Aproksymacja powierzchni stopnia drugiego

INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH INFRASTRUCTURE AND ECOLOGY OF RURAL AREAS

Nr 1/III/2012, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddzia w Krakowie, s. 129–137 Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi

ElĪbieta JasiĔska, Edward Preweda

APROKSYMACJA POWIERZCHNI

STOPNIA DRUGIEGO

____________

APPROXIMATION OF THE QUADRATIC SURFACE

PARAMETERS

Streszczenie

Na podstawie geodezyjnych, fotogrametrycznych czy radiowych obserwa-cji obiektów pow okowych okre la si ich po o enie, wymiary i kszta t. Podstaw aproksymacji matematycznego modelu powierzchni, wzgl dem którego ocenia si stan geometryczny obiektu, s wspó rz dne przestrzenne punktów reprezentuj -cych pow ok obiektu. W praktyce, warto ci parametrów modelowych wyznacza si bez uwzgl dnienia dok adno ci tych wspó rz dnych. Macierz kowariancji dla wspó rz dnych punktów obserwowanych jest podstaw dla dokonania oceny do-k adno ci wyznaczanych parametrów powierzchni i ich fundo-kcji. W pracy przed-stawiono algorytm umo liwiaj cy ocen dok adno ci estymowanych parametrów powierzchni. Okre lono miar dopasowania modelu matematycznego do zaobser-wowanego stanu geometrycznego pow oki, na podstawie którego mo na wnio-skowa o adekwatno ci modelu. Podano równie metod oszacowania estymatora wariancji jednostkowej odzwierciedlaj cego wp yw b dów tylko z tytu u pomia-rów.

Sáowa kluczowe: ch odnie kominowe, powierzchnie drugiego stopnia, modele

statystyczne

Summary

On the base of geodetic, photogrammetric or radio observations of the sheet objects its position, dimensions and shape are determined. Approximation of mathematical model for the surface, used as a reference for estimation of

geomet-out consideration of accuracy of these co-ordinates. However, the covariance ma-trix for co-ordinates of observed points constitutes a base to estimate accuracy of determined parameters and its functions. In this paper an algorithm enabling es-timation of accuracy for the estimated parameters of the surface is presented. In addition, a measure of fitting of mathematical model to the observed geometric state of the sheet is determined. This parameter can be used to decide on adequacy of a medel. A method of estimation of the unit variance estimator reflecting effect of measurement errors only is also described.

Key words: cooling towers, quadratic surface, statistical models

WSTĉP

Po o enie, wymiary i kszta t obiektów pow okowych okre la si w oparciu o wyniki pomiarów geodezyjnych lub fotogrametrycznych. Obiekty te repre-zentowane s przez zbiory punktów rozmieszczonych na ich zewn trznej lub wewn trznej powierzchni, obserwowanych z punktów odniesienia. Liczba i sposób rozmieszczenia punktów osnowy zale y od stosowanej techniki obser-wacji pow oki, wymogów dok adno ciowych i warunków terenowych.

Na podstawie wspó rz dnych przestrzennych punktów reprezentuj cych pow ok obiektu aproksymuje si powierzchni stopnia drugiego.

Równanie ogólne tej powierzchni ma posta :

0 2 2 2 2 2 2 44 34 2 33 24 23 2 22 14 13 12 2 11 = + + + + + + + + + = a z a z a y a yz a y a x a xz a xy a x a ) z , y , x ( F (1) W praktyce, warto ci parametrów

a

ij szacuje si bez uwzgl dnienia do-k adno ci wspó rz dnych x, y, z. Tymczasem, macierz do-kowariancji

)

z

y

x

(

,

,

Cov

dla wspó rz dnych punktów obserwowanych stanowi podstaw

dla dokonania oceny dok adno ci wyznaczanych parametrów powierzchni i ich funkcji [Preweda 1995].

Równanie (1) mo na zapisa w postaci

0 2 2 2 2 2 2 44 34 2 33 24 23 2 22 14 13 12 2 = + + + + + + + + + = b z b z b y b yz b y b x b xz b xy b x ) z , y , x ( G (2) Gdzie:

;

)

b

(

;

a

a

b

ij ij 11

1

11

=

=

W praktyce liczba punktów obserwowanych jest zawsze znacznie wi ksza od liczby niewiadomych parametrówb₁₁, wobec czego zamiast uk adu równa typu (2) zestawia si odpowiednie równania aproksymacyjne:

44 34 2 33 24 23 2 22 14 13 12 2

2

2

2

2

2

2

b

z

b

z

b

y

b

z

y

b

y

b

x

b

z

x

b

y

x

b

x

i i i i i i i i i i i i i

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

ε

(3) Dla zwi kszenia dok adno ci oblicze liniow wzgl dem niewiadomych funkcj (3) mo na rozwin w szereg [Gloub , Reinsch 1970].

Uk ad równa zapisany w notacji macierzowej przyjmuje wówczas posta :

İ

g

x

B

=

+

(4) przy czym: » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª = 1 . . . 2 2 . . . . . . . . . . . . 1 . . . 2 2 1 . . . 2 2 1 . . . 2 2 B 3 3 3 3 2 2 1 2 1 1 1 1 ) , ( n n n n u n z x y x z x y x z x y x z x y x , » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª = 44 14 13 12 ) 1 , ( . . x db db db db u , » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª = n n g g g g . . g 3 2 1 ) 1 , ( , » » » » » » » » ¼ º « « « « « « « « ¬ ª = n n ε ε ε ε ε . . 3 2 1 ) 1 , (

(n - liczba obserwowanych punktów, u - liczba niewiadomych).

İ

jest wektorem losowym o macierzy kowariancji

Cov

(

_ε

)

, któr wy-znaczymy z zale no ci

N

Cov

N

Cov

(

_ε

)

₌

T

(

x,y,z

)

₍₅₎ Gdzie:

N - jest macierz utworzon z pochodnych cz stkowych funkcji typu (2)

wzgl dem wspó rz dnych x,y,z punktów obserwowanych (macie-rz sk adowych wektorów normalnych do powierzchni),

)

z

y

x

(

,

,

Cov

- macierz kowariancji dla wspó rz dnych punktów repre-zentuj cych pow ok .

Macierz N okre laj zale no ci:

» » » » º « « « « ª = 2 1 ... ... ... ... 0 ... N 0 0 ... 0 N N , » » » ¼ º « « « ¬ ª + + + = + + + = + + + = = ) b~ b~ z b~ y b~ x ( N ) b~ b~ z b~ y b~ x ( N ) b~ b~ z b~ y x ( N i i i y i i i i x i i 12 22 23 24 14 13 12 2 2 2 N

ESTYMACJA PUNKTOWA WEKTORA NIEWIADOMYCH

Nieobci ony estymator

xˆ

wektora niewiadomych oszacujemy rozwi zu-j c uogólnione liniowe zadanie nazu-jmniezu-jszych kwadratów:

(

−

)

(

−

)

=

→

=

_g

_B

_x

T

_Cov

_İ

−

_g

_B

_x

_v

T

_P

_v

T

_P

_ε

_ˆ

₍

₎

1

_ˆ

ε

minimum (6)

Je eli wspó rz dne punktów odniesienia przyjmiemy za nieskorelowane, wówczas kowariancje dla wektora ε b d zerowe (nie uwzgl dniamy korelacji fizycznych), a macierz

Cov

(

_ε

)

- macierz diagonaln ( Lawson , Hanson 1965) . Wobec tego, równanie (6) mo emy zapisa w postaci:

[

]

−

[

]

−

(

)

2

→

2 1 1 T

_P

_v

₌

_v

_Cov

_v

₌

_Cov

_g

_-

_B

_x

v

T

(

_ε

)

(

_ε

)

ˆ

_{minimum (7)}

Je eli uwzgl dnimy korelacje pomi dzy wspó rz dnymi punktów odnie-sienia to macierz

Cov

(

_ε

)

b dzie macierz niediagonaln . Wzgl dy numerycz-ne przemawiaj za tym, aby i w takim przypadku sprowadzi zadanie (6) do postaci typu (7). Mo na tego dokona przez sprowadzenie macierzy

Cov

(

_ε

)

do postaci diagonalnej przy pomocy przekszta ce ortogonalnych lub przez wcze niejsze sprowadzenie do postaci diagonalnej macierzy kowariancji

)

Z

,

Y

,

X

(

Cov

punktów odniesienia.

PRZEKSZTAàCENIA ORTOGONALNE MACIERZY

Dokonuj c rozk adu macierzy

Cov

(

_ε

)

wzgl dem warto ci w asnych uzy-skamy T

)

(

U

S

U

Cov

ε

=

(8) Gdzie: U - macierz ortogonalna,

S

=

diag

( )

λ

_i .

Mo emy zatem zapisa :

[

]

2 T 1 2 1

)

(

U

S

U

Cov

ε

=

(9)

przy czym zachodz zwi zki

¸

¹

·

¨

©

§λ

=

2 1 i 2 1

diag

S

(10)

[

] [

]

2 1 2 1

)

(

)

(

)

(

ε

=

Cov

ε

Cov

ε

Cov

Po przekszta ceniach

v

U

v

,

B

U

B

,

g

U

g



₌

T



₌

T



₌

T ₍₁₁₎ otrzymujemy

[

]

− −

(

)

→

2 2 1 1

-=

=

v

Cov

v

S

g

B

x

v

P

v

T T

(

_ε

)





ˆ

_{minimum (12)}

Uwzgl dniaj c warunek

1

1

=

¦

=

m i i

p

oraz przyjmuj c oznaczenia:

[

]

_{

_[

_]

_}

[

]

[

]

°

°

°

¿

°

°

°

¾

½

=

=

− − − −

g

Cov

w

B

Cov

A

Cov

Cov

P

2 1 2 1 1 1

1

=

)

(

)

(

)

(

tr

)

(

ε

ε

ε

ε

- je eli

Cov

(

_ε

)

jest macierz diagonaln ,

natomiast

{ }

°

°

°

¿

°

°

°

¾

½

=

=

− − − −

g

S

w

B

S

A

S

S

P





2 1 2 1 1 1

1

=

tr

- je eli

Cov

(

_ε

)

nie jest macierz diagonaln ,

otrzymujemy jednolit posta zrównowa onego uk adu równa aproksymacyj-nych:

w

x

A

ˆ

=

(13)

rozwi zywanego przy warunku

(

)

→

− 2 2 1 T

_P

_v

₌

_P

_w

_-

_A

_x

v

ˆ

minimum (14)

SPROWADZENIE MACIERZY KOWARIANCJI DO POSTACI DIAGONALNEJ

Analizuj c przedstawiony algorytm mo e wydawa si , e jego praktyczne zastosowanie b dzie kosztowne w przypadku du ej liczby punktów reprezentu-j cych pow ok . Problem oblicze numerycznych mo na upro ci przekszta ca-j c macierz kowariancca-ji

Cov

(

X

,

Y

,

Z

)

dla wspó rz dnych punktów osnowy w macierz kowariancji minimalnych

Cov

_min

(

X

,

Y

,

Z

)

. Sposób post powania mo e by tu analogiczny do przedstawionego powy ej. Wyznaczaj c warto ci w asne macierzy

Cov

(

X

,

Y

,

Z

)

, otrzymamy

( )

,

i

...

n

diag

)

Z

,

Y

,

X

(

_i min

=

λ

=

1

3

×

Cov

(15)

gdzie n - liczba punktów osnowy odniesienia.

Dzi ki takiemu przekszta ceniu macierz

Cov

(

_ε

)

b dzie zawsze macierz diagonaln .

Wybór drogi prowadz cej do uzyskania diagonalnej macierzy

Cov

(

_ε

)

uzale ni nale y od konkretnego zadania maj c to na uwadze, e w drugim przypadku opieramy si na ekstremalnych wariancjach a zatem uniezale niamy si od przyj tej orientacji osnowy odniesienia.

ESTYMACJA PRZEDZIAàOWA

Wektor estymowanych parametrów powierzchni oszacujemy za pomoc pseudoodwrotno ci macierzy.

w

A

x

₌

+

ˆ

(16)

Rozwi zanie to spe nia warunek (14) metody najmniejszych kwadratów. Zastosowanie do rozwi zania uk adu równa pseudoodwrotno ci Moore'aPenrose'a jest uzasadnione mo liwo ci wyst pienia defektu macierzy wspó -czynników przy niekorzystnym rozmieszczeniu punktów na obserwowanej po-w oce [Prepo-weda 1995].

Empiryczn warto estymatora wariancji 2

o

ˆ

σ

, stanowi c punktow oce-n warto ci rozwi zaoce-nia (14), okre la si wed ug wzoru

(

)

u n u n ˆ ˆ_o T − = − − v P v x A -w P 2 2 1 2 ₌

σ

(17)

Przedzia ufno ci dla wariancji opiera si na statystyce chi-kwadrat [ Pa-poulis 1970]. Korzystaj c z estymatora wariancji, dla (n-u) stopni swobody i ustalonego poziomu ufno ci (1-α) zachodzi zwi zek

α

α

χ

σ

σ

α

χ

= − ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ ¸ ¹ · ¨ © § _{− −} < − < ¸ ¹ · ¨ © § _{− 1} 2 1 2 2 2 2 2 _{,n u} (n u)ˆ _{,n u} P o o

Rozwi zuj c powy sz nierówno wzgl dem

σ

₀2 otrzymuje si

¸

¹

·

¨

©

§

₋

−

<

<

¸

¹

·

¨

©

§

₋

₋

−

u

n

,

ˆ

)

u

n

(

u

n

,

ˆ

)

u

n

(

_o o o

2

2

1

2 2 2 2 2

α

χ

σ

σ

α

χ

σ

₍₁₈₎ przy czym

¸

¹

·

¨

©

§

₋

¸

¹

·

¨

©

§

₋

_,

_n

₋

_u

_i

_,

_n

_u

2

2

1

2 2

α

_χ

α

χ

oznaczaj kwantyle rz du

od-powiednio

¸

¹

·

¨

©

§

¸

¹

·

¨

©

§ −

2

2

1

α

i

α

rozk adu

χ

2 o (n-u) stopniach swobody [Korn G.A, Korn T.M, 1983].

Granice przedzia u ufno ci dla odchylenia standardowego

σ

_o s pier-wiastkami kwadratowymi lewej i prawej strony nierówno ci (18).

WNIOSKI

Nale y zauwa y , e estymator odchylenia standardowego

_σ

ˆ

_o wyznaczo-ny zale no ci (17) jest jedynie miar dopasowania modelu matematycznego do zaobserwowanego stanu geometrycznego pow oki i na jego podstawie mo emy wnioskowa tylko o adekwatno ci modelu. Parametr ten nie mo e wchodzi do oceny dok adno ci oszacowanych parametrów i ich funkcji, gdy oprócz b dów pomiarowych uwzgl dnia te b dy monta u pow oki oraz jej deformacje. cis e rozdzielenie tych b dów nie jest naturalnie mo liwe. Dla dokonania oceny do-k adno ci nale y oszacowa a' priori wp yw b dów z tytu u pomiarów

σ

ˆ2pom, i tak miar przyj za estymator wariancji jednostkowej.

Warto parametru

_σ

ˆ2_pommo na oszacowa na ró ne sposoby. Na przy-k ad, mo na za o y , e odchy przy-ka

v

_i z tytu u b dów pomiarowych jest równa b dowi okre lenia i-tego równania aproksymacyjnego.

Zgodnie z tym zapiszmy 2 1

)

(

v

apr _i

i

=

cov

ε

- dla diagonalnej macierzy kowariancji

Cov

(

ε

)

oraz 2 1

)

(

v

apr _i

i

=

λ

- dla niediagonalnej macierzy kowariancji

Cov

(

ε

)

St d

(

)

_{

_{Cov( )} 1

_}

E

_{

_{Cov( )} 1

_}

1 v P v ₋ = ₋ ¿ ¾ ½ ¯ ® ­ =

ε

ε

tr n tr tr apr T

Dla diagonalnej macierzy

Cov

(

_ε

)

otrzymujemy

{

1

}

2

1

−

×

−

=

)

(

tr

u

n

n

ˆ

pom

ε

σ

Cov

(19)

i analogicznie w przypadku niediagonalnej macierzy

Cov

(

_ε

)

{ }

1 2

1

−

×

−

=

S

tr

u

n

n

ˆ

pom

σ

(20)

Tak wyznaczony parametr

σ

ˆ

2pom mo e s u y nie tylko do oszacowania dok adno ci estymowanych parametrów i ich funkcji, ale równie do sprawdze-nia istotno ci parametru

_σ

_ˆ

2_.

Macierz kowariancji dla wektora niewiadomych

x

wyra a si wzorem

( )

( )

T pom

ˆ

xˆ _{= A}+ _A+

Cov

_σ

2 ₍₂₁₎

Przedzia ufno ci dla niewiadomych parametrów powierzchni wynika ze statystyki t-studenta. Korzystaj c z symetrycznych przedzia ów dwustronnych mo na zapisa x

ˆ

u

n

,

t

xˆ

α

¸

_σ

¹

·

¨

©

§

₋

₋

±

=

2

1

(22)

¸

¹

·

¨

©

§

₋

_,

_n

₋

_u

t

2

1

α

oznacza kwantyl rz du

¸

¹

·

¨

©

§ −

2

1

α

rozk adu Studenta o (n-u) stop-niach swobody, za

σ

ˆ

_x jest estymatorem odchylenia standardowego

poszcze-gólnych niewiadomych. Elementy tego wektora obliczymy korzystaj c z macie-rzy (21)

( )

[

]

ii, i x

xˆ

ˆ

=

Cov

σ

(23) BIBLIOGRAFIA

Gloub G.H., Reinsch C. : Singular Value Decomposition and Least Squares Solution. Num. Math. 14 (403-420). 1970.

Korn G.A., Korn T.M. : Matematyka dla pracowników naukowych i inĪynierów. PWN, Warszawa 1983.

Lawson Ch. L. , Hanson R.J. : Solving Least Squares Problems.Prentice-Hall, Englewood, New Jersy 1965.

Papoulis A. : PrawdopodobieĔstwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne. WNT. Warszawa, 1970

Preweda E. : System pomiaru, obliczeĔ i wizualizacji zmian geometrycznych obiektów

powáoko-wych o powierzchni stopnia drugiego. Rozprawa doktorska, AGH Kraków 1995.

Jasi ska E., acina W., Preweda E., ygie o P. : A modified algorythm of determining the shape

of shell objects using the method of conical intersection.Electronic Journal of Polish Agri-cultural Universities. Series: Geodesy and Cartography ; ISSN 1505-0297. 2003 vol. 6 iss. 2 s. [1–13].

Jasi ska E., Preweda E. : A few commentson determining the shapes of hyperboloid cooling

tow-ers by the means of ambient tangents method . Pórocznik Geodezja, AGH, ISSN 1234-6608. 2004 t. 10 z. 1 s. 19–29.

Kawka T. : System transmisji radiowej w monitoringu pracy cháodni kominowej. Magazyn „Pod kontrol ” 1/2012, www.podkontrola.pl/biezacy/dobra_praktyka_s1.html

Dr in . El bieta Jasi ska Dr hab. in . Edward Preweda, prof. AGH Katedra Geomatyki Akademia Górniczo – Hutnicza im. St. Staszica al. A. Mickiewicza 30 30-059 Kraków e-mail: jasinska@agh.edu.pl preweda@agh.edu.pl