3.4. FUNKCJA LINIOWA – ZADANIA TEKSTOWE
Przykład 3.4.1.Ojciec i syn mają razem
47
lat. Sześć lat temu ojciec był6
razy starszy od syna. Ile lat ma obecnie kaŜdy z nich ?Rozwiązanie Komentarz x – wiek ojca y – wiek syna Wprowadzamy niewiadome. 47 = +y
x Układamy pierwsze równanie wykorzystując:
Ojciec i syn mają razem
47
lat.6
−
x - wiek ojca sześć lat temu 6
−
y - wiek syna sześć lat temu
(
6)
6 6= −
− y
x
Układamy drugie równanie wykorzystując: Sześć lat temu ojciec był
6
razy starszy od syna.(
)
− = − = + 6 6 6 47 y x yx Budujemy układ równań z dwiema
niewiadomymi.
(
)
− = − = + 6 6 6 47 y x y x( )
= = = − = = − = − − = − − = − − = − − − = − = − − − = − = − = + − = − = + 11 36 11 11 47 11 47 7 : / 77 7 47 47 30 6 47 30 6 47 47 30 6 47 36 6 6 47 y x y x y y x y y x y y y x y y y x y x y x y x y xOdp. Ojciec ma 36 lat, a syn 11 lat.
Układ równań porządkujemy i rozwiązujemy metodą podstawiania.
Przykład 3.4.2.Suma trzech kolejnych liczb parzystych jest równa 102. Jakie to liczby?
Rozwiązanie Komentarz
Szukane liczby parzyste: 4 2 , 2 2 , 2k k+ k+ k∈C Wprowadzamy niewiadome. 16 6 : / 96 6 4 2 102 2 2 2 102 4 2 2 2 2 = = − − = + + = + + + + k k k k k k k
k Układamy i rozwiązujemy .równanie
36 4 32 4 2 34 2 32 2 2 32 16 2 2 = + = + = + = + = ⋅ = k k k sprawdzenie: 32 + 34 + 36 = 102 Odp. Szukane liczby to: 32, 34, 36.
Obliczamy szukane liczby parzyste.
Przykład 3.4.3. . JeŜeli do liczby dwucyfrowej dodamy cyfrę jej dziesiątek to otrzymamy 26. JeŜeli w liczbie dwucyfrowej przestawimy cyfry i od otrzymanej liczby odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy 36. Znajdź te liczbę.
Rozwiązanie Komentarz x – cyfra jedności x,y∈
{
1,2,3,4,5,6,7,8,9}
y - cyfra dziesiątek x y+ 10 - szukana liczba Wprowadzamy niewiadome. 2610y+x+ y= Układamy pierwsze równanie
wykorzystując:
JeŜeli do liczby dwucyfrowej dodamy cyfrę jej dziesiątek to otrzymamy 26.
y x+
10 - liczba po przestawieniu cyfr
(
)
3610x+y− x+y =
Układamy drugie równanie wykorzystując: JeŜeli w liczbie dwucyfrowej przestawimy cyfry i od otrzymanej liczby odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy 36.
(
)
= + − + = + + 36 10 26 10 y x y x y x = = = = = = + = = + = = + = − − + = + 4 2 4 11 : / 22 11 4 26 11 4 4 26 11 9 : / 36 9 26 11 36 10 26 11 x y x y x y x y x x y x y x y x y
x Układ równań porządkujemy i
rozwiązujemy. 24 4 2 10 10y+x= ⋅ + =
Odp. Szukana liczba to 24.
Wyznaczamy szukaną liczbę.
Przykład 3.4.4. Oblicz ile wody naleŜy dolać do 2 litrów octu 10%, aby otrzymać ocet 6%.
Rozwiązanie Komentarz
x – ilość dolanej wody Wprowadzamy niewiadome.
(
2)
% 6 2 % 10 % 0 ⋅x+ ⋅ = x+ Układamy równanie.Wodę traktujemy jako roztwór 0 %.
(
)
(
)
3 1 1 6 8 06 , 0 : / 08 , 0 06 , 0 2 , 0 12 , 0 06 , 0 12 , 0 06 , 0 2 , 0 2 06 , 0 2 1 , 0 0 = = − − = − − = − + = + = ⋅ + ⋅ x x x x x xOdp. NaleŜy dolać 3 1
1 litra wody.
Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie.
Przykład 3.4.5. Dwaj koledzy mieszkają w odległości 100 km i wyruszają jednocześnie na spotkanie jadąc naprzeciw siebie na rowerach – pierwszy z prędkością 20 km/h, drugi z prędkością 15 km/h. Po jakim czasie i w jakiej odległości od miejsc
zamieszkania nastąpi spotkanie, jeśli drugi z nich miał 20 minut przerwy.
Rozwiązanie Komentarz
1
s - droga pokonana przez pierwszego kolegę 2
s - droga pokonana przez drugiego kolegę
1
t - czas w jakim jechał pierwszy kolega 2
t - czas w jakim jechał drugi kolega
1
v - prędkość z jaką jechał pierwszy kolega
h km v1=20 /
2
v - prędkość z jaką jechał drugi kolega
h km v2 =15 / 1 1 1 1 / t t s v = ⋅ 2 2 2 2 / t t s v = ⋅ 1 1 1 1 1 20t s t v s = ⋅ = 2 2 2 2 2 15t s t v s = ⋅ = Wprowadzamy niewiadome.
Analizujemy zaleŜność między prędkością , czasem i drogą 100 2 1+s = s 100 15 20t1+ t2 =
Układamy pierwsze równani wykorzystując:
Dwaj koledzy mieszkają w odległości 100 km .
h h 3 1 60 20 min 20 = = 3 1 1 2 =t − t
Zamieniamy minuty na godziny.
Układamy drugie równanie wykorzystując: (...)wyruszają jednocześnie na
spotkanie(...)drugi z nich miał 20 minut przerwy. − = = + 3 1 100 15 20 1 2 2 1 t t t
t Budujemy układ równań.
− = = − + 3 1 100 3 1 15 20 1 2 1 1 t t t t − = = − + 3 1 100 5 15 20 1 2 1 1 t t t t
Układ równań rozwiązujemy metodą podstawiania.
− = = 3 1 35 : / 105 35 1 2 1 t t t − = = 3 1 3 1 2 1 t t t − = = 3 1 3 3 2 1 t t = = 3 2 2 3 2 1 t t h h 2 3 2 2 = i 40 min 1 1 20t s = s2 =15t2 60 3 20 1 1 = ⋅ = s s 3 2 2 15 2 = ⋅ s 3 8 15 2 = ⋅ s 40 3 120 2 2 = = s s Obliczamy 1s i 2s
Odp. Pierwszy kolega pokonał 60km w czasie 3 godzin, drugi kolega 40km w czasie 2 godzin i 40 minut.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 3.4.1. (3pkt.)MąŜ i Ŝona mają zgromadzone własne oszczędności na dwóch oddzielnych kontach w banku. JeŜeli mąŜ oddałby Ŝonie
400
zł, to miałby na koncie o1400
zł więcej niŜ Ŝona. JeŜeli natomiast Ŝona oddałaby męŜowi400
zł, to stan konta męŜa byłby dwa razy większy niŜ konta Ŝony. Jakie oszczędności mają w banku małŜonkowie? schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów1 Podanie pierwszego równania 1
2 Podanie drugiego równania 1
Ćwiczenie 3.4.2. (3pkt.) Kwotę 950 zł wypłacono banknotami po 20 zł i 50 zł, przy czym banknotów 20 zł było o 2 więcej niŜ banknotów 50 zł. Ile było banknotów kaŜdego rodzaju ? schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów
1 Podanie pierwszego równania 1
2 Podanie drugiego równania 1
3 Podanie odpowiedzi 1
Ćwiczenie 3.4.3. (3pkt.)Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 123. Dzieląc większą z nich przez mniejszą , otrzymujemy iloraz 3 i resztę 23. Znajdź te liczby.
schemat oceniania Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie pierwszego równania 1
2 Podanie drugiego równania 1
