A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FO LIA O ECO N O M ICA 193, 2005
W ła d y s ł a w M il o * , A n e t a L e s z c z y k * * , M a c i e j M a l a c z e w s k i * * * E M P IR Y C Z N A S T A B IL N O Ś Ć M O D E L U W Z R O S T U S O L O W A
Streszczenie. Stabilność jest zjawiskiem wpływającym na m odelow anie ekonomiczne. W artykule rozważamy stabilność jednego ze szczególnych przypadków ogólnego modelu Solowa. D o k o n an a jest rów nież prezentacja wyników oszacow ań bazujących na danych dotyczących gospodarki Polski.
Słowa kluczowe: model Solowa, stabilność.
1. W ST ĘP. ZA ŁO ŻEN IA M E R Y TO RY C ZN E
Niniejszy tekst stanow i ilustrację em piryczną teoretycznych analiz stab il ności z p ra c M ilo i Ł aziń sk a (2003) oraz M ilo i Z g lińska-P ietrzak (1997). P rzykład dotyczy gospodarki Polski z lat 1992-2002. P un k tem wyjścia b ad a ń jest zm odyfikow ane rów nanie Solow a następującej postaci:
d k ( t)
- j j — = s - y ( t ) - ( n + X ) - k ( t ) , (1)
gdzie:
к = k ( t ) - w ielkość technicznego u zb ro je n ia p ra cy , b ę d ą c a fu n k cją czasu; definicyjnie jest to iloraz w artości środkó w trw ałych, używ anych w procesie produkcyjnym do wielkości pracy w łożonej w ów proces;
y = y ( t) - w ielkość wydajności pracy, będąca funkcją czasu; definicyjnie je st to ilo raz w artości p rodukcji tw orzonej w procesie pro d u k cy jn y m oraz w ielkości pracy włożonej w ów proces;
s - średn ia (w badanym okresie) krań co w a skło nn ość do oszczędności (inwestycji), in terp re to w an a ja k o udział d o ch o d ó w zaoszczędzanych przez g o sp o d arstw a dom ow e;
n - średnia (w badanym okresie) sto p a w zrostu zasobów sił pracy; Я - średnia w artość (w badanym okresie) współczynnika deprecjacji k ap ita łu, udziału w artości środków trwałych, zużywanych w procesie produkcyjnym .
* Prof. zw. d r hab., K atedra Ekonom etrii Uniwersytetu Łódzkiego. ** M gr, K ated ra Ekonom etrii Uniwersytetu Łódzkiego.
R ów nanie (1) różniące się od zap rop on ow anego przez Solow a (1956) o efekt deprecjacji k apitału, stanow i in tegralną część op isanego przez niego m o delu w zrostu gospodarczego. We w spom nianym m o d elu za k ła d a się, iż w artość p ro d u k cji jest funkcją czasu. D la szerszych p o trzeb konieczne byłoby w zbogacenie rów nania (1) o kolejne, opisujące zm ienianie się wartości produkcji. Celem niniejszego artykułu nie jest je d n a k pełna em piryczna analiza w zrostu gospodarczego, choć niew ątpliw ie jest o n a w ażna, lecz p ró b a p okazania rachunków stabilnościowych dla jednorów naniow ego m odelu w zrostu. W tym celu dalej zak ładać będziemy, iż у z m o delu (1) stanow ić będzie w artość produkcji osiąganej w punkcie rów now agi i rów now agow ym i są też p ro p o rcje w artości k ap itału i produkcji. W celu ich wyznaczenia skorzystam y z docelow ej w artości środków trw ałych ja k o w artości funkcji produkcji.
2. RACHUNKI STA BILN O ŚCIO W E
Przyjm ijm y oznaczenie:
t o
o raz załóżm y w ielkość produkcji n a poziom ie wielkości osiąganej w punkcie rów now agi:
y ( t ) = y -Z ałóżm y też, że:
к (0) = kQ, k0 > 0 . (2)
Z atem w chwili startow ej posiadam y ustalon ą, d o d a tn ią w artość środków trw ałych. Przy pow yższych założeniach, rów nanie (1) jest postaci:
k ( t ) = s -у — (n + X) ■ k.(t). (3)
Z teorii ró w n ań różniczkow ych (C hądzyński 1994) w iadom o, że rów nanie (3) jest rów naniem różniczkow ym zwyczajnym liniow ym niejednorodnym pierw szego rzędu. O gół rozw iązań rów nan ia (3) jest postaci:
k ( t ) = ( ^ ■ e(n+^ ‘ + y) ■ e <л+д) ' ) y e R . n + A
K a ż d a z funkcji (określona dla ustalonej konfiguracji w artości (s, n, A, y)) należących do powyższej rodziny spełnia rów n an ie (3). S tałą у wy znaczym y, korzystając z w arunków początkow ych (2) o ra z z tw ierdzenia C au ch y ’ego o istnieniu i jednoznaczności rozw iązania p ro blem u C au chy ’ego (C hądzyński 1994; Pelczar i Szarski 1987). D la t = 0 zachodzi:
L S ' y . k ‘ = n + l + y '
skąd:
v - к - - Z 2 - y ~ k° n + A’
zatem poszukiw ana przez nas funkcja d a n a jest w zorem postaci:
k (t) = + ko ' е~(п+Д)' ‘ — • е-<л+Я)-‘. (5)
n + A n + A
Z rów nania (3) widać, że:
k ( t ) = O o k ( t ) = — —z • (6)
Tl ~t Á
Ze w zorów (5) i (6) m ożem y spróbow ać odnaleźć taki p u n k t startow y kQ (który oznaczać będziem y k ’0) , dla którego spełnione jest (6):
n + A n + A n + A n + A
Jed y n ą funkcją z rodziny (5), dla której zachodzi (7), je st funkcja stała postaci:
‘ ‘ « - „ f r m
R ozw ażm y tera z funkcję, k tó ra „ sta rtu je ” z p u n k tu leżącego w bliskim otoczeniu p unktu к'0. Jeżeli nasze rozwiązanie jest stabilne, to lekko zaburzona funkcja nie p ow inna istotnie oddalić się od niego.
<
0
. (9)Z auw ażm y, że:
(10)
bo:
O graniczenie w yrażenia (10) zależy tylko i wyłącznie od zn a k u w yrażenia (n + A). Jeżeli jest to w yrażenie większe od zera, wówczas:
co kończy dow ód stabilności naszego rozw iązania.
W innym p rzypadku, gdy (n + A) jest m niejszy od zera, nie m ożn a ograniczyć w yrażenia (10), co pow oduje, iż jest o no rozbieżne i niestabilne.
Z ak ła d ając zatem , że w artość (n + A) jest d o d a tn ia , m am y zbieżność postaci:
Z n a ją c w arto ści p a ra m e tró w s, n i A d la, np. g o sp o d a rk i P olski, d o k o n ać m ożem y szacunków proporcji, jakie w ystępow ać pow inny pom iędzy w artością środków trw ałych a wielkością prod uk cji, aby proces w zrostu p ro dukcji był stabilny.
( U)
3. OSZACOW A NIA PARAM ETRÓW RÓW NANIA
O szacow ano p aram etry (s, n, A, y) dla g o sp od arki Polski, korzystając z b an k u danych K a te d ry E konom etrii U Ł. D o dyspozycji mieliśm y 41 danych kw artalnych za okres od drugiego k w artału 1992 r. do czw artego
k w artału 2002 r. W przyp ad k u niektórych oszacow ań ro z m ia r p ró b y zm ie niał się w m iarę dostępności danych. W ykorzystaliśm y klasyczną m etodę najm niejszych k w a d rató w (G o ld b e rg er 1972) o ra z p a k ie t k o m p u tero w y E-views®. Szacow aliśm y powyższe param etry , korzystając z następujących rów nań:
a) p aram etr n, czyli stopę wzrostu zasobów pracy, oszacow ano z rów nania postaci:
A L t = n - L , + ę u ,
gdzie:
L, - w ielkość zasobów pracy w okresie t; í i , - składnik losowy;
AL, = L t L,_ |j
b) p a ra m e tr s, czyli krań co w a skłonność d o oszczędzania (inwestycji) oszacow ano z ró w n a n ia postaci:
/, = S -y , + Č 2„
gdzie:
I t - w ielkość realnych nak ład ó w inwestycyjnych o ra z in w esty q i ro z p o czętych w okresie t;
Y, - w ielkość p rodukcji (realnego PK B ) w okresie t; f 2, - składnik losowy;
c) p aram etr X, czyli stopień deprecjacji kapitału, oszacowaliśm y z rów nania postaci:
A K , = I t + X - K t + b t, gdzie:
K t - w arto ść k ap itału fizycznego w okresie i;
I, - w ielkość realnych nakład ów inwestycyjnych o ra z inwestycji rozp o czętych w okresie i;
£3I - składnik losowy; A K . ^ K - K ^ .
Oszacow ania te wyglądają następująco dla p aram etru s, będącego krańcow ą skłonnością d o oszczędzania (inwestycji):
D ependent Variable: RJOINSQ M ethod: Two-Stage Least Squares Date: 11/04/03 Time: 14:33 Sample(adjusted): 1994:1 2003:1
Included observations: 37 after adjusting endpoints Instrum ent list:
Variable Coefficient Std. E rror í-Statistic Prob.
RGDP9b 0.106812 0.007183 14.87058 0.0000
R-squared 0.288067 Mean dependent var 11369.64
Adjusted R-squared 0.288067 S.D. dependent var 5511.883
S.E. of regression 4650.713 Sum squared resid 7.79E + 08 D urbin-W atson stal 1.975502
Z auw ażm y, że w powyższym przypadku otrzy m an o stosun ko w o wysoki stopień zależności pom iędzy zmiennymi objaśn iającą i o bjaśn ian ą.
D la p aram etru n, będącego sto p ą w zrostu zasobów pracy, szacow ania nie m ogły być jednoznaczne. Spośród kilku m ożliw ych definicji zasobów pracy (m oże to być ludność ak tyw na zaw odow o, pracujący, zatru dn ien i itp.) ciężko jest w ybrać tę, k tó ra o d pow iada naszem u pojęciu zasobów pracy. Z decydow aliśm y się zatem arbitralnie na przyjęcie definicji zasobów pracy ja k o liczby o só b aktyw nych zaw odow o (zgodnie z b ad a n ia m i B A EL).
O szacow ania dla tego przypadku w yglądają następująco:
D ependent Variable: ÜPLOEQ M ethod: Two-Stage Least Squares D ate: 11/04/03 Time: 14:37 Sample(adjusted): 1992:3 2003:1 Included observations: 41
Excluded observations: 2 after adjusting endpoints Instrum ent list:
Variable Coefficient Std. E rror £-Statistic Prob.
PLOEQ 0.022137 0.024400 0.907255 0.3697
R-squared 0.000007 M ean dependent var 325.5122
Adjusted R-squared 0.000007 S.D. dependent var 2297.373
S.E. o f regression 2297.365 Sum squared resid 2.11E + 08 D urbin-W atson stat 1.093729
Istotne jest spostrzeżenie, iż w artość odchylenia standardow ego estym atora naszego p a ra m e tru jest w ysoka. O znacza to, iż nasze oszacow anie m oże sp o ro różnić się od oczekiwanej w artości tego param etru .
D la p a ra m e tru X, będącego współczynnikiem deprecjacji k ap itału , osza cow ania przybierają postać:
D ependent Variable: D RP H M ethod: Two-Stage Least Squares D ate: 11/04/03 Time: 14:56 Sample(adjusted): 1994:1 2000:4
Included observations: 28 after adjusting endpoints
D R P H = R IO IN S Q + C (i) R P H
Instrum ent list:
Coefficient Std. E rror i-Statistic Prob.
C ( l) - 0.008279 0.010147 -0 .8 1 5 8 7 0 0.4217
R -squared - 0.380652 M ean dependent var 7206.476
Adjusted R-squared - 0.380652 S.D. dependent var 19576.54
S.E. of regression 23002.66 Sum squared resid 1.43E + 10
D urbin-W atson stat 1.287656
T u także zaskakuje nas w artość odchylenia stan d ard o w eg o esty m ato ra p a ra m e tru X. P ow oduje to konieczność przyjęcia d la naszych rozw ażań solidnego m arginesu błędu. Z n ak p aram etru jest ja k najbardziej zgodny z oczekiw aniam i i wcześniejszymi założeniam i.
4. O BLICZEN IA I W NIOSKI
D o k o n a jm y zatem wyliczeń p ro p o rcji pom iędzy w a rto ścią śro dk ów trw ałych a PKB:
fc(i) = - ^ - - y = 7,707606 - y , n + A
co zinterpretow ać m ożna, iż w punkcie rów now agi w artość środ kó w trw ałych osiągnie o k o ło 770% PKB.
O znacza to, że stabilny układ ekonom iczny g osp od arki Polski zm ierzać pow inien do sytuacji, w której w artość środków trw ałych jest sied m io krot nie w iększa od w artości PK B , osiągniętej przy w ykorzystaniu tych śro d ków w produkcji. D o d a ć należy, że w p ró b ie stosunek ten przeciętnie wyniósł 4,456, jego m ediana w ynosiła 4,36, odchylenie stan d ard o w e 0,49, m aksim um - 5,465, a m inim um - 3,69. Z atem aby osiągnąć wyliczoną przez n as w arto ść, należy zw iększyć w arto ść śro d k ó w trw ały ch , z a a n gażow anych w proces produkcyjny. Jest to m ożliw e jedy nie dzięki zwięk
szeniu n a k ła d ó w inw estycyjnych, co w dalszym ciągu je st problem em w polskich w arunkach.
Zauw ażyć należy, iż oszacow ania dw óch ostatnich p aram etró w obarczone są dużym błędem . O znaczać to m oże, iż p ra w d o p o d o b n a jest sytuacja, w której m ianow nik w yrażenia (6) jest liczbą ujem ną. N ie oznacza to jednakże, że w artość śro dków trw ałych pow in na być ujem ną w ielokrotnością PK B . Z auw ażm y, iż kiedy m ianow nik w yrażenia (6) jest liczbą ujem ną, wówczas, na m ocy brak u ograniczenia w yrażenia (10), rozw iązanie nasze jest niestabilne i rozbieżne.
E konom icznie oznacza to d la nas tyle, iż spadek sto py w zrostu zasobów pracy i osiągnięcie przez nią liczb ujem nych w połączeniu z w ystarczająco dużym stopniem deprecjacji kapitału pow odow ać m oże w gosp od arce olbrzy m ie wręcz szkody, których bezpośrednią konsekw encją jest b ra k m ożliwości znalezienia p u n k tu rów now agi na ścieżce długookresow ego w zrostu. M ożn a uznać to za pew ne przesłanie do elit rządzących i choć nie niesie ono nowej treści, pokazuje jed n ak dosadne skutki braku odpowiedniej polityki g ospodar czej. K onieczne są w naszym kraju wysokie nakłady inwestycyjne oraz rozsąd n a polityka rynku pracy, p row adząca do zw iększania się zasobów pracy.
LITERATURA
Chądzyński J. (1994), Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, W ydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
G oldberger A. S. (1972), Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa.
M ilo W., Łazińska A. (2003), Warunki dostateczne stabilności wybranych jednorównaniowych
modeli wzrostu, opracowanie KBN, nr 2H02B 025 23.
M ilo W., Zglińska-Pietrzak A. (1997), Stabilność, atraktory stabilności i chaosu, opracowanie w K BN , nr 1 H02B 01 31 1.
Pelczar A., Szarski J. (1987), Wstęp do teorii równań różniczkowych. Część I: Wstęp do teorii
równań zwyczajnych i równań cząstkowych pierwszego rzędu, PW N , W arszawa.
Solow R. (1956), A Contribution to the Theory o f Economic Growth, „Q uarterly Journal of Economics” , February.
Władysław Milo, Aneta Leszczyk, Maciej Malaczewski
AN E M PIR IC A L STABILITY O F TH E SO LO W G R O W TH M O D EL Summary
Stability is a phenomenon that has an influence on economic modeling. We consider stability o f one o f special cases o f General Solow Model. The paper contains also results of estim ation based on d a ta o f the Polish economy.
