Krzywe wypełniające w rozwiązywaniu wielowymiarowych problemów decyzyjnych

Pełen tekst

(1)

(2)

(3) Nr 104. Prace Naukowe Instytutu Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocawskiej. Monograe. Nr 28. Nr 104 2001. krzywe wypeniajce, problemy decyzyjne, redukcja wymiaru, rozpoznawanie, sterowanie jakoci. Ewa SKUBALSKA-RAFAJOWICZ. KRZYWE WYPENIAJCE W ROZWIZYWANIU WIELOWYMIAROWYCH PROBLEMW DECYZYJNYCH W monograi przedstawiono metodyk konstruowania i badania algorytmw decyzyjnych, ktra jest nowym podej ciem do problemw przetwarzania i podejmowania decyzji na podstawie wielowymiarowych obserwacji. Polega ona na transformacji danych do postaci jednowymiarowej za pomoc quasi-odwrotno ci dobrze dobranej krzywej wypeniaj cej, a nastpnie na rozwi zaniu jednowymiarowego problemu decyzyjnego. W efekcie transformacji uzyskuje si redukcj wymiaru problemu i jego znacz c kompresj, bez utraty istotnych informacji przestrzennych zawartych w danych wielowymiarowych. Prowadzi to do moliwo ci konstruowania szybkich algorytmw podejmowania decyzji, ktre mog dziaa na bie co, na podstawie aktualnie uzyskiwanych obserwacji. Podej cie to rozwija kierunki bada prowadzone obecnie w automatyce, polegaj ce na projektowaniu elastycznych systemw, cz cych konwencjonalne techniki z rnorodnymi metodami uczenia, ktre wykorzystuj zgromadzone obserwacje pomiarowe i pozwalaj na korygowanie pracy systemu. Opracowano ukady rwna funkcyjnych i rekurencyjne metody wyznaczania odwzorowa quasi-odwrotnych do wielowymiarowych krzywych typu Peano, Hilberta i Sierpiskiego. Wykazano, e transformacje te zachowuj istotne informacje statystyczne zawarte w wielowymiarowych danych. Wyprowadzono teoretyczn Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocawskiej, ul. Janiszewskiego 11/17, 50-372 Wrocaw..

(4) 4. zaleno midzy wymiarami fraktalnymi danych przed i po transformacji. Udowodniono, e badana klasa krzywych wypeniaj cych zachowuje ryzyko Bayesa dla dowolnego rozkadu obserwacji o ograniczonym no niku. Zdeniowano now klas krzywych wypeniaj cych, ktre zachowuj zadan miar probabilistyczn i wykorzystano j w problemach kwantyzacji. Zbadano asymptotyczn warto dystorsji wektorowych kwantyzatorw otrzymanych poprzez redukcj wymiaru obserwacji. Zdeniowano te pojcie powierzchni wypeniaj cej oraz odpowiednie odwzorowanie quasi-odwrotne oraz zbadano ich podstawowe wasno ci. Wprowadzono pojcie multi-karty, ktra jest uoglnieniem tradycyjnej karty kontrolnej i pozwala ocenia stan wielowymiarowego procesu na podstawie przeksztaconych, skalarnych obserwacji, zbadano te jej wasno ci. Otrzymane rezultaty teoretyczne zastosowano w odniesieniu do wielowymiarowych problemw decyzyjnych, dotycz cych rozpoznawania i monitorowania stanu procesu, diagnostyki i problemw statystycznego wykrywania zmian w procesie oraz problemw kwantyzacji. Zaowocowao to powstaniem szczegowych metod, speniaj cych naoone wymagania teoretyczne. W wielu przypadkach zaproponowano take proste obliczeniowo algorytmy heurystyczne. Podstawow cech wszystkich opracowanych metod jest maa zoono obliczeniowa procesu podejmowania decyzji..

(5) Rozdzia 1. Wprowadzenie 1.1 Wstp Wspczesne trendy w automatyce skupiaj si obecnie gwnie na projektowaniu elastycznych systemw, w ktrych czy si konwencjonalne, oparte na modelach techniki, z ogromn rnorodno ci metod i podej , w rd ktrych najcz ciej wymienia si sztuczne sieci neuronowe, rozmyte systemy wnioskowania, algorytmy genetyczne i ewolucyjne, a take systemy automatycznego uczenia, systemy ekspertowe, systemy diagnostyki, statystyczn kontrol jako ci i monitorowania procesw itd. 194], 205], 85], 86], 208], 30]. Tradycyjne metody koncentruj si gwnie na dynamice systemu, wyborze zmiennych pomiarowych, ustalaniu struktury systemu i wyborze algorytmw sterowania, ignoruj c rwnocze nie ogromn ilo danych generowanych przez systemy pomiarowe. Dane te s niezast pionym rdem informacji pozwalaj cym na ulepszanie systemu 194]. W sytuacji, gdy zoono problemu lub brak wiedzy a priori na jego temat uniemoliwiaj otrzymanie satysfakcjonuj cych rozwi za, pojawia si potrzeba wykorzystania metod uczenia opartych na bazie zebranych do wiadcze. Wymaga to gromadzenia i przetwarzania duych ilo ci informacji. O ile w stosunku do wstpnego przetwarzania informacji nie stawia si nadmiernych ogranicze czasowych, o tyle sam proces podejmowania bie cej decyzji, je li ma by uytecznym elementem systemu automatyki, powinien trwa moliwie krtko. W niniejszej monograi zaproponowano i zbadano nowe podej cie do problemw przetwarzania i podejmowania decyzji 31], 57], 101] na podstawie wielowymiarowych obserwacji. Podej cie to polega na transformacji wielowymiarowych danych do postaci jednowymiarowej za pomoc quasi-odwrotno ci dobrze dobranej krzywej wypeniaj cej. Transformacje te zachowuj istotne informacje statystyczne zawarte w wielowymiarowych danych. W ostatecznym rezultacie, po procesie wstpnego przetwarzania, ktre moe dotyczy zarwno oryginalnych.

(6) 6. Rozdzia 1. Wprowadzenie. wielowymiarowych danych, jak i danych przetransformowanych do postaci skalarnej, otrzymujemy szybkie algorytmy podejmowania decyzji, ktre mog by wykonywane na bie co, z uwzgldnieniem aktualnie uzyskiwanych obserwacji. Monograa ta zawiera propozycj metodyki konstruowania i badania algorytmw decyzyjnych, ktra opiera si na transformacji obserwacji przez quasi-odwrotno krzywej wypeniaj cej, rozwi zaniu jednowymiarowego problemu decyzyjnego i opracowaniu szybkiej metody podjcia decyzji. Metodyka ta oparta jest na publikacjach autorki, ktre zostay tu usystematyzowane i uzupenione nowymi wynikami.. 1.2 Notka historyczna na temat krzywych wype niaj cych Rozwaane tu krzywe wypeniaj ce s ci gym odwzorowaniem przeksztacaj cym odcinek jednostkowy na d-wymiarow kostk jednostkow (Id , d 1). Oznacza to, e krzywa wypeniaj ca przechodzi co najmniej raz przez kady punkt kostki Id . Krzywe wypeniaj ce zostay po raz pierwszy opisane przez G. Peano w roku 1890 121], a nastpnie przez Hilberta 72] oraz W. Sierpiskiego 145]. Stanowi one dowd na moliwo istnienia ci gego odwzorowania przestrzeni mniej wymiarowej w przestrze o wikszym wymiarze. Odwzorowanie takie nie moe by jednak homeomorzmem, co wynika ze znanego w topologii twierdzenia o niezmienniczo ci wymiaru przestrzeni 43]). W konsekwencji, take adna krzywa wypeniaj ca nie moe by odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym. Krzywymi wypeniaj cymi paszczyzn zaczto si zajmowa ju pod koniec XIX wieku. Prace te zapocz tkowa G. Peano 121]. Przez dugi czas nie interesowano si w zasadzie krzywymi wypeniaj cymi przestrze wicej ni dwuwymiarow , mimo e wiedziano o istnieniu wielowymiarowych krzywych (popatrz np. praca Steinhausa z 1936 r. 137]). Sam G.Peano poda, oprcz konstrukcji krzywej wypeniaj cej kwadrat, take konstrukcj krzywej wypeniaj cej kostk trjwymiarow . Pod koniec lat 60. Butz zajmowa si generowaniem wielowymiarowych krzywych Peano 23] i Hilberta 24], 25]. W 1980 roku S.C. Milne 110] pokaza, jak uoglni dwuwymiarow krzyw Peano 121] do krzywej w przestrzeni d{wymiarowej. Milne udowodni rwnie, e zdeniowana przez niego krzywa zachowuje miar Lebesgue'a i spenia warunek Holdera z wykadnikiem rwnym 1=d, gdzie d oznacza wymiar wypenianej kostki. Krzywe wypeniaj ce traktowano jako patologiczne obiekty podwaaj ce utarte wyobraenia dotycz ce pojcia krzywej i wymiaru przestrzeni. Tematyka krzy-.

(7) 1.3. Obszary zastosowa krzywych wypeniajcych. 7. wych wypeniaj cych odya wraz z pojawieniem si i rozwojem pojcia fraktala 106], 48], 7]. Obecnie wiemy, e krzywe wypeniaj ce mog by traktowane jako atraktory pewnych abstrakcyjnych systemw dynamicznych.. 1.3 Obszary zastosowa

(8) krzywych wype niaj cych Rola krzywych sprowadza si do redukcji wymiaru przestrzeni danych przy zachowaniu ich podstawowych wasno ci statystycznych. Obszar zastosowa krzywych wypeniaj cych jest do szeroki. W latach trzydziestych krzywe Peano byy stosowane w teorii cakowania w przestrzeniach wielowymiarowych 137], 110], 130]. Krzywe wypeniaj ce, fraktalne w swej naturze 7], 48], maj wasno ci statystyczne pozwalaj ce na zastosowania w rnych dziedzinach oblicze. Obecnie krzywe wypeniaj ce, traktowane raczej jako krzywe skanuj ce, s stosowane gwnie w przetwarzaniu obrazw, w szczeglno ci do ich skanowania, kodowania 1], 5], 119], 182], 97], 126] i przetwarzania 197],69],147], 28], 74], 95], 123], 129], kwantyzacji wektorowej 126], 164], kompresji obrazw w przestrzeni i kolorze 197], 119], 172], 89]. Naley zauway, e nie kada rodzina krzywych skanuj cych wielowymiarow przestrze jest zbiena 122]. W zwi zku z tym, nie kada taka rodzina deniuje krzyw wypeniaj c . Przykadem tego typu rodzin krzywych mog by rodziny krzywych alfa-gstych 112]. Krzywe skanuj ce mog by stosowane nie tylko w przetwarzaniu obrazw, ale take w rozwi zywaniu zada optymalizacji 124] ich efektywno jest jednak ograniczona do ustalonej struktury i dokadno ci danych. Krzywe skanuj ce nie wykazuj wielu wasno ci asymptotycznych, ktrymi cechuj si krzywe wypeniaj ce. Kolejnym znanym obszarem zastosowa krzywych wypeniaj cych jest optymalizacja. W przypadku optymalizacji kombinatorycznej najcz ciej krzywe stosowane s do heurystycznego rozwi zywania problemu komiwojaera z odlego ciami euklidesowymi i problemw pokrewnych 8], 124], 178]. W rd krzywych wypeniaj cych kwadrat szczeglne zastosowanie w rozwi zywaniu tego typu zada znalaza krzywa Sierpiskiego 145]. Podej cie to zostao uoglnione dla przypadku wielowymiarowego problemu komiwojaera w pracach autorki 156], 162]. O moliwo ci zastosowania krzywych wypeniaj cych w odniesieniu do zada wielowymiarowej optymalizacji ci gej wspomina si w pracach 23], 184],143]. Poza skrtowymi wzmiankami prace te nie zawieraj jednak w tym aspekcie adnych konkretnych wynikw. Jest to o tyle zrozumiae, e we wspomnianych problemach optymalizacyjnych krzywa wypeniaj ca proponowana jest jedynie jako formalne narzdzie zamiany zmiennych. W nurcie tym mieszcz si rwnie prace wspautorskie 175], 128]. Naley zauway, e po takiej zamianie zmiennych.

(9) 8. Rozdzia 1. Wprowadzenie. nowa funkcja celu nie jest funkcj rniczkowaln (poza obszarami, gdzie jest funkcj sta ). Jak dot d nie badano zastosowania do transformacji danych krzywych typu Lebesgue'a 137], ktre wprawdzie nie zachowuj miary Lebesgue'a, lecz s prawie wszdzie rniczkowalne (w przestrzeni jednowymiarowej).. 1.4 Omwienie tematyki niniejszej monograi Kluczowym elementem opracowanej w niniejszej monograi metodologii rozwi zywania wielowymiarowych problemw decyzyjnych jest zastosowanie dobrze zdeniowanej transformacji quasi-odwrotnej do odwzorowania w postaci krzywej wypeniaj cej w celu przeksztacenia zbioru wielowymiarowych danych, ktre stanowi punkt wyj cia w procesie decyzyjnym, w ci g danych jednowymiarowych zawartych w odcinku jednostkowym. Zoono obliczeniowa takiej transformacji danych powinna by jak najmniejsza. W naszym przypadku jest ona liniowa ze wzgldu na wymiar problemu d. Transformacja kadego elementu zbioru danych za pomoc quasi-odwrotno ci krzywej wypeniaj cej moe odbywa si niezalenie, w dowolnym momencie czasowym i nie wymaga konstrukcji caej krzywej wypeniaj cej. Transformacja quasi-odwrotna pozwala uporz dkowa liniowo dane z przestrzeni wielowymiarowej. Jest to znacznie bardziej interesuj ca transformacja ni odpowiadaj ca jej pierwotna krzywa, gdy moe by wykorzystana w wielu bardzo rnorodnych zastosowaniach. W jej efekcie uzyskujemy redukcj wymiaru problemu, a w konsekwencji jego znacz c kompresj, bez utraty istotnych informacji przestrzennych zawartych w danych wielowymiarowych. W odwzorowaniach bazuj cych na krzywej wypeniaj cej istotny jest fakt, e pooone blisko siebie punkty z odcinka I1 przeksztacane s na punkty blisko siebie pooone w Id . W zwi zku z tym, w transformacji quasi-odwrotnej, punkty le ce blisko siebie na odcinku s obrazami punktw blisko siebie pooonych w przestrzeni wielowymiarowej. W adnym wypadku nie twierdzimy, i odwzorowania bazuj ce na krzywych wypeniaj cych stanowi atwy rodek przeciwdziaaj cy przeklestwu wielowymiarowo ci" Bellmana. Jednowymiarowe dane (dane po przetransformowaniu na odcinek) musz by przechowywane z dostatecznie du dokadno ci , ktra pozwoli na ich rozrnianie. Naley doda, e transformacja oparta na krzywej wypeniaj cej jest transformacj nieliniow i nie jest inwariantna ze wzgldu na liniowe przeksztacenia oryginalnej przestrzeni danych. W rozdziale 2 przedstawiona zostaa metoda reprezentacji krzywych wypeniaj cych w postaci ukadu rwna funkcyjnych 26], ktry ma jednoznaczne rozwi zanie. Przedstawiono rekurencyjne algorytmy wyznaczania warto ci lokalnych wsprzdnych danej krzywej, traktowanych jako warto dwuwymiarowej.

(10) 1.4. Om wienie tematyki niniejszej monogra i. 9. funkcji okre lonej dla danego argumentu t 2 0 1]. Algorytmy te nie wymagaj tworzenia jakiegokolwiek przyblienia caej krzywej, dziaaj bowiem w sposb lokalny. Ponadto w rozdziale 2 przeanalizowano podstawowe wasno ci trzech najbardziej znanych dwuwymiarowych krzywych wypeniaj cych: krzywej Peano, Hilberta i Sierpiskiego. Autorka podaa najmniejsze, optymalne, warto ci staej wystpuj ce w odpowiednim warunku Holdera (por. (1.1)) w przypadku krzywej Hilberta oraz krzywej Peano. Staa z warunku Holdera okre la stopie zachowywania blisko ci przez poszczeglne krzywe, co ma istotne znaczenie dla korzystania z krzywych wypeniaj cych w problemach decyzyjnych. W rozdziale 3 przedstawiono przegl d rnych sposobw deniowania wielowymiarowych krzywych wypeniaj cych. Samopodobn krzyw wypeniaj c kostk Id mona traktowa jako obiekt fraktalny. Naley te zauway, e wszystkie znane krzywe wypeniaj ce posiadaj cech samopodobiestwa. W zwi zku z tym omwiono jedn z najbardziej popularnych technik deniowania obiektw fraktalnych, systemy iterowanych odwzorowa zwaj cych, tzw. IFS, jako narzdzie do generowania krzywych wypeniaj cych. W szczeglno ci, przedstawiono metod konstrukcji wielowymiarowej krzywej Sierpiskiego za pomoc odpowiedniego ukadu IFS. Proponowana konstrukcja jest oryginalnym wkadem autorki. Cech charakterystyczn proponowanej metody generowania wielowymiarowej krzywej Sierpiskiego jest bardzo precyzyjny wybr zbioru pocz tkowego, ktry podlega dalszemu iterowaniu poprzez IFS. Pozwala to na wyznaczanie w skoczonej liczbie krokw dokadnych warto ci atraktora IFS, ktrym jest krzywa wypeniaj ca. W rozdziale 3 wskazano take na zwi zki odpowiednich systemw iterowanych odwzorowa z ukadami rwna funkcyjnych deniuj cymi te same krzywe wypeniaj ce. Na koniec przedyskutowano metod deniowania wielowymiarowych krzywych wypeniaj cych, polegaj c na skadaniu odwzorowa dwuwymiarowych. W twierdzeniu 3.4.1 wskazano na sab przydatno praktyczn tego typu metod w porwnaniu do metod bezpo redniej konstrukcji wielowymiarowych krzywych, ktrych przykadem mog by konstrukcje wykorzystuj ce ukady iterowanych odwzorowa zwaj cych lub rozwijane w nastpnym rozdziale metody opisu wielowymiarowych krzywych w postaci ukadu rwna funkcyjnych. W rozdziale 4 zaproponowano oryginalne opisy denicyjne wielowymiarowych krzywych wypeniaj cych kostk Id , podane w postaci odpowiednich ukadw rwna funkcyjnych. Rozwi zaniem tych ukadw rwna s odwzorowania w postaci krzywej wypeniaj cej. Korzystaj c z omwionej metodyki deniowania krzywych wypeniaj cych, podano oryginalne uoglnienia dwuwymiarowych krzywych Hilberta, Peano i Sierpiskiego do postaci wielowymiarowej oraz zbadano ich wasno ci. W pracy posuono si ukadami rwna funkcyjnych, ktre oparte s bezpo rednio na postulowanych wasno ciach geometrycznych poszcze-.

(11) 10. Rozdzia 1. Wprowadzenie. glnych krzywych. W kadym z przypadkw wyj ciowy ukad rwna funkcyjnych zosta przeksztacony do rwnowanej postaci, umoliwiaj cej jego efektywne rozwi zanie za pomoc odpowiedniej procedury rekurencyjnej. W rozdziale 4 zbadano rwnie podstawowe wasno ci zaproponowanych odwzorowa. Pokazane zostay te odpowiednie szczegowe sformuowania warunku Holdera spenianego przez poszczeglne krzywe wielowymiarowe. Wskazano rwnie, w jaki sposb naley wybra przeksztacenie ukadu rwna funkcyjnych deniuj cych dan krzyw , tak by uzyska posta pozwalaj c efektywnie wyznacza warto ci odwzorowania quasi-odwrotnego . Szczegowo omwiono proces deniowania quasi-odwrotno ci krzywej Sierpiskiego. W rozdziale 4.5 zebrano wasno ci krzywych wypeniaj cych, ktre s zdaniem autorki istotne z punktu widzenia zastosowa w problemach decyzyjnych. W konsekwencji zdeniowano klas krzywych wypeniaj cych, ktre umoliwiaj efektywne uycie transformacji opartej na quasi-odwrotno ci krzywej wypeniaj cej w rozwi zywaniu wielowymiarowych problemw decyzyjnych. W rozdziale 5 zbadano problem zmiany wymiaru wielowymiarowych danych po ich transformacji przy uyciu quasi-odwrotno ci krzywej wypeniaj cej. Badanym wymiarem by popularny wymiar fraktalny, nazywany wymiarem pudekowym. W szczeglno ci, wyprowadzono teoretyczn zaleno midzy wymiarem pudekowym wielowymiarowych danych a wymiarem pudekowym danych przetransformowanych przy uyciu krzywej wypeniaj cej. Wyniki tych bada stay si podstaw do zaproponowania nowej, atwiejszej obliczeniowo, metody oceny wymiaru fraktalnego obiektw wielowymiarowych. W rozdziale 6 omwiono metody kwantyzacji, ktre cz transformacj wielowymiarowych danych za pomoc quasi-odwrotno ci wybranej krzywej wypeniaj cej ze skalarn kwantyzacj w odniesieniu do danych przetransformowanych na odcinek I1 . Rozwi zanie problemu kwantyzacji jest istotnym skadnikiem wielu algorytmw decyzyjnych. Pokazano, e zastosowanie rnych wariantw algorytmw uczenia na bazie danych skalarnych umoliwia modykowanie kryterium kwantyzacji i w konsekwencji { wasno ci asymptotycznych otrzymywanych kwantyzatorw (przy liczbie kwantyzatorw d cej do nieskoczono ci). Pozwala to na ksztatowanie rozkadu gsto ci kwantyzatorw na odcinku I1, a take, co wynika z wasno ci odwzorowania F i jego quasi-odwrotno ci , umoliwia rwnie wpyw na rozkad gsto ci odpowiednich kwantyzatorw, wyznaczonych poprzez przetransformowanie za pomoc krzywej wypeniaj cej rozwi zania z odcinka I1 do przestrzeni Id . Zaproponowano now klas krzywych wypeniaj cych, ktre zachowuj zadan miar probabilistyczn . Moe by ona teoretycznym narzdziem, maj cym zastosowanie w kwantyzacji wielowymiarowych danych. W rozdziale 6 podano take algorytm aproksymacji tego typu krzywych, w sytuacji, gdy dane s tylko niezalene obserwacje wielowymiarowej zmiennej.

(12) 1.4. Om wienie tematyki niniejszej monogra i. 11. losowej o nieznanym rozkadzie. Otrzymane odwzorowanie daje moliwo szybkiego wyznaczania zbioru punktw kwantyzacji, ktrych gsto rozkadu jest taka sama jak gsto rozkadu danych wej ciowych. Podstawow klas problemw decyzyjnych bd cych przedmiotem bada niniejszej monograi s problemy rozpoznawania. W rozdziale 7 zbadano wasno ci nowych algorytmw rozpoznawania, ktrych wspln cech byo wykorzystanie krzywych wypeniaj cych, a dokadnie ich quasi-odwrotno ci, jako narzdzia do transformacji wielowymiarowych danych do postaci jednowymiarowej. Podstawowym rezultatem zawartym w rozdziale 7 jest pokazanie, e krzywa wypeniaj ca, ktra zachowuje miar Lebesgue'a i jest odwracalna prawie wszdzie (z dokadno ci do zbioru miary zero) moe by wykorzystana (a dokadnie jej quasi-odwrotno ) jako odwzorowanie, ktre zachowuje ryzyko Bayesa dla dowolnego rozkadu danych o no niku zawartym w wielowymiarowej kostce Id . W rozdziale tym zdeniowano take i zbadano wasno ci separuj ce krzywych wypeniaj cych w odniesieniu do rnych typw no nikw rozkadw. Ze wzgldu na zachowywanie ryzyka Bayesa przez transformacje wykorzystuj ce krzywe wypeniaj ce, moemy w odniesieniu do przetransformowanych danych uy dowolnego, dostatecznie wraliwego klasykatora, nie trac c nic z informacji statystycznych zawartych w oryginalnych danych. Jeeli regua klasykacji w jednym wymiarze jest asymptotycznie optymalna (zbiena do ryzyka Bayesa), to klasykator taki zastosowany w odniesieniu do przetransformowanych danych jest take asymptotycznie optymalny. Podstawow cech rozwaanych algorytmw rozpoznawania jest szybko samego procesu podejmowania decyzji. W kocowym efekcie konstrukcji klasykatora otrzymujemy dyskryminacyjny podzia odcinka I1 na m pododcinkw odpowiadaj cych poszczeglnym klasom, przy czym m jest nie wiksze ni dugo ci gu ucz cego. W rozdziale 7 zdeniowano odwzorowanie analogiczne do krzywej wypeniaj cej, ktre przeksztaca kwadrat jednostkowy I2 = 0 1] 0 1] w wielowymiarow kostk Id oraz odpowiednie odwzorowanie quasi-odwrotne. Pokazano, e wprowadzone odwzorowanie spenia warunek Holdera. Odwzorowanie to mona wykorzysta bezpo rednio do reprezentacji wielowymiarowych danych na paszczynie. Pokazano zastosowanie tego typu wizualizacji w rozwi zywaniu problemw rozpoznawania. Przedmiotem bada w rozdziale 8 by problem szybkiego wykrywania zmian zachodz cych w procesie stochastycznym 199] na podstawie sekwencji niezalenych obserwacji. Problem ten ma wiele istotnych zastosowa, poczynaj c od sterowania i kontroli jako ci przemysowych procesw produkcyjnych 114], 9], 104], 86], poprzez automatyczne wykrywanie uszkodze w systemie dynamicznym 195], 85], a skoczywszy na uaktualnianiu wspczynnikw w adaptacyjnych al-.

(13) 12. Rozdzia 1. Wprowadzenie. gorytmach sterowania 140]. Podstawowym zadaniem umoliwiaj cym efektywne sterowanie procesem jest natomiast jak najszybsze wykrycie momentu zmiany. W rozdziale 8 zaproponowano now metodyk wykrywania zmian w monitorowanym procesie. Krzywe wypeniaj ce stanowi wygodne narzdzie do transformacji wielowymiarowych danych do postaci jednowymiarowej. Transformacja ta jest niezmiennicza wzgldem miary probabilistycznej w tym sensie, e zachowuje prawdopodobiestwa odpowiadaj cych sobie zdarze w przestrzeni wielowymiarowej i po transformacji na odcinek I1. W rozdziale tym zdeniowano pojcie multi-karty, ktra jest uoglnieniem tradycyjnej karty kontrolnej i pozwala ocenia stan wielowymiarowego procesu na podstawie przeksztaconych, skalarnych obserwacji. Proponowane podej cie mona stosowa nie tylko w odniesieniu do oryginalnych obserwacji wielowymiarowego procesu, ale take do danych przetworzonych (na przykad wielowymiarowych residuw itd.). Zbadano wasno ci teoretyczne multi-karty wyznaczonej na podstawie histogramu. Je li gsto rozkadu na odcinku estymowana jest za pomoc histogramu o szeroko ci przedziaw hn , zalenej od liczby obserwacji n, w taki sposb, e hn ! 0 w odpowiednim tempie, to przedziay ufno ci multi-karty empirycznej maj asymptotycznie te same prawdopodobiestwa i czna ich dugo jest taka sama, jak dugo przedziaw wyznaczonych przy znajomo ci teoretycznego rozkadu. Oprcz powyszego algorytmu, posiadaj cego pen podbudow teoretyczn , zaproponowano rwnie dwa algorytmy heurystyczne konstrukcji multi-karty, wykorzystuj ce algorytmy uczenia stosowane w samoorganizuj cych sieciach neuronowych 83], 165]. Algorytm uczenia typu Kohonena pozwala na efektywne wyznaczenie granic decyzji w multi-karcie oraz na adaptacyjne, prowadzone na bie co, na podstawie aktualnych obserwacji, modykacje granic decyzji wyraonych w postaci przedziaw multi-karty. Zbadany w niniejszym rozdziale algorytm (typu Kohonena) nie ma wprawdzie w peni okre lonych wasno ci asymptotycznych, jednake dziaa na bie co i w konsekwencji nie wymaga przechowywania i cznego przetwarzania duej ilo ci danych. Ze wzgldu na brak zaoe dotycz cych postaci rozkadw analizowane algorytmy maj charakter nieparametryczny. W konsekwencji, wymagania czynione w odniesieniu do monitorowanego procesu dotycz tylko istnienia odpowiednich rozkadw prawdopodobiestwa oraz ewentualnie niezaleno ci kolejnych obserwacji procesu. Stosowane do tej pory metody statystyczne wymagaj , by rozkad prawdopodobiestwa monitorowanego procesu by znany i na og zaoenia, e rozkad ten jest rozkadem normalnym. Zaproponowane tu podej cie stanowi atrakcyjne narzdzie w przypadku, gdy wiadomo, e sterowany proces nie spenia tego zaoenia. Transformacja wielowymiarowych danych do postaci jednowymiarowej.

(14) 1.5. Podstawowe de nicje. 13. otwiera nowe moliwo ci w konstruowaniu algorytmw jako ciowego diagnozowania stanu procesu. Rezultaty przedstawione w rozdziaach 2 {8 niniejszej monograi s wynikami wasnych bada autorki, usystematyzowanymi i pokazanymi na tle wspczesnego stanu wiedzy. Cz z tych rezultatw bya wcze niej publikowana w pracach 173], 174], 163], 164], 165], 167], 168], 170], 171], 172] z lat 1995{2001. W tym samym czasie powstay take inne prace, w ktrych przedstawiono zastosowania krzywych wypeniaj cych 128], 175], 89]. Wcze niej autorka zajmowaa si problemami optymalizacyjnymi i problemami decyzyjnymi, gwnie w systemach transportowych 148], 149], 65], 66], 151], 150], 67], 152], 155], oraz problemami dokadno ci i szybko ci algorytmw 153], 154], 127], 157]. W trakcie prowadzonych bada autorka zetkna si z heurystyczn metod rozwi zywania problemu komiwojaera i pokrewnych problemw transportowych za pomoc krzywych wypeniaj cych 124], 8]. Wasne prace na temat wielowymiarowego problemu komiwojaera 156], 162] spowodoway zainteresowanie wykorzystaniem wasno ci krzywych wypeniaj cych w rozwi zywaniu innych problemw decyzyjnych, szczeglnie dotycz cych rozpoznawania i monitorowania stanu procesu, diagnostyki oraz statystycznego sterowania jako ci . Podsumowaniem prowadzonych w tej dziedzinie bada jest niniejsza monograa.. 1.5 Podstawowe denicje i twierdzenia na temat krzywych wype niaj cych Autorka ma wiadomo , e tematyka krzywych wypeniaj cych jest stosunkowo mao znana. W niniejszym podrozdziale zostay wic zebrane podstawowe klasyczne wyniki dotycz ce krzywych wypeniaj cych. Denicja 1.1 Krzyw wypeniajc F nazywamy cige odwzorowanie odcinka w przestrze d-wymiarow F : I ! Rd , ktrego obraz F (I ) zawiera d-wymiarow kul. Twierdzenie Hahna{Mazurkiewicza 42] okre la rodzaj przestrzeni, ktr mona wypeni krzyw . Twierdzenie 1.5.1 Przestrze topologiczna Hausdor a mo e zosta

(15) w cao ci wypeniona przez cig krzyw wtedy i tylko wtedy, gdy przestrze ta jest zwarta, spjna, lokalnie spjna i metryzowalna (czyli jest continuum Peano). W niniejszej pracy bdziemy si zajmowa tylko takimi krzywymi wypeniaj cymi, ktre odwzorowuj odcinek w d-wymiarow kostk Id . Bez straty oglno ci.

(16) 14. Rozdzia 1. Wprowadzenie. mona przyj , e rozpatrywany odcinek jest odcinkiem jednostkowym I1 = 0 1], a d-wymiarowa kostka jest rwnie kostk jednostkow. Id = I1 I1 : : : I1: Krzywa wypeniaj ca F : I1 ! Id jest surjekcj , czyli odwzorowaniem na cay obszar Id . Z twierdzenia Cantora 93], 43] wynika, e istnieje rnowarto ciowe odwzorowanie midzy kostkami o rnych wymiarach In ! Im n 6= m, przy n m skoczonych. W szczeglno ci, istnieje rnowarto ciowe odwzorowanie odcinka I1 w d-wymiarow kostk Id, odwzorowanie to nie moe by jednak ci ge 137]. Jest to konsekwencj twierdzenia Brouwera (por.43]).. Twierdzenie 1.5.2 (O niezmienniczo ci wymiaru ) Nie istnieje homeomorzm pomidzy przestrzeniami Rm i Rn , je li tylko n = 6 m. W rozpatrywanym tu przypadku odwzorowa z I1 w Id moemy z homeomorzmem utosamia ci g bijekcj, gdy ci ga bijekcja f : X ! Y zwartej przestrzeni X na przestrze Hausdor$a Y jest homeomorzmem. Reasumuj c, w przypadku rozpatrywania rnych odwzorowa pomidzy odcinkiem I1 a wielowymiarow kostk Id moemy mie do czynienia z trzema nastpuj cymi przypadkami:. odwzorowanie jest ci ge i rnowarto ciowe, lecz nie jest surjekcj (nie. jest odwzorowaniem na ca kostk Id ), a obrazem tego odwzorowania jest krzywa (wa ciwa, czyli nieprzecinaj ca si) Jordana,. odwzorowanie jest bijekcj , nie jest jednak odwzorowaniem ci gym (twierdzenie Netto 137]),. odwzorowanie jest krzyw wypeniaj c , czyli ci g surjekcj , nie jest jed-. nak rnowarto ciowe (nie jest injekcj ). W konsekwencji nie jest to krzywa wa ciwa.. Wielowymiarowa kostka moe wic posiada przedstawienie parametryczne na odcinku, nie jest ono jednak rniczkowalne 137], w przeciwiestwie do klasycznych krzywych 93]. Istnienie krzywej wypeniaj cej mona pokaza korzystaj c z nastpuj cej konstrukcji 93], ktr przedstawimy w tym miejscu jedynie schematycznie. Okre lmy ci g nieskoczony funkcji ci gych f1 f2 : : : fn : : : Kada z tych funkcji jest zwyk krzyw Jordana i stanowi kolejn aproksymacj idealnej krzywej wypeniaj cej. Zamy, e w n-tej iteracji kostka Id zostaa podzielona na 2dn.

(17) 1.5. Podstawowe de nicje. 15. pokrywaj cych j podkostek o boku 2;n . Krzywa fn (I1 ) powinna mie punkty wsplne z kad z tych podkostek. %atwo dowie w tym przypadku, e ci g f1 f2 : : : fn : : : jest jednostajnie zbieny, a zatem jego granica jest funkcj ci g . Oznaczmy t funkcj przez F . Kady punkt kostki jest warto ci funkcji F , S czyli F (I1 ) = Id , gdy n fn (I1) = Id . Naszkicowany powyej sposb konstrukcji krzywej wypeniaj cej wi e si z sekwencyjnym podziaem wypenianej przestrzeni wielowymiarowej na elementarne obszary, najcz ciej tego samego ksztatu i objto ci. W konsekwencji, zdeniowane zostaje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie pomidzy wspomnianymi wcze niej elementarnymi obszarami a odpowiednimi pododcinkami odcinka jednostkowego I1 . W odwzorowaniu tym s siednie pododcinki s powi zane z s siaduj cymi ze sob obszarami 111], 110]. W taki sposb mog by deniowane klasyczne krzywe wypeniaj ce: krzywa Peano 121], krzywa Hilberta 72] i krzywa Sierpiskiego 145]. Krzywe wypeniaj ce nie s zwykymi krzywymi Jordana, poniewa przez pewne punkty wypenianej przestrzeni przechodz wicej ni jeden raz, krzywe te s samoprzecinaj ce. By unikn nieporozumie terminologicznych, naley jednak zauway, e sam Jordan deniowa krzyw jako obraz odcinka jednostkowego w ci gym odwzorowaniu, ktre niekoniecznie musi by rnowarto ciowe 137]. W tym sensie okre lenia krzywa Jordana w odniesieniu do krzywej wypeniaj cej uywa Sierpiski 145]. Innego typu dowd istnienia krzywej wypeniaj cej kostk poda w 1912 roku Lebesgue (por. 137]). Krzyw wypeniaj c mona otrzyma korzystaj c z tego, i dowolna (ze wzgldu na wymiar d) kostka Id jest ci gym obrazem zbioru Cantora (93] tw. 2, rozdz. XVI9). Dowd istnienia krzywej wypeniaj cej kostk Id wykorzystuj cy powyszy fakt mona znale take w ksi ce 43]. Przypomnijmy, e zbir Cantora jest zawarty w odcinku jednostkowym I1 i powstaje z tego odcinka poprzez sukcesywne odrzucanie rodkowej jednej trzeciej kadego pododcinka. Kady element zbioru Cantora daje si przedstawi jako suma 2t1 =3+2t2 =32 + : : :+2tj =3j : : : gdzie tj jest rwne 0 lub 1. W konsekwencji, do zbioru Cantora nale wszystkie liczby, ktrych trjkowe rozwinicia zawieraj tylko cyfry 0 i 2. W skrconej notacji mona liczby te zapisa w postaci: fO3(2t1)(2t2)(2t3) : : : jtj 2 f0 1gg 137]. Zbir Cantora C jest homeomorczny z potg nieskoczon zbioru zoonego z dwu elementw B = f0 1g f0 1g : : : natomiast kostka Cantora C n = C C C jest homeomorczna ze zbiorem Cantora dla dowolnego n (93] tw. 3, rozdz. XVI8). Dowolnie wymiarowa kostka Id , cznie z kostk Hilberta I1 , jest ci gym obrazem zbioru Cantora (93] tw. 2, rozdz. XVI9)..

(18) 16. Rozdzia 1. Wprowadzenie. Wprowadzenie funkcji Cantora pozwala na zdeniowanie odpowiadaj cej powyszemu odwzorowaniu krzywej wypeniaj cej. Rozszerzaj c w sposb liniowy odwzorowanie ze zbioru Cantora na cay odcinek, otrzymujemy krzyw wypeniaj c . Funkcja Cantora f : C ! I1 jest zdeniowana w ten sposb, e je li x = fO3(2t1)(2t2)(2t3) : : : jtj 2 f0 1gg, to f (x) = fO2(t1t2 t3 : : :)g. Funkcja ta jest ci g surjekcj 43] i atwo j rozszerzy na cay przedzia I1 . Powstaje wtedy funkcja zwana schodami diaba" (93] s. 210), ktra jest odwzorowaniem odcinkami staym w podprzedziaach I1 nie nale cych do zbioru Cantora. W ten sposb powstaje krzywa wypeniaj ca, ktra w przeciwiestwie do poprzedniej konstrukcji nie zachowuje miary Lebesgue'a. Odwzorowanie to jest prawie wszdzie stae, a w zwi zku z tym jest prawie wszdzie rniczkowalne (nie jest rniczkowalne na zbiorze miary zero). Je li jednak popatrzymy na wasno ci tego typu krzywej przez pryzmat zbioru jej warto ci (obszar w kostce Id ), to stwierdzamy, e obszar rniczkowalno ci krzywej jest zbiorem miary zero. Krzywe wypeniaj ce wielowymiarow przestrze s klas odwzorowa ci gych, ktre speniaj warunek Holdera postaci. jjF (t1) ; F (t2 )jj jt1 ; t2j t1 t2 2 I1. (1.1). gdzie zarwno jak i s staymi zalenymi od rodzaju krzywej oraz od wymiaru topologicznego wypenianej przestrzeni. Wiadomo przy tym, e istnieje cisy zwi zek pomidzy wymiarem topologicznym d wypenianej kostki Id , a maksymaln warto ci wykadnika 110], 138]. Nie istnieje bowiem d-wymiarowa krzywa wypeniaj ca z wykadnikiem wikszym od 1=d. Wasno ci krzywych wypeniaj cych, istotne z punktu widzenia zastosowa w problemach decyzyjnych, zostan dalej szczegowo zbadane i przedstawione w rozdziale 4.5. Brak jest niestety w literaturze, nie tylko polskiej ale i wiatowej, opracowania tworz cego jednolite podej cie do tematyki krzywych wypeniaj cych. W wielokrotnie w niniejszej monograi cytowanej ksi ce Sagana 137], ktra jest nieocenionym rdem informacji na temat historii krzywych wypeniaj cych, nie dostrzega si w ogle problemu istnienia odwzorowa qausi-odwrotnych (odwzorowa peni cych rol odwrotno ci odwzorowania w postaci krzywej), pomija si rol wykadnika w warunku Holdera (1.1), a w konsekwencji zadowala si samym faktem istnienia wielowymiarowych krzywych wypeniaj cych, bez uwzgldniania ich wasno ci w tym aspekcie. Problemy te, w rnych fragmentach, zostay podjte w pracach 23], 24], 124], 110], 178]..

(19) Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat Krzywymi wypeniaj cymi paszczyzn zaczto si zajmowa ju pod koniec XIX wieku. W roku 1890 G. Peano 121], a w 1891 D. Hilbert 72] zaprezentowali krzywe przechodz ce przez kady punkt kwadratu. Trzeci , najbardziej znan konstrukcj krzywej wypeniaj cej kwadrat poda w 1912 r. W. Sierpiski. Krzywe te traktowano jako patologiczne obiekty podwaaj ce utarte wyobraenia dotycz ce pojcia krzywej i wymiaru przestrzeni. Przez dugi czas nie interesowano si krzywymi wypeniaj cymi przestrze wicej ni dwuwymiarow , chocia znane byy metody deniowania wielowymiarowych krzywych wypeniaj cych (popatrz np. praca Steinhausa z 1936 r. 181], 137]). Naley wspomnie, e w swej oryginalnej pracy G. Peano poda nie tylko konstrukcj krzywej wypeniaj cej kwadrat, lecz take krzywej wypeniaj cej kostk trjwymiarow 121]. Niekiedy wszystkie krzywe wypeniaj ce okre lane s mianem krzywych Peano. W niniejszej pracy nazwy krzywa Peano bdziemy uywa tylko w odniesieniu do konkretnej konstrukcji podanej przez Peano, a nie jako oglnej nazwy wszystkich krzywych wypeniaj cych. W rozdziale tym przedstawione zostanie jednolite podej cie do opisu dwuwymiarowych krzywych wypeniaj cych. Reprezentowanie krzywej wypeniaj cej w postaci ukadu rwna funkcyjnych pozwala na jednoznaczne zdeniowanie konkretnej krzywej. Rwnania funkcyjne opisuj charakterystyczne wasno ci geometryczne { rnego typu symetrie oraz samopodobiestwa { poszczeglnych krzywych. Inspiracj do stworzenia tej klasy denicji krzywych wypeniaj cych bya dla autorki praca W. Sierpiskiego 145]. Poza krzyw Sierpiskiego przedstawione zostan opisy pozostaych dwu klasycznych krzywych: krzywej Hilberta i krzywej Peano. We wszystkich przypadkach zaproponowane zostan proste algorytmy rekurencyjne, pozwalaj ce na wyznaczanie (x(t) y (t)) (z zadan dokadno ci ) przy ustalonej warto ci argumentu t 2 I1. Podane zostan take wa-.

(20) 18. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. runki wyznaczenia dokadnych warto ci x(t) oraz y (t). Ponadto w rozdziale tym przeanalizowano podstawowe wasno ci omawianych dwuwymiarowych krzywych wypeniaj cych. W szczeglno ci, podano najlepsze warto ci staej wystpuj cej w odpowiednich dla kadej z krzywych postaciach warunku Holdera. W przypadku krzywej Hilberta i krzywej Peano s to, o ile autorce wiadomo, nowe rezultaty. Staa w warunku Holdera okre la stopie zachowywania blisko ci przez poszczeglne krzywe. W nastpnym rozdziale proponowany tu sposb deniowania krzywych wypeniaj cych zostanie uoglniony w odniesieniu do krzywych wielowymiarowych o wymiarze wikszym ni 2.. 2.1 Krzywa Sierpi

(21) skiego W 1912 roku Sierpiski 145] zdeniowa krzyw wypeniaj c kwadrat I2 = ;1 1] ;1 1] jako odwzorowanie:. x(t) = f (t) y (t) = f (t ; 1=4) 0 t 1. (2.1). w ktrym f (t) jest jednowymiarow funkcj jednoznacznie okre lon przez warunki:. (. f (t) = f (;t) f (t) = ;f (t + 1=2) t 2 R. (2.2). 2 f (t=4) + f (t + 1=8) = 1 0 t 1: (2.3) Rwnania (2.1) oraz (2.2), (2.3) tworz ukad rwna funkcyjnych, ktrego jednoznacznym rozwi zaniem jest funkcja bd ca krzyw wypeniaj c 145]. Warunek (2.3) mona zapisa, korzystaj c z wasno ci (2.2), w rwnowanej, atwiejszej do bezpo redniego zastosowania postaci jako:. f (t) = 1=2 ; 1=2 f (1=8 + 4t). 0 t 1=4. f (t) = ;1=2 + 1=2 f (1=8 ; 4t). 1=4 t 1=2. f (t) = ;1=2 + 1=2 f (1=8 + 4t). 1=2 t 3=4. f (t) = 1=2 ; 1=2 f (1=8 ; 4t). 3=4 t 0:. Ponadto z rwnania (2.2) wynika, e f (t) jest funkcj cykliczn z okresem 1, czyli f (t) = f (t + 1) (por. 145])..

(22) 2.1. Krzywa Sierpiskiego. 19. W niniejszej monograi przyjto zasad deniowania krzywych wypeniaj cych kostk jednostkow 0 1] : : : 0 1]. W zwi zku z tym pokaemy dalej, e stosuj c odpowiedni zamian zmiennych, atwo jest otrzyma rwnowan posta opisu krzywej Sierpiskiego wypeniaj cej kwadrat jednostkowy I2 = 0 1] 0 1]. Poprzez odpowiednie przesunicie i przeskalowanie funkcji f (t) otrzymamy, w postaci ukadu rwna (2.4), rwnowany opis dwuwymiarowej krzywej Sierpiskiego w I2 . Niech g (t) bdzie funkcj speniaj c warunki:. g(t) = g(t + 1). t 2 R. g(t) = 1 ; g(t ; 1=2). t 2 R. g(t) = g (4 t)=2. 0 t 1=8 7=8 t 1. (2.4). g(t) = 1=2 + g(;4 t + 1=2)=2 1=8 t 3=8: Krzywa wypeniaj ca, zdeniowana jako Fg (t) = (g (t) g (t ; 1=4)) t 2 I1 , jest dwuwymiarow krzyw Sierpiskiego wypeniaj c kwadrat I2 . %atwo sprawdzi, e Fg (t) jest identyczna z krzyw (f (t=4) f (t=4 ; 1=4)) dla t 2 I1 .. Mona poda wiele innych rwnowanych denicji dwuwymiarowej krzywej Sierpiskiego. Poniej przedstawiona zostanie denicja sformuowana w postaci ukadu rwna funkcyjnych, w ktrych korzystamy z geometrycznych wasno ci krzywej Sierpiskiego. Tego typu denicja dwuwymiarowej krzywej Sierpiskiego bdzie w nastpnym rozdziale punktem wyj cia do zdeniowania wielowymiarowej krzywej. Twierdzenie 2.1.1 Odwzorowanie FS (t) = (xS (t) yS (t)) t 2 I1, speniajce warunki: (2.5) xS (t) = xS (4t)=2 yS (t) = yS (4t)=2 t 2 0 1=8]. xS (t) = 1=2 + yS (t ; 1=8) yS (t) = 1=2 ; xS (t ; 1=8) t 2 1=8 1=4] xS (t) = 1 ; yS (t ; 1=4) yS (t) = xS (t ; 1=4) t 2 1=4 1=2] xS (t) = yS (1 ; t) yS (t) = xS (1 ; t) t 2 1=2 1]. (2.6) (2.7). (2.8) jednoznacznie deniuje dwuwymiarow krzyw Sierpiskiego wypeniajc kwadrat I2 ..

(23) 20. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. Dalsza cz niniejszego podrozdziau zmierza bdzie do wykazania suszno ci twierdzenia 2.1.1. Dokadniej, udowodnimy dalej, e krzywa FS (t) jest identyczna z krzyw Fg (t). Przedtem wykaemy, e ukad rwna (2.5){(2.8) mona przeksztaci do rwnowanej postaci, ktra prowadzi bezpo rednio do otrzymania rekurencyjnego algorytmu wyznaczania pooenia punktu z kwadratu odpowiadaj cego ustalonemu argumentowi t 2 I1 (parametrowi krzywej). Wyznaczenie dokadnej warto ci FS (t) jest moliwe w przypadku takich argumentw t, ktre maj skoczone czwrkowe rozwinicia. Najpierw zauwamy, e z FS (t) = FS (4t)=2 dla t 2 0 1=8] wynika, i FS (0) = (0 0). Ustalenie punktu pocz tkowego odwzorowania FS (0) = (0 0) wraz z rwnaniami (2.5){(2.8) pozwala na sformuowanie konstruktywnego algorytmu wyznaczania warto ci FS dla ustalonego argumentu t 2 I1 . Podstaw algorytmu s nastpuj ce rwnania: S1) FS (0) = (0 0) S2) xS (t) = xS (4t)=2 yS (t) = yS (4t)=2 t 2 0 1=8) S3) xS (t) = 1=2 + yS (t ; 1=8) yS (t) = 1=2 ; xS (t ; 1=8) t 2 1=8 1=4) S4) xS (t) = 1 ; yS (t ; 1=4) yS (t) = xS (t ; 1=4) t 2 1=4 1=2] S5) xS (t) = yS (1 ; t) yS (t) = xS (1 ; t) t 2 (1=2 1]: Rwnanie (S5) oznacza, e krzywa Sierpiskiego jest symetryczna wzgldem przek tnej kwadratu. W celu wyznaczenia konkretnej warto ci FS (t) naley uy ukadu rwna (S1){(S5) w formie rekurencji wstecz. Rwnania (S2){(S5) rni si od ukadu rwna (2.5){(2.8) tylko w punktach granicznych t = 1=8 t = 1=4 t = 1=2. W kadym z tych przypadkw wybrane zostao tylko jedno z rwna z ukadu (2.5){(2.8), ktre jest stosowane w odniesieniu do danej warto ci t. Prowadzi to do ujednoznacznienia wyboru przeksztacenia i zapewnia zbieno rekurencyjnego algorytmu opartego na (S1){(S5). Ukad rwna (S1){(S5) mona rozwi za, korzystaj c z prostej procedury rekurencyjnej. W poniszym przykadzie pokaemy, w jaki sposb naley korzysta z przeksztace (S1){(S5) w celu obliczenia okre lonej warto ci FS (t).. Przykad zastosowania rwna (S1){(S5) do obliczania warto ci FS (t) dla ustalonej warto ci argumentu t 2 I1:.

(24) 2.1. Krzywa Sierpiskiego. 21. Niech t = 7=64. Poniewa t < 1=8, korzystamy z (S2) i otrzymujemy FS (7=64) = FS (7=16)=2. W ten sposb wykonali my pierwsz iteracj algorytmu rekurencyjnego. Pooenie krzywej w punkcie t = 7=64 zostao wyraone poprzez warto odwzorowania FS (7=16). W nastpnej iteracji stosujemy rwnanie (S4), gdy 7=16 2 1=4 1=2] i w konsekwencji otrzymujemy xS (7=64) = xS (7=16)=2 = 1=2 ; yS (3=16)=2 oraz yS (7=64) = yS (7=16)=2 = xS (3=16)=2. Dalej, z (S3) mamy xS (3=16) = 1=2 + yS (1=16) i yS (3=16) = 1=2 ; xS (1=16). Nastpnie, z (S2) wynika xS (1=16) = xS (1=4)=2 oraz yS (1=16) = yS (1=4)=2, co koczy drug iteracj algorytmu. W ostatniej iteracji korzystamy z (S3) i otrzymujemy xS (1=4) = 1 ; yS (0) = 1 oraz yS (1=4) = xS (0) = 0. Po odpowiednich podstawieniach, ostatecznie FS (7=64) = (1=2 1=4). 2 Zbieno algorytmu opartego na ukadzie rwna (S1){(S5) jest zapewniona w przypadku, gdy warto ci t maj skoczone czwrkowe rozwinicia, czyli t = ik 4;k , gdzie ik jest liczb cakowit z przedziau 0 ik 4k , a k jest pewn liczb naturaln . %atwo sprawdzi, e jednokrotne zastosowanie rwna (S1){(S5) prowadzi do wyraenia warto ci FS (t) w zaleno ci od FS (0) b d w zaleno ci od argumentu ik;1 4;k+1 , gdzie 0 ik;1 4k;1 .. Lemat 2.1 Ukad rwna (S 1){(S 5) jest rwnowa ny z rwnaniami (2:5){(2:8). Rozwizaniem ukadu rwna (S 1){(S 5) jest krzywa wypeniajca FS (t) : I1 !. I2.. Dowd. Wykazanie rwnowano ci (2.5){(2.8) oraz (S1){(S5) wymaga wyzna-. czenia na podstawie (S1){(S5) warto ci FS w punktach 1=8 1=4 1=2 oraz sprawdzenia, e speniaj je, odpowiednio, rwnania (2.5), (2.6) oraz (2.8). Z rwna (S3) i (S1) wynika, e FS (1=8) = (1=2 1=2), z (S4) i (S1) wynika, e FS (1=4) = (1 0), sk d dalej otrzymujemy FS (1=2) = (1 1). Sprawdzenie odpowiednich warunkw (2.5){(2.8) jest zupenie elementarne. Dalej przejdziemy do dowodu, e rwnania (S1){(S5) deniuj krzyw wypeniaj c I2 . W pierwszym etapie okre limy warto ci FS (t) dla t = 1=4 2=4 3=4 1. S to, jak zobaczymy, wsprzdne wierzchokw kwadratu I2 . Z rwna (S5) i (S1) wynika, e FS (1) = (yS (1 ; 1) xS (1 ; 1)) = (yS (0) xS (0)) = (0 0). Dalej, z (S4) i (S1) otrzymujemy FS (1=4) = (1 ; yS (1=4 ; 1=4) xS (1=4 ; 1=4)) = (1 0), a st d xS (3=4) = yS (1 ; 3=4) = 0 oraz yS (3=4) = xS (1=4) = 1. Dalej, z (S4) wynika, e FS (1=2) = (1 ; yS (1=2 ; 1=4) xS (1=2 ; 1=4)) = (1 1). W nastpnym etapie wyznaczymy warto ci FS (t) dla wszystkich nie ustalonych do tej pory warto ci t = i=16 i = 0 1 2 : : : 16. Otrzymane punkty maj wsprzdne bd ce wielokrotno ci 1=2, a mianowicie: FS (1=16) = (xS (4 1=16)=2 yS(4 1=16)=2) = (1=2 0), FS (1=8) = (1=2 + yS (1=8 ; 1=8) 1=2 ; xS (1=8 ; 1=8)) = (1=2 1=2),.

(25) 22. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. Rys. 2.1. Kolejne przyblienia krzywej Sierpiskiego w 2-D Fig. 2.1. Approximations of the Sierpiski space-lling curve in 2-D. FS (3=16) = (1=2 + yS (3=16 ; 1=8) 1=2 ; xS (3=16 ; 1=8)) = (1=2 0), FS (5=16) = (1 ; yS (5=16 ; 1=4) xS(5=16 ; 1=4)) = (1 1=2), FS (3=8) = (1 ; yS (3=8 ; 1=4) xS (3=8 ; 1=4)) = (1=2 1=2), FS (7=16) = (1 ; yS (7=16 ; 1=4) xS(7=16 ; 1=4)) = (1 1=2), FS (9=16) = (yS (1 ; 9=16) xS (1 ; 9=16)) = (1=2 1), FS (10=16) = (yS (1 ; 10=16) xS(1 ; 10=16)) = (1=2 1=2), FS (11=16) = (yS (1 ; 11=16) xS(1 ; 11=16)) = (1=2 1), FS (13=16) = (yS (1 ; 13=16) xS(1 ; 13=16)) = (0 1=2), FS (14=16) = (yS (1 ; 14=16) xS(1 ; 14=16)) = (1=2 1=2), FS (15=16) = (yS (1 ; 15=16) xS(1 ; 15=16)) = (0 1=2).. Po czenie za pomoc odcinkw kolejnych punktw odpowiadaj cych warto ciom t = 0 1=16 2=16 : : : 15=16 1 prowadzi do otrzymania ci gego przyblienia krzywej wypeniaj cej FS (t). Na rysunku 2.1 przedstawiono trzy kolejne przyblienia krzywej Sierpiskiego. Naley zwrci uwag na fakt, i jest to inna metoda aproksymacji krzywej Sierpiskiego, ni metoda oryginalnie proponowana przez samego Sierpiskiego. %atwo sprawdzi, e przedstawiona tu metoda aproksymacji krzywej Sierpiskiego jest identyczna z generowaniem rodziny krzywych Sierpiskiego-Knoppa 137]. Niech FSk (t) oznacza k-te przyblienie krzywej, okre lone dokadnie w tym sensie, e FSk (t) = FS (t), w punktach t 2 T k , gdzie T k = ftki = i=4k i = 0 1 2 : : : 4k g, a k jest dowoln liczb naturaln . W punktach po rednich, czyli dla t 62 T k , funkcja FSk (t) jest zdeniowana jako:. FSk (t) = 1 ; 4k (t ; tki )] FSk (tki ) + 4k (t ; tki ) FSk (tki+1 ):. (2.9). FSk (t) jest funkcj ci g { odcinkami liniow . %atwo wykaza (przez indukcj), e:. p jjFSk (tki ) ; FSk (tki+1)jj = jjFS (tki ) ; FS (tki+1)jj = 2 2;k :.

(26) 2.1. Krzywa Sierpiskiego. p. 23. St d, dla dowolnego t 2 I1 , mamy jjFSk+1 (t) ; FSk (t)jj 2 2;k . W konsekwencji dla kadego naturalnego k i m oraz dla kadego t 2 I1 zachodzi: jjFSk+m (t) ; FSk (pt)jj jjFSk+1(t) ; FSk (t)jj + : : : + pjjFSk+m (t) ; FSk+m;1 (t)jj 2 2;k (1 + 2;1 + : : : + 2;m ) < 2 2;k+1 : Wnioskujemy st d, e ci g funkcji FSk (t) jest jednostajnie zbieny. W zwi zku z tym jego granica jest take funkcj ci g . Przypomnijmy, e w przypadku funkcji ograniczonych ci go jest rwnowana z jednostajn ci go ci . Podobnie atwo mona wykaza, e FS jest funkcj jednostajnie ci g na zbiorze k T k (k = 1 2 : : :). Funkcja limk!1 FSk (t) jest zgodna z FS (t) na zbiorze. k T k (k = 1 2 : : :), gstym w I1, a poniewa jest funkcj ci g (jednostajnie), musi by wic identyczna z FS (t) na caym odcinku I1 (jest to rwnie alternatywny dowd ci go ci FS (t) na caym odcinku I1 ). Funkcja FS odwzorowuje zbir k T k , gsty w I1 , w zbir wszystkich punktw o wsprzdnych posiadaj cych skoczone dwjkowe rozwinicia, ktry jest zbiorem gstym w I2 . Poniewa I1 jest zbiorem zwartym, st d FS (I1) jest take zbiorem zwartym (zawieraj cym zbir gsty w I2 ). W zwi zku z tym FS (I1) = I2 , co koczy dowd lematu. 2 W ten sposb pokazali my, e rwnania (S1){(S5) jednoznacznie deniuj krzyw wypeniaj c kwadrat I2 . Dalej przejdziemy do dowodu twierdzenia 2.1.1. Funkcj xS (t) moemy przeduy na ca prost w taki sam sposb, jak funkcj g (t), czyli: xS (t) = xS (1+ t) dla t 0 oraz xS (t) = xS (t ; 1) dla t 1. W celu uniknicia komplikacji zapisu, dla rozszerzonej funkcji uyto tego samego oznaczenia, xS ( ), co dla funkcji okre lonej na I1 . Dalej pokaemy, e xS (t) spenia te same warunki, ktre spenia funkcja g (t), czyli warunki (2.4).. Lemat 2.2 Dla ka dego t 2 I1 zachodzi xS (t) = 1 ; xS (t ; 1=2): (2.10) Dowd. Wystarczy pokaza, e warunek (2.10) jest speniony dla 1=2 t 1, poniewa, je li t < 1=2, to xS (t ; 1=2) = xS (t ; 1=2 + 1) = xS (t + 1=2). %atwo sprawdzi, e rwnanie (2.10) jest spenione dla kadego t 2 T 1. Pokaemy, e ze spenienia (2.10) dla kadego t 2 T k wynika spenienie tego warunku dla t 2 T k+1 . Wymaga to rozpatrzenia kolejnych szczeglnych przypadkw. Niech t 2 T k+1 oraz t 2 7=8 1]. Wtedy zachodzi (1 ; t) 2 0 1=8]. Z rwna (S5) i (S2) otrzymujemy xS (t) = yS (1;t) = yS (4;4t)=2 = xS (4t;3)=2. Poniewa (2.10) jest spenione dla t 2 T k , a (4t ; 3) 2 1=2 1] oraz (4t ; 3) 2 T k , wic xS (t) = (1 ; xS (4t ; 7=2))=2 = 1=2 ; xS (t ; 7=8) = yS (t ; 7=8+1=8). Dalej mamy.

(27) 24. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. (t ; 3=4) 2 1=8 1=4], zatem, korzystaj c z (S3), otrzymujemy yS (t ; 3=4) = 1 ; xS (t ; 3=4 + 1=4) = 1 ; xS (t ; 1=2). W nastpnym przypadku niech t 2 T k+1 oraz t 2 6=8 7=8]. Wtedy zachodzi (1 ; t) 2 1=8 2=8]. Z rwna (S5), (S3) i (S2) otrzymujemy xS (t) = yS (1 ; t) = 1=2;xS (7=8;t) = 1=2;xS (7=2;4t)=2. Poniewa (2.10) jest spenione dla t 2 T k a (7=2 ; 4t) 2 1=2 1] oraz (7=2 ; 4t) 2 T k , wic xS (t) = 1=2 ; (1 ; xS (4 ; 4t))=2 = xS (4 ; 4t)=2 = yS (4t ; 3)=2. Dalej, poniewa (4t ; 3) 2 0 1=2], korzystamy z (S2) i otrzymujemy yS (4t ; 3)=2 = yS (t ; 3=4). Z rwnania (S4) wynika, e dla dowolnego s 2 0 1=8] zachodzi yS (s) = 1 ; xS (s + 1=4). W konsekwencji, yS (t ; 3=4) = 1 ; xS (t ; 3=4 + 1=4) = 1 ; xS (t ; 1=2), co koczy ten fragment dowodu. Dalej, niech t 2 T k+1 oraz t 2 5=8 6=8], wtedy (1 ; t) 2 2=8 3=8]. Z rwna (S5), (S4) i (S2) otrzymujemy xS (t) = yS (1 ; t) = xS (6=8 ; t) = xS (3 ; 4t)=2. Poniewa (2.10) jest spenione dla t 2 T k a (3 ; 4t) 2 0 1=2] oraz (3 ; 4t) 2 T k zatem xS (3 ; 4t + 1=2) = 1 ; xS (3 ; 4t). W ten sposb otrzymujemy xS (t) = (1 ; xS (3 ; 4t + 1=2))=2 = 1=2 ; yS (4t ; 5=2)=2. Poniewa (4t ; 5=2) 2 0 1=2], moemy skorzysta z (S2), co prowadzi do rwno ci yS (4t ; 5=2)=2 = yS (t ; 5=8). Z rwnania (S3) wynika, e yS (t ; 5=8) = xS (t ; 5=8+1=8) ; 1=2. Po podstawieniu otrzymujemy 1=2 ; xS (t ; 1=2) + 1=2 = 1 ; xS (t ; 1=2), co koczy ten fragment dowodu. W kocu, w ostatnim przypadku, niech t 2 T k+1 oraz t 2 1=2 5=8]. Moemy skorzysta z warunkw (S5), (S4) i (S3), gdy (1 ; t) 2 3=8 1=2]. Otrzymujemy: xS (t) = yS (1 ; t) = xS (6=8 ; t) = 1=2 + yS (5=8 ; t). Dalej, korzystaj c z (S2), mamy 1=2 + yS (t ; 5=8) = 1=2 + yS (5=2 ; 4t)=2 = 1=2 + xS (1 ; 5=2 + 4t)=2. Poniewa (2.10) jest spenione dla t 2 T k a (4t ; 3=2) 2 1=2 1] oraz (4t ; 3=2) 2 T k , wic xS (4t ; 3=2) = 1 ; xS (4t ; 2). W ten sposb otrzymujemy xS (t) = 1=2 + (1 ; xS (4t ; 2))=2 = 1 ; xS (t ; 1=2), co koczy ten fragment dowodu. Funkcja xS (t) jest funkcj jednostajnie ci g , zatem warunek (2.10) jest speniony dla t 2 T k k = 1 2 : : : gdzie zbir k T k jest zbiorem gstym w I1 , co pozwala na przeduenie warunku (2.10) na cay odcinek jednostkowy. 2. Lemat 2.3 Dla ka dego t 2 1=8 3=8] zachodzi xS (t) = 1=2 + xS (1=2 ; 4t)=2:. (2.11). Dowd. Niech t 2 1=8 1=4], wtedy z rwnania (S3) wynika, e xS (t) = 1=2 + yS (t ; 1=8) = 1=2 + yS (4t ; 1=2)=2. Z rwnania (S5) otrzymujemy ostatecznie xS (t) = 1=2+xS (1;1=2;4t)=2 = 1=2+xS (1=2;4t)=2. Podobnie, dla t 2 1=4 3=8] mamy, korzystaj c z (S4), xS (t) = 1 ; yS (t ; 1=4) = 1 ; yS (4t ; 1)=2 = 1 ;.

(28) 2.1. Krzywa Sierpiskiego. 25. xS (2 ; 4t)=2. Z lematu 2.2 otrzymujemy dalej xS (t) = 1 ; (1 ; xS (3=2 ; 4t))=2 = 1=2 + xS (3=2 ; 4t)=2. W kocu, poniewa, dla dowolnego argumentu s 2 I1 , xS (s) = xS (s ; 1), zatem xS (t) = 1=2 + xS (1=2 ; 4t)=2, co koczy dowd. 2 Pozosta jeszcze do udowodnienia nastpuj cy lemat:. Lemat 2.4 Dla ka dego t 2 7=8 1] zachodzi xS (t) = xS (4t)=2:. (2.12). Dowd. Z prostych przeksztace wynika, e dla s = 1 ; t 2 0 1=8] mamy xS (t) = xS (1 ; s) = yS (s) = yS (4s)=2 = xS (1 ; 4s)=2. Dalej, korzystaj c z tego,. e dla dowolnego s zachodzi xS (s) = xS (s + 3) otrzymujemy (po podstawieniu s = 1 ; t) xS (1 ; 4s)=2 = xS (4 ; 4s)=2 = xS (4t)=2, co koczy dowd lematu. 2 Z lematw 2.2, 2.3, 2.4 oraz z rwnania (2.5) wynika, e funkcja xS (t) spenia rwnania deniuj ce funkcj g (t). Poniewa g (t) jest okre lona jednoznacznie, a xS (t) jest funkcj ci g (jednostajnie), zatem s one identyczne, czyli xS (t) = g (t) t 2 R. Wystarczy teraz wykaza, e yS (t) = xS (t ; 1=4) dla kadego t 2 I1, by mc stwierdzi, e obie krzywe, Fg (t) oraz FS (t), s identyczne.. Lemat 2.5 Dla ka dego t 2 I1 zachodzi yS (t) = xS (t ; 1=4):. (2.13). Dowd. Dla t 2 1=4 1=2] warunek (2.13) otrzymujemy wprost z (S4). Dalej, dla tego samego przedziau przynaleno ci t, zachodzi xS (t) = 1 ; yS (t ; 1=4). St d, dla t 2 0 1=4], wynika yS (t) = 1 ; xS (t + 1=4). Z kolei z (2.11) otrzymujemy yS (t) = 1 ; 1 + xS (t ; 1=4) = xS (t ; 1=4). W przypadku, gdy t 2 (1=2 1], z (S5) otrzymujemy yS (t) = xS (1 ; t). Dalej, z (2.10) wynika, e xS (1 ; t) = 1 ; xS (1 ; t + 1=2) = 1 ; xS (3=2 ; t). Korzystaj c ponownie z (S5), otrzymujemy. 1 ; xS (3=2 ; t) = 1 ; yS (1 + t ; 3=2) = 1 ; yS (t ; 1=2): Poniewa t ; 1=2 1=2, moemy wic podstawi yS (t ; 1=2) = xS (t ; 1=2 ; 1=4). Jeeli t 2 3=4 1], to z (2.10) wynika 1 ; xS (t ; 3=4) = xS (t ; 1=4). Gdy natomiast t 2 (1=2 1], wtedy 1 ; xS (t ; 3=4) = 1 ; xS (t ; 3=4 + 1) = 1 ; xS (t + 1=4). Korzystaj c ponownie z rwnania (S5), otrzymujemy dalej 1 ; xS (t + 1=4) = 2 xS (t ; 1=4), co koczy dowd lematu. W ten sposb w lematach 2.2{2.5 pokazali my, e odwzorowanie FS (t) = (xS (t) yS (t)) jest rwnowane z odwzorowaniem Fg (t) = (g (t) g (t ; 1=4)), co koczy dowd twierdzenia 2.1.1..

(29) 26. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. Wasnoci krzywej Sierpi skiego. Z ukadu rwna (2.5){(2.8) wynika bezpo rednio, e warto ci funkcji FS (t) znajduj si w kwadracie 0 1] 0 1], a w szczeglno ci: dla t 2 7=8 1] 0 1=8] znajduj si w kwadracie 0 1=2] 0 1=2] dla t 2 1=8 3=8] znajduj si w kwadracie 1=2 1] 0 1=2] dla t 2 3=8 5=8] znajduj si w kwadracie 1=2 1] 1=2 1] a dla t 2 5=8 7=8] przyjmuj warto ci w kwadracie 0 1=2] 1=2 1]. Ponadto (ze wzgldu na (2.8)) warto ci odwzorowania FS (t) dla t 2 0 1=2] znajduj si w trjk cie o wierzchokach w punktach (0 0) (1:0) (1 1), natomiast dla t 2 1=2 1] przyjmuj warto ci w trjk cie o wierzchokach w punktach (0 0) (0 1) (1 1).. Lemat 2.6 Istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie midzy pododcinkami Aki = 1=2 i=4k 1=2 (i + 1)=4k], (i = 0 : : : 2 4k ; 1, k naturalne), oraz odpo-. wiednimi trjktami prostoktnymi Qki = FS (Aki ) o przyprostoktnych o dugo ci 2;k pokrywajcymi I2 .. Dowd. Dowd lematu wynika ze spenienia powyszej wasno ci przez krzywe. aproksymuj ce FSk (t) k = 1 2 : : : Porwnaj te dowd podobnej wasno ci w pracy 124]. 2 Krzywa Sierpiskiego jest odwzorowaniem ci gym, nie jest jednak rniczkowalna 137], spenia natomiast warunek Holdera z wykadnikiem 1=2. Naley nadmieni, e staa wystpuj ca w tym warunku ma najmniejsz warto w porwnaniu z analogicznymi staymi wystpuj cymi w odpowiednich warunkach Holdera sformuowanych dla innych dwuwymiarowych krzywych wypeniaj cych. Warunek ten moemy zapisa w nastpuj cej postaci: Lemat 2.7 Dla ka dego t1 t2 2 I1 zachodzi. jjFS (t1) ; FS (t2)jj2 2 min jt2 ; t1j j1 ; (t2 ; t1)j 2jt2 ; t1j. (2.14). gdzie = 2. 2 Naley zauway, e warto 2 = 4 jest niepoprawialna, gdy mona wskaza takie pary punktw t1 t2 , na przykad 0 i 1=8, dla ktrych jjFS (t1 ) ; FS (t2 )jj2 = 2 jt2 ; t1 j. Dowd lematu 2.7 podano, korzystaj c z innego opisu krzywej Sierpiskiego, w pracy Platzmana i Bartholdiego 124]. Przedstawiono tam take inn wersj algorytmu generowania krzywej Sierpiskiego. Podstaw tego algorytmu jest rwnanie rekurencyjne, ktre pozwala na wyznaczanie punktw wierzchokowych kolejnych aproksymacji krzywej na podstawie poprzedniej aproksymacji. Dla porwnania podamy tu wspomniany algorytm, korzystaj c jednak z wprowadzonych wcze niej oznacze i denicji..

(30) 2.2. Krzywa Hilberta. 27. Niech F (t) oznacza krzyw wypeniaj c . Dalej, niech F (0) = F (1) = (0 0), F (1=4) = (1 0), F (1=2) = (1 1), F (3=4) = (0 1). Ponisze rwnanie deniuje dwuwymiarow krzyw Sierpiskiego.. . . F (i=2k ) = F (bi=4c=2k;2) + F (di=4e=2k;2) =2 i = 1 3 5 : : : 2k ; 1 k = 3 4 : : :. (2.15). Funkcja F (t) ma warto ci okre lone dla wszystkich punktw odcinka jednostkowego o skoczonych czwrkowych rozwiniciach, jednocze nie jest jednostajnie ci ga na wyej wspomnianym zbiorze punktw, w zwi zku z tym mona j przeduy na cay odcinek I1. Nietrudno pokaza (poprzez indukcj), e zdeniowane odwzorowanie F (t) jest identyczne z FS (t), czyli z dwuwymiarow krzyw Sierpiskiego. Algorytm zaproponowany przez Platzmana i Bartholdiego jest algorytmem wygodnym w sytuacji, gdy generowane jest pewne przyblienie caej krzywej Sierpiskiego. W przypadku ograniczenia si do dokadno ci 2;k , a wic przy wyznaczaniu wszystkich warto ci F (i=2k ) i = 0 1 : : : 2k { punktw wierzchokowych krzywej wypeniaj cej, naley O(2k ) razy wyznaczy warto funkcji F . Je li natomiast chcemy okre li warto F (t) jedynie dla pewnego ustalonego t, podanego z t sam co poprzednio dokadno ci 2;k , to musimy wykona w najgorszym razie O(2k=2) iteracji algorytmu Platzmana i Bartholdiego. Skorzystanie z rwna (S1){(S5) gwarantuje wtedy znacznie mniejsze nakady obliczeniowe, rzdu O(k). Niew tpliwie, dla naszych celw, czyli do przetwarzania pojedynczych obserwacji na bie co, bardziej efektywna bdzie wersja algorytmu bazuj ca na ukadzie rwna (S1){(S5).. 2.2 Krzywa Hilberta W roku 1891 Hilbert 72] opisa kolejn , po krzywej Peano, krzyw wypeniaj c kwadrat. Istnieje bardzo wiele rnych sposobw deniowania dwuwymiarowej krzywej Hilberta 137], 23], 111]. Proponujemy tutaj denicj krzywej Hilberta analogiczn do opisu (2.5){(2.8) krzywej Sierpiskiego, w ktrej korzystamy z podstawowych wasno ci geometrycznych krzywej. Podobnie jak w przypadku krzywej Sierpiskiego, denicja tego typu prowadzi w prosty sposb do otrzymania konstruktywnego algorytmu generowania punktw krzywej Hilberta. Opis krzywej za pomoc ukadu rwna funkcyjnych jednoznacznie deniuje odwzorowanie I1 ! I2 oraz pozwala na bardzo precyzyjne zbadanie jego wasno ci. Dziki temu opisowi bdziemy w stanie wyznaczy optymaln warto staej w warunku Holdera dotycz cym dwuwymiarowej krzywej Hilberta..

(31) 28. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. Niech FH (t) = (xH (t) yH (t)) t 2 I1 oznacza odwzorowanie przeprowadzaj ce punkty z odcinka w punkty kwadratu jednostkowego.. Twierdzenie 2.2.1 Odwzorowanie FH (t) = (xH (t) yH (t)) t 2 I1 speniajce warunki:. xH (t) = yH (4t)=2 yH (t) = xH (4t)=2 0 t 1=4 (2.16) xH (t) = 1=2 ; yH (1=2 ; t) yH (t) = ;1=2 + xH (1=2 ; t) 0 t 1=4 (2.17) xH (t) = xH (1 ; t) yH (1 ; t) + yH (t) = 1 0 t 1 (2.18) jednoznacznie deniuje dwuwymiarow krzyw Hilberta.. %atwo zauway, e z rwnania (2.16) wynika, i xH (0) = yH (0), natomiast z yH (1 ; t) + yH (t) = 1 otrzymujemy yH (1=2) = 1=2. Przepisuj c rwnanie (2.17) w postaci xH (t) = 1=2 + yH (1=2 ; t) oraz yH (t) = 1=2 ; xH (1=2 ; t) dla 1=4 t 1=2, a nastpnie podstawiaj c t = 1=2, dostajemy xH (0) = 0. St d take wynika, e yH (0) = 0. Dalej, korzystaj c kolejno z (2.16) i (2.17), otrzymujemy przy t 2 1=4 1=2], xH (t) = 1=2 + yH (1=2 ; t) = 1=2 + xH (2 ; 4t)=2 = 1=2 + xH (4t ; 1)=2 = 1=2 + yH (t ; 1=4) i podobnie yH (t) = 1=2 ; xH (1=2 ; t) = 1=2 ; yH (2 ; 4t)=2 = 1=2 ; 1=2 + yH (4t ; 1)=2 = xH (t ; 1=4). W ten sposb wykazali my nastpuj c wasno : Lemat 2.8 Z ukadu rwna (2.16){(2.18) wynika, e rwnanie (2.17) jest rwnowa ne z rwnaniami. xH (t) = 1=2 + yH (t ; 1=4) yH (t) = xH (t ; 1=4) 1=4 t 1=2:. (2.19). 2 Wasno wewntrznego podobiestwa odwzorowania (2.17) mona zast pi rwnowan wasno ci (2.19), maj c charakter przesunicia wzgldem argumentu t. Dalej bdziemy czsto korzysta z tego wa nie rwnania. Wyznaczenie wprost warto ci FH (0) = (0 0) pozwala na sformuowanie na podstawie (2.16){(2.18) konstruktywnego algorytmu generowania krzywej, ktry umoliwia dokadne wyznaczenie wsprzdnych punktw z kwadratu odpowiadaj cych punktom z odcinka o skoczonych dwjkowych rozwiniciach. Wyznaczymy jeszcze warto ci FH w punktach 1=3 i 2=3. Umoliwi to otrzymanie rekurencyjnego algorytmu pozwalaj cego na obliczenie dokadnych warto ci krzywej Hilberta w punktach, ktrym odpowiada zbir warto ci odwzorowania o skoczonych dwjkowych rozwiniciach obu wsprzdnych. Z rwna (2.18) wynika, e.

(32) 2.2. Krzywa Hilberta. 29. FH (1) = FH (1 ; 0) = (xH (0) 1 ; yH (0)) = (0 1), natomiast z (2.19) otrzymujemy FH (1=3) = FH (1=12 + 1=4) = (1=2 + yH (1=12) xH (1=12)). Dalej FH (1=12) = FH (1=4 1=3) = (yH (1=3)=2 xH (1=3)=2), st d xH (1=3) = 1=2 + xH (1=3)=2 oraz yH (1=3) = yH (1=3)=2: W konsekwencji otrzymujemy FH (1=3) = (1 0) oraz FH (2=3) = FH (1;1=3) = (xH (1=3) 1 ; yH (1=3)) = (1 1). Poniszy ukad rwna jest rwnowany z rwnaniami (2.16){(2.18): H1) FH (0) = (0 0) FH (1=3) = (1 0) H2) xH (t) = yH (4t)=2 yH (t) = xH (4t)=2 t 2 0 1=4) H3) xH (t) = 1=2 + yH (t ; 1=4) yH (t) = xH (t ; 1=4) t 2 1=4 1=2] H4) xH (t) = xH (1 ; t) yH (1 ; t) + yH (t) = 1 t 2 (1=2 1]:. Lemat 2.9 Ukad rwna funkcyjnych (H1){(H4) jest rwnowa ny z ukadem. rwna (2.16){(2.18). Rozwizaniem ukadu rwna (H1){(H4) jest krzywa wypeniajca FH (t) : I1 ! I2 .. Dowd. Postpowanie dowodowe przebiega bdzie podobnie jak w przypadku. analogicznego lematu sformuowanego dla krzywej Sierpiskiego. Wykazanie rwnowano ci ukadu rwna (H1){(H4) z ukadem rwna (2.16){(2.18), jako elementarne, pominiemy. W pierwszym etapie okre limy warto ci FH (t) dla t = 1=3 2=3 1. S to, jak wida, wsprzdne wierzchokw kwadratu I2 . W kolejnym etapie wyznaczymy warto ci FH (t) dla wszystkich argumentw t = i=12 i = 0 1 2 : : : 12. Otrzymane punkty maj wsprzdne bd ce wielokrotno ci 1=2, a mianowicie: FH (1=4) = FH (0 + 1=4) = (1=2 + yH (0) xH (0)) = (1=2 0) FH (1=2) = FH (1=4 + 1=4) = (1=2 + yH (1=4) xH(1=4)) = (1=2 1=2) FH (3=4) = FH (1 ; 1=4) = (xH (1=4) 1 ; yH (1=4)) = (1=2 1) FH (1=12) = (yH (1=3)=2 xH (1=3)=2) = (0 1=2) FH (1=6) = FH (2=12) = FH (1=4 2=3) = (yH (2=3)=2 xH(2=3)=2) = (1=2 1=2) FH (5=12) = FH (1=4 + 1=6) = (1=2 + yH (1=6) xH (1=6)) = (1 1=2) FH (7=12) = FH (1 ; 5=12) = (xH (5=12) 1 ; yH (5=12)) = (1 1=2) FH (5=6) = FH (1 ; 1=6) = (xH (1=6) 1 ; yH (1=6)) = (1=2 1=2) FH (11=12) = FH (1 ; 1=12) = (xH (1=12) 1 ; yH (1=12)) = (0 1=2): Poprzez po czenie odcinkami punktw z I2 odpowiadaj cych kolejnym warto ciom t = i=12 (i = 0 1 2 : : : 12) na odcinku I1, otrzymujemy ci g aproksymacj krzywej wypeniaj cej. Na rysunku 2.2 przedstawiono trzy pierwsze przyblienia krzywej Hilberta. Jest to inna metoda aproksymacji ni rozwaane do tej pory (por. 137]). Jej cech charakterystyczn jest okre lenie punktw wzowych.

(33) 30. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. Rys. 2.2. Kolejne przyblienia krzywej Hilberta w 2-D Fig. 2.2. Approximations of the Hilbert space-lling curve in 2-D. { punktw z kwadratu buduj cych dane przyblienie { na podstawie dokadnych warto ci odwzorowania. Zbir punktw wzowych tworz , jak zobaczymy, wszystkie punkty I2 , ktrych wsprzdne maj skoczone dwjkowe rozwinicia. Niech FHk (t) oznacza k-t aproksymacj krzywej, okre lon dokadnie w tym sensie, e FHk (t) = FH (t), w punktach t 2 T k , gdzie. T k = ftki = i=(3 4k ) i = 0 1 2 : : : 3 4k g a k jest dowoln liczb naturaln . Odcinkami liniowe przyblienie dwuwymiarowej krzywej Hilberta jest wtedy postaci. FHk (t) = 1 ; 3 4k (t ; tki )] FHk (tki ) + 3 4k (t ; tki ) FHk (tki+1 ): Zauwamy, e FHk (t) jest funkcj ci g . %atwo pokaza (przez indukcj), e jjFHk (tki ) ; FHk (tki+1)jj = 2;k , przy czym rnica ta dotyczy zawsze tylko jednej wsprzdnej. p ;k 2 2 , a w konsekwencji dla kadego naturalnego St d jjFHk+1 (t) ; FHk (t)jj k i m oraz t 2 I1 zachodzi. jjFHk+m (t) ; FHk (pt)jj jjFHk+1(t) ; FHk (t)jj + : : : +pjjFHk+m (t) ; FHk+m;1 (t)jj 2 2;k (1 + 2;1 + : : : + 2;m ) < 2 2;k+1 : Wynika st d, e ci g funkcji FHk (t) jest jednostajnie zbieny. Jego granica jest wic funkcj ci g . Dalszy ci g dowodu przebiega analogicznie jak w przypadku dowodu lematu 2.1 sformuowanego dla krzywej Sierpiskiego. 2.

(34) 2.2. Krzywa Hilberta. 31. Wasnoci krzywej Hilberta. Z rwna (H2){(H4) wynika bezpo rednio, e warto ci funkcji FH (t) znajduj si w kostce 0 1] 0 1], a w szczeglno ci: dla t 1=4 znajduj si w kwadracie 0 1=2] 0 1=2] dla 1=4 t 1=2 znajduj si w kwadracie 1=2 1] 0 1=2] dla 1=2 t 3=4 znajduj si w kwadracie 1=2 1] 1=2 1] natomiast dla 3=4 t 1 znajduj si w kwadracie 0 1=2] 1=2 1].. Lemat 2.10 Istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie midzy pododcinkami Aki = i=4k (i + 1)=4k ], i = 0 : : : 4k ; 1 oraz odpowiednimi podkostkami Qki = FH (Aki ) o boku 2;k pokrywajcymi I2, gdzie k jest dowoln liczb naturaln.. Dowd. Dowd lematu wynika ze spenienia powyszej wasno ci przez krzywe FHk (t) k = 1 2 : : :. 2. Lemat 2.11 Dla ka dego t 2 I1 zachodzi jjFH (t)jj2 3 t:. (2.20). Dowd. Najpierw pokaemy, e wasno (2.20) jest speniona przez wszystkie punkty wierzchokowe kolejnych aproksymacji krzywej FH (t), czyli e. jjFH (tki )jj2 3 tki zachodzi dla kadego tki 2 T k = fi=(3 4k ) i = 0 1 : : : 3 4k g, dla dowolnego. naturalnego k. %atwo sprawdzi, e nierwno (2.20) jest speniona dla k = 1, a dokadniej dla wszystkich t 2 T 1 = f0 1=12 2=12 : : : 11=12 1g. Dalej pokaemy, e ze spenienia warunku (2.20) dla pewnego k 1 wynika spenienie go dla k + 1, co zakoczy pierwsz cz dowodu poprzez indukcj. Niech t 2 T k+1 oraz niech t < 1=4. Z rwnania (H2) wynika, e. FH (t) = (yH (4t)=2 xH (4t)=2): Poniewa 4t 2 T k , wic jjFH (t)jj2 = x2H (t) + yH2 (t) = (yH2 (4t) + x2H (4t))=4 1=4 3(4t) = 3t. Dalej, niech t 2 T k+1 oraz t 2 1=4 1=2]. Z rwnania (H3) wynika, e xH (t) = 1=2+yH (t;1=4) oraz yH (t) = xH (t;1=4). Poniewa t;1=4 1=4, mamy yH (t ; 1=4) 1=2, otrzymujemy wic jjFH (t)jj2 = x2H (t) + yH2 (t) = 1=4 + yH2 (t ; 1=4)+ yH (t ; 1=4)+ x2H (t ; 1=4)) yH (t ; 1=4)+1=4+3(t ; 1=4) 3=4+3(t ; 1=4): Z kolei niech t 2 T k+1 oraz niech t 2 1=2 3=4]. Z rwna (H4) i (H3) wynika, e xH (t) = xH (1 ; t) = 1=2 + yH (3=4 ; t) oraz yH (t) = 1 ; yH (1 ; t) = 1 ; xH (3=4 ; t) natomiast z (H2) wynika dalej, e xH (t) = 1=2 + xH (3 ; 4t) oraz.

(35) 32. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. yH (t) = 1 ; yH (3 ; 4t). %atwo sprawdzi, e je li t 2 T k+1 , to (3 ; 4t) 2 T k ,. a zatem jjFH (t)jj2 = x2H (t) + yH2 (t) = 1=4 + yH2 (3 ; 4t) + x2H (3 ; 4t)]=4 +xH (3 ; 4t)=2 ; yH (3 ; 4t) 1=4 + 3=4 (3 ; 4t) + 1=2 = 3 (1 ; t) 3 t: Ostatnia nierwno wynika z prostego faktu, e dla 1=2 t 3=4 zawsze musi by 1 ; t t. W kocu, niech t 2 T k+1 oraz t 2 3=4 1]. W tym przypadku punkty z krzywej le w kwadracie 0 1=2] 1=2 1], st d jjFH (t)jj2 1 + 1=4 = 5=4. Dla t 3=4 mamy wic jjFH (t)jj2=t 5=4 4=3 = 5=3 < 3. Je li nierwno jjFH (tki )jj2 3 tki zachodzi dla tki 2 T k k = 0 1 : : : czyli na zbiorze gstym w I1 , to nierwno ta jest speniona dla kadego t 2 I1, co koczy dowd wasno ci (2.11). Fakt ten wynika bezpo rednio z jednostajnej ci go ci FH (t). 2 Sformuujemy twierdzenie, ktre poprawia warto staej w warunku Holdera sformuowanym w odniesieniu do dwuwymiarowej krzywej Hilberta. Twierdzenie 2.2.2 Dla ka dego t1 t2 2 I1 zachodzi (2.21) jjFH (t1) ; FH (t2)jj2 2 jt2 ; t1j gdzie 2 = 6. Dowd. Postpowanie dowodowe przeprowadzimy podobnie jak w przypadku lematu 2.11. Najpierw pokaemy, e warto 2 w nierwno ci (2.21) jest nie mniejsza ni wymieniona w twierdzeniu warto 6. Niech t1 = 23=48 oraz t2 = 25=48. Korzystaj c z rwna (H1){(H4), wyznaczamy FH (23=48) = (1=2 1=4) oraz FH (25=48) = (1=2 3=4). St d otrzymujemy rwno jj(1=2 1=4) ; (1=2 3=4)jj2 = 1=4 = 6 2=48. Dalsza cz dowodu bdzie miaa charakter indukcyjny. Na pocz tku pokaemy, e wasno (2.21) jest speniona przez wszystkie punkty wierzchokowe kolejnych aproksymacji krzywej FH (t), czyli pokaemy, e jjFH (t1) ; FH (t2 )jj2 6 jt1 ; t2 j zachodzi dla wszystkich t1 t2 2 T k , dla dowolnego naturalnego k. T k jest zdeniowane tak samo jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia, czyli k T = fi=(3 4k ) i = 0 1 : : : 3 4k g. %atwo sprawdzi, e nierwno (2.21) jest speniona dla k = 1, a dokadniej dla wszystkich t1 t2 2 T 1 = f0 1=12 2=12 : : : 11=12 1g. Dalej pokaemy, e ze spenienia warunku (2.21) dla pewnego k 1 wynika spenienie go dla k + 1, co zakoczy pierwsz cz dowodu przez indukcj. Niech t1 t2 2 T k+1 oraz t1 t2 1=4. Z rwnania (H2) (lub z (2.16)) wynika, e FH (ti ) = (yH (4ti )=2 xH (4ti )=2) i = 1 2:.

(36) 2.2. Krzywa Hilberta. 33. Poniewa 4t1 4t2 2 T k , st d. jjFH (t1) ; FH (t2)jj2 = xH (t1) ; xH (t2)]2 + yH (t1) ; yH (t2)]2 = 1=4 yH (4t1) ; yH (4t2 )]2 + 1=4 xH (4t1) ; xH (4t2 )]2 6=4 j4t1 ; 4t2 j = 6 jt1 ; t2 j: Analogiczne rezultaty otrzymamy w przypadku, gdy t1 t2 2 1=4 1=2] lub t1 t2 2 1=2 3=4], lub t1 t2 2 3=4 1]. Dalej, niech t1 t2 2 T k+1 oraz niech t1 2 0 1=4], t2 2 1=4 1=2]. Z rwna (H2){(H4) wynika, e. xH (t1 ) = yH (4t1)=2 = 1=2 ; yH (1 ; 4t1)=2 = 1=2 ; xH (1=4 ; t1 ) oraz podobnie. yH (t1) = yH (1=4 ; t1):. Korzystaj c z lematu 2.11, otrzymujemy. jjFH (t1) ; (1=2 0)jj2 = x2H (1=4 ; t1) + yH2 (1=4 ; t1) 3 (1=4 ; t1): Dalej, podobnie jak dla t1 , dla t2 otrzymujemy xH (t2 ) = yH (t2 ;1=4)+1=2 yH (t2 ) = xH (t2 ; 1=4). St d wynika, e. jjFH (t2) ; (1=2 0)jj2 = x2H (t2 ; 1=4) + yH2 (t2 ; 1=4) 3 (t2 ; 1=4): Z nierwno ci trjk ta otrzymujemy:. jjFH (t1) ; FH (t2)jj 31=2 (1=4 ; t1)1=2 + 31=2 (t2 ; 1=4)1=2: Poniewa dla dowolnego nieujemnego a i b zawsze zachodzi a1=2 + b1=2 (2a + 2b)1=2, zatem. jjFH (t1) ; FH (t2)jj 61=2 (t2 ; t1)1=2: Dalej, niech t1 t2 2 T k+1 oraz t1 2 0 1=4], t2 2 1=2 3=4]. Z rwna (H2){(H4) wynika, e xH (t1 ) = yH (4t1 )=2 oraz yH (t1 ) = xH (4t1 )=2, natomiast. xH (t2 ) = xH (1 ; t2 ) = yH (3=4 ; t2) + 1=2 = 1=2 + xH (3 ; 4t2)=2 = 1=2 + xH (1 ; (3 ; 4t2)) = 1=2 + xH (4(t2 ; 1=2))=2 oraz podobnie yH (t2) = 1=2 + yH (4(t2 ; 1=2))=2..

(37) 34. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. Wprowadmy oznaczenia s1 = 4t1 oraz s2 = 4 (t2 ; 1=2). Po odpowiednim podstawieniu otrzymujemy:. jjFH (t2) ; FH (t1)jj2 = 1=4 1 + xH (s2) ; yH (s1)]2 +1=4 1 + yH (s2 ) ; xH (s1 )]2 = 1=4 jjFH (s2 ) ; FH (s1)jj2 +2xH (s2 ) xH (s1 ) + 2yH (s2 ) yH (s1 ) + 1 + 2xH (s2 ) ; 2(1 + xH (s2)) yH (s1 ) +1 + 2yH (s2 ) ; 2(1 + yH (s2 )) xH (s1 )]: Poniewa zawsze zachodzi xH (t) yH (t) 2 I1 , zatem jjFH (t2) ; FH (t1)jj2 1=4 (jjFH (s2) ; FH (s1)jj2 + 10): Zauwamy ponadto, e si 2 T k i = 1 2. W zwi zku z tym jjFH (s2) ; FH (s1)jj2 6 (s2 ; s1 ) = 24 (t2 ; t1) ; 12: Po podstawieniu do poprzedniej nierwno ci otrzymujemy. jjFH (t2) ; FH (t1)jj2 1=4 (24(t2 ; t1 ) ; 2) < 6 (t2 ; t1 ) co koczy dowd dla t1 t2 2 T k+1 oraz t1 2 0 1=4], t2 2 1=4 1=2]. Rozwamy dalej przypadek t1 t2 2 T k+1 oraz t1 2 1=4 1=2] t2 2 1=2 3=4]. Z rwna (H2){(H4) wynika, e xH (t1 ) = 1=2 + yH (t1 ; 1=4) = 1=2 + xH (4t1 ; 1)=2 = 1=2 + xH (2 ; 4t1 )=2 = 1=2 + yH (1=2 ; t1 ) oraz analogicznie yH (t1 ) = 1=2 ; xH (1=2 ; t1 ). Podobnie, xH (t2 ) = xH (1 ; t2 ) = 1=2 + yH (3=4 ; t2 ) = (1+ xH (3 ; 4t2))=2 = 1=2+ xH (1 ; 3+4t2)=2 = 1=2+ yH (t2 ; 1=2). Przeksztacaj c dalej yH (t2 ) otrzymujemy yH (t2 ) = 1 ; yH (1 ; t2 ) = 1 ; xH (3=4 ; t2 ) = 1 ; yH (3 ; 4t2)=2 = 1 ; (1 ; yH (4t2 ; 2))=2 = 1=2 + xH (t2 ; 1=2). Z lematu 2.11 wynika, e. oraz. jjFH (t1) ; (1=2 1=2)jj2 = xH (t1) ; 1=2]2 + yH (t1) ; 1=2]2 = yH2 (1=2 ; t1 ) + x2H (1=2 ; t1 ) 3 (1=2 ; t1 ) jjFH (t2) ; (1=2 1=2)jj2 = xH (t2) ; 1=2]2 + yH (t2) ; 1=2]2 +yH2 (t2 ; 1=2) + x2H (t2 ; 1=2) 3 (t2 ; 1=2):. St d, korzystaj c z nierwno ci trjk ta, otrzymujemy:. jjFH (t1) ; FH (t2)jj 31=2(1=2 ; t1)1=2 + 31=2(t2 ; 1=2)1=2: Ze znanej nierwno ci a1=2 + b1=2 (2a + 2b)1=2 wynika. jjFH (t1) ; FH (t2)jj 61=2(jt2 ; t1j)1=2:.

(38) 2.2. Krzywa Hilberta. 35. Rozwamy teraz przypadek t1 t2 2 T k+1 oraz t1 2 1=4 1=2], t2 2 3=4 1]. Z rwna (H2){(H4) wynika, e xH (t1 ) = yH (t1 ; 1=4)+1=2 = xH (4t1 ; 1)=2+1=2 oraz yH (t1 ) = yH (4t1 ; 1)=2, natomiast xH (t2 ) = xH (1 ; t2 ) = yH (4(1 ; t2))=2 = (1+ xH (4t2 ; 3))=2 oraz podobnie, yH (t2) = 1 ; xH (1 ; 4t2 +4)=2 = 1 ; xH (4t2 ; 3)=2. Niech s1 = 4t1 ; 1 oraz s2 = 4(t2 ; 3=4). Po podstawieniu do poprzednich rwno ci otrzymujemy:. jjFH (t2) ; FH (t1)jj2 = 1=2 xH (s1) + yH (s2)]2 + 1 + yH (s1) ; 1=2xH (s2)]2 = 1=4 jjFH (s2 ) ; FH (s1 )jj2 + 2 xH (s2 ) xH (s1 ) + 2 yH (s2) yH (s1 ) +2 xH (s2 ) yH (s1) + 2 xH (s1) yH (s2 )] + 1 ; xH (s2 ) ; yH (s1): Poniewa dla dowolnego t 2 I1 mamy xH (t) yH (t) 2 I1 wic. jjFH (t2) ; FH (t1)jj2 1=4 (jjFH (s2) ; FH (s1)jj2 + 8) + 1: Zauwamy ponadto, e si 2 T k i = 1 2. W zwi zku z tym. jjFH (s2) ; FH (s1)jj2 6(s2 ; s1) = 24(t2 ; t1) ; 12: Po podstawieniu do poprzedniej nierwno ci otrzymujemy. jjFH (t2) ; FH (t1)jj2 1=4 (24(t2 ; t1) ; 12 + 8) + 1 6(t2 ; t1) co koczy dowd dla t1 t2 2 T k+1 oraz t1 2 1=4 1=2], t2 2 3=4 1]. Ostatni przypadek to t1 t2 2 T k+1 oraz t1 2 0 1=4], t2 2 3=4 1]. Tym razem moemy skorzysta z faktu, i FH (t1 ) przyjmuje warto ci w kwadracie 0 1=2] 0 1=2], natomiast FH (t2) przyjmuje warto ci w kwadracie 1=2 1] 1=2 1]. St d wynika, e jjFH (t2) ; FH (t1 )jj2 5=4. Poniewa t2 ; t1 1=2, od razu moemy wic stwierdzi, e. jjFH (t2) ; FH (t1)jj2=(t2 ; t1) 10=4 < 6: Funkcja FH (t) jest ci ga jednostajnie, st d je li (2.21) jest spenione dla t1 t2 2 T k = fi=(3 4k )g (k = 0 1 : : : ), to (2.21) jest spenione take dla kadego t1 t2 2 I1 , co koczy dowd twierdzenia 2.2.2. 2 2 2 W pracy 61] pokazano, e warto 6 3 . Oszacowanie odpowiedniej staej. podane przez A.R. Butza 24] jest jeszcze sabsze i w przypadku dwuwymiarowym wynosi 2 < 28. Twierdzenie 2.2.2 podaje najlepsz , niepoprawialn warto staej 2 = 6..

(39) 36. Rozdzia 2. Krzywe wypeniajce kwadrat. 2.3 Krzywa Peano W roku 1890 Peano 121] skonstruowa pierwsz krzyw wypeniaj c kwadrat. W odwzorowaniu odcinka w kwadrat jednostkowy uyto trjkowych rozwini liczb. Obok przypadku dwuwymiarowego Peano przedstawi take przypadek trjwymiarowy. Inne warianty krzywych wypeniaj cych kwadrat, podobnych w konstrukcji do krzywej Peano, zaproponowa w 1900 roku Moore 111]. Krzywe te bazuj na nieparzystych, innych ni trjkowe, podziaach odcinka. Z kolei Wunderlich 201] przedstawi odmienne sposoby porz dkowania przestrzeni dwuwymiarowej prowadz ce w konsekwencji do rnych wariantw krzywej, bazuj cych nadal na podziaach trjkowych (krzywe typu switch-back). Istnieje dokadnie 272 rnych krzywych tego typu, w rd ktrych wystpuje take oryginalna krzywa Peano 137]. W niniejszej pracy ograniczymy si do klasycznej krzywej podanej przez Peano 121]. Uoglnienie krzywej Peano na przypadek wielowymiarowy przedstawi Milne w pracy 110], a wcze niej, w mniej precyzyjny sposb, Butz 23]. Tutaj proponujemy inn , now denicj dwuwymiarowej krzywej Peano, w ktrej korzystamy z podstawowych wasno ci geometrycznych odwzorowania i ktr atwo uoglni na przypadek wielowymiarowy. Denicja ta jest analogiczna do opisu (2.5){(2.8) krzywej Sierpiskiego. Podobnie jak w przypadku krzywej Sierpiskiego, denicja w postaci ukadu rwna funkcyjnych prowadzi w prosty sposb do otrzymania konstruktywnego algorytmu generowania punktw krzywej Peano. Podany dalej ukad rwna funkcyjnych jednoznacznie deniuje odwzorowanie I1 ! I2 oraz pozwala na precyzyjne zbadanie jego wasno ci. Dziki temu opisowi mona wyznaczy optymaln warto staej w warunku Holdera dotycz cym dwuwymiarowej krzywej Peano. Niech FP (t) = (xP (t) yP (t)) t 2 I1 oznacza odwzorowanie przeprowadzaj ce punkty z odcinka I1 w punkty kwadratu I2.. Twierdzenie 2.3.1 Odwzorowanie FP (t) = (xP (t) yP (t)) t 2 I1 speniajce warunki:. FP (t) = FP (9t)=3 0 t 1=9. (2.22). xP (t) = 1=3 + xP (t ; 1=9) yP (t) = 1=3 ; yP (t ; 1=9) 1=9 t 1=3 (2.23) xP (t) = 1 ; xP (t ; 1=3) yP (t) = 1=3 + yP (t ; 1=3) 1=3 t 1 jednoznacznie deniuje dwuwymiarow krzyw Peano.. (2.24).