Dynamika punktu materialnego. Praca siy. Energia kinetyczna w ruchu postpowym. Klasyczna zasada wzgldnoci. Mechanika relatywistyczna. Pomiary dugoci i czasu trwania w rnych ukadach odniesienia. Paradoks blinit.

Pełen tekst

(1)Dynamika punktu materialnego. 3.. 3-1. Dynamika punktu materialnego. Masa bezwładna. m ≡ Mw ⋅. Vw v. Pęd Pęd jest ilościową miarą ruchu obiektu →. →. p ≡ m⋅v. Siła Siła jest przyczyną zmiany stanu ruchu (zmiany pędu) →. F≡ Jeżeli to. →. →. dp dt. F sr =. albo. m = const. , →. →. F = m⋅a.. →. ∆p . ∆t.

(2) Dynamika punktu materialnego. 3-2. Zasady dynamiki Newtona Pierwsza - zasada bezwładności Jeżeli suma sił działających na ciało (siła wypadkowa) jest równa zeru, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (Oznacza to, że prędkość ciała jest stała a przyspieszenie jest równe zeru.) Druga zasada dynamiki Szybkość zmiany pędu (zmiana pędu przypadająca na jednostkę czasu pochodna pędu względem czasu) jest równa wypadkowej sile działającej na ciało.. ! dp ! ≡F dt. ! ! p ∆   F ≡   t ∆  . Trzecia - zasada akcji i reakcji Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie na siebie, to siła wywierana przez pierwsze ciało na drugie jest równa i przeciwnie skierowana do siły jaką ciało drugie działa na pierwsze.. ! ! FAB = − FBA. Te dwie siły nie znoszą się, bo są przyłożone do innych ciał. Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie inercjalnych układów odniesienia: Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, to istnieje układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub ma prędkość stałą. Układ odniesienia, w którym są spełnione zasady dynamiki Newtona nazywamy inercjalnym układem odniesienia..

(3) Dynamika punktu materialnego. 3-3. Przykład wykorzystania 3. zasady dynamiki. ! F. ! FBA A. ! F AB. B. ! ! FAB = mB ⋅ a ! ! ! F + FBA = m A ⋅ a ! ! FBA = − FAB mB ⋅ a = FAB. Równoważny układ równań skalarnych. F − FAB = m A ⋅ a F − mB ⋅ a = m A ⋅ a F = ( m A + mB ) a. i rozwiązanie. F a= m A + mB.

(4) Dynamika punktu materialnego. 3-4. Zachowanie pędu w układach odosobnionych. ! ! p = m⋅v Pęd jest wielkością addytywną, co oznacza, że pęd całkowity układu składającego się z wielu części jest sumą pędów tych części: n ! ! ! ! ! pC = p1 + p2 + " pn = ∑ mi ⋅ vi i =1. Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do dwóch części. ! ! ! pC = m A ⋅ v A + mB ⋅ v B. Układ odosobniony (izolowany): układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne. Oznacza to, że jeżeli w tym układzie działają jakieś siły, to są to siły wzajemnego oddziaływania między częściami tego układu. Na podstawie 3. zasady dynamiki. ! ! FA = − FB wykorzystując 2. zasadę dynamiki możemy zapisać ! ! ! ! dp A dpB ∆p A ∆pB =− =− lub dt dt ∆t ∆t ! ! ∆ p A = − ∆p B ! ! ∆p A + ∆p B = 0 ! ! ∆ ( p A + pB ) = 0 ! ! ∆pC = 0 ⇒ pC = const. Pęd układu odosobnionego nie zmienia się. Dla większej liczby części rezultat uogólnia się i można go zapisać w postaci równania:. ! ! pC = ∑ pi = const..

(5) Praca siły. Energia kinetyczna w ruchu postępowym. 4.. 4-1. Praca siły. Energia kinetyczna w ruchu postępowym. Jeżeli siła jest przyłożona do jakiegoś ciała i punkt przyłożenia siły przemieszcza się, to mówimy o pracy wykonywanej przez siłę.. ! ! ! ∆s = rB − rA praca jest skalarem. ! ! ∆W = F ⋅ ∆s lub. ! ! ∆W = F ⋅ ∆s ⋅ cos( F , ∆s ) Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą określoną następująco:. ! ! ! ! a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos( a , b ) = a x ⋅ bx + a y ⋅ by + a z ⋅ bz. Ogólnie możemy pracę zapisać nieco inaczej:. ! ! ∆W = F ⋅ v ⋅ ∆t. Stosunek wartości pracy do czasu, w którym została wykonana nazywamy mocą (średnią):. ∆W =P ∆t Zatem moc siły działającej na poruszające się ciało wynosi ! ! P = F ⋅v albo ! ! P = F ⋅ v ⋅ cos( F , v ) ..

(6) Praca siły. Energia kinetyczna w ruchu postępowym. 4-2. W ruchu prostoliniowym pod działaniem stałej siły. ! ! F || v. ! ! F = m⋅a F a = = const. m. F v = v 0 + at = v 0 + t m. 2 2 F t Fv0t   2 2 v v = + + 2   0 2 m m  . F2 P = F ⋅ v = v0 ⋅ F + t m. w ruchu ze stałym przyspieszeniem potrzebna moc rośnie liniowo z upływem czasu. t = 0, v0 , x0 = 0. W chwili początkowej 0 Praca wykonana od początku do chwili. t wynosi w tych warunkach. a ⋅t2 F 2 ⋅t2 ∆W = F ⋅ ∆ s = F ( v 0 ⋅ t + ) = F ⋅ v0 ⋅ t + 2 2m 1O. czyli. v0 = 0. F 2 ⋅t2 ∆W = 2m m ⋅v2 ∆W = 2. F ⋅t v= m.

(7) Praca siły. Energia kinetyczna w ruchu postępowym. 2O. 4-3. v0 ≠ 0. F 2 ⋅ t 2 m  F 2 ⋅ t 2 2 F ⋅ v0 ⋅ t  ∆W = F ⋅ v 0 ⋅ t + =  +  2 m 2m 2 m      2 2 2 F ⋅ v0 ⋅ t m  2 F ⋅t 2 v0 + v ∆W = + − 0 2  m 2  &##m# %###$   v2   m ⋅ v 2 m ⋅ v 02 ∆W = − 2 2 Te związki są prawdziwe dla każdego przypadku ruchu postępowego (w którym wszystkie części ciała poruszają się z jednakową prędkością). Klasyczna definicja energii kinetycznej:. m ⋅ v2 Ek = 2 albo. p2 Ek = 2m.

(8) Klasyczna zasada względności. 5.. 5-1. Klasyczna zasada względności Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.. Prawa mechaniki nie wyróżniają żadnego układu odniesienia. Wszystkie układy są równoprawne. Nie ma absolutnego układu odniesienia; nie ma absolutnego ruchu czy absolutnego spoczynku. Są to pojęcia względne. Położenie, stan ruchu, prędkość, itp., zależą od wyboru układu odniesienia i w każdym mogą być inne..

(9) Klasyczna zasada względności. 5-2. Transformacja Galileusza. ! ! ! r = r '+ rOO ' ! ! ! r ' = r − rOO '. ! drOO ' ! =V dt ! dr ! =v dt ! dr ' ! = v' dt ! ! ! v = v '+V ! ! ! v' = v −V.

(10) Klasyczna zasada względności. 5-3. Transformacja Galileusza współrzędnych. !  x = x '+Vt   y = y' !  x ' = x − Vt   y' = y Transformacja Galileusza prędkości. ! ! ! v = v '+V lub. ! ! ! v' = v −V Różniczkowanie równania 3-5 daje związek między przyspieszeniami w obu układach:. ! ! a = a'. Przyspieszenie ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. W mechanice klasyczne przyspieszenie, a również i siła, ma charakter bezwzględny i nie zależy od wyboru układu odniesienia..

(11) Mechanika relatywistyczna. 6.. 6-1. Mechanika relatywistyczna. Szczególna zasada względności Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Według nowoczesnej definicji układem inercjalnym jest każdy układ, w którym prędkość światła w próżni jest równa. c = 299792458 i nie zależy od kierunku.. m s. Ogólna zasada względności: Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach odniesienia.. Według wzoru klasycznego:. v BA = v B + v A.

(12) Mechanika relatywistyczna. 6-2. Jeżeli prędkość światła w próżni jest niezmiennicza względem zmiany układu odniesienia (inercjalnego), to wzór 4-2 nie może być prawdziwy. Trzeba zastąpić go wzorem wynikającym nie z transformacji Galileusza a z transformacji Lorentz’a:. v BA. vB + v A = v A ⋅ vB 1+ c2. Wzór (4-3) wyraża transformację Lorentz’a dla prędkości. W szczególności, jeżeli v B = c , to. v BA. c + vA c + vA c=c = = vA ⋅ c c + vA 1+ 2 c. Wynika z tego, że wartość prędkości światła w próżni jest maksymalną wartością prędkości..

(13) Mechanika relatywistyczna. 6-3. Transformacja Lorentz’a współrzędnych. ! x '+Vt '.  x = 2 2 V c − 1 /   y = y'  2 t x V c ' ' / + ⋅ t =  1 − V 2 / c2  x − Vt  x' = 2 2 V c 1 / −   y' = y  2 t x V c / − ⋅ t ' =  1 − V 2 / c2 W mechanice relatywistycznej również czas traci charakter bezwzględny. Jego wartość zależy od wyboru układu odniesienia. Zgromadzone fakty doświadczalne (wyniki różnych pomiarów) jednoznacznie potwierdzają założenia mechaniki relatywistycznej i słuszność powyższych wzorów transformacyjnych. Jeżeli c → ∞ , to transformacja Lorentz’a przechodzi w granicy w transformację Galileusza..

(14) Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. 7.. 7-1. Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. Pomiar odstępu czasu (interwału czasowego) między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu układu poruszającego się, np. tyknięcia zegara.. (t '1 , x'1 ). (t ' 2 , x ' 2 ). ∆t ' = t '2 −t '1 (t1 , x1 ). x'2 = x'1 (t2 , x2 ). ∆t = t 2 − t1. x2 ≠ x1. t= t2 =. t '+ x'⋅V / c. 2. 1 − V 2 / c2 t '2 + x '2 ⋅V / c 2 1 − V 2 / c2. x= t1 =. ! x '+Vt ' 1 − V 2 / c2 t '1 + x '1⋅V / c 2 1 − V 2 / c2.

(15) Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. ∆t = t 2 − t1 =. 7-2. t ' 2 − t '1 + ( x ' 2 − x '1 ) ⋅ V / c 2 1−V / c 2. 2. =. ∆t ' 1 −V 2 / c2 ∆t =. ∆t ' 1 −V 2 / c2. ∆t > ∆t ' Jeżeli my znajdujemy się w układzie nieprimowanym („nie poruszającym się”), to uznamy, że w układzie primowanym („poruszającym się”) czas płynie wolniej. Zjawisko to nazywa się dylatacją czasu..

(16) Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. 7-3. Pomiar długości (interwału przestrzennego) W układzie poruszającym się (O’) znajduje się pręt o długości l’ (spoczywający w tym układzie) ułożony równolegle do osi O’x’. Jaką długość tego pręta zmierzy obserwator w układzie O? W tym celu należy zaproponować sposób pomiaru poruszających się przedmiotów przy pomocy nieruchomej miary.. Odległość między aparatami, które jednocześnie zarejestrują końce pręta jest długością pręta l w układzie Ox. W układzie Ox :. l = x2 − x1 t2 = t1. (E 7-1). ( x'1 , t '1 ) ( x'2 , t '2 ) l ' = x'2 − x '1 t '2 ≠ t '1. (E 7-2). ( x1 , t1 ) ( x2 , t 2 ) W układzie pręta:.

(17) Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. x = ' 1. x1 − vt1. x = ' 2. 7-4. x 2 − vt 2. 1− v / c 1 − v2 / c2 ( x 2 − x1 ) − v (t 2 − t1 ) l ' = x 2 '− x1 ' = = 2 2 1− v / c x 2 − x1 l = = 2 2 1− v / c 1 − v2 / c2 2. 2. (E 7-. 3). l = l '⋅ 1 − v 2 / c 2 l < l'. (E 7-4). Długość przedmiotów poruszających się jest mniejsza do ich długości własnej (tj. mierzonej w układzie, w którym spoczywają). Zjawisko to nazywa się relatywistycznym skróceniem długości.. t2 − t1 + ( x2 − x1 ) ⋅ v / c 2 t 2 '−t1 ' = = 2 2 1− v /c − l ⋅ v / c2 1 − v2 / c2. (E 7-5). Według obserwatora w układzie O’, który porusza się razem z prętem, migawki aparatów nie zadziałały jednocześnie. Aparat x2 zadziałał wcześniej od aparatu x1. Oznacza to, że zjawiska jednoczesne w jednym układzie odniesienia na ogół nie są jednoczesne w innym, poruszającym się względem pierwszego. Jednoczesność zdarzeń jest względna..

(18) Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. Zdarzenia zachodzące w różnych miejscach, x1 i x2, są jednoczesne w danym układzie, jeżeli sygnały świetlne wysłane z tych miejsc w momencie zdarzeń docierają w tej samej chwili do punktu o współrzędnej x0 = ½·(x2 + x1). Zdarzenia zachodzące w jakimś układzie w tej samej chwili i w tym samym miejscu t2 = t1 i x2 = x1 są jednoczesne we wszystkich innych układach w każdym zachodzą w tym samym miejscu.. Ze względu na relatywizm wyników pomiarów wprowadza się pojęcia długości własnej, czasu własnego, itd. Długość własna jest długością obiektu mierzoną w układzie, w którym obiekt spoczywa. Czas własny jest czasem mierzonym przez zegar spoczywający w danym układzie.. 7-5.

(19) Pomiary długości i czasu trwania w różnych układach inercjalnych. 7-6. Przykład: Jak względność jednoczesności zdarzeń wpływa na pomiary odległości.. Poruszająca się nad powierzchnią rakieta wypala dwa ślady na powierzchni gruntu, strzelając jednocześnie z dwóch „dział laserowych”.. x ' 2 − x '1 = l ' t ' 2 = t '1 ( x 2 , t 2 ) ( x1 , t1 ) ?. x2 =. x 2 '+ vt 2 1− v / c 2. 2. (E 7-6) (E 7-7). x1 '+ vt1. x1 =. 1 − v2 / c2. l'. ∆x = x 2 − x1 =. 1 − v2 / c2. (E 7-9). ∆x > l ' t2 =. t 2 '+ x 2 '⋅v / c 2 1− v / c 2. ∆t = t 2 − t1 =. t1 =. 2. l '⋅v / c 2 1− v / c 2. 2. (E 7-8). t1 '+ x1 '⋅v / c 2 1− v / c 2. ≠0. 2. (E 7-10). (E 7-11). Dla obserwatora stojącego na powierzchni wybuchy nie nastąpiły jednocześnie: działo rufowe wypaliło wcześniej od dziobowego. Dla obserwatora w rakiecie ślady na powierzchni powstają jednocześnie i odległość między nimi jest równa długości rakiety l’..

(20) Paradoks bliźniąt - astronautów. 8.. 8-1. Paradoks bliźniąt - astronautów. Bliźniak B wyrusza rakietą do Gwiazdy odległej o D. Dla niego: 2. D' = D ⋅ 1 − β. i czas potrzebny na podróż:. D ⋅ 1− β D' t' = = β ⋅c β ⋅c. Dla B podróż zaczyna się zdarzeniem (0,0) i kończy (0,t’).. 2. (E 8-12).

(21) Paradoks bliźniąt - astronautów. 8-2. Jeżeli przeliczymy te wartości do układu bliźniaka A, to początek wypada w (0,0) a koniec w. x=. x '+ βct ' 1− β. 2. =. D 1− β 2 βc ⋅ =D 2 βc 1− β t '+ x '⋅β / c t= = 2 1− β D 1− β 2 D 1 ⋅ = 2 βc βc 1− β D   D,  czyli w   β ⋅c D = 40 [a]c β = 0,99. t=. (E 8-13). (E 8-14). (E 8-15). lat świetlnych 99% prędkości światła. D 40[ a ] ⋅ c = = 40,4[a ] (E 8-16) β ⋅c β ⋅c.  D' = 5,64[a ] ⋅ c  D'  t = = 5,7[a ] '  c β ⋅ . (14,1% D ) (E 8-17). Po dotarciu do Gwiazdy bliźniak B zawraca i odbywa podróż powrotną. W jakim wieku będą bliźniacy A i B przy ponownym spotkaniu na Ziemi?.

(22) Paradoks bliźniąt - astronautów. 8-3. Relatywistyczny efekt Doppler’a (dla światła) lampa błyskowa sprzężona z sekundnikiem poruszającego się zegara wysyła prostokątną falę świetlną Jaką częstość błysków f zarejestruje obserwator A?. f ' = f 0 = 1 Hz. ∆t ' = 1 s. (E 8-18). Pierwszy błysk pojawia się w chwili gdy A i B pokrywają się. Drugi błysk w A pojawi się po czasie T. Drugi błysk ma w A współrzędne:. t=. ∆t '. 1− v / c ∆x T =t+ = c ∆t ' 2. 1− v / c 1+ v / c 2. x = v ⋅ ∆t. 2. 2. +. v ⋅ ∆t ' 1− v / c ⋅c 2. 2. (E 8-19). =. ∆t '. 1− v / c 1+ v / c 1+ v / c T= ⋅ ∆t ' = ⋅T ' 1− v / c 1− v / c 2. 2. (E 8-20). Wzór Doppler’a (relatywistyczny) (przy oddalaniu się prędkość ma znak dodatni). (E 8-21). 1− v /c f = ⋅ f0 1+ v /c. (E 8-22).

(23) Paradoks bliźniąt - astronautów. 8-4. Paradoks bliźniąt – inaczej Obu bliźniaków zaopatrujemy w dokładne zegary, każdy sterujący pracą lampy błyskowej (albo radiowego nadajnika impulsów). Teraz każdy może ocenić wiek brata, i swój, licząc docierające do niego błyski (lub impulsy nadajnika). Oznaczamy przez f0 częstotliwość własną nadajnika. Bliźniak B (podróżujący): Naliczy w podróży tam T’ = 5,7 lat i T’ = 5,7 lat w podróży z powrotem … liczba błysków własnej lampy wyniesie. 2T '⋅ f 0. Bratu A naliczy błysków.  1− β 1+ β T '  f 0 ⋅ + f0 ⋅ 1+ β 1− β .  (1 − β ) + (1 + β )  = T '⋅ f 0 = 2 1− β  2T ' f 0 1− β 2. co odpowiada czasowi 80,8 lat. Bliźniak A (pozostający na Ziemi): Naliczy swoich lat T = 40,4 lat i T = 40,4 lat czyli razem 80,8 lat, co odpowiada liczbie błysków. 2T ⋅ f 0. Bratu B naliczy 1. przy oddalaniu się częstotliwość odbieranych błysków wyniesie. f0 ⋅. 1− β 1+ β. i będą odbierane przez czas podróży tam oraz czas potrzebny ostatniemu błyskowi na pokonanie odległości D, co razem wyniesie. T +T ⋅β. a liczba błysków. f0 ⋅. 1− β ⋅ (1 + β ) ⋅ T = T ⋅ f 0 ⋅ 1 − β 2 1+ β.

(24) Paradoks bliźniąt - astronautów. 8-5. 2. w czasie zbliżania się częstotliwość wyniesie. f0 ⋅. 1+ β 1− β. ale czas ich odbierania będzie znacznie krótszy, bo brat B jest tylko niewiele wolniejszy od światła i ostatni błysk dotrze razem z nim. T −T ⋅β. co da liczbę błysków. f0 ⋅. 1+ β ⋅ (1 − β ) ⋅ T = T ⋅ f 0 ⋅ 1 − β 2 1− β. a razem. 2T ⋅ f 0 1 − β 2 → 11,4 lat Bliźniacy będą zatem zgodni w kwestii swojego wieku; B powróci młodszy o około 70 lat od A..

(25)