11. Termodynamika.
Wybór i opracowanie zadań od 11.1 do 11.15 - Bogusław Kusz. 11.1.
W zamkniętej butelce o objętości V0=500cm3 znajduje się powietrze o temperaturze t0=270C i ciśnieniu p0=1000 hPa. Po pewnym czasie słońce ogrzało butelkę do temperatury tk=570C. Oblicz liczbę cząsteczek gazu znajdującego się w butelce, końcowe ciśnienie powietrza oraz ciepło pobrane przez gaz. Narysuj wykres p(V).
11.2.
Butla gazowa o objętości V1=0,3m3 wytrzymuje ciśnienie pkr=107Pa. Znajduje się w niej
m=3369g azotu o temperaturze t1=270C. Obliczyć ciśnienie gazu w temperaturze t1. Jeśli w wyniku pożaru butla ogrzeje się to w jakiej temperaturze nastąpi jej rozerwanie? Masa molowa azotu: µp=28g.
11.3.
W procesie izobarycznym n=2mole wodoru o temperaturze T1=300K i ciśnieniu p1=106Pa, zmniejszyło swoją objętość k=2 razy. Oblicz temperaturę końcową, pracę i ciepło występujące w tym procesie. Przedstaw pracę na wykresie p(V).
11.4.
Jeden mol tlenu jest ogrzewany pod stałym ciśnieniu atmosferycznym p0=1033 hPa począwszy od temperatury t0=00C. Oblicz ile energii trzeba doprowadzić do gazu w celu potrojenia objętości jego objętości i jaką pracę wykonał gaz ?
11.5.
Cienki worek foliowy zanurzony w wodzie o temperaturze t=200C zawiera powietrze o objętości V1=20 dm3 i ciśnieniu p1=1000hPa. Jaką objętość będzie miał worek po zanurzeniu go o h=10m? Oblicz ciepło oddane przez gaz oraz narysuj wykres tej przemiany przy założeniu, że temperatura gazu nie uległa zmianie. Dane: gęstość wody ρ=1g/cm3, przyspieszenie ziemskie g=10m/s2.
11.6.
W procesie izotermicznym objętość n moli powietrza o temperaturze T wzrosła s razy. Ile razy zmalało ciśnienie ? Ile wynosi zmiana energii wewnętrznej ? Jaką pracę wykonał gaz ? 11.7.
W wyniku szybkiego rozprężeniu n=2 moli tlenu jego objętość wzrosła s=4 razy. Obliczyć przyrost energii wewnętrznej tego gazu jeśli jego ciśnienie początkowe wynosiło
p1=8,31⋅106Pa a temperatura T1=300K. 11.8.
Podczas izobarycznego sprężania tlenu o masie m = 10 kg i temperaturze początkowej t = 100°C, objętość jego zmniejszyła się s = 1,25 razy. Obliczyć:
a) wykonaną podczas sprężania pracę, b) ilość odprowadzonego ciepła. 11.9.
Znaleźć rodzaj gazu, który został sprężony izotermicznie oraz jego objętość początkową, jeżeli ciśnienie m=2 kg gazu po jego sprężeniu zwiększyło się trzykrotnie, a praca wykonana przy sprężaniu W = -1,37⋅103 kJ. Przed sprężeniem ciśnienie gazu równało się p
1= 5⋅105 Pa, a jego temperatura t= 27°C.
11.10. Masę m = 160 g tlenu ogrzewa się od t1 = 50°C do t2 = 60°C. Obliczyć ilość pobranego ciepła i zmianę energii wewnętrznej tlenu w przypadku, gdy ogrzewanie zachodziło:
a) izochorycznie, b) izobarycznie. 11.11.
Dwa identyczne naczynia połączone są zaworem. W jednym z nich znajduje się azot pod ciśnieniem p1=2,64⋅105 Pa i w temperaturze t1= 27°C a w drugim panuje próżnia. Znaleźć końcową temperaturę i ciśnienie gazu, jeżeli po otwarciu zaworu część gazu przeszła do pustego naczynia i ciśnienia w obu naczyniach wyrównały się. Proces przejścia azotu z jednego naczynia do drugiego jest procesem adiabatycznym.
11.12.
W silniku Carnota następują cztery przemiany stałej ilości gazu:
- izotermiczne rozprężanie gazu z objętości V1 do V2 w temperaturze T1, - adiabatyczne rozprężanie z objętości V2 do V3,
- izotermiczne sprężanie gazu z objętości V3 do V4 w temperaturze T2, - adiabatyczne rozprężanie z objętości V4 do V1.
Oblicz sprawność takiego silnika gdy : a/ T1=373K i T2=273K
b/ T1=773K i T2=273K c/ T1=373K i T2=3K.
11.13.* W silniku wykorzystano n=5 moli azotu w cyklu:
1-2 sprężono izochorycznie gaz o temperaturze T1=300K w objętości V1 do ciśnienia p2 =3p1
2-3 rozprężono adiabatycznie do ciśnienia początkowego p1 i objętości V3,
3-1 następnie przy stałym ciśnieniu osiągnięto stan pierwotny. Narysu wykres p(V) tego cyklu
oraz oblicz wydajność silnika. 11.14.
Oblicz wydajność silnika pracującego w cyklu pokazanym na rysunku. Dane: T1=600K, T2=900K, T3=600K, gaz jednoatomowy - κ=1,67.
11.15.
Dlaczego podczas pompowania dętki roweru rozgrzewa się pompka?
11. Rozwiązania:
11.1.R.Jest to przemiana izochoryczna stałej ilości gazu doskonałego dla, której: ) 1 ( . . 0 0 . 0 0 0 0 0 k k k k T p T p i nR T V p T V p const V = ⇒ = = =
Liczba moli i cząsteczek gazu wynosi odpowiednio: ) 2 ( 0 0 0 i N N n R T V p n= = A .
Ciśnienie końcowe gazu wynosi: (3)
0 0 T T p p k k = .
Ciepło pobrane przez gaz:
) 4 ( 0 ) ( 0 0 0 = − = ∆ = + ∆ = + ∆ =
∫
− U W U p dV U Cn T T ponieważ W Q v k V V k k przy czym 5 2 = = i R gdzie i CV .Wstawiając dane: V0=5⋅10-4m3, T0= 300K, Tk= 330K, R=8,31 J/(mol⋅K), NA=6,023⋅1023, do wzorów (2), (3) i (4) otrzymujemy:
liczbę moli n=0,02,
liczbę cząsteczek N=0,12⋅1023, ciśnienie końcowe pk=1,1⋅105Pa oraz ciepło Q=12,47J. 11.2.R. 10 , 3000 . 1 1 6 1 1 1 K p p T T Pa V mR T p kr kr = = = = µ 11.3.R.
W procesie izobarycznym mamy: ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 p nRT V nR T V p = ⇒ = oraz ) 2 ( 1 . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 k T V V T T T V T V const p = = ⇒ = ⇒ = .
Ponieważ pojedyncza cząsteczka wodoru zawiera dwa atomy więc jej liczba stopni wynosi
i=5 a ciepło molowe jest równe: (3)
2 7 2 2 2 5 2 R R i C oraz R R i CV = = p = + = .
) 4 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − = − = − = − = − + − = + − = + ∆ = + ∆ = − −
∫
∫
k nRT k V p V V p W oraz T T n C Q V V p T T n C dV p T T n C dV p U W U Q p v V V v V VWynik obliczeń: T2 =150K, W =−1246J, Q1−2 =−9146J . Ujemna wartość W i Q oznacza, że ciepło zostało oddane przez gaz i praca została wykonana nad sprężeniem gazu. 11.4.R. . 4537 , 15880J W J Q= = 11.5.R.
Jest to przemiana izotermiczna gazu doskonałego, więc: ) 1 ( . 2 2 1 1 1 1 1 1 V p V p oraz TR V p n czyli nR T V p const T = = = ⇒ = .
Na głębokości h ciśnienie hydrostatyczne wynosi: ) 2 ( 1 2 p gh p czyli gh ph =ρ = +ρ . Z równań (1) i (2) wynika: ) 3 ( 10 2 3 1 1 1 1 2 1 1 2 dm V gh p V p p V p V = = + = = ρ .
Ciepło tej przemiany obliczamy:
) 4 ( ln ) ln (ln 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 V V V p V V nRT dV V nRT dV V nRT dV p W W U Q V V V V V V = − = = = = = + ∆ =
∫
∫
∫
− . 1386 2 ln 2000 2 ln 1 1 2 1 pV J J Q− = =− =−Wynik ujemny świadczy, że w tej przemianie praca została wykonana nad gazem i gaz oddał otoczeniu nadmiar ciepła.
11.6.R.
Ciśnienie zmalało s razy, ∆U =0, natomiast nRT s V V nRT Q W ln ln 1 2 = = = . 11.7.R.
Jeśli proces rozprężania jest szybki to można założyć, że w czasie przemiany nie nastąpiła wymiana ciepła z otoczeniem. Jest to przypadek przemiany adiabatycznej dla której charakterystyczne są zależności: ). 2 ( ) 1 ( 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 κ κ κ κ κ V V p p V p pV V p oraz p nRT V nR T V p T V p = ⇒ = = = ⇒ = =
Wiemy, że w tej przemianie gazu 0 (3). 2 1 2 1− =∆ + = ∆ =− =−
∫
V V pdV W U czyli W U Q Z równań (2) i (3) otrzymujemy:)
4
(
)
(
1
1
1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 κ κ κ κ κ κ κκ
− −−
−
=
−
=
−
=
−
=
∆
∫
∫
dV
p
V
V
V
V
V
p
dV
V
V
p
W
U
V V V V .Dla gazu doskonałego o dwuatomowej cząsteczce liczba stopni swobody i=5 a współczynnik κ wynosi: 4 , 1 5 7 2= = + = = i i C C v p κ . Ponieważ ( 1) 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = ⇒ ∆ = κκ − −κ −κ − =κ − s−κ − V p s V V p U sV V .
Wynik obliczeń: wskazuje, że gaz wykonał pracę kosztem swojej energii wewnętrznej.
J U m V 6 10 4 3, 5306 1 = ⋅ ∆ =− −
Uwaga: dla porównania, na wykresie pokazano wykres izotermicznej przemiany tego gazu. 11.8.R.
Dla tlenu mamy: i Cp R oraz 32g
2 5
5 ⇒ = =
= µ .
Korzystając z zależności w zadaniu 11.3 otrzymujemy : a/ W T mR(s1 1) 193727J 1 − =− = µ , b/Q T mCp s W 678044J 2 7 ) 1 (1 1 2 1 2 1− = µ − = − =− . 11.9.R.
W procesie izotermicznym mamy:
) 1 ( ln ) ln (ln 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 V V nRT V V nRT dV V nRT dV V nRT dV p W W U Q V V V V V V = − = = = = = + ∆ =
∫
∫
∫
− oraz 3 (2) 1 2 2 1 2 2 1 1 = = = p p V V czyli V p V p .Z obu równań wynika: RT g
W m dlatego RT m V V nRT W 4 3 1 ln 3 1 ln ln 1 2 = = = = µ µ . Jest to hel. 11.10.R. a/ ( ) 125 , 2 5 ) ( . Q1 2 U C n T2 T1 Rm T2 T1 J const V = ⇒ − =∆ = V − = − = µ b/ p const Q U W CpnT T Rm(T T) 175J 2 7 ) ( . ⇒ 1 2 =∆ + = 2 − 1 = 2− 1 = = − µ . 125 ) ( 2 5 ) (T2 T1 Rm T2 T1 J n C U oraz ∆ = v − = − = µ 11.11.R.
Wskazówka: V1T1p1 Warunki początkowe: p1, T1, V1. Warunki końcowe: p2, T2, 2V1. V1T2p2 V1T2p2 p2=105Pa, T2=227K. 11.12.R.
Przemiana 1-2 jest izotermiczna dlatego: T1=const. p1V1 = p2V2 (1) i ∆U =0 oraz ) 2 ( ln ) ln (ln 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 V V nRT V V nRT dV V nRT dV V nRT dV p W W U Q V V V V V V = − = = = = = + ∆ =
∫
∫
∫
−Przemiana 2-3 jest adiabatyczna dlatego: ) 3 ( 3 3 2 2Vχ pVχ p = oraz Q2−3 =∆U +W =0 (4) Przemiana 3-4 jest izotermiczna dlatego (T2=const.):
p3V3 = p4V4 (5) i ∆U =0 oraz ) 6 ( ln ) ln (ln 1 3 4 2 3 4 2 2 2 4 3 4 3 4 3 4 3 V V nRT V V nRT dV V nRT dV V nRT dV p W W U Q V V V V V V = − = = = = = + ∆ =
∫
∫
∫
−Przemiana 4-1 jest adiabatyczna dlatego: ) 7 ( 4 4 1 1 χ χ pV V p = oraz Q4−1=∆U +W =0. (8) Na podstawie równań (1,3,5,7) można udowodnić, że:
) 9 ( 4 3 1 2 V V VV =
Ponieważ: 0 2 1 2 1<V to Q− >
V co oznacza, że ciepło jest dostarczone do silnika, 0
1 4 3
4 <V to Q− <
V co oznacza, że ciepło jest oddawane przez silnik do chłodnicy. Pracę wykonaną przez silnik można obliczyć ze wzoru:
) 10 ( 1 4 4 3 3 2 2 1− + − + − + − =Q Q Q Q W
Wydajność silnika wynosi:
pobrane oddane pobrane pobrane Q Q Q Q W = − = η
Na podstawie wzorów (2,4,6,8,9,10) wydajność silnika pracującego w cyklu Carnota wynosi: 1 2 1 2 1 2 1 4 3 2 1 1 T T T T T Q Q Q + = − = − = − − − η . Obliczenia: a/ T1=373K i T2=273K to η=26,8%, b/ T1=773K i T2=273K to η=64,7%, c/ T1=373K i T2=2,7 K to η=99,3%. 11.13.R. η=16,6%. 11.14.R.
Wskazówka: rozpoznać rodzaj przemian, napisać równania charakterystyczne dla tych przemian, obliczyć T4, obliczyć ciepło tych przemian, określić podczas której przemiany gaz pobiera ciepło i obliczyć wydajność.
096 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 400 1 2 4 1 4 1 3 4 2 3 1 2 1 4 2 1 4 − + − = − + − + − + − = + = = − − T T T T T T T T T T T T Q Q W K T κ κ κ η 11.15.R.
W czasie sprężania powietrza następuje jego ogrzanie. Część tego ciepła przejmuje materiał pompki.
