D i c t a a t h y d r a u l i c a n a a r d e c o l l e g e s
v a n P r o f . i r . J . T h . T h i j s s e 1 9 5 0 - ' 5 1 e n 1 9 5 1 - ' 5 2
bewerkt door ir. H. van Wijngaarden
Ministerie v a n V e r k e e r en W a t e r s t a a t Directoraat-Generaal Rijkswaterstaat Directie O o s t - N e d e r l a n d
Bibliotheek
RIJKSWATERSTAAT
D i r . B o v e n r i v i e r e n A . f d . S t u d i e d i e n s t Nota 55.19
H y d r a u l i c s d i c t a a t
RIJKSWATERSTAAT D f r . B o v e n r l v i o r e n A f d . S t u d i o d i e n s t nota D i c t a a t H y d r a u l i c a n a a r de c o l l e g e s v a n P r o f . i r . J . T h . T h i j s s e 1950-'51 1951-'52 b e w e r k t d o o r i r . H . v a n V / i j n g a a r d e n
I n Ko u d Ti^" d r gu 11 c a i d i c t a a t * b i s . Plaata i n de mechanica l Indeling van de h y d r a u l i c a 2 I n l g i d l n g j Eenheden en Dimensies 3 Nauwkeurigheid* 5 E i g e n s c h a n n e n v a n vloeistoffen» B r u k 5 # - Y e r s n e l l i n g : g 6 D i c h t h e i d s /o 7 Z e c w a t e r 7 V/ater met s u s p e n s i e - 7 Samendrukking 0 O p p e r v l a k t e s p a n n i n g 9 C a p i l l a i r e o p s t i j g i n g 11 V i s c o s i t e i t 14 H a t h e r a a t i s c h e en P h y s i s c h e h u l p m i d d e l e n t Randvoorwaarden 16 C c n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e 10 B e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g 19 De v e r g e l i j k i n g e n van E u l e r 21 Wet van B e r n o u l l i 22 N o r m a a l v e r g e l i j k i n g 24 V e r g e l i j k i n g van de h o e v e e l h e i d v a n beweging * ( g a n g v e r g e l i j k i n g ) , 25 Gemiddelde s n e l h e i d . C o e f f i c i e n t e n c6 en *^ 29 P o t e n t i a a l s t r o c e n ; . K r a c h t p o t e n t i a a l 33 V i e r k a n t e n n e t 39 H y d r o s t a t i c a : 'A'et v a n P a s c a l 42 D r i j v e n d e - en zwevende v o c r s e r p e n 44 Pgrnanentej n i e t e e n p a r i g e b c y e g i n g ( w r i j v i n g o n d e r g e s c h i k t ) O v e r l a t e n en o p e n i n g e n S t r o m i n g door b u i s l e i d i n g ? n : E i g e n l i j k e o v e r l a a t 40 Lange o v e r l a a t 49 N e e r , Verve1 50 C o n t r a c t i e 53 K o r t e o v e r l a a t ' 55 Openingen 53 Opening c e t t u i t 61 66 Energieverlie-'.en i n b o c h t e n en k n i k k e n 70 V e r l o c p e n e r g i e l i j n i n de z u i g en de p e r s
A?.r,hajbetl sche k l a p p c r .| !>lz. A. a a n z u i g e n van l u c h t 78 a e q u i p o t e n t i a a l l i j n e n - 37 " v l a k 33 a f s l u i t e r i n een r i o o l 73 a l z i j d i g e druk 8 a r b e i d s v c r r a o g e n van beweging 30 a r t e s i s c h w a t e r 191 B. b e g i n s e l van d1A l e m b e r t • 23 b e g i n v o c r w a a r d e n 16 beek 132 * B d l a n g e r , f o r m u l e van 133 140 1 B e r n o u l l i , wet van 22 b e w e g i n s v e r g e l i jk'ingen 19 b i n o r m a a l 24 b o c h t e n , e n e r g i e v e r l i e z e n i n . 70 b o d e m s n e l h e i d 114 b o l ( w e e r s t a n d i n een v l o e i s t o f ) 95 B o y l e , wet van - 9 b r e k i n g s w e t 188 B r e s s e 136 b r o n *• . 190 b u i s l e i d i n g e n , s t r o r a i n g door 66
b u i s met ruwe wanden 116
C. c a p i l l a i r e o p a t i j g i n g 11 " s t i j g h o o g t e , z8ne 1J Chdzy, c o e f f i c i e n t van de 127 " , f o r m u l e van de 117 c i r k e l v o r m i g e b u i s . 118 c o e f f i c i e n t oC en ft. ?9 1 30 31 C o l e b r o o k , f o r m u l e van 126 c o m p r e s s i e modulus * 9 conforrae p r o j e c t i e s 39 c o n s e r v a t i e v e k r a c h t e n 33 c o n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e 16 10 contractie 53 c o n t r a c t i e c o e f f i c i e n t 59 Cross-methode ( r e l a x a t i e - m e t h o d e ) 181 c y l i n d e r ( w e e r s t a n d i n een v l o e i s t o f ) 95 D. D a r c y , wet van 174 d e f i n i t i e p o t e n t i a a l 32 d i c h t h e i d 5 7 d i f f u s o r ' 36 din'.ensies 3 • dffl 17." d o o r l a t e n 43 d o o r l a t e n d h e i d s f a c t o r k 177
T w e c d i m e n s i o n a l o p o t e a t i a a l b e w e g i n g e n 1
V o o r b o c l d c n 181 B r e k i n g s w e t 18G G e t a l l e n v o o r b e e l d 190
Verloop e n e r g i e l i j r i b i j stroking door een omloopriool Hydrometrie: 82 M e e t f l e n s ~1 CD 8? H e e t t u i t V e n t u r i n e t e r . K r a c h t e n door stromende v l o e i s t o f f e n op z i c h i n d i e v l o e i s t o f f e n b e v i n d e n d e v a s t e voorwerpen u i t g e o e f e n d °9 Stuwpunt J S t r o o n b e e l d aan de a c h t e r z i j d e van h e t voorv/erp £ B o l , V l a k k e s c h i j f , C y l i n d e r 95 F i t o t b u i s M e e t s l i n g e r
Weerstand van schepen oo
Egnjr>arl£g b e w e g i n g ;
I n l e i d i n g • JjJJ i L a m i n a i r e s t r o m i n g d o o r een b r e e d k a n a a l 1«0
L a m i n a i r e s t r o m i n g door b u i z e n 108
T u r b u l e n t e s t r o m i n g e n 114 Hydraulisch ruwe boden en/of wanden 115
B u i 3 n e t ruwe wanden C i r k e l v o r r a i g e b u i s
Opmerkingen oratrent de k-waarde 11°
H y d r a u l i s c h g l a d d e wanden 121 S a m e n v a t t i n g f - f j F o r m u l e van V / h i t e - C o l e b r o o k • ^ C o e f f i c i e n t van de Ch<5sy J*7 V o o r b e e l d e n £ V o o r d e l i g s t e p r o f i e l P e r n a n e n t e , n i e t eenjgarlfie b e w e g i n g i n open l e i d L n g e n j . 134 F u n c t i e van B r e s s e . *^ Formule van B e l a n g e r Stromend en s c h i e t e n d w a t e r 140 Y e r k a n g l i j n i n open l e i d i n g e n 14<* . V o o r b e e l d e n / B e r e k e n i n g van de mate van o p s t u w i n g 14°
Ovcrgang van s c h i e t e n n a a r stromen Overgang van s t r o m e n n a a r s c h i e t e n De w a t e r e p r o n g B e r e k e n i n g e n t e r p l a a t s e van de w a t e r s p r o n g V e r d r o n k e n w a t e r s p r o n g O n r e g e l o a t i g e r i v i e r l o p e n 153 154 160 1 *,A Crondv-'ater: 17< 1 7 Grond, V l o e i s t o f V e r s n e l l i n g s v e r g e l i j k i n g 7/'et van Darcy
D o o r l a t e n d h e i d s f a c t o r k *' <
K—waarden '' Orondvergelijkingen v o o r h e t r u i m t e l i j k
X*. k a n t e l s c h u A t barman| von " , w e r v e l s t r a a t v a n v o n k e r n v a n een v/ervel k i n e m a t i s e h e v i s c o s i t e i t s c o e ' f f i c i e n t k n i k k e n , e n e r g i e v e r l i e z e n i n K o z e n y , f o r m u l e van k r a c h t e n door stromende v l o e i s t o f f e n op voorwerpen k r a c h t p o t e n t i a a l « krommingsniddelpunt kromraingspunten van de v e r h a n g l i j n e n k-waarde l a b i e l e v e n w i c h t l a m i n a i r e g r e n o l a a g l a m i n a i r e s t r o m i n g " " d o o r b u i z e n " " i n een b r e e d k a n a a l l a m i n a i r - t u r b u l e n t l i f t l u c h t b e l l e t j e s i n w a t e r ft*, m a t h e m a t i s c h e h u l p m i d d e l e n m e e t f l e n 3 m e e t s l i n g e r m e e t t u i t ^ nengweg 1 m e t a c e n t e r h o o g t e metacentrum N» n a u w k e u r i g h e i d n e e r Newton, wet v a n Kewtonse v l o e i s t o f f e n n i e t e e n p a r i g e beweging n o r m a a l v e r g e l i j k i n g
, 0» Ohm, wet van o n l o o p r i o o l o n r e g e l m a t i g e r i v i e r l o p e n o p e n i n g e n o p e n i n g met t u i t o p p e r v l a k t e o p a n n i n g o p s t u w i n g , b e r e k e n i n g mate van o v e r g a n g van s d i e t e n n a a r s t r o m e n " " stromen n a a r s c h i e t e n o v e r l a t e n , k o r t e " , l a n g e b i z . 47 11-i 92 49 14 70 178 89 32 23 149 11G 179 45 122 104 106 111 106 123 126 92 10 16 85 98 86 114 47 47 5 49 9 14 47 24 183 75 164 48 50 61 9 148 150 151 40 55 49
d r a i n a g e van t u i n g r o n d e n d r i f t d r u k d r u k h o o g t e d r u k l i j n o f p i e z o m e t r i s c h e n i v e a u l i j n druppela d r i j v e n d voorwerp ( d u i k b o c t d u i k e n d e s t r a a l
dynamische druk i n h e t etuwpunt E. eenheden
e e n p a r i g e beweging e n e r g i e b e s c h o u w i n g e n e r g i e h o o g t e
" - l i j n b i j stroming door een o m l o o p r i o o l M »" i n de z u i g - en p e r s l e i d i n g v a n een geraaal " - v e r l i e z e n i n b o c h t e n en k n i k k e n E u l e r , v e r g e l i j k i n g e n v a n e v e n w i c h t s d i e p t e ¥. f i l t e r b u i s L f i l t e r s n e l h e i d f o r m u l e van B d l a n g e r f o r m u l e van W h i t e - C o l e b r o o k F r o u d e , g e t a l van f u n d a m e n t e l e g r o o t h e d e n & G. g a n g v e r g e l i j k i n g g e m i d d e l d e s n e l h e i d g e t a l v a n R e y n o l d s g r e n s d i e p t e g r o n d ' g r c n d m o d e l l e n g r o n d w a t e r g r o n d w a t e r , r u i m t e l i j k s t r o m i n g s b e e l d van H. h y d r a u l i s c h g l a d d e wanden
<> ruwe bodem en/of wanden b y d r a u l i s c h e s t r a a l R h y d r o n e t r i e h y d r o s t a t i c a h y d r o s t a t i s c h d r u k v e r l o o p h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g «• wet I . i d e a l e v l o e s t o f i n i p u l s van de k r a c h t i n t r e d e v e r l i e s i r r i g a t i e stuw b i z . 101 92 5 8 6 6 10 45 45 5? 90 3 101 69 22 75 73 70 21 25 136 190 170 132 126 105 2 25 29 132 104 120 160 182 12 168 180 121 115 109 82 41 42 61 42 56 14 67 55
turbulente stroming I « J 114
" . 131 stromingen i n een p r o f i e l met
ruwe bodem 117 Uj, u - c i j f e r u i t t r e e v e r l i e a V» V a l k e n , i r . v o n t u r i i n e t e r v e r b a n d t u s s e n C en X 11 t! II 119 67 01 I67 07 . u m u u U U O O C I i V- yii <"\ 131 v e r d r o g i n g s g e b i e d v e r g e l i j k i n g e n van E u l e r ^ v e r g e l i j k i n g s n i v e a u g v e r g e l i j k i n g van'de h o e v e e l h e i d van b e w e g i n g 25 v e r h a n g l i j n , krommingspunten v a n de 149 " i n open l e i d i n g e n 142 v e r n a u w i n g e n ,Q v e r s n e l l i n g ( g ) g v e r s n e l l i n g s v e r g e l i j k i n g e n - • 15 v e r t i c a l e wand ,? v e r t r a g i n g s k r a c h t 1 0'r j v i e r k a n t e n n e t . ,«
29
183 14 1495
v i s c o s i t e i t " - s c o e f f i c i e n t v l a k k e s c h i j f ( w e e r s t a n d i n een v l o e i s t o f ) v l i e g e r v c r m i g l i c h a a m \ v l i e g t u i g v l e u g e l c? v l o e i s t o f ' T.Sd " i n r u s t * j > W. wand t u s s e n twee v e r s c h i l l e n d e v l o e i s t o f f e n 44 w a n d w r i j v i n g y,< w a r m t e s t r o n i n g s l e e r 1 9 4 w a t e r met s u s p e n s i e ' j w a t e r s l a g C ; w a t e r s p r o n g jCQ 153 15S , b e r e k e n i n g t e r p l a a t s e van de I54 , p l a a t s 3 , v e r d r o n k e n \£Q Weber, g e t a l van 3 0 5 w e e r s t a n d s c o e f f i c i e n t C 93 w e e r s t a n d s k r a c h t T / ±*IA w e e r s t a n d van schepen 9 0 " v e r o o r z a a k t d o o r v a 3 t e v o o r w e r p e n i n v l o e i s t o f f e n 09 w e r v e l ,0" - s t r a a t van von Xarman op wet van B e r n o u l l i
" " " v o o r p o t e n t i a a l s t r o n i n g c n
" " B o y l e P
" " D a r c y 1 ? J
b i z , p a r t i c u l a r i s e r e n d e voorwaarden 16 P a s c a l , wet v a n 42 permanent*! eenparige s t r o m i n g 1>6 permanente, n i e t e e n p a r i g e beweging 134 perepunt 45 phreatlsch o p p e r v l a k ( n i v e a u ) 15 » w a t e r 191 p h y s i s c h e h u l p m i d d e l e n 16 p i e z o m e t r i s c h n i v e a u D P i t o t b u i s 96 p l a s t i s c h e v l o e i 14 P o i s e u i l l e H I 177 p o r i e " n g e h a l t e 1^9 " - o p p e r v l a k 1J° potentlaal " 2 » -beweging, t w e e d i m e n s i o n a l e 180 " - s t r o m e n 31 " - s t r o m i n g l R f ) probeermethode 1^6 put 190 r a n d v o o r w a a r d e n 1° r e c h t e f i l t e r 40 R e y n o l d s , h e t g e t a l v a n 104 r i c h t i n g s v e f a n d e r i n g c n a c h t e r e l k a a r 72 s a m e n d r u k k i n g e s a m e n v a t t i n g l a m i n a i r - t u r b u l e n t 123 » permanente b e w e g i n g 25 s c h e p e n , w e e r s t a n d v a n 99 s c h i e t e n d w a t e r 140 s c h u i f s p a n n i n g *4 105 s c h u i f s p a n n i n g s s n e l h e i d H 5 s n e l h e i d s o a r a b o l o l d e 1 1 0 s o o r t e l i j k g e w i c h t ( s . g . ) 5 s p i e g e l h o o g t e ( °9 s t a b i e l e v e n w i c h t 45 s t a b i l i s e r e n d k o p p e l 4j> s t a t i s c h e d r u k h o o g t e v e r d e l i n g _ 28 S t r i c k l e r stromend w a t e r *40 s t r o m i n g door b u i s l e i d i n g e n 6 6 stroombaan " - b e e l d aan de a c h t e r z i j d e v a n h e t voorwerp91 " - b r e k e r s ^^9 - f u n c t i e Y 33 -Hon n a a r put 41 41 09 " u i t b r o n stuwpunt . s t i j g h o o g t e • *• 'suopensie t u i t , o p e n i n g met " d i v e r g e r e n d 61 64
b i z , wet v a n P a s c a l 8 42 " " P o i s e u i l l e 177 111 " " Newton 9 W h i t e , f o r m u l e van 126 woelb&k ., 161 w r i j v i n g s v e r l i e s 67 I J i a u i d e n , b e m a l i n g 181 z e e p b e l 11 z e e w a t e r . 7
t:uig- en p e r s l e i d i n g v a n een gemaal . 73
zwevend voorwerp 44
2 2 1 1 ^ 1 2 2 0 - 1221 Do HydratLLloa i s een o n d e r d e e l van do mechanlca.
WiJ houdan da volgende i n d e l i n g van mochanica aani
Evao.vd.oht ' Beweging ' — • - i - \ • , . * ! I tocgoinocho j t h c o r . n o c h . j .4 _i h y d r o s t a t i e a ! ^ e m ^ h y d r o d y n a m i o a l ; Gad i h y d r a u l i o a J 1 ' I j c e r o s t a t i c a { aorodynarrlca ! I j 1
Do I!ydr:.ulica i s con oud v a l e Gcduronde zeer l a n g s t i j d i s hot eon eropirisch vak gebleven. Do F o m u l o van F l i n u e u s i s b.v. volkcmen o ^ i r i c c h .
Newton, d i e t o t do wot k= m.a. kwam, h e o f t oen bet ere b a s i s aan de H y d r a u l i c a gegeven.^
I n do 19 ecuu kwam de lrydrodynar?ioa t o t o n t w i k k e l i n g , g e h e e l a f z o n d o r l i j k v a n do H y d r a u l i c a . Do hydrodynanica was con vale v o o r natuurkunuigen.
Eoido vakkan hebbon h o o l l o n g afgoschoidon naast e l k a a r v o o r t b o s t a a n , h o e v e l z< h o t z e l f d e onderwerp bohandelcn, e c h t e r v a n u i t v e r s c h i l l e n d e r i c h t i n g e n .
\ P o i d e vrJckon kev-on steeds d i c h t e r b i j e l k a a r .
B i j de H y d r a u l i c a poogt-nen steeds meer de formules een s t e v i g e t h e o r e t i s c h e b;
t o gGven0" * •
?d) De Technisehe Vraagbaak..
2) H. Rouse: Elementary mechanics o f f l u i d s 1945 - 1946 New York/London. ( t h s o r e t i s o h )
3) K. Rouse: E n g i n e e r i n g Hydraulies 1950, New York.
t\) Book van vooi* 1933 v a n :
P. Forcloheicer: H y d r a u l i k . 3 Auflage 1930 Leipsig/£er3.in.
j 5) H, Lamb : nydrodyiianicS 6 t h . ©do 1932. Cambridge U n i v e r s i t y P r e s s . VRouse gaat i n z'n boekan n c e r u i t van de Ancrikaanse e i s s n .
d»gaa r!^-prnr.t.ifi,-.a\? fcCfipaaaiPfi g a AS H y d r a u l i c a .
Baschouwan wo een p r o j e c t a l s do Tennessee Y a l l y works, dan kont h i e r b i j t o pat a« f l o o d c o n t r o l
b. po'./or • e n o r g i e c. i r r i g a t i o n - bevloeiing d. navigation** t r a n s p o r t .
I n Nederland komt h i e r nog b i j :
2
J n d o l l n a . T M i de K y d r a u H c a Be jeveging van een d c o l t j e kan z i j n t
Permanent
d0v « z# c ) eenzelfde p i c k z a l i k steeds
eenz e l f d e \ i r s c h i j n a e l eenz i e n . Bus: eenz e l f d s s n e l -h e i d , ri t -h t i n g v a n de s t r o m i n g en druk i n e'en bepi i l d e p u n t l dus voear een bepaald punt g e l It s
Niet-PeTTnOTQpt
o.,
Senparjg R s ^ n ^ n t E ' J U & A g i m s i ^ ^ Z o v o l op e e n z e l f d e '
p l e k god. rende end-] go t i j d <.ls op and> go T>I.J<J. LJUS op ancor r o p l a a t s e n i n do •
stroomric b t i n g | $v ' , 6v treodb zelfde snel-' 5 3 v e a ? a*d e r* 53 v c r y h o l d , r i c h t i n g v . d je e l e i d c l i j k o v c lw f: o r t Q
-troming en druk OP)
ov rf«»o o t doW.z. do v e r a n d e r i n g van s n e l h o i d enz. g e s c h l e d t v c o r b e o l f l i h e e l langsaam. Y&Q£fcS£ld i g e l e i d e l i jke r i j a i n g op b o v e n r i v i e -r c n Golven G e t i j d e n .
© .
u.. oridv»:--ter v=o Rust Rydr c y s t i c aB i t our/at nu~net gehele gebied van de H y d r a u l i o a . © © etc':
be ha fid e l
Yo nu y.rd::r or.s crbeir'sveld op h e t gebied van de ensan^r.drukbara y l o e i
-g t o f ??a i n de ::?,T?.rmlica.
Vo gaan ons dus bemoeien n e t de v i s c o u z e v l o e i s t o f f e nr d i e druppelvcrming konnen.
We moeten van e l k . d e e l t j o p l a a t s en druk kennen a l s f u n c t i e v a n de t i j d . " Uo s t r o v e n z o v e o l m o g e l i j k naar een t h e o r e t i s c h o b a s i s v a n onze f o r m u l e s . Uo konnoni
Thoo ' cn o'cepr.i'-'antela T'ydraullca•
Da e:qjorinonten dienen tegenvoordig om do c o a f f i o i e n t e n t c bepalen i n do t h o o r e -t l s c ' i a f g e l e i d e f o r m u l e s .
Togerrvroordig vordt v.: e l goSsporinontoerd i n nodallon.
Me hubbon de c o o f f i c i c n t e n graag a l t i j d d i n c n s i e l o o s .
Eon :oo;a ferr.ulo ro.-t. v a t djnengieg b e t r e f t , vcrantwoord z i j n . De c o e f f i o i e n t e n z i j n dan u i t e r a a r d d i n c n s i e l o o s .
3
-Do oudere fcrmule3 hebben d i k v i j l s nog c c e f f i e i e n t o n met dimen3ie.
I n l e i d i n g .
Eigenschappon van v l o e i s t o f f o n .
M a t h e n a t i s c h orsenaal} a f ' l e i d i n g van de b a s i s formulae. Eei ihede n ^ n Dtluon?iPS »
De termen van een v e r g e l i j k i n g moeten d e z e l f d e g r o o t h e i d v o o r s t e l l c n , d e a i f d e diiiiensie hebbon<>
bsv0 k • n . a0
We moeten een g r o o t h e i d d i k v i j l s beschouwen a l s een combinatie van andere g r o o t hoden.
-E r z i j n n o d i g : d r i o fundancntola prootheden.
welke oombinatie k i e z e n we c u h i e r v o o r ?
De oombinatie: l e n g t e . opporvlok. inhoud, i s n a t u u r l i j k n o o i t t e k i e z e n , om-d a t ze v e e l t e v o c l a f h a n k e l i j k van e l k a a r z i j n .
Ken zou kunnen k i e z e n : gewicht. v e r e n e l l l n g en s n o l h e j d .
Deze oombinatie i s echtor v e e l t e i n g e v i k k e l d om gemakkeXljk moo t e y e r k e n .
Voor de. hand l i g t : de l e n g t e I 1 en do t i j d : t a l s fundamentele g r o o t h e i d t e nemen. De keuze van de derde g r o o t h e i d l i g t n i e t so voor do hand.
H i e r l i g t do s c h e i d i n g t u s s e n tveo groepen votensckappen.
Men ass, a l s dgrdp fundamentals, g r o o t h e i d do k r a c h t i k kunnen nemen. E o h t e r :
Het a e t e n van k r a c h t i s org m o e i l i j k .
Hen d o e t ' d i t met de z v a a r t e k r a c h t . Deze w i s s e l t e c h t e r over het gehole aardop-p e r v l a k .
V/e geye'en ook de i " ; .: n a l s fvmdanentele g r o o t h e i d kunnen nenen. De mass.3, van i o t s i e T o v e r de gehele aarda v o l c o n s t a n t .
Hen kan du3 nemen a l s fundamentele groothedeni l e n g t e t 1 t i j d : t massat m0 tfij handhaven d i t l a a t s t e s t e l s e l . Eo© z i e n nu v e r s c h i l l e n d e a f g e l e i d e grofitheden e r u i t ? L e n g t a : [ l ] j , Oppervlakl [ l ] j volumej_ [ l ] f traagheidBffiojaenti [ X j } f e i t per eonhoid van l e n g t e : [1 J j
[ t ] }
V e r s c h i j n s e l per eenheid vau t i j d Lt J j • c - s s a p~] > Conblnr.tiea I L e n g t e an t i j d S n e l h o i d : [ I t "1] . v e r s n e l l i n g i [ i t ] . 2 ^ Kinematiache v i s c o s i t e i t : [ i " t J . Co"b^r\'-tio vas 3 . t en n: K r a c h t i [ s a t ~ J <> o_ K r a c h t per eenlieid van l e n g t e : [art J •
Kracht per eenheid van oppervlak: r , ^1 b.v„ d r u k , spanning L n l t j .
^ —m
K r a c h t p e r eenheid van volume i P a l t J • ftsMdl d . i . kracfrj} x weg
(aroexdsvernogen) dus j ^ n l ^ t " ' ^ .
Yermogen.1 del0 a r b e i d p e r t i j d s e e n h a i d r
dus [uL''t*"^J o
Eiehtl'd?.;'d» d . i . r a s s a p e r eenheid van volume» !>.a~3] .
I n f o r n n l e s steed3- de d i n e n s i e c c n t r o l e r e n .
Welke eenhedon nemen we n u v o o r , [ t ] en \m~] ? We kiez--.n h e t n . k o S . s t e l s e l
d . v0z0 t i j d : sooonde
l e n g t e : motor
massa: de n a s s a v a n 1 1. water b i j U C, de Idlc^ram,, A f g c l e i d o conhsflcn: 2
g- 9,8 n/sec.
do eenheid v a n k r a c h t : k= m.a. 2 _
k= 1 k g . 1 n/sec. dus 1 k g n/sec. =11 (newton).
(Doze II s t a a t du3 g e l i j k met 1 k i l o g r a m k r a c h t u i t andere s t e l s e l ^ 0,102 k i l o g r a n
-g • kracht)„ .In h o t e.g.s. stol3el konsn V8 op analoge w i j z e t o t de dyne a l s eenheid v a n k r a c h t .
1 dvno = 1 g rQ x 1 cm/sec. c
1 8 • 10^ dyne.
Do dyno i s t e k l c i n on g e m a k k o l i j k nee t e kunnen weiken.
*
do eenheid van a r b e i d : a r b e i d - k r s c h t x weg, eenheid= 1 Km«
( i n b e t c.g.s. s t e l s e l : eenheid van a r b e i d : 1 dyne c n = 1 e r g 1 2rn = 1 J o u l e (eenheid
1 "n - 10' e r g - 1 J o u l e 2 . «,
u i t de e l e c t r i c i t e i t ) . f m l t"~ ] .
Km i s ook da eenheid v a n k o p p a l . Dan spreken va e c h t e r n i o t v a n J o u l e , e n k e l v a n 2Tn„
YS-IT-O^^. - a r b e i d p e r t i j d s e e n h e i d ^ , fla o3.:.:>id v a n vor..!oq3ni = Ilm s e c " r.~ J sac*" = lIs^S.
1 Matt- 10 e r g / s e c , /
Da P.K0 wordt door ons n i e t meer gebruikto
Do watt i s een zeer k l e i n o eenheid. Dearcn voeren va behalve onze k l a s s i e k o eenho— den ook veclvouden i n . b.v. k i l o m e t e r s , m i l l i m e t e r s , n i c r e n s .
D i t i s een v r i j l o g i s c h s t e l s e l (de hectometer, decimeter e,d. pasnen n i e t i n d i t s t e l s e l e»0rakon ook n i n o f n c e r u i t do mode)e We hopen ook de c n " u i t t e rangeren".
t e r a - 10© g i g a = 10j? nega = J-0-? k i l o = H T • eenheid - '. « \ n i l l i - 10":?
r l c r o = 10 . Wo kunnen doze v o o r v c e g s e l s dtrs g e b r u i k e n b i j onzo h i e r v o o r p i c o 3X).n9 vastgestelde eenhoden*
5
-Kau::keurigh a i d ,
S t a l l we moeten eon waterstand a f l e s o n :
We l e z a n s u c c e s s i e v e l i j k a f b.v. oer3t 0.46 a - N.A.F. l a t e r 0opQ m - H.A J>.
Deze n u l i s r a t i o n e d . 4
V e r o n d e r s t e l m i d a t h e t wator JJI hevige b e r o e r i n g i s . Wo Ironnan s l o c h t s a f l e z o n t o t i n dm.
We hoc t e n dan a l s v o l g t notoren: 0,5 B - H.A..PU
Zoudon we b i e r con n u l s c h r i j v e n , dan was d i t eon o r r a t i o n e l e n u l , d i e o e h a d e l i j k o govolgon kan hebben.
Een iiaarnoming d i e nauwkeurig i s t o t i n em's moeten wa n o o i t u i t d r u k k e n i n ram, n a a r b . v0 i n meters.
,;0 moeten dus o n r a t i o n a l o n u l l e n v e m i j d o n ,
Ilcten we b.v. een s n e l h e i d t o t o p ' v l dm nauwkeurig, dan n o t e r e n wo: 1,4 a/seo on npojjj: 1,40 n/sac.
2 i £ & b a & « . • •
D i c h t h e i d = n a s s a p e r eenheid v a n volume. Do eenheid i s I k g a . S y n b c e l : pt
D i c h t h e i d i s n i e t h o t s e l f d e a l s sag«
I s r s g .
Onder s.g. v e r o t a a t men de verhouding van h e t gewicht v a n een z e k e r volume v a n eon s t o f en oen g e l i j k volume water ( z u i v e r , g e d i s t i l l o e r d van 4UC.}
2e Def« Onder s.g. vor3taan vie de k r a c h t waamee de aarde dc eenheid v a n volume a a n t r e k t pg 3 3
p <:ator - 1000 dan 3ug . = ^w« g ~ 9,51e10^ En"° = J0
n s -P r i o eiggagojiaaBga g a atesia^££SB i n t o r e s s c r a n o n s :
1. De-druk •
2. De o p p o r v l a k t o s p a n n i n g 3. De v i s c o s i t e i t .
We beschouwen da druk op een oppervlakte-deeltje„
Da w r i j v i n g s k r a c h t e n langs de wandan v a n d i t waterkolommetje z i j n u i t symmetric-overvogingen n u l0
j 1 — — z
We baschouwon nu de y ^ t c r k o l e n : Het v o l u n a van da v l o e i s t o f i s z.dA Da nassa dus:/>.z,dA.
Pus de k r a c h t t . g . v . do swaartekracht =/a,s.di.gf
/tt-ysfcrls-fao druk: pa»d A
We k r i j g e n dus i n t o t a a l : p.&fc = ^,g.z.dA + pft»dA. • '
~ 6
-Wo hebban v e r c n d e r s t t s l d n e t een s t i l s t a a n d e v l o a i s t o f t o doen t o Hebben. We v a t t e n de druk m e e s t a l op t . o . v , de a t m o s f e r l s c h e d r u k . ( D o <?ruk op h o t o p p e r v l a k noenen we dan n u l ; . dan g e l d t dus:
r r e l a t i e f a. o f W e l l z n Zm noenen ve de drvkhoorrte
B i j een stromende v l o e i s t o f z a l de drukhoogte n i e t g e l i j k z i j n aan de a f o t a n d t o t h o t o p p e r v l a k . Op de den o f andere w i j s o kunnon we de druk bepalen en dan
Opp 11 v fok Piczerneit t'sch niveuu von drukni - \ w i of pier.o. I f.r/sch niveou'i i kunnen we z~ p l-~ v e e r bepalen c n i n p° do f i g u u r u i t z o t -ten,
P o f i n i t i o s : I n d i a n we i n eon bepaald punt van een stroomveld de drukhoogte u i t z e t t e n , o n t s t a a t een d r u k n i v o a u , yd"onetr5.sch n i y e a u .
Wo k i e z e n e e r s t een vorr.elijkJ.ngf?tiriyep.u.
We vo3Xfcaan dus onder do hoogte van h e t r i S z o m o t r i s c h n i v e a u boven con v e r g e l i . 1 -kinrrrmivsau: plaatshooffto * drukhoogte.
Piezonotr^soh n i v e a u en drukhoogte z i j n aan e l k a a r verwant. Bank e r e c h t e r om dat men x o n i e t v e r v a r t .
Beschouw h i e r t o e punt © c n © i n onderstaande f i g u u r : ,
De, drukhoogte i n punt © i s g r o t e r dan i n p u n t © • naar hot p i e z c i a e t r i s c h n i v e a u l i g t i n © l a g e r
dan i n © u o o r de nog s t e r k e r e p l a a t s d a l i n g . We kunnon de neotk. pl?.ata van do p i g s , n i v e a u18
bepalen v a n con v e r z a m e l i n g punten buv . voor de
3_ijn A~B. Zo o n t s t a a t de d r u k l i . j n o f p i e z o n e t r i s c h e n i v e a u l i j n .
Druk tun
Da .yorsnallinaig. p Da versnelling g hangt a f van de p l a a t s op aarde. Mu i s z » dus e r z a l v e r
-Ho
* s c h i l i n d r u k l i j n v o o r e c n z e l f d e stroombeeld op v e r s c h i l l e n d e p l a a t s c n op aarda z i j n .
g noemt a f , naarmate de hoogte tocneemt.
Verder treedt naar1: de equator t e a een afnana van g op, Dc laagste waarde v a n g op aarde bedraagtI 9.76.
Da grootte van g i n ens land bedraagt: 9,63.
In once berekeningen schrijven vs normaal 9,8 o f ock wel 10.
A l s wa n e t 9,8 vorken vervlakken we a l s h a t v/a ra da v e r s c h i l l e n d i o van p l a a t s
7 ~
De dichtheidI P.
p = de dichtheid. Doze b l i j f t van p l a a t s t o t p l a a t s h e t s e l f de en v e r a n d e r t dus oiet, mot variatie van do g,
Hatuurlijk yerandort p u o l net de eigeuscbappen v a n de stof.
Globaal bevat 1 &3 zeewater: i n k g Ol'
2 1/2
Ha' 10 1/2
Mg
1 .1/2 1/2 • = 34 kg/23 aan cpgolc^sto zouten. ;\tooEigo\r, 35 1/2 48 23 12 20 - .0,54 0.05, .0.46 0.12 0.02 , De ionenbalans i s i n evenwicht. -0:59 i o;6o j De ionenbalans i s i n evenwicht.
Me/t kleinere Boutresten bevat seevateri 35 kg/k? opgeloste zoubes.
Door oplosson zet water iets u i t : zodocnde: p = 1Q26 kgn^(ncn zou 1035 vervach-' De dlohthoid van zeewater i s aanaienlijk g r o t o r .
Hoordaoe: i n bet midden 1024 \ lager door de toovoer van langs de kant 1C16J zoet water.
Water met BUgpensie.
Slibhoudend water verhoogt de dichtheid van h e t water. Het i s geen echte v l o e i -stof, want b i j rust slaat h o t s l i b neer. Kaa? b i j stroming kan Water met s l i b ale een fcomogere v l o e i s t o f beschouwd worden.
• Komt een Slibhoudonde rivic-r i n een zuivere r i v i e r dan duikt het eerstgencerrdo ' water onder het zuivere water, (v.b. PJione i n het Meer van Geneve).
We nocmon d i t dc.ag,ltv_£ur£^a^.
. Er z i j n hlervoor drie ontstaaasmogelijkhedeni a. tenperatuurverschillen b. souteehalteverschillen
. £. v e r s c h i l i n gehalte aan ge- i Biispensaordo stoffen«
8
-Pz
Be Wet van P a s c a l zegt d a t i n een bopaald pnnt gosproken kan worden van fift druk»
De druk op i e d e r v l a k j e i s daar t e r p l a a t s e a l t i j d h e t ~ z e l f d e . Dus px = ps
Onze v r a a g i s nu: I s d i t e x a c t ?
Antweordt Ondanko do aonwezigheld van'de zwaartekracht b l i j f t do VJet van. P a s c a l t o c h e x a c t g o l d e n .
Een volgende v r a a g i s : tfaaroa g e l d t h i j voor v a s t e s t o f f e n n i e t ?
De VJet van P a s c a l g o l d a l l e e n a l s we de s c h u i f spanning l a n g s h e t beschouude v l a k j e nochten v e r w n a r l o z e n . D i t mogen v;e b i j v a s t e s t o f f e n n i e t doen.
A l s 3en v l o e i s t o f i n r u s t i s , dan i s e r geen s c h u i f s p a n n i n g i n . I n c an bewegende v l o e i s t o f kunnon zo w o l o n t s t a a n .
Dan * e l d t de VTot van P o s c a l s l e c h t s b i j bonadering.
E r i s een r e l a t i o v e f o u t , welke g e l i j k i s aan de verhouding t u s s e n s c h u i f s p a n n i n g en narmale druk. • Dazo verhouding i s van de ordo v a n g r o o t t e van 10 „
We kunnen de Wot van P a s c a l di\3 r u s t i g toepassen b i j v l o e i s t o f f e n .
B i j r h e o l o ^ i e ( s t r o m i n g s l c e r ) : stroming van v l o e i s t o f f e n n e t g r o t e s c h u i f s p a n n i n g ! ( v e r f e.d.) gaat P a s c a l n i e t neer op.
Sier:er.dr^Vk4ng. *
We kronen h i e r v a n a l l e e n Bpreken a l s we v a n a l l e kanten drukken. . " - 1 • • 1 E 1, r t H 1* H r ! t L i i i i i i
g i j v e s t a s t o f f e n g o l d voor sonzi.ldiHe druk: E
/ • m a t Ecri zy p'/'yg- c/ruk.
A~;- = (1 ~ 2m) A-f = (1 - 2n) n.L : Y- >= ( l -!• nal )2 ( l - A l j = ( l2 - i - 2 m l * l + n2A l2) ( 1 - A l ) » 3 2 2 r - n i + 2 mi A i - A Y = ~Al ( l2 - 2ml*J
We ko don h i e r v o o r ook s c h r i j v e n t
A Y '.' K i s dus con spanning, welke d o z e l f d e r o l s p e e l t a l s V g i n 6 = £.
S
K = E. We men K = ccrapressicrtodulus.
j s I ...i - y D i t gold dus v o o r e o n v a s t e s t o f . f
3 3. - 2mJ B 1 j e e n n o r O Tie v a s t s t o f i s : in • 1/3
B * 2oloH" H/n5 B i j B ,aal b.v. K ,2o l 0H S >5 ?
B i j f . o e i s t o f f e n kunnen we ook van K spreken. Voor l a t e r K = 2 10' H/m .
Viator i s 100 x zo e l a s t i s e h a l s s t a a l o
E i i f issr-n v o l p t h e t h e l e g e v a l u i t de VJet van E o v l o . Gas sen z i j n s t a r k e r saEen-druki larl K i s dus k l e l a e r * We k r i j g e n b i j gassen gauw h e t o p t r e d e j van saaen-drukt l a r h e i d . B i j v l o e i s t o f f e n i s de sanendrukbaorheid b i j n * a l t i j d t e verwaa*-lozei;»
E r s i l a twee u i t z o n d o r i n g o n :
i z« at>oe3t een r o l b i j stroming van water i n de diope a e l o n van de Ooeaan. *' 2 P it ' .» n « k w e s t i e s van hogs druk b.v. b i j een waterkrachtwerk.
B i j ( v e r t r a g i n g ) , p l o t 3 c l i n g o vcrnauwirR onder aan de b u i s t r e e d t w a t e r s l a g op, a l l e r l e i e l a a t i s c h e v e r s c h i j n s e l o n .
r e s e r / o i r
Q3lp_eIVlJ^ste5?,i\2SM<,
D i t i s een merkwaardig v e r s c h i j n s e l .
Eeschouw hot g r c n s v l a k tussen twee a i d d e n s t o f f e n .
Da d e e l t j e s b i j het oppervlak go-l c g e n z i j n i n een andere t o e s t a n go-l dan d i a p e r i n de s t o f .
Wot van iTowton: .
a = — = a a n t r . k r a c h t i p.. . , , « « , Ir, h o i M i m O T S t e vordt even hard naar a l i a !-.ntan aaiujotroMcon.
T ^ T ^ U
5*55*
- oat a,» do bavaaKantandor, warton to ^ £ S M B . twoado Hot heeft aadere d i c h t h e i d , * . ^ l a vecx rttfU a n d c r s .10 ~
eoporvJ-.Ate-spanning z o r g t e r voor d a t do oneffenhoden i n h e t g r e n s v l a k t u s s e n twee media veggctrokken wordeni
v*
1 1 ontbonden, langs v l o c i-e t o f o p n -e r v l a k van d-e ow-D i t r e o h t t r e k k e n g e s o h i e d t v a n u i t h o t inwendige. p e r v l a k t o s p a n n i n g . r e l k o da We i n t e r p r e t e r e n d i t z o , d a t i n i e d e r o p p e r v l a k - g o l v o n dcot v e r v l a k k e n , >}
t e d e e l t j e oen spanning w e r k t , zowel haar de era k a n t a l s naar do andere leant.
-H
Dimensio van oen oppervlakte-epannlngt***^— = rrb m l t ~2 „ . .-2 D i t noenon Me de o p p e r v l n k t e s p a n n i n g ,De opporvlaktespanning i s een f u n c t i e van beide middens t o f f on. °%mter/]ttOht " ^ »0^ T a b e l 1 cr Water l u c h t o l i e k v i k water 0,073 -water 0.021 v a t e r 0.A l u c h t 0.0^3 o l i o • 0,3 2jfl biz.292 Grirpohl,,. I . Opp e rvlajcte spann i spann g i s e i g o spann -11 j k energie per o p p e r r l a k x t e e e n h e i d . o f kraoht p e r een-h e i d van l e n g t e . Sgg2lS2B v"n do C3nnc-rvl9ktaspannin,q z i j n :
10 Oaoffonheden worden weggewerkt,
Golven i n v a t e r worden zowel door Ewaartekraoht a l s oppervlaktespaxmiag naar beneden getrokken. Hoo g r o t e r da g o l f i s , des t e k l e i n o r
wordt de i n v l c a d van de o p p e r v l a k t e -spanningi
29 Druppels o n t s t a a n a l l e a n dank z i j de o p p e r v l a k t e a p a n n i n ga
Een d r u p p e l , d i e v r i j v a l t i n vacuum z a l rond z i j n ,
Einnon i n een regandruppel h e e r s t overdruk.
We donken <:en regendruppel doorgesnedai.
(7 2 *r
p a r = c r 2 i ^ of p « 2
D i t z e l f d e g e l d i v o c r l u e h t b o l l c t j o s i n rrator.
D i t kunnen v r i j g r a t e spanningen z i j n , welke binnen zo'n d r u p p e l heersen, S t o l we hebben eon l u c h t b o l met r = 1 mm dan g e l d t i
P - £»2 0
Dos to k l e i n e r do b e l l e t j u a z i j n , dos t o g r o t e r z i j n de drukcpanntngen h i o r i n o Eon. grote l u c h t b e l verandert ook s t o c d s v a n vorm, ondat do overdruk g o r i n g i s . K l e i n o l u c h t b e l l e t j e s z i j n nooi rond.
B i j oen Seepbel i s de overdruk 2 x zo g r o c t dan b i j eon gevene l u c h t b e l i n water« (Dubbel v l i e s ) .
Be sober - r u d j j f l . nicj.dongtof fen b i j e l k a a r ,
/
b.v. 1 - l u c h t 2 = water 3 = o l i e .
lion v r a a g t z i c h a l t i j d a l l e r e e r s t a f hoe groot de heeken z i j n , . >
U i t h e t evenwicht v a n do d r i e werkzame Bpanningen v o l g t :
a .Do sin., vr.n de hocken z i j n cvenrcdiff, r e t do togonover3 1agendo t
k° c r lf2 < c r 1,3 +(7-2,3 c n c y c l i s c h .
Wanneer we dus norcnalo o l i o cp water u i t g i e t e n , dan z i e n we dus u i t bovenstaan-do waarden d a t e r geen evenwicht m o g e l i j k i s . Do o l i e v l o c i t u i t t o t eon molc~ c u l a i r l a a g j e . Do gehele g o l f b e v e g i n g wordt dus door d i t l a a g j e gesmoord.
( O l i e s t c r t e n h e o f t a l l e e n z i n op diep w a t o r ) , b i z . 233 Band 1.
Ue h o t r e k k a n n u een v a s t s wand b i j enze bcschcuwinfren0
we nogen aannoaen dat (T i n de r i c h t i n g d e r wand v a l t0
c<is a l t i j d k l e i n , du3 mogon we de onttondene i n vcr--t i c a l o z i n » &lvcr--t; H „ s vcr--t e l l s n .
Xffi
CTj g t r e k t de v l o e i s t o f oxihoog. C a p i l l a i r a o n s t i . j g i n ^ .
- 12
Voor r - 1 em 1 mm 0,1 ma. wordt h * 1,5 mm 1,5 15 cm.
M i l men dus waterstanden i n con "buis nauwkeurig a f l e z e n , dan moeten we due een r u i n s b u i s nenon. . "
Hoo z i t h e t nu n o t h o t d r o k v c r l c o p ? •„
We nooten op een v l o k j a binnen de b u i s een g o l f d o druk v i n d e n a l s op een opper-y l a k t e d e e l t j e op d o s e l f d o hoogte b u i t o n do b u i s .
In h e t punt A i s dus do druk g e l i j k aan de o i m o s f c r i s c h o druk.
B i j h o t p a s s c r o n van de vaterapiegel i n B t r e o d t plotseling woer de atno3~
f e r i s c h e druk op0 E r t r c e d t dus een sprcng i n h o t
druk-v e r l c o p op b i j h e t p a s s c r o n druk-van hot o p p e r druk-v l a k . We y o r ^ y o t e n rip..situatie i n h:;t punt Bg
Het evenwicht van d i t vleeiatofdeel maakt ons nu de druksprong d u i d o l i j k .
Beschouwon we h e t evenwicht van d i t v l c e i s t o f d e e l , dan z i e n we dat naarmata h o t oppervlak render i s , de druksprong g r o t e r z a l z i j n .
- 13
He ; grondwater i a dus i n twee g e d e e l t e a t o onderscheidan. I, Het bovenate d e a l h o o t , c a p i i l a i r a zone.
II , Hot endorste d e e l i s h o t ecbto grondwater ( v r i j ) .
Dc s c h e i d i n g t u s s e n I en I I heets p h r a a t i s c h oppox'vlak ( n i v e a u ) .
C ; c c p i l l a i r o s t i i f n e o f t t e " h ( z i e f i g u u r } .
C: ) l l l a i r c water kan nan n o o i t s i e n .
Z< gauw men con put g r a a f t , z a k t hat c a p i l l a i r e o p p e r v l a k raeej de p o r i o a wordon nl# b i j h a t omifoelen der grond w i j d e r en het water z a k t wag.
H< 3 g r o v e r da k o r r a l s z i j n , des t a g r o t e r z u l l e n de p o r i e n z i j n en b i j g e v o l g
zc 1 dan de s t i j g h o o g t a k l o i n e r worden.
G? ?banl kan nan zoggon dat voor grondwater p o l d t .
dh=50 x 1CT6 n2.
dh«0o05 x 10""-* m . H i a r i a i s d - diameter der k o r r e l s .
V<- ? r b .
Do c a p i l l a i r e a t l j g h o o g t a van zanfl n a t k o r r c l s d = 250 n i s : h 5 0,2 a* Voor k l ^ t mat d = 2 u v i a d e n we: h = 25
n.-S u i s 2 u wel e r g f i j n . Do a t i j g h o o g t a z a l t w e l wat k l e i n c r z i j n v o o r normals klel«
Ean d i j k v a n k l e i i s dus
g o h e e l v e r z a d i g d n e t water. „ Capillar water
Hat zand p l a k t aan e l k a a r , droog zsnd n i e t . D i t komt ook door da o p p e r v l a k t e s p a n n i n g .
B i j g r i n d l u k t d i t n i e t . 6
H i e r hobbon we n . l . grots p o r i e n , sodat da terugtrekkende kracht t.g.v. da lvahtdruk da zvaartokracht nlot kan ovcrwinnen,
B i j gohcol n a t zand, onder w a t e r , h e t s c l f d e v e r s c h i j n s o l a l s b i j droog zana. D) o p p o r v l a k t e a p a n a i n g s p a e l t dan ook gaan r o l .
1 4
-^flCOBltoit.
SohTsifspanningen i n vloeistoffen z i j n hinderlijk, i Hon denkt zioh eon vloeistof, die geen schuifspar.rd.ngen kent, do meal*
v l o e i s t o f . Hu z i j n onse vloeistoffen echter niet idoaal.
In een bop-aid vlak heorst een schuifspanning els de snelheid boven en onder hot beschouwde vlak verschlllend i s . Hoe groter het snel-hoidsversch.il i s , dos te groter i s T*.
voor Nowtonsa vloeistoffen).
• v. c>n Sxperimenteel i3 hot nevan-etaande vorband *£-gevonden ft
ideate vloei stof fen cA/_ dr?
A l i o oppervlakken gaan bevegen, zodra er een schuifspanning i s (blazen op water), Kier kunnen we selfa do d e f i n i t i s : vloeistof van afleaden.
B i j olftfltiaohe v l o e i gaat de l i j n n i e t door de ooreprong. B i j de echtejylpojr a t c f f e n w e l . I'^^ton vend voor water ona. een r a c h t l i j n i g verband:
? T - - ^ ^ B i t noemen vol !Tc\rtrr.so v i c e i s t o f f e n .
• E r i l a ook vloeistoffen, die d i t l i n c a i r c verband niet keaaenj vloeistoffen, • v a a r we i n de Eydrauliea niet nee te oaken hebben. W i j houden ens alleen bozig
net 'V-'-l-r^Be v l o e i s t o f f e n .
(ota)^ s vis c c s i t e i t s c c c f f i c i e n t j Be dimeasi* i s :
Een belangrijke verhouding i o i ^ (eta) Diaenaiei [ l2t *] r
3 = v
P
(nu) V - ^ - o — t l s c h o -1 : ::r^itoitrcoHfgflcJent. (Kincnaticch, omdat de maasa er niet * near in zAt)»
l u c g . s . eeabedea wordt^ ^ d r u k t ^ t e ^ p o i s ^ . (g/on.scoj cn 'v i n atokefl ken /»•"•>•/
Genocmd naar Rieoullle en Stoketu
Do coSfficicnton hange* natuurlijk af van dc tenporatuur. . Da v i s c o s i t o i t nceat af net hogore tenporatuur.
~ 15
-tsssgj.! 0° 10° 20° 30° 100° G.
"Yin vater j 2 )
( m /seo.) 10 ^ i , s 1>3 1,0 0,8 0,3
Ordg yr.n grootto; ivv>n millioanst%«
B i j gassen k r i j g t men met begere temperatuur g r o t e r e v i s c o 3 l t e i t . •
Lurjht 0° 15° 30°
*V 10"^13 .15 •17
Voor zeovater en afvoervater i s V e e n k l e i n b e e t l e g r o t e r dan v o o r gevoon v a t e r , eehter n i e t van betekenia* 0
Voor bloed c e l d t i b i j 37 C. is ^ _ 3 a Q &
Q l i " n vortonen groto v e r s c h i l l e n i n de waarde "V
20° w° 60° 80° iun i l k 0,04,10"^ 10.10~J 0,01 2^ 0,005 0,5 0,003 0,1
16
-ffet.horiatische en P h y ^ i s c h e h u I p T ^ d o l c n ,
We moeten v a n a l i o v a t c r d e e l t j s s de p l a a t s en de druk t e v o t e n t r a c l i t e n t e komen, P l a a t s on druk veranderen g e r e g e M . , -.^ >->
Hot e r i t e r i n m , waar h e t om gaat i s d a t we op eon bepaalde p l a a t s s n e l h e i d en druk v a n c c n w a t e r d e e l t j e vie t o n v i l l e n , •
Dus: s n c l h o i d , druk = t(xjjjMmt)
p l a a t s
E r kunnon v e r s n e l l t n g e n optreden, sowel do s i t u a t i e i n eon punt b e k i j k e n d e e l s gaande v a n h o t eno punt naar h e t andere,
tfe zoeken h e t verband t u s s e n de k r a o h t e n , d i e dc v e r s n e l l l n g e n v e r o o r z a k o n en de v e r s n e l l i n g e n z e l f • We noeman d i t fundamentole v e r g e l i j k i n g o n , v e r a n e l l i n g a -v e r g a l i j k i n g e i u
E r z i j n nog n e e r eigensohappen en problemen dan h e t v e r s n e l l i n g s p r o b l e e m , E r s u l l e n wanden en v r i j e oppervlakken z i j n . We k r i j g e n dus v e r g e l i j k i n g e n , w a a r i n do a a n v e z i g h e i d d e r randen n a a r v o r e n komt (Eandvoorwaarden).
V e r d e r I B o^invoo^./.a/ r d o n ,
Samengovatt p a r t i o u -rlnorenOo .voorwaordan, T o n s l o t t o : do oontinu£toitcvoormardet
P o p u l a i r l Da v l o e i s t o f kont ergons vandaan en moet ergens heen.
~~ I n ean bepaalde r u i a t a i s dus b i j onsamenhangenda v l o e i s t o f s t e e d s a v o n v e e l v l o e i s t o f • a a n w e a i g ,
B i j samendrukbare v l o e i s t o f f e n : B o y l e en Gay - Lussac t o e p a s s e n . Wo r e r a n dus t o t h o t s y s t o o n yaj'•
V e r s n a l l i n ^ s v o r p e l i j k i n ^ c n * x • Randvoorr raardgj
s Cont inu'£ to i t gvocrwa a rda n.
Randvooi^txardsnl v b .
O v e r a l moet de eomponent van da s n e l h e i d i _ o p de wand n u l z i j n b i j s t i l
-staande wand. , J I s do wand i n beweging dan i s de s n e l h o i a J _ op do wana
g e l i j k aan de s n e l h e i d van de wand z e l f . D i t a l i o s i s i n formules p i t t c drukken. .
B i j een v r i j o p p e r v l a k k r i j g e n wa h e t z e l f de, Gaat h e t oppervlak omhoog, dan i s do Bnelhelds-component J L oppervlak weer g e l i j k aan de s n e l h a i d van r i j z e n o f d a l e n s e l f * e n s ,
17
-Co//
De druk i n de o p p e r v l a k t e l i j n i s g e l i j k aan de atraosferisehe drul Doze voorwaarde g o l d t a l l e e n b i j lenge g o l i B i j een k l e i n e g o l i ' wordt deze vocrvaarde gestoord door de oppervlakteepanning .
.11- o 1 -T"
Rardvo<>ryaarden i n do t i j d voor o i k g e v a l a p a r t b e k l j k c n . . Wat b e t r e f t de cosMyj^MS^222rS:2-?ia*
Bssohouw alleen do oneanondrukbare v l o e i s t o f . Dan g e l d t : i n o e n b c p a a l d volume i s a l t i j d ©venvoel v l o e i s t o f .
Bskiik-dfl ''"rr '^CT gaiLfiilSBMHV £ n v ^ t e r .
Ga con w a t e r d e e l t j o n a :
Hot b o s e h r i j f t een stroc;-baan. War kunnen we z o " e l ti.iden a l s snolhcoon nnast s c b r i j v e n z i e or We kunnen zo oen h o l e b c e l
S,treorv>anan v a s t s t e l l e n . „De Btreochaea i s goheel bepaald door
h o t a i j z'n enelhedcn, k o t s i j da t i j d o n , d.w.zl v ^ t o n we voor e l k punt van de *» gegeven streorfoaan do t i j d , dan kurnen wo d a a r u i t do s n e l h e i d a f l a i d e n i n d a t punt on orgekoerd.
Da strooribnnen govcn dus gaan noincntopname.
D i t kan eon nadaol zijn„ '. . ' « '
V i l l o n wa een nonontopnarao hebben, dan b.v. on 10 uur i n een h e e l s t e l punten
de enelhedon bapalan. \
Slraomhcjon I p.IP
uui-Voorheeld
Den Uelder
H i e r kunnen we dus w e l snelheden, near geen t i j d e n naer haast s c h r i j v a n S t r o o a l i j n v a n 10 u u r .
i c
-Er LB dus v e r s c h i l i n hot algemeen tussen stroomlijnon en strooabanen. B i j pemanentc beweging vallen de stroonlijnen en .stroombanen saman. On" WOT beeld was ontloend aan een gotijdestroming.
L B i j een permanente beweging i s de hoe-» vcelheid water die er b i j A i n strocrat g e l i j k aan die welke er b i j B uittreedt Dus: /^v-jdA ^7Kr2dA
(Eenvoudigste vorni V-jA^ = y ^ " ^
&1 • arc on.: /^v d A » Q of y A = Q. C.ontin Itoitsvoorweerda,:
wQ ^aari or vanuit dat we een stroom hebbenr negrensd door v r H oppervlak en poc 3y3" waarbii <-.y.k::l .horisontale^stronen hebben. ( v^ an v ^ ) .
papier
v% :// papier.
We nenen verder aan dat v over de hoogte h overal gelijk i s .
Is de variatie van v niet X
a l te grcotj dan kunnen we het gsriiddelda nenen. v eu v s i in funetics van
x 7 de t i j d .
\ Wo gaan deze situatie i n het platte vlak beschouwen. We laten v even schieten.
h
/
7.
sit dx
cTx
+ Jbt. dx ( d.i snelheid op zelfde (ydshp i
" x V op een o/siand dx verc/er J
H 1*
In hot besohouwde doel komt per tijdseenheid binnen: h y
19
-Toogevoerd = In - H i t .
i n t i j d s v e r l o o p d t t (onoindig k l e i n van 2d e en hcgere erde moet weg-golaten worden)« .dx.dt.
Toagtmraerd = „ _ +db , , £v h g
De oppervlakte kan stijgen i n het tempo |g. In de t i j d dt bedraagt de stijging ah d t d t Dae* - ( 4 1 + h- S } ^ - d t " 8oborgon = t v d t- dr Sh . , 2hr
. on _
n do fccpx
Dus moet (1) ox Dus bt b:cDit haddon we ook rechtstreeks kunnen afloiden Do vergclijlcing bh + 6a. _ 0 i s zeer belangrijk.
b t OX
Ze komt b.v. ook vocr b i j de uitschuring van de bodem van een r i v i e r . Voorta b i j a l l e mogelijke golfbawegingen.
Brengan wo ook de sralheidsconponento t i papier i n Tokening dan z a l g* niet veranderexu Wo vindon dan op dezelfdo wijza als hier boven:
b t 55 by
o t \tx o )
bh
+ v B + vv bh 0
Da v P i n formule ( l ) i s d i k v i j l i zeer k l e i n t.o.v. h g en nag dan
verwaar-b2C
looad worden, sodat dan geldti
kh .j. h o§ 2 » o Van belang b i j kanalen en goulen.
H- re gjnggyergoliikingi . ... ' Verband tusaen vcrsnolling on kracht b i j vaterdeeltjosi K = m.a a = m of: *?T = ~ au m
V' .-ensiling s verandering van do snelheid net de t i j d .
Hi l e t v = f ( x , y , s , t ) . 0 janentopname).
ox oy J OZ oU ^
£ B §y. £s + S x six + six £ s + S x
d *" ex d t by dt 5a d t b t Hi i s i dx _ d t 'x? dy da ? f • V , on -rr d t y* d t Gesubetitueerd; ff 4 b y -Vy _ bz°Va ] o f d a g e l d t : X dy + V bv X bv bv + y r — • + v y b y 2 oa &* x bx v 6v a oa dt b t 2 bv 6t —r- + v r at x o: y b r
> = lnwendige kraohten + uitv;endiga krachton per eenheid van massa
i n de d r i e richtingen. bV r.
y b y r a ba
Besohouv nu een volume-dealtjs van de v l o e i s t o f :
Onderhavig aan: zos d:rokkrachten van P a s c a l , de z v a a r t e -k r a c h t sons
BOhuif-spenning (langs bodcu , o f o p p e r v l a k ) .
Da uitvendige krachton ontbinden ve i n X-t I - en Z-richting: K^, K en K lT3 gaan rm de ir.vondigo Vrsehtan b e s c h o w o n :
In l i n k e r opstaan d z i j v l a k : k r a c h t p.dsb.d.c. In r e c h t e r opstaand z i j v l a k : k r a c h t - (P + p- da) db.de bx In t o t a a l dus k r a c h t naar l i n k s : r to- da-db-dc p 1 1 i ^ do
21
-pc k r a c h t p e r massaeenheid badruagt dus i n X - r i c h t l n g : - & ckx«db.dc : p vda.db.de ««• * We k r i j g e n d u a l Df c Irio ver<?eliIkinflren V 1 Euler. &' . d t * bv^ bv t\r ... J . v .—£i X 5 K y o y " z 6v ' X bz , • a i " * P 6ac + K X (2) ** , d t 6y r bv bv v r ~ * -f V r " * x bx y o y + V z nmZ 6 a / 1 Oia * * * P. by + K y (3)
*
5v a _ + Of bv 7X 5x V y 6 y + Vz \ bv or. 1 137 Ma* *** P bp bz + K zU)
Bi | een porcanonte baro;-;ing z i j n dc efj-eloiden naar de t i j d 0, dus
?>V bv bv
£ __1 & _ n
b t * b t * b t L ~
tte
Dan i s dus de v e r a n a l l i n g g e l i j k aan b e t tweede d s e l v a n h e t 1 l i d der r e r -g e l i j k i n -g .
We gaan h o t a s s e n s t e l a e l zodanig d r a a i a n dat de X-as i n de s t r o o E r i c h t i n g v a l t . ' Do Y~ en Z-as s t a a n j L o p deze X - a sp dus v - V
en vy = 0 , va = 0
We kiezen do X-^s Ififlgj flfi r a a k l i . i n gjfl dc strccrtli.ln: Om do Y-as en Z-as t e v i n d o n gaan ve i n h o t beschouwda pu'it 0 d e r B t r o o m l i j n een v l a k aanbrengon, d a t d r i o samenvallende punten genccn h e e f t met da kromme.
De Y-as l i g t nu i n de r i c h t i n g van da n o r a a a l dar kromme en do Z-as s t a a t _/X- cnY-aa» dus Z~as i n do r i c h t i n g van da binormaal*.
DUJ we k r i j g e n do volgende dri6 a s s e n :
S - i s l a n g s da s t r o o n l i j a Nu i s v = v B-os l a n g s n o r a a a l , v n 0
B-as l a n g s b i n o m a a l • v ^ = 0
Wo hbu3en nu over de v e r g . ' n : z i e ( 2 ) : b i j permanente beweging:
6(1/2 v
2) 4.16a.*
m 0I h t e r e a a a n t I s h e t g e v a l , w a s r b i j de zwaartckracht da enige uitwendigo k r a c h t i s . ,*j . - '•• -Wo verwaarlcssn dan dus w r i j v i n g e.d.
- K t g as £z : 6 s
- K - g r —
S b 0 3
Ouzo v e r g e l i j k i n g wordt dan:
i- (1/2 v2) + * -P 4 r — = 0 7 ; P6 s e 6s u We nogen h i o r v o o r de 6 : d s o h r i j v e n . Deze v e r g e l i j k i n g h a o f t n l c e'en o n a f h a n k e l i j k v e r a n d e r l i j k a en dus mogon we d s o h r i j v e n dus:, , r. , , . IA d / 2 v2) • 1 sja + d s s o g da ' P g ds g G elntegrcerdr
2
2gpj
+ z - HuHet doit c r n i e t t o o , hoc we h o t v e r — galijkingovlak k i e z e n , Dan v e r a n d o r t n.lo met de z do i n t e g r a t i a c o n s t a n t a i l . I l i e r staat du3 d a t do s e a v a n deze d r i e
componentan v o o r een s t r o c a l l j n c o n s t a n t i s . ( D a n i e l Bernoulli 1733). v °I0 7O mr? I ris ch VtSm/ylrimQSvlalr
ffftt. ^yw"Bftmmi7^f|.py;i namanente beweging
ZS^LJSlMSkZ i s . -v ? a:-n s t r c c r l i j n do E £ 3 . . , Y ^ a ^ £ £ t ^ ^
h a i d y t o conotant (- e n c r r d o h o o g t o ) . Hi noenon we dus de g^gr^iehjoogta.
Onder de d,ri3. gencendo vocrwaarden i s de enorgieheogte das c o n s t a n t .
Da ser.'vGii p l a a t s h o o g t o en drukhoogte i s een Baat voor da p o t e n t i - t e e n e r g i e i n con b o p ? a i d punt*
Da cnolhaidshoogte i s een naat voor de k i n o t i s c h a e n e r g i e ,
E i g e n l i j k i s dus de Wat v a n B e r n o u l l i ) da wat van bchoud v a n arbeid^veruogon. We gaan n u ' v e r g e l i j k i n g (3) b e k i j k e n i dus de 2&0 y e r g . v a n E u l e r :
Daze wordt i n ons nicuwo a s s e u s t e l s a l : ~
to p on n
v., z e l f i s n u l , r a a r d i t w i l n i o t zaggan d a t z'n a f g c l e i d c
(5) n r a i l i s .
- 23 ~
We b a k i j k a n da s i t u a t i e i n eenpunt ds v e r d e r op de baan-;.
We trekken i n het nieuwe punt
der baan de normaal en ko&en zo i n h e t kroTOningamiddelpttnt, H i e r i s dua : n v Q oy i 6s A f s t a n d t o t d i t krom-jringsmiddalpunt^ kromte-s t r a a l r . We hebben h i e r nu twee «*e l i j kv o m i g e driehoekoi av ds _ r -£- c / t • 6j V + bv 0 3 of well -.as 6v n 6s r . v.. H 6v. 08
Doze term i n de noemer moeten we weglaton omdat h i j van eon hogero orde k l o i n i s dan * i n de noemer.
Ha Louden dus o v e r : ev n
1
s&B. r v . •- — of wel: 6v n 6 a bv v&
1 B -ft-" 6 s r I n ( s ) g e s u b s t i t u e e r d : & |2 + K p c n n of well 3L r 7" P v*1 K n = 0 (6) v e r s n o l l i n g inw.kracht u i t w . k r a c h t per per mas- ciassaoenhoid saeenhdi2
i s a l s v e c t o r naar het middelpunt g c r i c h t en wordt v e r o o r z a a k t door de r twee k r a o h t e n ,
D e v s r e n d l i n g i s m c r hot iniddclpunt g e r l c h t . (We kunnon h a t ock a l s v o l g t o p v a t t e n i
2 _-r2
C= ~ - - l / o + K . Wo kunnen hot nu ook zo b c k i j k o n a l s o f cor k r a c h t i s
r */ p on n r
E r s t a a t dan dat de sea der k r a c h t a n op hot w a t c r d e O l t j e = 0 i s .
De-insa'i van d'Alembort. Ket i s een B o h i j n k r a c h t , Wo hebben de v e r s n c U i n g naar hot tweede l i d gebracht on, omdat de v c r s n e l l i n g da dimonsie h e e f t van ear k r a c h t per massaconhcid, opgovat a l s k r a c h t , d i e dan dve i n con t e g e n g e s t o l
24
-do r i c h t i n g zou werken a l s de middelpuntsoekende v o r s n e l l i n g ) .
We b l i j v e n nu steeds op de n o r m a a l r i c h t i n g l e t t e n . A ^ n n e r ^ n j k i _ d ^ b _ J b ^ u i t -wendlgo k r a c h t de zwaartokracht i s kunnen we voor v e r g . (6) s e h r i j v e n !
on Weer wordt 6 : d r p an B on on -X ; g = bz . * _ 6z - K ~ S T bn o f w a l l 2 As g r pg dn 2 dn g r dn pg ' dn dn . f -gr 1 Pg Go_?nto -?r-:.evd; ^—2 2 *r » ~ Z? * Pg M • pg 1 gJ tin
Gaan wo dus l a n g s0e c n normaal dan v e r a n d e r t h e t p i o s o m e t r i s c h n i v e a u volgens
h o t g r c e i e n van £ . E l k s t u k j e dg, dat we v o o r u i t gaan k r i j g e n we oen b i j d r a g e s
we
2
V ,
•*— dn.
Wat h e t token b e t r e f t I *
A l s r i n de r i c h t i n g van n-as v a l t , dan i s de i n t e g r a a l p o s i t i o f . In d i e r i c h t i n g gaande neeut h e t p i e z o n o t r i s e h n i v e a u a f . Van 1 naar 2 neeat het p i e z o i a o t r i : sh n i v e a u a f . Het
p i o z o i - o t r i s c h n i v e a u it a l t i j d het g r o o t s t
aan dc bo31e kont der s t r c o r l i j n e n . 2 2
In h e t l a b o r a t o r i v o i workt men met: ^ v ^ 1 gr
Ken k c n t n . l . h o t s t r o o n b o o l d j d i t h e e f t men getekend.
We hebben a l s uitwendigo k r a c h t a l l e e n de zwaartekracht genciien,
S t o l e r i s wrijving. Deze i s a l t i j d tegen de stroom i n g e r i c h t cn h e e f t geen ont-bondons i n do r i c h t i n g der normaal. H e o f t dus t o t ™ ! P"aT> i n v l o e d OP de gevonden v e r . v c l i j k i n a . (Eon u i t s o n d e r i n g : de< Wind waait dwars over w u t e r s t r o o a r i c h t i n g
been. A a, Uo nocnen de gevonden v e r g e l i j k i n g : '1 Pg ? 2 2 pg 1 gr r 2 i de r c r r . o a l v c r r r e l i j k i n g .
Nu gaan wo v e r g . U ) : de derde v e r g . van E u l c r , i n de r i c h t i n g van de b i n o r n a a l : I> V«
on
Nu i s de v e r s n e l l i n g i n de r i c h t i n g van de b i n o r m a a l n u l : dus
. 1|J +
V * 0*— O ~ A l s a l l e e n de z v a a r t e k r a e h t werktt
+ * r r + g r r
s so
p db L db o f g e l n t e g r e e r d : *— + S « cons„, PS J istantJSanenvnttitigt Permanente beweging,,
* 2 p v
Langs s t r o o m l i j n , zonder w r i j v i n g II = z + * j - + g-;
Langs normaal, e v e n t u o e l met w r i j v i n g i n B t r o m i n g s r i c h t i n g t , P i _ ?2 + /2 v2 , 1 pg 2 pg 1 g r Langs b i n o r m a a l , e v e n t u o e l met w r i j v i n g i n s t r o m i n g s r i c h t i n g : z 4. E- = c o n s t a n t0 Pg p l a a t s h o o g t e + drukhoogte = c o n s t a n t , (Uitwendige Icracht herkennen we t o r u g i n : z
( j> (Inwendige k r a c h t herkennen we t e r u g i n :
v2 2. v2
( v e r s n e l l i n g herkennen wo terug i n : j j " en i n ~ dn.
Door d e l e n i s g i n de tenr.cn d i e do inw. k r a c h t o n en v e r s n e l l i n g e n v o o r s t e l l e n t o r a e h t gekoaen, t e r w i j l g j u i s t a l l e e n b i j de u i t w . kraohten behoort.
A l l e e n c n gemakkelijk t o werken hebben we door g g e d c e l d . Ze i s e c h t e r zo -doende i n t e r p e n t e r e c b t gekomon, waarin zo e i g e n l i j k n i e t t h u i s b e h o o r t ) . E r i s nag een g r o t e l a c u n a i n onze besohouuingeni
A l s ervrijvingskrachten i n do r i c h t i n g van de stroom werken waten we nog n i e t hoe t e handelen.
dv - k Ve gaan weer u i t v a n : T t - ~
Vermenigvuldigen met n u d t l o f well k.dt g m.d.v ~ d -in v )
B i j een emdiga. booaalde massa kunnon we hiermee v o r d e r komen.
We noeneni k.dt = d .(a v ) : da v r r - o l i j k j a g v-n do h o c y j o l h o i d van beweging, ook wol pan-war r > e l l j h l r . i genaamd.
In woordeni da w i s v:n de k r ? c h t = vorsndcrlrat v^n re hco~r-olheid van bgagr g l n g yen ccn bepaalde r a s r i . i n eon bo- p-13.Ir, j r i o h t i r1- ^ .
We k i e z e n do massa en da r i c h t i n g nu z o , dat we da v e r a n d e r i n g van da h o e v e e l -h e i d van boweging kennen.
26
-n = midde-nmoot ( t u s s e -n a e-n b galege-n)
B * bagiraaoot
E ~ eindiaoot £ /**""3"8' r
De iassa b e v i n d t z i c h aan h o t begin v a n b e t t i i i d j e s d t t u s s e n de getrokken l i j n o n rt n n a H n G-te\5.a • rt M « it n g e s t i p p e l d e " . Wa ;aan u i t van een permancnte bewegingI
Dus r r B 0 d.w.z. de s n e l h e i d i n een punt v e r a n d e r t n i e t n e t de t i j d .
&=s=sss Tussen l i j n g, en b; i s e r n i e t s veranderd.
Aan h o t b e g i n v a n h e t t i j d j e d t i s n v , de t o t a l s h o e v e e l h e i d v a n beweging?.
B v = (n v ) ^ + (n v )B
en tan h e t oinde v a n h e t t i j d j e d t t B v • (m v )n + (m v )E
Toe uuae v a n m v :
d(mv) *> ( a v )E « ( n v )B
Van h e t middenstuk i n t e r e s s o e r t de BV ens n i e t , want we besehouwenj d j f f i z l . Ch^.t 1) Da krachcen z i j n a l l e m a a l k r a c h t o n , d i e op de h e l e massa werken.
2) Boscheuv:on we de k r a c h t e n i n een bepaalde r i c h t i n g , dan moeten we d i t mat de V van b e g i n - en cindraoot ook doen.
; T^ \nr^z^.v<>e-i\ h i c r v a n l i g q o n oo a l l e mogelijk?.pebjeden*
e n e r ^ i c h o e g t a ,
We darken ons een d u i k e r s l i d s , welke i n de r i c h t i n g J . pj£Ler z e e r g r e e t gedacht wo: d t .
Gor.f i v , a en h
Cjy'r,: pib'soratrisch n i v e a u i n de d u i k e r . •
Cn'.. I n h e t algeaeen g o l d t : p, P0 2 v
1 pg 2 pg " ' l g r
( i : t de Wot van B e r n o u l l i kunnen we h i e r n i e t s beginnen. E r fcreden grote v c r -t r a g i n g s v e r l i e z e n op, welke we n i e -t kennexu We we-ten n i e -t i n welko ma-te da enorglehoogta k l e i n e r w o r d t ) *
