Ci gi liczbowe i ich granice

Ci gi liczbowe i ich granice

Ci giem niesko czonym nazywamy dowoln funkcj rzeczywist okre lon na zbiorze liczb naturalnych. Dla wygody zapisu, zamiast a(n) b dziemy pisa an. Element an nazywamy n-tym wyrazem ci gu. Ci g (an)n∈N oznacza b dziemy tak e symbolem (a1, a2, a3, a4, …).

Ci g (an)n∈N nazywamy

- malej cym, gdy an+1<an dla wszystkich n∈N;

- nierosn cym, gdy an+1≤an dla wszystkich n∈N;

- rosn cym, gdy an+1>an dla wszystkich n∈N;

- niemalej cym, gdy an+1≥an dla wszystkich n∈N.

Je li ci g (an)n∈N spełnia który z powy szych warunków, nazywamy go monotonicznym.

Mówimy, e ci g (an)n∈N jest ograniczony z góry, je li istnieje taka liczba M, e wszystkie wyrazy ci gu s mniejsze od M, czyli gdy

Analogicznie definiujemy ci g ograniczony z dołu. Je li ci g (an)n∈N jest ograniczony z góry i z dołu, to nazywamy go ci giem ograniczonym.

Mówimy, e liczba g jest granic ci gu (an)n∈N gdy dla dowolnie małej liczby dodatniej ε dostatecznie dalekie wyrazy ci gu ró ni si od g o mniej ni ε, czyli gdy

Mówimy wówczas, e (an)n∈N d y lub jest zbie ny do g i piszemy

Ci g, który jak granic g nazywamy zbie nym.

Mówimy, e ci g (an)n∈N d y do niesko czono ci, gdy

M a

N n

M

∃ ∀ <

∈

ε

∀ ∃ ∀ − < ε

>

>

a

g

n n n_{0 0} 0

g a

n

=

∞

lim

M a >

∀

∃

∀

Piszemy wówczas

Analogicznie - (an)n∈N d y do -∞∞∞∞, gdy

Piszemy wówczas

Twierdzenie 1. Je li ci g (an)n∈N jest zbie ny do liczby g, za ci g (bn)n∈N ró ni si od (an)n∈N tylko sko czon ilo ci wyrazów, to ci g (bn)n∈N jest zbie ny do tej samej liczby g.

Je li ci g (an)n∈N d y do ∞ (-∞), to (bn)n∈N tak e d y do ∞ (-∞).

Twierdzenie 2. Je li ci g (an)n∈N jest zbie ny do liczby g, to nie jest zbie ny do adnej innej granicy. Nie d y tak e do ∞ ani do -∞.

Twierdzenie 3. Je li ci g (an)n∈N jest zbie ny do liczby a, za ci g (bn)n∈N jest zbie ny do liczby b, to ci g (cn)n∈N o wyrazie ogólnym cn=an+bn jest zbie ny do liczby a+b. Symbolicznie zapisujemy to w postaci:

Analogicznie

oraz

Je li b≠0, to pocz wszy od pewnego indeksu n0 wszystkie wyrazy ci gu (bn) s ró ne od zera i wówczas

( a

b

) lim a

lim b

lim + = +

( a

b

) lim a

lim b

lim − = −

( a

b

) lim a

lim b

lim ⋅ = ⋅

n n n

n

b a b

a

lim lim = lim

M a

n n n

M

∃ ∀ <

∀

∞

∞

=

→ n

n

a

lim

−∞

∞

=

→ n

n

a

lim

Twierdzenie 4. Je li ci gi (an) i (bn) d do ∞, to ci gi (an+bn) i (an·bn) tak e d do ∞.

Zapisujemy to symbolicznie:

[∞+∞]=∞ oraz [∞·∞]=∞.

Podobnie

[(-∞)+(-∞)]=-∞ oraz [(-∞)·(-∞)]=∞.

Uwaga: Z informacji, e ci gi (an) i (bn) d do ∞, nie mo emy wywnioskowa , jaka jest granica ci gu (an-bn) ani (an/bn). Mówimy krótko, e symbole [∞-∞] oraz [∞/∞] s symbolami nieoznaczonymi.

Twierdzenie 5. Je li ci g (an) jest zbie ny do liczby a, za ci g (bn) d y do ∞, to ci g (an+bn) d y do niesko czono ci. Symbolicznie:

[a+∞]=[∞+a]=∞

Ponadto

[a-∞]=[-∞+a]=-∞

[a/∞]=[a/-∞]=0 oraz - dla a>0-

[a·∞]=∞ i [a·(-∞)]=-∞

Uwaga: Z faktu, e ci g (an) jest zbie ny do zera nie mo na wnioskowa o granicy ci gu (1/an), czyli [1/0] jest symbolem nieoznaczonym.

Przykłady:

Twierdzenie 6. Je li ci g jest zbie ny, to jest ograniczony Uwaga: Istniej ograniczone ci gi, które nie s zbie ne

Twierdzenie 7. (o trzech ci gach) Je li dla ka dej liczby naturalnej n

4 0 3

lim

5 =

− +

+ n n

n

1 2 2

5 lim ₃2 ³ =

+ +

+ n n

n

∞ + =

+ +

− 2 3

5 lim 2

n n

n

n

an≤bn≤cn

i ci gi (an) i (cn) s zbie ne do tej samej granicy g, to ci g (bn) jest zbie ny do g.

Twierdzenie 8.

Ci g rosn cy i ograniczony z góry jest zbie ny.

Ci g malej cy i ograniczony z dołu jest zbie ny.

Ci g ograniczony i monotoniczny jest zbie ny.

Przykłady:

1. Dla dowolnej liczby dodatniej a

2.

3. Je li ci g (an) o wyrazach nieujemnych jest zbie ny do liczby dodatniej a, to

4. Ci g liczbowy o wyrazie ogólnym

jest zbie ny. Granic tego ci gu oznaczamy symbolem e. Liczba e jest liczb niewymiern równ w przybli eniu 2,718282….

5. Dla dowolnego ci gu (an) d cego do niesko czono ci (lub do -∝)

Przykłady:

1.

2.

3.

Twierdzenie 9. Je li f jest jak kolwiek funkcj elementarn (np. funkcj pot gow , wykładnicz , trygonometryczn lub logarytmiczn ), x jest punktem z dziedziny funkcji f, za (x ) – ci giem

1 lim

a =

1 lim

n =

1 lim

a

=

n

n n

a = 1+ 1

a e

an

n

= + 1

1 lim

5 2 5

5 5

2 5

5 =

≤

+

≤

+

≤

⋅

6 26

3

lim 1 2

1 2

lim e

n n

n n

= +

= +

e n

n

n n

1 1 1

1 lim 1 lim

) 1 (

=

− +

=

−

−

⋅

−

Uwaga: Podana wy ej własno wynika z ci gło ci rozwa anych funkcji. Poj cie funkcji ci głej i jej własno ci zostan omówione na nast pnym wykładzie.

Przykłady:

1.

2.

3.

Podci giem ci gu (an) nazywamy ka dy ci g postaci gdzie (kn) jest rosn cym ci giem liczb naturalnych.

Twierdzenie 10. Ka dy podci g ci gu zbie nego jest zbie ny do tej samej granicy.

Wniosek: Je li ci g zawiera dwa podci gi zbie ne do dwóch ró nych granic, to nie jest zbie ny.

( )

( ) ( )

lim f x

= f x

0 0 1 sin

sin

lim = =

n

2 3 4

4

lim −

= =

n

1 6 6

lim

5

3

= =

n

( ) a

Granice funkcji

Załó my, e dana jest funkcja f zmiennej rzeczywistej o warto ciach rzeczywistych okre lona na zbiorze D⊂R zawieraj cym pewne s siedztwo punktu x0 (czyli zbiór postaci (x0-h,x0+h)\{x0}, dla pewnej liczby h>0). Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 granic g, co zapisujemy symbolem

g x

x

f

x

=

→

( ) lim

0

gdy dla ka dego ci gu (xn)n∈N zbie nego do x0, o wyrazach nale cych do zbioru D, ci g (f(xn))n∈N

ma granic g.

Mówimy, e funkcja f ma w punkcie x0 granic ∞∞∞∞ (-∞) i piszemy

∞

→

( ) = lim

0

x

x

f

x

= −∞

→

( ) lim

0

x

x

f

x

gdy dla ka dego ci gu (xn)n∈N zbie nego do x0 , o wyrazach nale cych do zbioru D, ci g (f(xn))n∈N

ma granic ∞ (-∞).

Przykład 1. Funkcja

1 ) 3

( −

= − x x x

f ma w punkcie x0=2 granic –6, ale nie ma granicy w punkcie x1=1.

Funkcja f ma w punkcie x0 granic lewostronn g, co zapisujemy symbolem

g x

x

f

x ₋

=

→

( ) lim

0

gdy dla ka dego ci gu (xn)n∈N zbie nego do x0, o wyrazach nale cych do zbioru D oraz mniejszych od x0, ci g (f(xn))n∈N ma granic g. Analogicznie definiujemy prawostronn granic g w punkcie x0

oraz jednostronne granice niesko czone.

Funkcja zdefiniowana w przykładzie 1 ma w punkcie 1 lewostronn granic ∞, za prawostronn -

∞.

Twierdzenie 1. Funkcja f ma w punkcie x0 granic g wtedy i tylko wtedy, gdy

( ⁰

( ) ) ^.

0

0

δ ε

δ

ε

∀ ∃ ∀ < − < − <

∈

>

>

x x f x g

D x

Twierdzenie 2. Funkcja f ma w punkcie x0 granic ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

( ^{x x f} ( ) ^{x M} )

D x

M

∃ ∀ < − < >

∀

δ

δ 0

0

Twierdzenie 3. Funkcja f ma w punkcie x0 granic wtedy i tylko wtedy, gdy f ma w punkcie x0 obie

Załó my teraz, e funkcja f jest okre lona na zbiorze D zawieraj cym półprost postaci (a,∞).

Mówimy, e funkcja f ma w ∞∞∞ granic g co zapisujemy symbolem ∞

( ) ^{x g}

x

f =

∞

lim

je li dla ka dego ci gu (xn)n∈N , o granicy ∞, ci g (f(xn))n∈N ma granic g.

Analogicznie definiujemy niesko czone granice funkcji f w ∞, oraz granice funkcji f w -∞.

Twierdzenie 4. Funkcja f ma w ∞ granic g wtedy i tylko wtedy, gdy

( ( ) ) ^.

0

ε

ε

∀ ∃ ∀ > − <

∈

>

x K f x g

D x K

Wykorzystuj c twierdzenie o granicach sumy, ró nicy, iloczynu i ilorazu ci gów, otrzymujemy natychmiast:

Twierdzenie 5. (O działaniach algebraicznych na granicach funkcji)

Je eli funkcja f1 ma w punkcie x0 granic g1 oraz funkcja f2 ma w tym punkcie granic g2, to a)

( ^f ( ) ^{x f} ( ) ^x ) ^f ( ) ^{x f} ( ) ^x

x x x

x x

x 1 2 1 2

0 0

0

lim lim

lim

+ =

+

b) _{x x}

( ^f

( ) ^{x f}

( ) ^x )

^f

( ) ^x

^f

( ) ^x

0 0

0

lim lim

lim

− =

−

c) _{x x}

^af ( ) ^{x a}

^f ( ) ^x

0 0

lim lim

=

d)

( ^f ( ) ( ) ^{x f x} ) ^f ( ) ^{x f} ( ) ^x

x x x

x x

x 1 2 1 2

0 0

0

lim lim

lim

⋅ =

⋅

e) o ile granica g2 jest ró na od zera,

( ) ( )

( ) ( )

f x f x

f x f

x x

x x x

x 2

1 2

1

0 0

0 lim

lim lim

→

→

→ = .

Analogiczne równo ci zachodz dla sko czonych granic g1 i g2 dla x→∞.

Je li granice funkcji f1 i f2 s niesko czone, to aby znale granic sumy, iloczynu czy ilorazu wykorzystujemy odpowiednie wyniki dla niesko czonych granic ci gów. W ten sposób otrzymujemy na przykład, e je li funkcja f ma w punkcie x0 granic ∞, to

( ) ⁰

lim 1

0

→^x

f x =

x .