1 ; L −1 ) ^1+λ

exp(λ 1 βz) = X

λ∈L D

X

i=1

p λi ϕ λi (z) . Pour utiliser le th´ eor` eme d’existence de M. Waldschmidt [W3, th. 3.1] il faut majorer

X

λ,i

|ϕ _λi | _R , o` u |ϕ λi | _R := sup{|ϕ λi (z)| : |z| = R} . A l’aide du lemme 1 on obtient

X

λ,i

|ϕ _λi | _R ≤

exp  log X

i

|ξ _i | + log(L ₋₁ L 0 L 1 ) + L −1 L 0 log 2e(2 + R/L −1 ) + |β|L 1 R  . Le th´ eor` eme pr´ ecit´ e affirme alors que sous les contraintes

(C1) 3 ≤ U, ∆ ≤ U, e ≤ R/S ≤ exp U , (C2) log  X

i

|ξ _i | 

+ log(L ₋₁ L 0 L 1 )

+L −1 L 0 log 2e(2 + R/L −1 ) + |β|L 1 R ≤ U , (C3) 36U ² ≤ D∆L ₋₁ L 0 L 1 log R/S ,

il existe une famille {p λi : λ ∈ L, 1 ≤ i ≤ D} d’entiers non tous nuls pour laquelle on ait

(2) max{|p λi | : λ ∈ L, 1 ≤ i ≤ D} ≤ exp ∆ ,

(3) |F | _S ≤ exp(−U ) .

A noter que l’application directe de [W3, th. 3.1] donne 64 au lieu de 36

dans (C3); mais dans le cas d’une seule variable comme ici, la constante 64

est am´ eliorable en ce 36.

Dans toute la suite du paragraphe on fixe (t, s) ∈ N ² avec 0 ≤ t < T , 0 ≤ s < S. Par les formules de Cauchy on a |F ^(t) (s)| ≤ t!|F | S ; en tenant compte de la relation fondamentale (1), du lemme 1 et de (3) cela donne

|Q _ts (α, β, e ^β )| ≤ exp(−U + T log T + 1,04T L ₋₁ ) . Sous la contrainte

(C4) T log T + 1,04T L −1 ≤ U/10 , on a alors

(4) |Q _ts (α, β, e ^β )| ≤ exp(−9U/10) .

Nous aurons besoin plus tard d’estimations des longueurs L(R λts ), L(Q ts ). La d´ efinition de R λts donne imm´ ediatement

L(R λts ) ≤ X

τ

t!

(t − τ )! |ν(L ₋₁ ) ^t ∆(s + λ −1 ; L −1 , 1 + λ 0 , τ )|λ ^t−τ ₁ o` u τ varie de 0 ` a min(t; (1 + λ 0 )L −1 ). Grˆ ace au lemme 1 cela s’´ ecrit (5) L(R λts ) ≤ exp(min(T ; L −1 L 0 ) log eT

+2L ₋₁ T + L ₋₁ L 0 log 2e(2 + S/L ₋₁ ) + T log L 1 ) . De Q ts = P

λ∈L P λ R λts on tire L(Q ts ) ≤ P

λ∈L L(P λ )L(R λts ); par (2) on sait que L(P λ ) est major´ ee par D exp ∆ et au total

L(Q ts ) ≤ exp(log(DL −1 L 0 L 1 ) + ∆ + min(T ; L −1 L 0 ) log eT (6)

+ 2L −1 T + L −1 L 0 log 2e(2 + S/L −1 ) + T log L 1 ) . Cons´ equence : majoration de |Q ts (α, β, α)|. De l’´ ecriture

Q ts (α, β, α) = X

P λ (α, β)R λts (β, e ^β )

+ X

P λ (α, β)(R λts (β, α) − R λts (β, e ^β )) et de la relation (4) on tire

|Q _ts (α, β, α)| ≤ exp(−9U/10) + X

|P _λ (α, β)| |R λts (β, α) − R λts (β, e ^β )| . Grˆ ace ` a (2) on a

|P _λ (α, β)| ≤ X

|ξ _i | exp ∆ . En revenant ` a la d´ efinition de R λts ,

|R _λts (β, α) − R λts (β, e ^β )|

≤ X

τ

t!

(t − τ )! |ν(L ₋₁ ) ^t ∆(s + λ −1 ; L −1 , 1 + λ 0 , τ )(λ 1 β) ^t−τ ||α ^λ

^s − (e ^β ) ^λ

^s | .

La premi` ere partie du terme de droite se majore comme L(R λts ), avec le facteur suppl´ ementaire exp(T log max(1; |β|)); la seconde partie se majore par

|α − e ^β |L 1 S exp(L 1 S log max(1, |α|, |e ^β |)) . Au total cela donne

(7) |Q _ts (α, β, α)| ≤ exp(−9U/10) + |α − e ^β | exp B o` u

B = min(T ; L −1 L 0 ) log eT + 2L −1 T + L −1 L 0 log 2e(2 + S/L −1 ) + T log L 1 max(1, |β|) + log L 1 S + L 1 S log max(1, |α|, |e ^β |) . Cette majoration du module du nombre alg´ ebrique Q ts (α, β, α) ter- mine le premier pas. Dans le second pas on va montrer que ces nombres alg´ ebriques ne sont pas tous nuls (sous des contraintes ad hoc), et dans le troisi` eme pas on minorera le module de ceux qui ne sont pas nuls.

III.2. Le lemme de z´ eros. On va d´ emontrer grˆ ace au r´ esultat g´ en´ eral de P. Philippon [P] le r´ esultat suivant :

Lemme 2. D` es que les param` etres v´ erifient les contraintes (C5) T ≥ 3, S ≥ 20,

(C6) 9T S ≥ 80L −1 L 0 L 1 , (C7) T > 4L 1 ,

un des nombres Q ts (α, β, α), 0 ≤ s < S et 0 ≤ t < T , est non nul.

Dans la suite du paragraphe on suppose Q ts (α, β, α) nul pour tous les (t, s) ∈ N ² avec 0 ≤ s < S, 0 ≤ t < T et (C5) v´ erifi´ ee. On va alors montrer que l’une des in´ egalit´ es (C6), (C7) n’est pas v´ erifi´ ee. Introduisons les acteurs g´ eom´ etriques :

(G, +) d´ esigne le groupe alg´ ebrique G a × G _m (donc G(C) = C × C ^∗ );

ϕ(z) = (z, exp(βz)) = exp _G ◦L(z) o` u L(z) = (z, βz);

W := Im(L);

pour s ∈ N, g s := (s, α ^s ) et donc g s est dans G(C);

Σ := {g s : 0 ≤ s < [S/2]}.

En notant Σ(2) l’ensemble des sommes de deux ´ el´ ements de Σ on a Σ(2) ⊂ {g s : 0 ≤ s < S}. A tout entier s on associe la fonction φ s (z) :=

P (g s + ϕ(z)) o` u P est le polynˆ ome P (Y 1 , Y 2 ) := X

λ∈L

P λ (α, β)∆(Y 1 + λ −1 ; L −1 ) ^1+λ

Y ₂ ^λ

.

Ce polynˆ ome est non nul car les coefficients P λ (α, β) ne sont pas tous nuls et les polynˆ omes ∆(Y 1 + λ −1 ; L −1 ) ^1+λ

avec 0 ≤ λ −1 < L −1 et 0 ≤ λ 0 < L 0

sont ind´ ependants (voir lemme 1). On v´ erifie imm´ ediatement que pour tout (t, s) ∈ N ²

ν(L −1 ) ^t φ ^(t) _s (0) = Q ts (α, β, α) .

L’hypoth` ese initiale permet alors de dire que pour tout entier s, 0 ≤ s

< S, la fonction φ s a un z´ ero d’ordre sup´ erieur ou ´ egal ` a T , en 0. Dans le langage de [P], cela signifie que le polynˆ ome P s’annule le long de ϕ ` a un ordre sup´ erieur ou ´ egal ` a T en tout point de Σ(2). En introduisant l’entier T <sup>0</sup> v´ erifiant 2T <sup>0</sup> + 1 ≤ T < 2T <sup>0</sup> + 3 (donc T <sup>0</sup> ≥ 1 puisque T ≥ 3), le polynˆ ome P s’annule le long de ϕ ` a un ordre sup´ erieur ou ´ egal ` a 2T <sup>0</sup> + 1 en tout point de Σ(2). Le th´ eor` eme de P. Philippon [P, th´ eor` eme 2.1] dit alors qu’il existe un sous-groupe alg´ ebrique connexe H de G (donc de la forme H = H 0 × H ₁ avec H 0 = {0} ou G a , H 1 = {1} ou G m ), distinct de G et tel que

(8)  T ⁰ + C(H) C(H)



card(Σ + H/H) ≤ 2(L −1 L 0 ) ^r

L ^r ₁

,

o` u C(H) = codim w (W ∩ T H (C)), r 0 = dim(G a /H 0 ), r 1 = dim(G m /H 1 ).

On distingue les trois cas possibles pour H :

1 ^er c a s : H = {(0, 1)}. Dans ce cas r 0 = r 1 = C(H) = 1, card(Σ + H/H) = card(Σ) = [S/2]. Puisque S ≥ 20, on minore strictement [S/2] par 9S/20; (8) donne, en utilisant T ⁰ + 1 ≥ T /2, l’in´ egalit´ e 9T S < 80L −1 L 0 L 1 . Donc (C6) n’est pas v´ erifi´ ee.

2 <sup>` eme</sup> c a s : H = {0} × G m . Alors T H (C) = {0}×C; comme W = C(1, β), l’intersection W ∩ T H (C) est r´eduite `a 0; on a donc C(H) = r ⁰ = 1, r 1 = 0.

La relation d’´ equivalence induite sur Σ par H est l’´ egalit´ e et donc card(Σ + H/H) = card Σ = [S/2]. L’in´ egalit´ e (8) donne alors (T ⁰ + 1) card Σ ≤ 2L 0

et a fortiori 9T S < 80L ₋₁ L 0 L 1 . Donc (C6) n’est pas v´ erifi´ ee.

3 <sup>` eme</sup> c a s : H = G a × {1}. Alors T <sub>H</sub> (C) = C × {0}; comme W = C(1, β) et que β est non nul, l’intersection W ∩ T H (C) est r´eduite `a 0; on a donc C(H) = r 1 = 1, r 0 = 0. On minore card(Σ + H/H) par 1 et en utilisant (8) on obtient T /2 ≤ 2L 1 ; donc (C7) n’est pas v´ erifi´ ee.

Ceci termine la d´ emonstration du lemme 2.

III.3. Application du th´ eor` eme de Liouville, minoration. Rappelons le th´ eor` eme de Liouville [W1, lemme 2.2].

Lemme 3. Soit Q ∈ Z[X 1 , . . . , X n ] et α 1 , . . . , α n des ´ el´ ements d’un corps de nombres de degr´ e d. Si Q(α 1 , . . . , α n ) est non nul on a

log |Q(α 1 , . . . , α n )| ≥ −d log L(Q) − d

n

X

j=1

h(α j ) deg _X

(Q) .

On applique ce r´ esultat ` a l’un des ´ el´ ements non nuls de {Q ts (α, β, α) : 0 ≤ t < T, 0 ≤ s < S}, puisque l’on sait qu’il y en a (§III.2). Les degr´ es partiels de Q ts sont respectivement major´ es par d(α), d(β) + T , L 1 S; et donc

log |Q ts (α, β, α)| ≥ −D log L(Q ts ) − D((d(α) + L 1 S)h(α) + (d(β) + T )h(β)) . En utilisant (6) pour majorer log L(Q ts ), cela donne au total

log |Q ts (α, β, α)| ≥ −A o` u

A := D(log(DL −1 L 0 L 1 ) + ∆ + min(T ; L −1 L 0 ) log eT + 2L −1 T ) + D(L −1 L 0 log 2e(2 + S/L −1 ) + T log L 1 )

+ D log M (α)M (β) + DL 1 Sh(α) + DT h(β) . Cette minoration jointe ` a la majoration (7) donne finalement

exp(−A) ≤ |Q ts (α, β, α)| ≤ exp(−9U/10) + |e ^β − α| exp B . En imposant comme derni` ere contrainte

(C8) log 2 + A ≤ 9U/10 ,

on en d´ eduit

(9) exp(−9U/10 − B) ≤ |e ^β − α| .

On sait donc minorer |e ^β − α|, en fonction des param` etres pour l’instant!

R e m a r q u e. La forme pr´ ecise adopt´ ee au d´ epart pour les coefficients P λ (α, β) de la fonction auxiliaire est intervenue au moment de l’application du th´ eor` eme de Liouville; c’est elle qui introduit les quantit´ es d(α), d(β) dans les degr´ es partiels! Au total, avec la contribution des R λts , on a un terme en (d(α) + L 1 S)h(α) + (d(β) + T )h(β); ainsi si le choix des param` etres L 1 , S, T conduit ` a d(α)  L 1 S et d(β)  T , l’intrusion de d(α), d(β) ne sera pas gˆ enante. Dans le cas contraire, il faudra tenir compte de cette contribution et alors le choix fait pour les coefficients P λ (α, β) ne sera pas neutre dans le r´ esultat final! Malheureusement, le choix que l’on va faire, au paragraphe suivant, pour les param` etres ne permet pas de comparer d(β) et T en toute g´ en´ eralit´ e; il reste donc l’espoir d’un raffinement possible ` a ce niveau dans certains cas.

III.4. Conclusion. Rappelons les 8 contraintes sous lesquelles on a

´

etabli (9) :

(C1) 3 ≤ U, ∆ ≤ U, e ≤ R/S ≤ exp U , (C2) log  X

|ξ _i | 

+log L −1 L 0 L 1 +L −1 L 0 log 2e(2+R/L −1 )+|β|L 1 R ≤ U,

(C3) 36U ² ≤ D∆L ₋₁ L 0 L 1 log R/S , (C4) T log T + 1,04T L −1 ≤ U/10 , (C5) T ≥ 3, S ≥ 20 ,

(C6) 9T S ≥ 80L −1 L 0 L 1 , (C7) T > 4L 1 ,

(C8) log 2 + D(log(DL −1 L 0 L 1 ) + ∆ + min(T ; L −1 L 0 ) log eT + 2L −1 T + T log L 1 ) + DL −1 L 0 log 2e(2 + S/L −1 ) + D log M (α)M (β) + DL 1 Sh(α) + DT h(β) ≤ 9U/10 . Il reste ` a choisir les param` etres L −1 , L 0 , L 1 , T , S, R, ∆, U de fa¸ con ` a avoir pour la minoration (9) le meilleur r´ esultat possible. On impose d’abord

∆ := 9U/25D, et la contrainte (C3) devient (C3bis) 100U ≤ L −1 L 0 L 1 log R/S .

On remplace alors dans le syst` eme de contraintes D par D 0 , ce qui a pour effet de les renforcer (par hypoth` ese D 0 est plus grand que D); on introduit les quantit´ es auxiliaires E et V du th´ eor` eme (E sert ` a exprimer le log R/S qui apparaˆıt dans (C3bis) et V ` a majorer le h(α) qui apparaˆıt dans (C8)).

On d´ efinit ensuite U 1 , U 2 , e U par

U 1 := D ₀ ² V (D 0 log D 0 / log E + 1)(h(β) + log ED 0 V ⁺ )(log E) ⁻¹ , U 2 := D 0 log M (β) ,

U := max(U e 1 , U 2 ) .

Il existe alors des constantes absolues x, x −1 , x 0 , x 1 , x 2 , x 3 telles que les param` etres suivants soient solution du syst` eme de contraintes :

L −1 := [x −1 (h(β) + log ED 0 V ⁺ )(log E) ⁻¹ ] , L 0 := [x 0 D ² ₀ V (log E) ⁻¹ U U e ₁ ⁻¹ ] ,

L 1 := [x 1 (D 0 log D 0 /log E + 1)] ,

S := [x 2 S] e o` u S := D e 0 (h(β) + log ED 0 V ⁺ )(log E) ⁻¹ , T := [x 3 U ( e e S log E) ⁻¹ ] ,

R := SE , U := x e U .

On peut prendre x −1 = 10 ^1,34 , x 0 = 10 ^7,76 , x 1 = 10 ^3,89 , x 2 = 10 ^5,69 ,

x 3 = 10 ^8,26 , x = 10 ^10,93 . Ce choix ne pr´ etend pas ˆ etre optimal, mais

avec les contraintes actuelles il n’est pas envisageable de faire beaucoup

mieux; pour am´ eliorer sensiblement les constantes il faut sans doute modifier

profond´ ement la m´ ethode.

La v´ erification des contraintes est laiss´ ee au lecteur m´ efiant; il pourra aussi voir que

B ≤ (22 + 0,27x + x 3 + 1,37x 1 x 2 ) e U , et alors la minoration (9) lui donnera, tous calculs faits,

|e ^β − α| ≥ exp(−10 ¹¹ U ) . e

C’est le r´ esultat annonc´ e dans le th´ eor` eme; ceci termine la d´ emonstration.

N o t e. A la fin de cette d´ emonstration on peut se demander quelles sont les id´ ees nouvelles qui ont permis d’affiner le r´ esultat de M. Waldschmidt [W2, th´ eor` eme 4]! Et on constate qu’il n’y a pas d’id´ ees nouvelles (mˆ eme si certains outils sont l´ eg` erement distincts); c’est simplement le choix des param` etres qui est diff´ erent. Malheureusement, comme il n’est pas d’usage d’expliciter le “syst` eme des contraintes”, il a fallu ici tout r´ e´ ecrire.

Bibliographie

[Ch] G. V. C h u d n o v s k y, Contributions to the Theory of Transcendental Numbers, Math. Surveys Monographs 19, Amer. Math. Soc., 1984.

[Ci] P. L. C i j s o u w, Transcendence measures of exponentials and logarithms of alge- braic numbers, Compositio Math. 28 (1974), 163–178.

[Di] G. D i a z, Compl´ ement ` a : Sur l’approximation de π par des nombres alg´ ebriques particuliers, ibid. 79 (1991), 255–270.

[Du] A. D u r a n d, Simultaneous diophantine approximations and Hermite’s method , Bull. Austral. Math. Soc. 21 (1980), 463–470.

[F] N. I. F e l d m a n, On the problem of the measure of transcendence of e, Uspekhi Mat. Nauk 18 (3) (1963), 207–213 (in Russian).

[FS] N. I. F e l d m a n and A. B. S h i d l o v s k i˘ı, The development and present state of the theory of transcendental numbers, Russian Math. Surveys 22 (3) (1967), 1–79.

[G] A. I. G a l o c h k i n, On the diophantine approximation of values of the exponential function and of solutions of some transcendental equations, Vestnik Moskov. Univ.

Ser. I Mat. Mekh. 1972 (3), 16–23.

[M1] K. M a h l e r, Zur approximation der Exponentialfunktion und der Logarithmus, J.

Reine Angew. Math. 166 (1932), 118–150.

[M2] —, Lectures on Transcendental Numbers, Lecture Notes in Math. 546, Springer, 1976.

[P] P. P h i l i p p o n, Lemmes de z´ eros dans les groupes alg´ ebriques commutatifs, Bull.

Soc. Math. France 114 (1986), 355–383; errata et addenda, ibid. 115 (1987), 397–

398.

[R] K. R a m a c h a n d r a, An easy transcendence measure for e, J. Indian Math. Soc.

51 (1987), 111–116.

[S] T. S c h n e i d e r, Introduction aux nombres transcendants, Gauthier-Villars, 1959.

[W1] M. W a l d s c h m i d t, A lower bound for linear forms in logarithms, Acta Arith. 37 (1980), 257–283.

[W2] —, Transcendence measures for exponentials and logarithms, J. Austral. Math.

Soc. Ser. A 25 (1978), 445–465.

[W3] M. W a l d s c h m i d t, Transcendance et exponentielles en plusieurs variables, In- vent. Math. 63 (1981), 97–127.

[W4] —, Nouvelles m´ ethodes pour minorer des combinaisons lin´ eaires de logarithmes de nombres alg´ ebriques, Sem. Th´ eorie des Nombres de Bordeaux 3 (1991), 129–185.

EQUIPE DE TH ´EORIE DES NOMBRES UNIVERSIT ´E DE SAINT-ETIENNE F-42023 SAINT-ETIENNE CEDEX 2 FRANCE

Re¸ cu le 10.7.1992 (2241)