Kinematica van vlakke stelsels

I

I

mml\l~ij.· ~\IIII.IIII\I\.II\.IIIII~.II~

1111·

nilllil~lnl

illl~I\\~\IIIIII~

Illmmm

I~

IUilWIIl1

I1I

ilium

11 1I ti

'\II~

lillII JUli

1I1~1

1II11l1111 Ulltl

ill~1 ~II

,<3,

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1893 4071

1111111111111

KINEMATICA

VAN VLAKKE STELSELS

door

H. J. C.

A.

Nunnink

No. a • 10

PRIJS FL 17.50

HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT - ONDER REDACTIE VAN DE

'1

I

)

INHOUD

HOOFDSTUK I Inleiding

Beweging van een punt in een vlak

HOOFDSTUK 11 Beweging van vlakke stelsels Snelheidsverdeling

HOOFDSTUK 111 De stellingen van Euler-Savary, Hartmann en Bobillier

HOOFDSTUK IV De begrippen buigcirkel en keercirkel

HOOFDSTUK V De verschillende bewegingen: Elliptische beweging Cardiol<:1e beweging Conchofde bewegingen Cyclische bewegingen Stangenvierzijdebeweging Drijfstangbeweging Sleufbeweging HOOFDSTUK VI Versnellingstheorie

HOOFDSTUK VII Relatieve beweging

HOOFDSTUK VIII Diverse onderwerpen

Index 5 15 31 43 54 59 63 67 71 78 82 90 107 126 141

-HOOFDSTUK I Inleiding

Beweging van een punt in een vlak.

Par. 1. De Kinematica of Bewegingsleer bestudeert de beweging van punten of lichamen, zonder te letten op de oorzaken, waardoor een beweging zó en niet anders verloopt. Alleen de plaats van punten en lichamen is van belang, het begrip massa b.v. heeft in de Kinematica geen betekenis. De Kinematica is dus slechts een onderdeel van de Mechanica, waarin ook de oorzaken ter sprake komen.

Het doel van dit werkje is slechts een eenvoudige theoretische inlei-ding te geven. Beschouwd worden alleen bewegingen van starre licha-men, die leiden tot vlakke stelsels met één graad van vrijheid. Par. 2. De beweging van een punt in een vlak kan op eenvoudige wijze worden beschreven als in dit vlak een rechthoekig assenstelsel XOY wordt aangenomen. De ligging van het bewegende punt A kan dan worden aangegeven door de coördinaten (x, y) van A of ook door de plaatsvector

r

= OA (zie fig. 1)

y - - - - -- - -IA(x,y) I I I I xe, X fig. 1

Het verband tussen deze beide manieren is door een formule weer te geven. Zijn

ë

₁ en

ë

_a de eenheidsvectoren langs de x-as en de y-as of m.a.w. de plaatsvectoren van de punten (1,0) en (0,1), dan zijn de com-ponenten van de plaatsvector

r

van A langs deze assen respectievelijk xë₁ en

ye

_a en geldt:

(1)

6

-Daar de plaats van A in het vlak op ieder tijdstip een andere kan zijn, zijn x en y en ook

r

functies van de tijd t. De kromme, gevormd door de punten die A gedurende zijn beweging passeert, wordt de baan van A genoemd.

Par. 3. Onder de - . dr

v=r=dt=lim h-Q

sn e 1 hei d van het punt A verstaat men de vector r(t+h)-r(t)

of

h

=

lim

k

{x(t+h)ë₁ +y(t+h)ë_a -x(t)ë₁ -y(t)ë_{a }} h .... O

= ll.m {x(t+h)-x(t) y(t+h)-y(t) } - - ' - - " ; ' ; - h - - ' - - e 1 + h e a h .... O

(2) Dus de componenten van de snelheidsvector langs de x-as en de y-as zijn respectievelijk :ieë 1 en yë a •

De hoek, die de snelheid maakt met de positieve x-as zij a, dan · _lS tg _a

=

i

_{:ie = dt .}

~

_di

dt ₌

~

dx' H· lerul vo ·t

19t

:

De snelheidsvector is gericht langs de raaklijn aan de baan.

re,

x

fig. 2

Gebruikt men poolco~rdinaten dan kan men de componenten van

v

in de richting van de voerstraal en loodrecht daarop berekenen.

l

i

j

I

I

I

7

-De voerstraal r en de poolhoek cp zijn functies van de tijd t en

x

= r cos

cp, y

= r sin

cp.

Nu is

v

= xel + yë:g = (i- cos cp - _{rêpsincp) ë l} + (i- sin cp + rêpcoscp) e:g

= i-(cos cp el + sin cp e:;J + rêp ( - sin cp _{ë l} + cos cpë:g)

of

v

= ter + r

q,

e cp (3)

Hierin is er de eenheidsvector in de richting van de voerstraal, e cp de eenheidsvector loodrecht op de voerstraal; het zijn de

plaatsvec-toren resp. van de punten (coscp, sincp) en (-sincp, cos cp). De

com-ponenten van

v

_{zijn dus in deze richtingen resp. rer en} rêpecp •

Par. 4. Onder de ver s n e 11 i n g van het punt A verstaat men de

vector

(4) Vraagt men naar de componenten van de versnelling in de richting van

de voerstraal en loodrecht daarop, dan vindt men, analoog aan het

voorgaande: ä =

xë

₁ +

yë

ll

=

(r

cos cp - 2rcPsincp - rcpsincp - rq,2coscp)ël +

+ (r sin cp + 2rePcoscp + reP cos <0 - rq,2 s incp)ë₂

= (i: - r~2) (cos cp el + sincpë:g) + (2r~ + reP) (-sincpe₁ + coscpe₂)

of (5)

De lengten van deze componenten zijn dus resp.

r -

r êp 2 en 2r êp + r q; •

Van belang zijn ook de componenten van de versnelling in de richting van de snelheid en loodrecht daarop. Men noemt deze

~ tangent UHe ve rsne lling, in de richting der snelheid

än

normale versne lling, loodrec.ht op de snelheid.

Als a de hoek is, die de snelheidsrichting maakt met de positieve

x-as, dan is (zie fig. 3 )

Nu is sin Ot 8

-x

fig. 3

..

.. at = x cos Ot + Y sin Ot

..

..

a = x sin Ot - Y cos Ot n

Dit gesubstitueerd in ( 6) levert:

d 'X·2 +y·2

=

dt t..J = v

(6)

(7)

.2 ·2

sI

la •

Hierin wordt R = (x

_...

+ y)

_..-

de kro m t est r a a I van de baan van

xy - yx

A in deze stand genoemd.

Par. 5. Ter verduidelijking van het begrip kromte straal het volgende: Zij Ao het punt van de baan, waar A zich op het tijdstip t = 0 bevindt. Gevraagd wordt de cirkel te bepalen, die met de baan van A drie sa-mengevallen snijpunten in Ao gemeen heeft.

1'1

In db

!

I ' ! w l l 'e' h ztMzt OM lilt"",.· "'!Ml l b '. ! bi .. MMtft' 'tHtt.' ft

9

-Kies daartoe de oorsprong van het coördinatenstelsel in Ao en de po-sitieve x-as langs de snelheidsvector V. Dan is dus ten tijde t

=

0: x _o = y ₀

=

0,

x

₀ = v, y ₀ = 0, Xo = at' Yo = a • _n

v X

fig. 4

Breng nu een cirkel aan, die in Ao aan de x-as raakt en die de baan nog snijdt in het punt A met coördinaten x ( t) en y (t) .

Zij (0,).) het middelpunt van deze cirkel, dan is de vergelijking: X2 + y2 _ 2). Y = O.

Als men nu A over zijn baan tot Ao laat naderen, of m.a.w. als t... 0, dan nadert de cirkel X2 + y2 - 2 Xy

=

0 tot de gevraagde cirkel. In

de limietstand heeft deze cirkel dan drie snijpunten met de baan in Ao' x2 + y2

A ligt op de cirkel dus x2 + y2 - 2). Y = 0 of À

=

-2Y'-Neem nu de limietovergang.

lim). lim X

2

2+ y2

=

lim 2xX2

+.

2yy

=

lim

x

2

:.

xX

=

x~

v2

=

R. t ... 0 t ... 0 Y t ... 0 Y t ... 0 y Yo - an De straal van de gevraagde cirkel is dus de kromtestraal van de baan van A behorende bij Ao. Het punt (O,R) heet het kromtemiddel -punt en de cirkel X2 + y2 - 2RY

= 0 de osculatiecirkel.

Het kromte middelpunt is ook de limietstand van het snijpunt van twee naburige normalen van de baan van A, waarvan de één tot de ander nadert.

10

-snijdt deze de y-as b.v. ~ het punt (0,,,,)., De normaal heeft als

rich-tingsc~fficient

- -tl =

~

en dus is zijn vergelijking

ga y y - y = y y

-

.

-

.

fig. 5

Het punt (0,,,,) is het snijpunt van deze lijn met de y-as, dus

.

x

IJ

=

Y + -;- x.

y

Laat nu weer A tot A 0 naderen of t tot nul, dan is

.

xx (y + -;- )

=

R

Y

Par.6. Merkwaardige punten in krommen.

Beschouwt men een willekeurig punt van een kromme en trekt men

door dat punt een willekeurige rechte, dan heeft de rechte daar in het

algemeen met de kromme een enkelvoudig snijpunt; alleen de raaklijn

heeft er t~ee of meer samengevallen snijpunten. Men noemt zo'n punt

een enkelvoudig punt van de kromme.

In het algemeen heeft de raaklijn aan een kromme in een enkelvoudig

punt twee samengevallen snijpunten. Heeft hij er echter met de

krom-me drie gekrom-meen, dan noemt men zo'n punt een buigpunt van de

kromme.

Laat men een punt zijn baankromme in de buurt van een buigpunt

door-lopen, dan ziet men, als men de beweging van de raaklijn in dit punt

aan de baan beschouwt, dat in het buigpunt de raaklijn stationnair is, d.w.z. de zin van draaiing verandert.

11

-fig. 6. buigpunt.

In een kromme kunnen ook dub bel p u n ten en mee rvo u d i g e punten voorkomen, d.w.z. punten, waar een willekeurige rechte, die geen raaklijn is, twee of meer samengevallen punten met de krom-me gekrom-meen heeft.

Het eenvoudigste voorbeeld van een dubbelpunt is een knoop p u n t , dit is een punt waar de kromme zichzelf snijdt; er zijn twee

raaklij-nen. Zijn de beide raaklijnen in een dubbelpunt imaginair, dan noemt

men het een geisoleerd dubbelpunt.

Zijn in een dubbelpunt de beide raaklijnen samengevallen, dan heeft

men een p u n t van zelf con ta c t of een k eer p u n t.

/

~

_\

*

y /'.~

"

.

• ,<'

J' , ...

_.

knooppunt geisoleerd dubbelpunt punt v. zelfcontact keerpunt

fig. 7

In een punt van zelfcontact raakt de kromme zichzelf, de raaklijn heeft er vier samengevallen snijpunten.

In een keerpunt heeft de raaklijn drie samengevallen punten met de

kromme gemeen. Laat men een punt zijn baan in de buurt van een

keerpunt doorlopen, dan is de raaklijn doorlopend, maar het raakpunt

zelf stationnair, d.w.z. het keert van beweging om.

Bij een buigpunt is de raaklijn stationnair, het punt doorlopend.

Bij een keerpunt is de raaklijn doorlopend, het punt stationnair.

-12-Par. 7. Analytisch gezien geldt voor een buigpWlt in een kromme, dat daar de tweede afgeleide nul is, dus de kromte straal oneindig groot.

Wanneer een pWlt de kromr.le doorloopt, dan is in een buigpWlt de normale versnelling ~ gelijk aan nul volgens (7); de versnelling is dus tangenti~el.

Wanneer een punt zich in een buigpunt van zijn baan bevindt hebben zijn snelheid en zijn versnelling de-zelfde richting.

In een keerpWlt geldt dat de kromtestraal nul is. Wil dus in een keer-pWlt van een baankromme geen oneindig grote versnelling optreden, dan moet het pWlt in het keerpWlt ook geen snelheid hebben.

Dit was te verwachten, het pWlt moet immers stationnair zijn in een keerpWlt, d.w.z. zijn beweging moet terugkeren.

Beschouw nogmaals de formules (7) at

= v

v 2 a =

-n R

De normale versnelling ~ is alleen nul als R =

co,

als het pWlt zich in een buigpWlt van zijn baan bevindt, of als v = 0, wanneer het pWlt geen snelheid heeft.

Laat men deze gevallen buiten beschouwing, dan ziet men uit (7) dat ~ en R steeds hetzeHde teken bezitten, d. w.z. den 0 r m a I e ver-snelling is steeds naar het kromtemiddelpunt toe gericht.

Als men van een pWlt A op een bepaald tijdstip de snelheid

v

en de versnelling

a

kent, kan men het kromtemiddelpWlt a van de baan van

A construeren.

fig. 8

Men kent dan immer

in,

de component van

a

loodrecht op de snelheid. 2

Volgens (7) is dan R = Aa = ~ te vinden met een middelevenredige an

I II~

I

13 -constructie.

De plaats van het kromtemiddelpunt is vastgelegd door het feit, dat

a

er naar toe gericht moet zijn. n

14 -Par.8. Opgaven.

1. Van een punt A zijn de coördinaten t.o.v. een rechthoekig assen-stelsel x = a sin (2t + (X) I Y = b cos (2t + O!).

Bereken de baan van het punt A en ook de snelheid en de versnel-ling van A op het tijdstip t

=

O.

2. Een punt B doorloopt een cirkel met middelpunt M en straal R. Bepaal de snelheid en de versnelling van B op het tijdstip t als lp ( t) de hoek is I die BM maakt met een vaste straal.

3. Schets de volgende krommen en onderzoek of zij buigpunten be-zitten:

4. Schets ieder van de volgende krommen en bepaal de aard van het dubbelpunt in de oorsprong:

a) y2

=

x2 _ x'"

d) y2

=

x'" _ xe

5. Bereken de kromtestraal in de oorsprong van de volgende krom-men:

a) _Y

=

X 3 c)

6. Een punt A doorloopt een cirkel c (middelpunt M, straal 4 cm.) eenparig versneld in wijzerzin. Op het tijdstip t = 0 bevindt A zich in het hoogste punt van c en is zijn snelheid 4 cm / sec. Als na 1 sec. zijn snelheid is aangegroeid tot 6 cm/sec. wordt gevraagd de versnelling van A te construeren op t

=

O.

1\

HOOFDSTUK II

Beweging van vlakke stelsels. Snelheidsverdeling.

Par. 9. Denkt men zich twee samenvallende platte vlakken in: een in de ruimte vast gedacht vlak V en een over V bewegend vlak W. Beschouwd worden nu de snelheden van de verschillende punten van W

ten opzichte van V •

Er kan hoogstens één punt van W voortdurend in rust zijn.

Immers, indien er van W twee punten in rust zijn, zijn alle punten van W in rust en is er geen beweging mogelijk.

De meest eenvoudige bewegingen zijn de volgende:

1. Een punt 0 van W blijft voortdurend in rust. Men noemt deze be-weging een rot a tie. Het punt 0, dat V en W voortdurend gemeen hebben, heet rotatiecentrum.

Neem in Veen rechthoekig assenstelsel aan en laat de oorsprong hiervan samenvallen met O. Een willekeurig punt A van het bewegen-de vlak kan nu slechts een cirkel om 0 beschrijven, omdat de afstand AO constant is.

Alle banen zijn concentrische cirkels.

Alleen de hoek cp, die b.v. AO met de positieve x-as maakt kan va-ri~ren met de tijd. De snelheidsverdeling is eenvoudig. De snelheid van ieder punt staat loodrecht op de verbindingslijn met 0 en de grootte is recht evenredig met de afstand tot 0 (zie fig.9). Zijn AA ,

v

BBv' CC

v •••• snelheidsvectoren van de punten A, B, C, •••• dan geldt AA =w.AO, BB =w.BO enz., waarin w = tga de

hoek-v v

sn e lh e i d van het bewegende vlak genoemd wordt.

B

x

fig. 9

16

-2. Wa.ruteer op ieder moment de snelheden van alle punten van W de-zelfde richting en grootte hebben is de snelheidsverdeling ook eenvou-dig. De banen van alle punten zijn dan congruent. Men noemt zo'n beweging een tra n s I a ti e .

Par. 10 In het algemeen zijn niet alle snelheden gelijk en is er ook niet één punt voortdurend in rust. Men gaat dan als volgt te werk: Neem i.p het vaste vlak Veen coördinatenstelsel XOY en in het bewe-gende vlak Ween coördinatenstelsel

x'oty'

aan. (zie fig. 10)

x

fig. 10

Stel de coördinaten van een punt A van W t.o.v. het bewegende assen-stelsel (x, y); en die van het met A samenvallende punt van V (dat ook zal worden aangeduid met de letter A, meestal voorzien van een index) t.o.v. het vaste assenstelsel (X, Y).

Uit de figuur leest men onmiddellijk af:

X a + x cos cp - y sin cp

Y b + x sin cp + y cos cp

(8) Men noemt dit wel de bewe g in gs ve r ge lij k in gen van vlak W. Hierin zijn a en b, de coördinaten van

ot

t.o.v. het vaste assenstelsel en ook cp, de hoek die de positieve assen OX en

o'xt

met elkaar maken, functies van de tijd t; x en y zijn onafhankelijk van t.

Voor vaste x en y staan er de bewegingsvergelijkingen van het punt A (x, y). Door eliminatie van t vindt men dan de baan van A; door te

diffarenti~ren de snelheid en de versnelling van dit punt.

Opmerking: Aan de hoek <IJ wordt meestal een richting toegekend:

cp heet positief, als men de positieve as OX in tegenwijzerzin over een hoek <IJ moet wentelen om de richting van de positieve as O'X' te

-

17-Par. 11. Dillerentit;ert men de bewegingsvergelijkingen, dan krijgt

men:

. .

.

X

=

a - xcp sin cp - ycp cos cp

Y

= b + x.<P cos cp -

y~

sin cp

Dit zijn de componenten van de snelheid van het punt A (x, y )

tijdstip t.

Is er in Ween punt, waarvoor de snelheid nul is?

Dat is voor het punt P (x , y ) waarvoor geldt: _{p p}

o

=

a -

x ~ sin cp - y ~ cos cp p p

.

.

o

= b + x cp cos cp .,.

y

cp sin cp P P (9) op het (10)

Heeft dit stel vergelijkingen een oplossing op een bepaald tijdstip t ?

De determinant is :

t

.

cp sin cp -cpcos cp

~cos

cp

t

.

2

•

=

cp. cp sin cp

Op ieder moment dat cp f- 0 is er één punt met

snel-heid nul.

Men noemt dit punt de p ooI van de beweging. Algemeen geldt volgens de formules (9) en (8)

X=a-q,(Y-b)

Y

=

b

+

q,

(X - a)

Voor de pool P geldt:

o

=

à -

q,

(Y - b)

P

o

=

b

+

~

(X - a)

p

Aftrekken van (11) en (12) geeft:

.

.

X= - cp (Y - Y ) P

.

Y = cp (X - Xp) (11) (12) (13)

De betekenis van deze laatste formules wordt duidelijk, als men het

begrip poolstraal invoert. Men noemt de vector

l'A"

de pool s t r á. a 1

18

-Daar PA = OA - OP geldt volgens formule (1):

PA

=

xë + yë - X ë - y

e

= (X - X )

e

+ (Y - Y ) ë (14)

1 2 p1 p2 P 1 P 2

Hierin zijn

e

en

e

de eenheidsvectoren langs OX en OY in vlak. V. Voor de sne~eid vIn het punt A vindt men volgens (2) en ( 13 ) :

.

. .

.

AA _v =xë +yë = -fP(y-y)ë +fP(x-x)ë _{1 ' 2 p 1 p 2} (15)

Dus voor de snelheidsvector dit prachtige resultaat:

1. De snelheid AA _v staat loodrecht op de poolstraal PA.

Als ~> 0 is vindt men de richting van AA door de vector PA 900 in

tegenwijzerzin te draaien. v

2. Voor de grootte geldt: AA = ~. PA (16)

v •

Het is dus alsof het gehele vlak. W om P roteert met hoeksnelheid fP •

De beweging van vlak W is op ieder moment een

mo-mentane rotatie om de

_.

momentane pool P .

Daar fP een functie is van t kunnen er waarden zijn van t waarvoor geldt

q,

= O. In dat geval geldt echter voor alle punten van vlak W

vol-gens (9):

t .

"

X

=

a Y

=

b.

Alle punten van W hebben dezelfde snelheid.

Op een moment dat

q,

=

0 is de beweging van Ween

momentane translatie.

Men definieert dan de pool in het oneindig en wel in een richting

lood-recht op de snelheden der punten van W. (Zodoende beschouwt men een translatie als een rotatie om een oneindig ver punt) •

!n

het gev.al dat de beide vergelijkingen (10) homogeen zijn, dus als a = 0 en b

=

0 geldt, dat het punt 0' pool der beweging is.

Par.12. Poolkromme en poolbaan.

De po 0 Ik rom m e is de m.pl. van de punten van het bewegende vlak. W, die achtereenvolgens pool zijn. Beschouw nogmaals de formules:

. .

.

o

= a - x t(J sin t(J -

y

lp cos lp p p (10)

.

o

=

b + x t(J coslp - Y t(J sin lp P p

19

-Men vindt hieruit x en y als functies van de tijd. Door t te

elimi-p p

neren krijgt men de poolkromme.

De poolbaan is de m.pl. van de punten van het vaste vlak V, waar-mee de pool achtereenvolgens samenvalt. De coBrdinaten X en Y

p

P

van P vindt men door in de bewegingsvergelijkingen (8) de coBrdina-ten x en _p y _p te substitueren

X

=

a + x COS({) - Y sin lP

P P P ₍₁₇₎

Y

=

b + x sin lP + Y coslP

P P P

of, in verband met (10)

.

b

X = a -

.

Y

=

b + a

.

P _lP P (()

(18) Hiermee zijn de coBrdinaten X en Y als functie van de tijd

vastge-p p

legd, eliminatie van t levert de poolbaan.

Formule (18) is dus juist de vergelijking van de poolbaan in parame-tervorm.

Poolbaan en poo1kromme zijn krommen in de samenvallende vlakken V en W. Op ieder moment ligt in een van hun snijpunten de pool P.

Beschouw nu de snelheden, waarmee de pool zich over beide krom-men verplaatst. Stel

ü

en

ü'

de vectoren, die de snelheid van Pover de poolbaan, resp. poo1kromme aangeven.

DüferenW~ert men de formules (17)

X =

a -

x

q,

sin ({) - Y cP cos <P +

x

cos ({) -

Y

sin <p

P P P P P

Y

=

b

+ x

q,

cos<p - y

~

sin ({) +

x

sin (() +

Y

cos <p

p p p p p

dan is, in verband met (10) X

=

x

cos ({) -

Y

sin ({)

P P P ₍₁₉₎

Y =

x

sin <p +

Y

cos <p

p p p

Hierin zijn

X , Y

en

x

,y

de componenten van de snelheden,

20

-waarmee de pool P de poolbaan, resp. poolkromme doorloopt, dus

ü'

= ~

el

+ y'

e'

p 1 P 2

ë'l

en ë~ zijn de eenheidsvectoren langs de assen O'X' en O'Y' . Daar O'X' en OX een hoek cp met elkaar maken geldt

Substitueer dit in (20)

ü'

=

x

(cos cp

ë

+ sin cp

ë )

+

y (-

sin cp

ë 1

+ cos cp

ë2)

of

p 1 2 P

=

(x

cos cp -

Y

sin cp)

ë

1 + (:ie sin cp +

y

cos cp)

ë

2

P P P P

Met behulp van (19) en (20) volgt hieruit :

ü'

= X _p

ë

+

Y

e

=

ä

1 P 2

De beide snelheidsvectoren

ü'

en

ü

vallen samen!

Daar

ü'

en

ü

langs de raaklijnen in P aan de poolkromme en de poolbaan vallen geldt dus:

De poolkromme raakt in P aan de poolbaan.

(20)

:7 Verder is

:i

2 +

y

2 = i2 + }r2 , waaruit volgt, dat bij het

afwik-r

p p p p .

kelen van de poolkromme over de poolbaan de boogelementen gelijk zijn. Men noemt dit rollen zonder slip.

De poolkromme rolt zonder te glijden over de pool-baan.

De gemeenschappelijke raaklijn wordt de pool raak I i j n p genoemd en de snelheid

ü

de poolwisselsnelheid.

21

-Par. 1 3. De pool werd gedefinH;erd als het punt van het bewegende vlak, dat geen snelheid heeft. Ook het punt van het vaste vlak, waar de pool zich momenteel bevindt, wordt pool genoemd. De pool is dus het punt dat de beide vlakken op het beschouwde moment gemeen heb-ben.

Ook vat men het raakpunt van de poolkromme en de poolbaan wel als pool op. Met dit laatste stemt het begrip poolwisselsnelheid overeen.

Men ziet gedurende de beweging de pool (het raakpunt van pb en pk) zich over de poolbaan en poolkromme verplaatsen. De snelheid waar-mee dit gebeurt is.de poo!wisselsnelheid.

Opmerking: Met X en Y wordt dus niet de snelheid van het punt P

p P

van het bewegende vlak aangeduid (deze is immers nul) maar het zijn de componenten der poolwisselsnelheid.

Als de poolkromme pk en de poolbaan pb bekend zijn en er is één stand van het bewegende vlak gegeven, dan is de gehele beweging be-paald, als gevolg van de afwikkelingseigenschap. Later zal blijken, dat als de poolwisselsnelheid

ii

als functie van de tijd gegeven is, dat dan ook de snelheidsverdeling op ieder moment bepaald is.

Iedere beweging is op te vatten als de beweging van een kromme (pk) welke over een andere kromme (pb) afwikkelt.

Omgekeerd:weet men van een kromme van W dat hij rolt zonder te glijden over een kromme van V , dan moetEm deze beide krommen noodzakelijk poolkromme en poolbaan zijn. Het punt van W dat in het raakpunt van beide krommen ligt heeft momentaan geen snelheid en moet dus pool zijn, daar de pool alléén deze eigenschap bezit. Par. 14. Voo r b e e I d : Beschouw het volgende systeem: Gegeven is in een vlak Veen rechthoekig assenstelsel XOY.

Een lijnstuk AB met lengte 2a beweegt zich zo, dat A en B resp. op de X-as en de Y-as blijven. Men noemt dit een elliptische bewe-ging.

Denk aan AB een vlak W verbonden, dat met AB over V beweegt. Neem in Ween coördinatenstelsel X'O'Y' aan, de oorsprong 0' in het midden van AB en O'Y' langs O'B. De hoek tussen O'X' en OX zij cp. De coördinaten van 0' in V zijn ,( a sin cp, a cos cp) (zie fig. 12). De bewegingsvergelijkingen van W worden

X a sin cp + x cos cp - y sin cp Y a cos <D + x sin cp + y cos cp

-

22-x

fig. 12

o = (a cos cp - x sin cp - y cos cp)

;p

p p

o

= (-a sin cp + x cos cp - Y sin cp) ~

p p

Men vindt hieruit na enig rekenen x = a sin 2 cp, Y = a cos 2 cp.

p p

Door eliminatie van t, of wat hier eenvoudiger is cp vindt men de poolkromme x2 + y2

=

a2•

p p

De coördinaten van P t.o.v. V vindt men door x en y in de

bewe-p p

gingsvergelijkingen te substitueren. Dit geeft X _{. p} = 2a sin cp, y _p = = 2acoscp. Eliminatie van cp levert de poolbaan X2 + y2 = 4a2 •

p p

De poolbaan is dus een cirkel met middelpunt 0 en straal 2a; de pool-kromme een cirkel met middelpunt Ol en straal a. Uit de figuur ziet men dat poolkromme en poolbaan elkaar in een punt aanraken. Ge-makkelijk is te verifi~ren uit de coördinaten, dat dit de pool Pis. Dat de poolkromme over de poolbaan rolt zonder te glijden is te vin-den door de poolwisselsnelhevin-den UI en u te berekenen.

UI =

J

:i

2 + y2 =

2a~

u. =

J

::K

2· + y2 = 2aq,. Deze zijn dus aan

p p . " p . p

elkaar gelijk.

Opmerking. Uit de figuur is ook eenvoudig in te zien, dat de beide poolstralen PA en PB loodrecht op de snelheidsrichtingen van A en

.

..

I

1

I

j

I

I

23

-Par.15. Omgekeerde of inverse beweging.

Beschouw nu vlak Wals vast en bekijk de beweging die V t.o. v. W maakt, dan vindt men

x

= a + x cos lp - Y sin lp

Y = b + x sin lp + Y cos lp

(21)

Hierin zijn de co~rdinaten (X, Y) van een punt A in het bewegende

vlak V constanten; de co~rdinaten (x, y) van A in het vaste vlak W

tijdsafhankelijk.

Vermenigvuldig de eerste vergelijking uit (21) met cos lp, de tweede

met sin lp en tel op, dan is

x

= -

a cos lp - b sin lp + X cos lp ~ Y sin lp

Op soortgelijke wijze vindt men

y = a sin lp - b cos lp - X sin lp + Y cos lp

Voor deze beweging, die de omgekeerde beweging of ook wel de inver-se beweging wordt genoemd zijn dus de bewegingsvergelijkingen van de vorm

x

=

A + X cos t/J - Y sin t/J y = B + X sin t/J + Y cos t/J

Merk op, dat I/J

=

-lp, dus ook ~

= -

~

De hoeksnelheid van de omgekeerde beweging is ge-lijk en tegengesteld aan de hoeksnelheid van de oor-spronkelijke beweging.

Bepaal nu de pool van de omgekeerde beweging. Differentieer daartoe eerst de bewegingsvergelijkingen (21)

o

= a + x cos lp -

Y

sin lp - x~sin lp - ylpcos lp

.

.

o

=

b + x sin lp + y cos lp + Xlp cos lp - y lp sin lp

De pool is het punt, waarvoor geldt

x

=

y

= 0

dus

o

=

ä. -

x lp sin lp - y lp cos lp p p

.

.

o

= b + x lp COSIp - Y lp sin lp

P

P

En dit is hetzelfde punt als de pool der oorspronkelijke beweging! De formules (23) en (10) zijn identiek!

(22)

24

-De pool van de omgekeerde beweging is dezelfde als de pool van de oorspronkelijke beweging.

Hieruit volgt dat de poolkromme en de poolbaan resp. de poolbaan en de poolkromme van de oorspronkelijke beweging zijn; dit volgt onmid-dellijk uit hun definitie.

Door de formules (23) te differentil:~ren blijkt dat de poolwisselsnel-heid dezelfde is als die der oorspronkelijke beweging.

Als men de beweging omkeert wordt de poolkromme poolbaan, de poolbaan poolkromme, terwijl de pool-wisselsnelheid dezelfde blijft.

Bepaal nu de snelheid van het punt A (X, y) •

Trekt men de formules (23) van (22) af, dan vindt men:

o ::

X

cos cp -

y

sin cp - (x - x ) ~ sin cp - (y - y ) ~ cos cp

p p

o =

x

sin cp +

Y

cos cp + (x - x ) cP cos cp - (y - y ) cP sin cp

Hieruit volgt na enig rekenen: p p

x

= ~ (y - y )

y :: -

~ (x - x ) (24)

P

P

Vergelijking met de formules (13) geeft, omdat ook de poolstralen dezelfde blijven:

De snelheid van een punt in de omgekeerde beweging is gelijk doch tegengesteld aan de snelheid van het ermee samenvallende punt in de oorspronkelijke be-weging.

Par. 1 6. Voo r b e e ld. De omgekeerde van de elliptische beweging heet c a r d i Cl i d e be weg in g .

Een rechte hoek xtoty, beweegt zich zó, dat xto' door een vast punt A en Y'O' door een vast punt B blijft gaan.

Neem in het vaste vlak een assenstelsel XOY aan; de oorsprong 0 in het midden van AB, de positieve X-as langs OB (fig. 13). Eenvoudig is in te zien, dat het punt 0' een cirkel om 0 beschrijft. Stel de mid-dellijn AB heeft de lengte 2a en de hoek tussen de assen OX en o'Xt is gelijk aan cp •

Dan is L O'OB :: 2 cp en de bewegingsvergelijkingen worden X :: a cos 2 ([) + x cos ([) - Y sin cp

Y = a sin 2 cp + x sin cp + y cos cp

De pool vindt men uit

o (- 2a sin 2 cP- x sin cp - y cos cp ) ~

p p

o (

2a cos 2([) + X cos cp -

y

sin cp) ~

')

25

-y'

x

fig. 13

Hieruit volgt voor de coördinaten van de pool P : x = - 2a cos tp ,

p y p = - 2a sin cp

Eliminatie van tp geeft de poolkromme x2

+ y2 = 4a2 •

p p

Substitutie in de bewegingsvergelijkingen levert voor de coördinaten van de pool in het vaste vlak

X = a cos 2c,o+ x cos cp - y sin c,o = a cos 2cp - 2a cos 2c,o

= -

a cos 2cp.

p p p

Y a sin 2cp+ x sin tp + Y cosc,o a sin 2c,o - 2a sin 2c,o <= - a sin 2c,o.

p P P

Na eliminatie van c,o volgt hieruit de poolbaan X2

+ y2

=

a2 •

p p

De poolkromme is een cirkel met straal 2a; de poolbaan een cirkel met straal a, hetgeen te verwachten was.

Par. 17. Beschouw een rechte in het bewegende vlak. Wat is nu de m.pI. van de uiteinden van de snelheidsvectoren van de punten, die op deze rechte liggen?

Neem in V het coördinatenstelsel XOY zó, dat de oorsprong samen-valt met de momentane pool P en de Y-as evenwijdig is aan de gege-ven rechte. Zij PO = q de afstand van P tot deze rechte, dan geldt voor een willekeurig punt A op de rechte met snelheid AA dat het uiteinde A de coördinaten heeft: (zie fig. 14) . v

v

26

-fig. 14

x

= PA cos a - AA sin a = PA(cos a - w sin a)

v

Y = PA sin a + AA cOSO! = PA(sin a +w cosa)

v

Hierin stelt w de hoeksnelheid van het bewegende vlak voor. Daar PA = - q - vindt men X = q(l-wtga)

cos a

Y = q{tg a+ w)

Eliminatie van a geeft: X + wY = q ( 1 + w2

) en dit is een rechte.

De uiteinden van de snelheidsvectoren van de punten van een rechte lijn liggen op een rechte.

De projectie van AA op de gegeven rechte is AA cos a

=

w PA cos a

=

w q

v v

Deze is onafhankelijk van a en dus ook onafhankelijk van de plaats van A op de rechte.

De projecties van de snelheidsvectoren van de pun-ten van een rechte op deze rechte hebben dezelfde lengte.

Wanneer men AA 900 om A wentelt krijgt men de loodrechte snel-v

heid AA' (of AA"). Eenvoudig is in te zien dat

De uiteinden der loodrechte snelheden van de punten van een rechte m liggen op een rechte evenwijdig aan m .

!

!

I

_I

!

I

_t·

i

I 27

-Par. 1 8. V r a a g s tuk. Het is dikwij Is mogelijk vraagstukken met eenvoudige meetkundige constructie op te lossen, met behulp van stel-lingen uit het voorgaande of welke hierna nog zullen worden afgeleid. Daartoe tekent men in één figuur de beschouwde punten en krommen van het vaste vlak èn de posities van de beschouwde punten en krom-men van het bewegende vlak op een bepaald mokrom-ment. Snelheden en versnellingen worden door vectoren voorgesteld.

Beschouw nogmaals de figuren 12 en 13, waarin dit reeds is toegepast; de plaats van de momentale pool b.v. is daar dl")r een zeer eenvoudige constructie te bepalen.

Beschouw nu het volgende eenvoudige vraagstukje.

Zij de snelheidsvector AA van het punt A van het bewegende vlak W v

in grootte en richting gegeven. Als nog gegeven is dat'de snelheids-vector BB van B even lang is, construeer dan BB .

v v

A A

B

fig. 15 a, b

Er kunnen zich nu twe~evallen voordoen: Als de beweging een trans-latie is, is de vector BB gelijk en evenwijdig aan AA • Dit is een

v v

oplossing van het vraagstukje. Als de beweging geen translatie is, ligt de pQol in het eindige en wel op de middelloodlijn van AB; im-mersdaar AA = BB is ookw. PA =w. PB of PA = PB.

v

v

Met behulp van een eigenschap der loodrechte snelheden welke in de

voor~de paragraaf is afgeleid is nu in figuur 15 a de

snelheidsvec-tor BB geconstrueerd. v

Een andere oploss~ is de volgende:

De projecties van AA en BB op de rechte AB zijn gelijk, men weet

v

v

28

-nu een component van BBv; Bv ligt dus op een rechte door het

uitein-de van uitein-de p~ectie loodrecht op AB.

Ook is van BB de lengte bekend. B ligt dus ook op een cirkel met

v v

middelpunt B en straal AA . De snijpunten van lijn en cirkel geven

v

weer de beide oplossingen voor BB (zie fig. 15 b) .

v

Op mer kin g: Het is hier de plaats te wijzen op enige

eigenaardig-heden in de terminologie, zoals die in de Kinematica wel wordt ge-bruikt.

Wanneer gevraagd wordt de snelheid van een punt A te construeren,

dan is het de bedoeling een vector te tekenen waarvan grootte en

rich-ting de snelheid van het bewegende punt van A op het bes c hou w d e tij d s tip aangeven met als aangrijpingspunt de mom ent a ne plaats van A. Uitdrukkingen als "op het beschouwde tijdstip", "in de be-schouwde stand" enz. worden vaak weggelaten.

Gebruikelijk is ook, maar daarom nog niet correct, te spreken van

het kromtemiddelpunt (X van een bewegend punt A. (zie b.v. par. 7).

Bedoeld wordt hier het kromtemiddelpunt van de baan a van A

29

-I~ Par.19. Opgaven.

1. Van een bewegend vlak W zijn de bewegingsvergelijkingen : X = x cos t - Y sin t + p tg t

Y

= x

sin t + Y cos t

Hierin is p een constante. Bepaal voor een willekeurige waarde van t de coBrdinaten x, y en ook de coBrdir.aten X, Y van de pool. Bepaal de vergelijkingen van de poolbaan en de poolkromme. Toon aan, dat de oorsprong van het bewegend assenkruis een rechte lijn beschrijft. Bewijs, dat de y-as van het bewegende assenstelsel door een vast punt gaat.

2. In het vaste vlak is een rechthoekig assenstelsel XOY gegeven. Een lijn m blijft bij beweging steeds door het vaste punt 0 gaan, terwijl een punt A van m de kromme doorloopt, waarvan de ver-gelijking in poolcoBrdinaten luidt: r

= ae<p. Bepaal van de

bewe-ging van m de poolbaan en de poolkromme. Als nog gegeven is, dat A zich op het tijdstip t = 0 in het punt (a. 0) bevindt, en de hoeksnelheid van m constant wis, bepaal dan de snelheid van A op t = O.

3. Gegeven is in het vaste vlak een rechthoekig assenstelsel XOY. Een lijn m blijft bij beweging steeds door het punt 0 gaan, terwijl een punt A van m de kromme beschrijft met vergelijking

(X2 + y2)3 = 4a2X2y2.

Bepaal van de beweging van m de poolbaan en de poolkromme. 4. Een lijn, a beweegt zich zodanig, dat een punt A van a een vaste

rechte.-- m met de constante snelheid v doorloopt, terwijl a om A wentelt, eenparig versneld, met hoekversnelling 1. Bewijs dat de poolbaan van deze beweging een gelijkzijdige hyperbool is.

5. Een lijn m wentelt met constante hoeksnelheid I om één van zijn punten'. Noem dit punt

o.

Een lijnstuk AB glijdt eenparig versneld langs m; de constante relatieve versnelling van AB zij a. Bepaal van de beweging van AB de poolbaan en de poolkromme en de ba-nen van A en B.

6. Gegeven is in het vaste vlak een rechthoekig assenstelsel XOY. Een lijnstuk AB, lang 10 cm, beweegt zich zó, dat A op de X-as en B op de Y-as blijft. In de beschouwde stand ligt B 6 cm. boven

-

30-o

en is zijn snelheid 4 cm/sec, naar 0 gericht. A ligt dan rechts

van O. Construeer de snelheidsvectoren van A, B en van het mid-den C van AB zonder gebruik te maken van de momentane pool.

7. In het bewegende vlak W is een gelijkzijdige driehoek ABC

gege-ven, waarvan de zijde 6 cm. is. Op een bepaald moment verhouden

de lengten der snelheidsvectoren van A, B en C zich als 1 : 2 : 3

en is de hoeksnelheid van W gelijk aan 1.

HOOFDSTUK

m

De ste llingen van Eule r -Sa vary,

Hartmann en Bobillier.

Par.20. De eerste formule van Euler-Savary. Beschouw nogmaals het punt A (x, y) van het b;wegend vlak W met

co~rdinaten (X, Y) ten opzichte van het vaste assenstelsel in V.

Voor de snelheid van dit punt werd in paragraaf 11 afgeleid:

je

= -

~

(Y - Y )

• • p (13)

y = (0 (X - X ) P

Deze formules gelden voor ieder tijdstip, waarvoor;P " 0 is. Ook is eenvoudig te verifi~ren dat zij onafhaDkelijk zijn van de keuze van het co~rdinatenstelsel in V; zij zijn n.l. invariant ten opzichte van een

co~rdinatentransformatie .

Differentieer de eerste vergelijking.

X

= -

cp

(Y - Y ) - (p

("Y -

Y )

(24)

p p

Hierin is

Y

de component van de poolwisselsnelheid

ii

langs de Y-as.

p

Kies nu in Veen ander coBrdinatenstelsel en wel zo, dat de oorsprong in de momentane pool P valt en A op de positieve X-as ligt.

y ?t:~~", ~ it !V~ •

x

fig. 16

Stel A (r, 0) en zijn kromtemiddelpunt Cl! (p, 0) dan geldt als (p = w de hoeksnelheid van W is:

X= Y =wr Y

.

= - u sin

a

p

32 -Dit gesubstitueerd in (24) geeft:

_ w2r2

= - w (wr + u sin e)'

r-p of, na enig rekenen:

1 1

w

- - - = _{p r u sin S}

Dit is de eer st e f 0 r mul e van Eu 1 e r - S a var y • Hierbij geldt de volgende tekenafspraak :

(25)

e

wordt positief genomen in tegenwijzerzin, gerekend van de poolwis-selsnelheid tot aan de poolstraal PA. Indien 0/ aan de andere zijde

van P ligt, geldt

fJ<

o.

Aanschouwelijker is de volgende redenering:

Beschouw twee naburige standen van het bewegende vlak, bv. behorend bij de tijdstippen t en t₁ = t + 4 t.

p

fig. 17

Stel dat tussen deze beide tijdstippen de pool verplaatst is van P naar P 1 en het punt. A een boog AA 1 = à. s van zijn baan a heeft afgelegd. (zie fig. 17). PA en P1A1 zijn normalen van a, stel N hun snijpunt en

lP

de hoek die zij maken.

Gebruik nu de sinusregel in driehoek PNP 1

PPl sin I/J

PP1 : sin

lP

= PN : sin (NPP 1 +

lP)

of

"XT

sin (NPP 1 +

lP)

=

PN I:. t . Laat men nu I:.t tot nul naderen dan nadert de normaal P lAl tot PA;

33

-de hoek NPP 1 tot de reeds vroeger gedefinieerde hoek

PP

e.

Tenslotte is de limiet van Atl _{gelijk aan de poolwisselsnelheid ü, terwijl}

en dus ook

~W n~dert

tot

~ ~:

wat tot limiet heeft

Af:

Bovenstaande formule levert dus na de limietovergang

.

P

wPA

u sm

e

= ex A ex •

!L

At

Afgezien van het teken volgt hieruit weer de formule van Euler-Sava'ry

1 1 w

Pä -

PA = u sin

e

(25) Par.21. De stelling van Hartmann.

Beschouwt men in figuur 16 de component Ü A langs de Y-as van de poolwisselsnelheid

ü.

Verbindt men nu het uiteinde van

ü

A met het uiteinde A van de snelheid van A, dan heeft deze lijn de vergelijking:

v Y + u sin 6 X wr + u sin 6

v

/ / / ij r / / / / fig. 18 A

Hij moet immers door de punten (0, -u sin e) en (r, wr) gaan •.

Het snijpunt van deze lijn met de X-as is X Cr u sin . 6

wr + u sm

e

of

34

-1 wr + u sin B w 1 1

X

= u. r sin B = u sin B +

r

=

p

Het snijpunt is dus juist

(p,

0 ), het kromte middelpunt a van A.

Het uiteinde der snelheid van een punt, het kromte-middelpunt en het uiteinde van de component der poolwisselsnelheid evenwijdig aan de snelheid lig-gen op e en re chte (Stelling van Hartmann). .

Het is een andere vorm van de stelling van Euler-Savàry.

Nu kan men bij een willekeurig punt A het kromtemiddelpunt constru-eren, als de poolwisselsnelheid

ü

en de hoeksnelheid w gegeven zijn. Men kan n.l. achtereenvolgens AAv' Ü A en dus ook a construeren.

Par.22. De stelling van Bobillier.

Stel op een bepaald moment de poolstralen Aa en Bf3 gegeven.

Neem het cot)rdinatenstelsel (niet rechthoekig!) zó dat de X-as langs Aa en de Y-as langs BB valt. Men vindt dan voor A, a, B en ~ resp. de coBrdinaten (r ,o) (p ,o) (0, r 2) en (o,p 2 ) •

Stel het snijpunt

rin

AB ên cxf1 is Q en de hoeken die Acx en

B~

resp. met de poolwisselsnelheid maken

e

en BA.

Volgens de stelling van Euler-Savafy geldt dan: 1 Pl 1 w i l w

-= .

;

---=-~-r1 usmB1 PI r2 u sin Ba y

Voor een punt (X, Y) van de poolraaklijn p geldt: X : - Y = _{sin (180 - 8a ) : sin 81} of

-

35-Dit is dus de verg~lijking van de poolraaklijn.

Voor de rechten AB en (X~ vindt men de vergelijkingen

x

Y

en - + - = 1

Pl Pa

Trek deze beide vergelijkingen af:

X(.!_.!)+Y(.!_.!) 0 of

rl Pl r2 Pa

Deze laatste vergelijking stelt een lijn voor die door het snijpunt gaat van AB en (Xf3 en door de oorsprong. Het is dus de lijn PQ:

X sin (J2 + Y sin

el

= 0 (28) Q ligt dus op de lijn door P zo, dat de hoek APQ gelijk is aan é 2 en

de hoek BPQ ge lijk is aan

el'

De lij n PQ ligt dus met de poolraaklij n symme-trisch t.o.v. de beide poolstralen PA en PB. Wanneer men dus twee poolstralen lux en B~ heeft, kan men met deze stelling de poolraaklijn construeren. Omgekeerd is het ook een kromtemiddelpuntsconstructie. Als A, ex en p bekend zijn, is bij een willekeurig punt B het kromtemiddelpunt f3 te construeren!

Par. 2 3. Voo r be e I d: Beschouw de beweging van een lijnstuk AB, waarvan het pwit A een cirkel en het punt B een rechte beschrijft.

fig. 20

MI r".· '.1'1" j a, •

36

-(Drijfstangbeweging). Neem een willekeurige stand (fig. 20).

Het punt A beschrijft een cirkel a, zijn kromtemiddelpunt ex ligt dus in het middelpunt; het punt B beschrijft een rechte b, het kromte-middelpunt f3 ligt in het oneindige en wel in een richting loodrecht op b. A ex en B

t3

zijn poolstralen en snijden elkaar in de pool P. Past men nu de stelling van Bobillier toe op de punten A,ex, Ben f3 dan kan men dus de poolraaklijk p construeren, hetgeen in de figuur is uitge-voerd. Zij AAv de snelheidsvector van A, dan is met de stelling van Hartmann een component UA van de poolwisselsnelheid ü te constru-eren, en omd3.t de poolraaklijn bekend is, ü zelf ook.

Omgekeerd zijn de stellingen van Bobillier en Hartmann ook te ge-bruiken om kromtemiddelpunten te construeren. 'Dit is uitgevoerd voor het midden C van AB. Vergelijkt men de punten B en C, dan

is volgens de stelling van Bobillier Q' het snijpunt van Be en PQ'

{PQ' zo dat L (PC, PQ')= - L (p, PB)}. Hetkromtemiddelpunt 'Y

van C ligt nu op Q' f3.

Ook is 'Y te construeren met de stelling van Hartmann. De snelheid CCv is te vinden met behulp van P en AÄv ; de component uB van ü

evenwijdig CCv is eveneens bekend, 'Y ligt nu op de lijn die de uitein-den van deze beide vectoren verbindt.

Par.24. Asymptoten van de poolbaan.

Wanneer het bewegende vlak een momentane translatie uitvoert, ligt

de pool P in het oneindig. De asymptoot is nu de raaklijn in dit on-eindig verre punt aan de poolbaan. Het is dus ook een poolraaklijn.

fig. 21 a fig. 21 b

I

I

I

I

) 37

-In het volgende wordt nagegaan in hoeverre de stelling van Bobillier

zich wijzigt, wanneer P naar het oneindige verdwijnt.

In figuur 21 a is de stelling van Bobillier uitgevoerd voor het geval, dat P zich in het eindige bevindt. De hoek tussen PB en PQ en de hoek tussen p en PA zijn gelijk, doch tegengesteld gericht. Men snijdt nu deze figuur met een rechte loodrecht op de bissectrice van hoek APB. Stel de snijpunten met p, Aa., B{3 en PQ resp. Sl' S2' S3 en S4. Dan is eenvoudig in te zien, dat Sl S2

=

Ss S4. Indien P nu naar het oneindige verdwijnt, wordt de eigenschap van de gelijke hoe-ken zinloos, maar wel blijft gelden 8_{1 8 2} = 8_{3 84 .}

Bij een mom e'll t a net r a n sla tie gel d t, dat d e af sta n d van B.B tot het punt Q ge lij k is aan de af stand van Aa. tot de asymptoot, zij het in tegengestelde rich-ting.

Par. 2 5. Meetkundig is de pool van een bewegend vlak steeds te

vinden als snijpunt van twee poolstralen Aa. en

Bi3.

Waar ligt echter de pool als Aa. en B.B samenvallen?

p ' - - - - ' - - - ü

fig. 22

Als A en B twee baanpunten zijn op dezelfde poolstraal, dan vindt men

met de stelling van Euler-8avary (25)

1 1

= p~ - PB u sin w

e

De uitdrukking

! - !

is voor punten op dezelfde poolstraal invariant.

p r

1 1 1 1

38

-Deze formule geldt, wanneer A, B en a en {J op één rechte liggen en volgt direct uit de stelling van Euler-Savary. Met behulp van deze formule is de plaats van de pool te berekenen. Indien men Pa

=

x stelt zijn de overige lijnstukken in x uit te drukken.

( 29) levert dan een kwadratische vergelijking voor x.

Opmerking. Aan de lijnstukken PA, Pa, enz. is in de formule van Euler-Savary een positieve of een negatieve zin toegekend.

Formule (29) geldt daarom alleen, als men de lijnstukken PA, Pa, PB, P ~ positief neemt in dezelfde richting.

Par.26. Voorbeeld.

Zij gegeven een lijnstuk AB, waarvan de punten A en B cirkels be-schrijven, resp. om a en ~. (Stangenvierzijde beweging). Voorts is nog gegeven aA

=

8 cm., {3 B

=

18 cm., a {3

=

AB

=

13 cm.

In een willekeurige stand is de pool eenvoudig te bepalen als snijpunt van aA en {3 B en de poolraaklijn eveneens met de stelling van Bobil-lier . In fig. 23 is de poolbaan van deze beweging geschetst. Een bij-zondere stand treedt op, wanne~r aA en ~ B evenwijdig zijn. Men vindt dan de asymptoot van de pQolbaan, zoals in paragraaf 24 is

aan-gegeven. , /

/

/

/

39

-Een andere bijzondere stand vindt men als A en B beiden op de lijn

tlf3

liggen. De beide poolstralen zijn dan samengevallen. Men noemt dit de gestrekte stand. Een strekbare beweging is een bewe-ging, waarbij zoln gestrekte stand kan voorkomen.

De pool in de gestrekte stand is als volgt te vinden.

Stel Pa = x, (P en f3 aan verschillende zijden van a) dan moet x voldoen aan de betrekking (volgens paragraaf 25)

1 1 1 1

x -

x + 8 = x + 13 - x - 5 Hieraan is voldaan voor x = 2 en x = - 10.

Par.27. De omhullende van een bewegende kromme. Zij c een kromme in het bewegende vlak. In het vaste vlak is nu een kromme d aan te geven, waaraan c gedurende zijn beweging steeds blijft raken. Men noemt d de 0 m huIl end e van c.

t ,_I

, • \ K

t. J IJ

fig. 24

Beschouw beide krommen op het tijdstip t (zie fig. 24). Zij A het punt

40

-van c, dat dan in het raakpunt ligt -van beide krommen en P de mo-mentane pool. Stel op het naburige tijdstip t₁

=

t +.1 t ligt het punt B van c in het raakpunt; de pool van deze stand zij P 1.

Het snijpunt van de normalen in A en B₁ op d getrokken zij N; van

de normalen in A en B op c getrokken M.

Stel verder LANB_I =a, L AMB

=

f3, LNPP_I ='Y; .1s en.1s' de

bo-gen ABl en AB van resp. d en c.

Maak nu een schatting voor a. Als Il t voldoende klein is geldt

AAI = AA Ilt = wPA.1t en ook

v

AAl =.1s -.1s'

=

aAN - BAM.

Daar AM en AlM l een hoek wM maken geldt bovendien a + f3 = w.1 t.

Hieruit volgt na enig rekenen .PM At

a~ NM w ...

Pas nu de sinusregel toe in driehoek NPPl dan is PP 1 : sin a = PN : sin ('Y + a) •

Hieruit volgt onmiddellijk

~P

1 sin ('Y + a) = PN sin

~

.

Ilt Ilt

(30)

Laat men nu weer Il t tot nul naderen, dan nadert ook a tot nul en 'Y tot

de reeds eerder gebruikte hoek e; M en N worden in de limiet de

kromtemiddelpunten van c en d behorend bij het raakpunt. Met

be-hulp van (30) vindt men dus

• 1I PN. PM f

u sm 11 = w NM 0

1 1 w (31)

PN PM = u sin

e

Ook deze formule wordt genoemd naar E u Ier - S a var y .

Op mer kin g: Het punt M is een punt van het bewegende vlak, stel zijn baan m en het kromtemiddelpunt in de beschouwde stand IJ. Volgens formule (25) geldt

1 1 w

PIJ - PM = u sin

e

Beschouw nogmaals figuur 24. Hier zijn van de baan m de punten M en MI getekend en .•. twee naburige normalen PM en PI MI. Het snijpunt N is dus in de limietstand tevens het kromtemiddelpunt IJ

I~

I

I

_I

I

41

-Par.28. De kromte stralen van poolbaan en poolkrom-me.

Gebruik nogmaals formule (19) van paragraaf 12:

X

=

x

cos I{) -

y

c;in I{)

P P P ₍₁₉₎

y _P ==

x

_P sin _{I{) + Y}.

p COSI{)

Differentil!er de tweede formule

Y =

x

sin I{) +

Y

cos I{) + (x cos I{) -

y

sin I{))

;p

p p p p p

of Y =

x

sin I{) +

Y

cos I{) + ~

X

p p p p (32)

Deze formule is onafhankelijk van de keuze van het coördinatenstelsel. Kies nu de oorsprong in de pool P en de positieve X-as langs de pool-wisselsnelheid

ii.

Verder in het bewegende vlak X'O'Y' momenteel samenvallend met XOY, dan geldt, als Rpb en Rpk de kromtestralen zijn van resp. poolbaan en poolkromme.

.

I{) = 0, I{) =w, X

=

u, p ua Y = -P R _pb '

Dit gesubstitueerd in (32) levert na deling door ua

1 1 w I

Rpb - Rpk = Ü

1,.7 Eveneens een formule van E u Ier -S a var Y • '!.

(33)

Op mer kin g: In verband met het feit dat de poolbaan de omhullende is van de poolkromme is formule (33) een onmiddellijk gevolg van (31) .

42

-Par.29. Opgaven.

1. Een cirkel c( middelpunt M, straal 8 cm) rolt over een horizon-tale rechte m. Op het beschouwde moment is de-snelheid van M 8 cm/sec. naar rechts. Construeer de poolwisselsnelheid en de snelheid en het kromtemiddelpunt van een willekeurig punt van c. 2. Van een cirkel c (middelpunt M, straal R) is H het hoogste, L het laagste punt. De horizontale rechte m raakt in L aan c. Van een staaf AB (lengte 2R) doorloopt A de cirkel in tegenwijzerzin, terwijl B steeds op m blijft. Men beschouwt een stand, waarbij A rechts van H ligt en B rechts van L. De (scherpe) hoek HMA wordt met lP aangeduid. Druk de afstand van de pool P tot de ho-rizontale rechte door A in lP uit en leid daaruit af, waar P zal liggen als A het punt H (en dus B het punt L) passeert. Leid dit resultaat ook af met behulp van de formule van Savary.

3. De vier stangen Oll' = 8 cm, Ol A = 2 cm, {JB = 5 cm en AB = 5 cm zijn in de gelijknamige eindpunten scharnierend verbonden. Ol {J is vast, de drie overige zijden van de vierhoek bewegen zich in een vlak. Construeer van de beweging van AB de poolbaan met de asymptoten. Bewijs dat Ol en {J dubbelpunten van de poolbaan zijn en bepaal de aard van deze dubbelpunten. Bereken de beide niet met Ol of {J samenvallende snijpunten van Ol IJ met de poolbaan. 4. Gegeven is een horizontale rechte m, welke aan de bovenzijde

wordt aangeraakt door een cirkel c met straal 8 cm. Een lijnstuk AB beweegt zich zó, dat A op c en B op m blijft. In de be-schouwde stand ligt A in het meest rechtse punt van c, en B rechts van A. Construeer de raakpunten van de cirkel met middel-lijn AB met zijn omhullende en de bij deze raakpunten behorende kromtemiddelpunten van de omhullende.

5. Een cirkel met middelpunt N en straal r rolt langs de buitenkant van een cirkel met middelpunt M en straal R. Neem in een be-paalde stand de poolwisselsnelheid u willekeurig aan en bepaal met de constructie van Hartmann de hoeksnelheid w. Bewijs, dat

w = u (R R: r) • Bepaal met dezelfde constructie het kromte-middelpunt Ol van een willekeurig punt A. Als A en Ol worden be-paald door poolco~rdinaten (in het stelsel dat het raakpunt der cirkels tot oorsprong en de gemeenschappelijke raaklijn in dat punt tot as) leid dan de betrekking tussen deze co~rdinaten af (formule van Savary). Waar ligt Ol als men A kiest op de gemeenschappe-lijke raaklijn der cirkels?

!" ."."

'81Mb! !

HOOFDSTUK IV

De begrippen buigcirkel en keercirkel. Par. 3 0 • Beschouw het vaste en het bewegende vlak op een wille-keurig tijdstip t; kies de assenstelseis XOY en X'O'Y'

samenval-lend, met de oorsprong 0 in de momentane pool en de positieve X-as langs de poolwisselsnelheid. Voor een punt A "net poolcoBrdinaten ( r, e) geldt volgens Euler-Savary :

(25)

w - - - =

p r u sin

e

1 1

Bepaal nu de m. pl. van de punten A waarvan het kromtemiddelpunt

a in het oneindige ligt. Hiervoor geldt p

=

Pa '=

00,

dus r

= -

~ sin

e.

w

fig. 25

Stel - ~ = m dan is r = m sin

'

e

of x2 + y2 - my = 0 (34) Men noemt deze meetkundige plaats de b u i g c ir keI. Het is een cirkel door P, rakend aan de poolraaklijn p en met middellijn m.

44

-Het is dus de m. plo van punten, die momenteel in een buigpunt van hun baan zijn (fig. 25). De pool behoort er echter niet toe.

Het diametraal tegenover pool P gelegen punt

Sn

noemt men de b u i g pool. Van een willekeurig punt A van de 6uigcirkel, dat dus in een buigpunt is van zijn baan a, gaat de buigpuntsraaklijn door Ep. Deze lijn geeft tevens de snelheids- en de versnellingsrichting van A aan; de normale versnelling van A is dan immers nul.

Vraagt men naar de kromtemiddelpunten van oneindig verre baanpun-ten dan geldt voor deze punten r = co. Dan wordt volgens (25)

p

= -

m sin 8 of X2 + y2 + m Y

=

o. (35) Men noemt de m. plo van deze krom te middelpunten de k eer c i r keI. Het is weer een cirkel, en wel het spiegelbeeld van de buigcirkel t.o.v. de poolraaklijn. Het diametraal tegenover P gelegen punt Kp op de keercirkel noemt men de k eer pool. (fig. 25).

De keercirkel is dus de m. pI. van de kromtemiddelpunten van de mo-menteel in het oneindige gelegen baanpunten.

Par.31. De omgekeerde beweging.

Zij gegeven een punt A met zijn kromtemiddelpunt O!,

1 1 w

gens Euler-Savary -_PO! - -_PA

=

_{u sm}

.

_e

dan geldt vol-(35) Keert men nu de beweging om, dan wordt de hoeksnelheid volgens pa-ragraaf 15 gelijk aan - w; de poolwisselsnelheid u blijft dezelfde. Voor een punt, waarvan de poolstraal een hoek

e

maakt met de pool-wisselsnelheid geldt nu p r -w - - - = _{u sin}

_e

1 1 1 (36) m sin

e

Voor de buigcirkel van de inverse beweging geldt p =co of r = -m sin

e,

dit is juist de keercirkel der oorspronkelijke beweging. Voor de keer-cirkel geldt r = co of p = m sin

e

en deze valt samen met de buigcir-kel der oorspronbuigcir-kelijke beweging.

De buigcirkel (keercirkel) van de omgekeerde bewe-ging valt samen met de keercirkel (buigcirkel) der oorspronkelijke beweging.

Beschouwt men nu het punt O! van het vaste vlak V, dan wordt dit in de omgekeerde beweging een baanpunt B. Als het kromtemiddelpunt van B ~ wordt genoemd geldt (36)

1 1 1 1 w

45

-Vergelijking met (35) laat direct zien dat f3 samen moet vallen met A. Van de eigenschappen, welke voor de inverse beweging gelden, is nu het volgende lijstje op te stellen:

Oorspronkelijke beweging Omgekeerde beweging

pool P pool P poolbaan poolkromme poolkromme poolbaan poolraaklijn p poolraahlijn p poolwisselsnelheid ij poolwisselsnelheid ij hoeksnelheid

w

...

hoeksnelheid -

w

snelheid AA van A

...

snelheid BB

= -

AA van B

=

A

v v v

buigcirkel

...

keercirkel

keercirkel buigcirkel

punt A met kromte- _}

...

_{ kromtemiddelpunt f3 = A

middelpunt ~ van baanpunt B = ~

Par.32. De omhullende van een rechte lijn.

Voor de omhullende van een bewegende kromme geldt volgens para-graaf 27 :

1 1 w

PN - PM = u sin

e

(31)

Als R het raakpunt is van de kromme met zijn omhullende, dan zijn M en N de kromtemiddelpunten van resp. kromme en omhullende, be-horend bij R. Is de bewegende kromme een rechte, dan ligt het krom-temiddelpunt M in het oneindige. Als P niet eveneens in het oneindi-ge oneindi-geleoneindi-gen is oneindi-geldt dus

PM = Q) en PN = ~ sin

e

= - m sin

e.

Het punt N ligt dan op de

w

keer cirkel volgens (35).

Het kromtemiddelpunt van de omhullende van een rechte lijn, behorend bij het raakpunt, ligt op de momentane keercirkel.

Beschouw nu een rechte k van het bewegende vlak, die momenteel juist door de keerpool gaat (fig. 25). Het raakpunt R van k met zijn omhullende ligt dan op de keercirkel ; R is immers het voetpunt van de loodlijn uit P op k neergelaten. Het kromtemiddelpunt N van de omhullende ligt in het snijpunt van PR met de keercirkel en valt met R samen. De omhullende heeft dus in het punt Reen kromte-straal nul. R is dus een keerpunt, de keerraaklijn is de lijn k zelf. Wanneer een bewegende rechte zijn omhullende raakt

in een keerpunt, ligt dit keerpunt op de momentane

- 46-keercirkel.

De keercirkel is dus de m. plo van die keerpunten van omhullenden van rechte lijnen, waarvan de lijn mom ent e e I zelf k eer raak li j kis.

Hierdoor is de naam van de keercirkel verklaard.

Par. 33. Constructie s voor de buigcirke I en de keercirkel.

De buigcirkel gaat door de pool en raakt aan de poolraaklijn. Is er nog een punt van de buigcirkel bekend, dan is deze eenvoudig te con-strueren. Neemt men een willekeurige rechte door de pool, dan heeft deze buiten de pool nog een tweede snijpunt C met de buigcirkel. Het kromtemiddelpunt 'Y van C is dan het oneindig verre punt van deze rechte. Het punt C is eenvoudig te construeren met een der stellingen van Bobillier, Hartmann of Euler-Savary.

Is er van een beweging gegeven, dat een punt A een rechte lijn a

be-schrijft, dan ligt A i,n iedere stand op de buigcirkel, omdat steeds zijn kromtemiddelpunt a. in het oneindige ligt (fig. 26 a ) •

fig. 26 a fig. 26 b

Keert men nu deze beweging om, dan ziet men de lijn a bewegen, maar steeds zó, dat hij door het vaste punt A blijft gaan. Volgens paragraaf 31 geldt, dat het punt A een kromtemiddelpunt ~ is van een punt B, dat samenvalt met a. op co. Dus ~ is in iedere stand een

punt van de keereirkel. Men noemt zo'n punt een s Ie ufpun t (fig. 26 b). Is er van een beweging gegeven, dat een bewegende rechte s steeds door een 'vast punt S blijft gaan, dan is S in iedere stand een punt van de keercirkel. Men kan dit ook nog anders inzien. De omhullende van de rechte s is slechts het éne punt S. Het kromtemiddelpunt van deze omhullende valt dus in iedere stand met S samen, S is dus steeds een punt van de keercirkel.

Wanneer in een beweging niet zo'n sleufpunt voorkomt, is een punt van de keer cirkel te vinden door bij een willekeurig oneindig ver baanpunt het kromtemiddelpunt te construeren b.v. met de stelling van' Bobillier.

- 47-De keercirkel is dan weer bepaald.

Opmerking: Wanneer er van de buigcirkel en de keercirkel er één be-kend is, kan de ander worden gevonden door spiégelen t.o.v. de pool-raaklijn.

Par.34. Voorbeelden.

Zij gegeven een rechte s, die bij beweging steeds door een vast punt S blijft gaan, terwijl een punt A van S een rechte a beschrijft. (Concholtle beweging). Beschouw een willekeu.'.'ige stand (fig. 27) •

fig. 27

A beschrijft een rechte en ligt dus steeds op de buigcirkel. De pool P

ligt in het snijpunt van de rechte door A loodrecht op a met de rech-te door S loodrecht op s. S is een sleufpunt, dus een punt van de keer cirkel. Spiegelen van S t.o.v. de pool levert een punt B van de

buigcirkel. De buigcirkel is dus de cirkel door A, B en P; de keer-cirkel is te vinden door te spiegelen t.o.v. de pool P.

In fig. 28 is de buigcirkel geconstrueerd in een willekeurige stand van een stangenvierzijdebeweging. Allereerst is de pool P geconstrueerd en daarna de poolraaklijn p met de stelling van Bobillier. Vervolgens is met dezelfde stelling de buigpool B geconstrueerd. Het

kromte-p

middelpunt van de buigpoolligt in het oneindige in een richting lood-recht op de poolraaklijn ; samen met B, (3 en p is dan Bp te vinden. De buigcirkel is dan de cirkel met middellijn P~.

\