Lista zada« nr 3: permutacje (1) Niech σ =1 2 3 4
2 1 4 3
oraz τ =1 2 3 4 3 4 1 2
. Wyznacz permutacje:
σ · τ, τ · σ, σ · σ, τ · τ, τ−1, σ−1.
Ile permutacji mo»na otrzyma¢, mno»¡c przez siebie pewn¡ liczb¦ czynników τ i σ (w dowolnej kolejno±ci)?
(2) Wykonaj poprzednie zadanie dla σ =1 2 3 2 3 1
oraz τ = 1 2 3 2 1 3
. (3) Niech σ =1 2 3 4 · · · n − 1 n
2 3 4 5 · · · n 1
oraz τ =1 2 3 4 · · · n − 1 n 2 1 3 4 · · · n − 1 n
. Wyznacz τ · σ, σ · τ, σ2, σ3, σ4 (zapis σk oznacza iloczyn k czynników σ).
(4) Przedstaw permutacj¦1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
jako iloczyn pewnej liczby czynników σ i τ z poprzedniego zadania (dla n = 5). Przykªadowa odpowied¹: στστσ2τ σ2τ. (5) Uzasadnij, »e je±li σ jest permutacj¡, to istnieje najmniejsza dodatnia liczba caª-
kowita r taka, »e σr jest permutacj¡ staª¡ I. (Liczb¦ r nazywa si¦ rz¦dem permu- tacji σ).
(6) Wyznacz rz¦dy permutacji pojawiaj¡cych si¦ w poprzednich zadaniach.
