permutacje,

Permutacją zbioru {1, 2, . . . , n} nazywamy bijekcję σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.

Permutację zapisujemy w postaci tabelki:

σ = 1 2 . . . n − 1 n σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) σ(n) ! . Przykład. Permutacja σ = 1 2 3 4 4 1 3 2 !

następu-Zbiór permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy przez S_n.

Permutacje składamy jak funkcje:

(στ )(i) = σ(τ (i)) dla σ, τ ∈ S_n, i ∈ {1, 2, . . . , n}. Przykład. 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 2 1 ! 1 2 3 4 5 6 1 4 6 2 3 5 ! = 1 2 3 4 5 6 3 6 1 4 5 2 !

Cykl (a₁a₂ . . . a_k) długości k to permutacja σ zbioru {1, 2, . . . , n} taka, że:

σ(a₁) = a₂, σ(a₂) = a₃, . . . , σ(a_k−1) = a_k, σ(a_k) = a₁,

σ(i) = i dla i ∈ {1, 2, . . . , n} \ {a₁, a₂, . . . , a_k}.

Przykład. Cykl (1357) jako permutacja zbioru {1, 2, . . . , 8}: (1357) = 1 2 3 4 5 6 7 8

3 2 5 4 7 6 1 8

!

Cykle (a₁a₂ . . . a_k) i (b₁b₂ . . . b_l) nazywamy rozłącznymi, jeśli zbio-ry {a₁, a₂, . . . , a_k} i {b₁, b₂, . . . , b_l} są rozłączne.

Każdą permutację można rozłożyć na cykle rozłączne.

Przykład:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 2 1 9 8 10

!

Rozważmy permutację

σ = 1 2 . . . n − 1 n c₁ c₂ . . . c_n−1 c_n

!

.

Parę (c_k, c_l) taką, że k < l i c_k > c_l, nazywamy nieporządkiem.

Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta.

Znak permutacji σ oznaczamy symbolem sgn(σ). Jeśli σ jest permutacją parzystą, to sgn(σ) = +1, a jeśli nieparzystą, to sgn(σ) = −1.

Znak cyklu długości k jest równy (−1)k−1.

Znak złożenia permutacji jest równy iloczynowi znaków tych per-mutacji:

Przykład. Znak permutacji

σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 2 1 9 8 10

!

możemy wyznaczyć na dwa sposoby.

1. Nieporządki permutacji σ: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2), (5, 1), (6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8). Liczba nieporząd-ków: 12, znak permutacji: sgn(σ) = +1.