Analiza kinematyczna metodami numerycznymi

(1)

INSTYTUT KONSTRUKCJ MASZYN

LABORATORIUM

Z TEORII

MECHANIZMÓW I MASZYN

ZAKŁAD TEORII MECHANIZMÓW I MANIPULATORÓW

NR ĆW.:

TEMAT: Analiza kinematyczna mechanizmów metodami

numerycznymi

1. WPROWADZENIE

Do wyznaczania parametrów kinematycznych mechanizmów (prędkości, przyspieszenia) oraz innych wielkości jak np. krzywizna toru, można wykorzystać metodę różnic skończonych. Jej idea sprowadza się do zastąpienia nieskończenie małych przyrostów występujących w rachunku różniczkowym, wielkościami małymi ale skończonymi (czyli zastosowaniem rachunku różnicowego).

Pojęcie analogu prędkości oraz analogu przyspieszenia zostanie przedstawione na przykładzie mechanizmu krzywkowego.

Analog prędkości (prędkość geometryczna)

α d s d ' s =

Wiedząc, że przemieszczenie popychacza s zależy od kąta obrotu krzywki α, a ten jest zależny od czasu t co zapisać w postaci

[

(t)

]

s

s=

α

.

Różniczkując powyższą zależność po czasie otrzymujemy

ω α α ' s dt d d s d dt s d = = gdzie:

ω – prędkość kątowa krzywki.

Analog przyspieszenia (przyspieszenie geometryczne) – zwane również charakterystyką mechanizmu krzywkowego 2 2 d s d s

α

= ′′

Różniczkując po czasie zależność na prędkość popychacza otrzymujemy

gdzie:

ε – przyspieszenie kątowe krzywki. Jeśli

ω

= const to:

2 " 2 2 s dt s d

_ω

= _. y x

α

ω

s O A B Rys. 1 Mechanizm krzywkowy

ε

ω

α

' 2 " 2 2 2 2 2 2 2 s s dt d d ds dt d d s d dt d d s d dt d dt s d + = = +       =       =

(2)

2. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest przedstawienie praktycznego zastosowania metody różnic skończonych do analizy kinematycznej mechanizmów. Ćwiczenie będzie obejmowało wyznaczanie analogów prędkości i przspieszenia na podstawie pomiarów położeń ogniw. 3. PRZEBIEG ĆWICZENIA

• Wyznaczanie analogów prędkości i przyspieszenia popychacza w mechanizmach krzywkowych

1. Zmierz mimośród ustawienia popychacza w stosunku do osi obrotu krzywki (e), zanotuj jaki jest zastosowany popychacz (ewentualnie dokonaj pomiaru średnicy rolki), zmierz również wymiary gabarytowe krzywki (rmin , rmax), wykonaj szkic stanowiska pomiarowego z zaznaczeniem głównych wymiarów.

2. Dokonaj pomiaru wzniosu popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki (co 10o). 3. Wylicz s_i' oraz s_i" wyniki zapisz w tabeli 1.

Tabela 1.

i

α

ι

α

ι si s_i' s_i"

[-] [deg] [rad] [m] [m/rad] [m/rad2] 0 0=360 1 10 2 20 ... ... ... ... 35 350 36 360=0

Rys. 2. Schemat stanowiska pomiarowego e y x ω 1 2 3 4 1 - krzywka 2 - popychacz 3 - kątomierz 4 - czujnik zegarowy

(3)

4. Sporządź wykresy si(

α

ι),s (i'

α

ι),

"

i

s (

α

ι) (gdzie:

α

ι - jest kątem obrotu krzywki).

5. Wyciągnij wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia

Uwaga analogi prędkości i przyspieszenia wylicz z zależności:

α

∆

⋅ − = + − 2 s s s' i 1 i 1 i , 2 1 i i 1 i " i s s 2 s s

α

∆

− + − ⋅ + = .

• Wyznaczanie analogów prędkości i przyspieszenia dowolnego punktu mechanizmu płaskiego

1. Zmierz wymiary podstawowe mechanizmu, wykonaj szkic stanowiska pomiarowego z zaznaczeniem głównych wymiarów oraz przyjętego układu współrzędnych.

2. W przyjętym stałym układzie współrzędnych wyznacz położenia zadanego punktu mechanizmu dla określonych położeń ogniwa napędowego. Przykładowy mechanizm przedstawiono na rys. 3, zaś powiększony wykres toru punktu P na rys. 4.

Rys. 3. Schemat badanego mechanizmu

Rys. 4. Tor punktu P

3. Wylicz składowe analogu prędkości i analogu przyspieszenia x'_i ,y'_i ,x_i" ,y"_i wyniki zapisz w tabeli 2.

Uwaga analogi prędkości i przyspieszenia wylicz z zależności: P B 3 2 D C tor punktu P 1

α

x y x y Pi yi xi Pi+1 Pi-1

(4)

α

∆

⋅ − = + − 2 x x x' i 1 i 1 i , _⋅

_∆

_α

− = + − 2 y y y' i 1 i 1 i , 2 1 i i 1 i " i ) ( x x 2 x x

α

∆

− + − ⋅ + = , " i 1 i₂ i 1 i ) ( y y 2 y y

α

∆

− + − ⋅ + = .

4. Sporządź wykresy y_i(x_i ),x'_i(α_i),y_i'(α_i),x"_i(α_i),y_i"(α_i ) (gdzie: αι - jest kątem obrotu

ogniwa napędowego. Tabela 2.

i αι αι xi yi x _i' y '_i x "_i y "_i

[-] [deg] [rad] [m] [m] [m/rad] [m/rad] [m/rad2] [m/rad2] 0 0=360 1 10 2 20 ... ... ... ... 35 350 36 360=0

5. Wyciągnij wnioski z przeprowadzonego ćwiczenia 4. PYTANIA KONTROLNE

1. Sposoby oceny poprawności otrzymanych wyników (pochodzących z metody różnic skończonych)

2. Metody „wygładzania” wykresów prędkości i przyspieszenia otrzymanych z metody różnic skończonych

3. Przykłady zastosowania metody różnic skończonych do analizy kinematycznej mechanizmów, wyznaczanie podstawowych parametrów kinematycznych

4. Założenia metody aproksymacji, warunki brzegowe dla badanego mechanizmu krzywkowego

5. Funkcje typu „spline” - warunki sklejania 6. Analog prędkości i przyspieszenia

7. Podstawowe wiadomości o metodzie różnic skończonych 5. LITERATURA

[1] - Młynarski T., Listwan A., Pazderski E.: Teoria maszyn i mechanizmów, cz. III Analiza kinematyczna mechanizmów, Politechnika Krakowska, Kraków 1992, (str. 269-288). [2] - Olędzki A.: Teoria maszyn i mechanizmów, WNT, Warszawa 1987, str. 54-58

(5)

WZÓR ARKUSZA SPRAWOZDAWCZEGO INSTYTUT KONSTRUKCJI MASZYN

LABORATORIUM

z TEORII

MECHANIZMÓW I MASZYN

ZAKŁAD TEORII MECHANIZMÓW I MANIPULATORÓW NR ĆW.:

_TEMAT:

Rok akad. ... Grupa: ... Zespół: ... Data: ... Członkowie zespołu: 1. ... 2. ... 3. ...

1. Schemat i opis stanowiska pomiarowego 2. Zestawienie wyników pomiarów

3. Opracowanie wyników pomiarów (zgodnie z instrukcją do ćwiczenia) 4. Wnioski