Bijdrage tot de stochastiek van het telefoonverkeer, in het bijzonder van de volkomen bundel

lljc^X

Ci>

BIJDRAGE TOT DE STOCHASTIEK VAN

HET TELEFOONVERKEER, IN HET

BIJZONDER VAN DE VOLKOMEN

BUNDEL

P R O E F S C H R I F T

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT, OP G E 2 : A G VAN DE RECTOR MAG-NIFICUS Dr O. BOTTEMA, HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER ALGEMENE WETEN-SCHAPPEN, VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 6 MEI 1953, DES NAMIDDAGS TE 2 UUR

DOOR

JOB GILTAY

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR GEBOKEN TE ROTTERDAM

UITGEVERIJ IXCELSIOR - s-GRAVENHAGE

DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOREN

Ran de nagedachtenis van mijn Ouders

I N H O U D

Hoofdstuk

I . ne methode van de s t a t i o i i n a i r e s t a t i s t i e k 7

I I . Analyse der duurverdelingen 18 I I I . Over de invloed van de gespreksduurverdeling op de

blokkeringskans bij een oepeAte volkomen bundel 25 IV. Generalisering van het blokkeringsvraagstuk op de

volkomen bundel 34 V. Over verkeersdeterminanten 44

VI. Vergelijking van blokkerIngskansen bij gelijke t o t a l e

verkeersdichtheid 51 VII. De blokkeringskans op eenvoudige schalmsysternen 61

VIII. Benaderingsmethoden bij tiet oplossen van b a l a n s

-vergelijkingen 73 IX. De blokkeringskans in eea o p r o e p z o ^ e r t r a p , waarin

t r a n ^ o s l t i e i s t o e g ^ a s t 78

L i t t e r a t u u r 94 Survey 95

H o o f d s t u k I

D E M E T H O D E V A N D E S T A T I O N N A I R E S T A T I S T I E K

1.1. Telefoonverkeer bezien u i t een s t o c h a s t i s c h oogpunt Het v e r k e e r op een t e l e f o o n n e t w i k k e l t zich i n de t i j d i n hoofdzaak af a l s een van t i j d t o t t i j d i n gebruik of „bezet" z i j n van reeksen t o e s t e l l e n en verbindingsketens. Dit gebruik geschiedt in h e t algemeen ten behoeve van tussen t e l k e n s twee der op h e t telefoonnet aangesloten abonnétoesteil en t e vormen verbindingen, waarover een g e b r e k moet kunnen worden gevoerd.

Het t o t stand komen van een verbinding begint met een hande-l i n g van een gebruiker van e(;n abonnétoestehande-l. Ehande-lke gebruiker van h e t betrokken t o e s t e l wordt kortheidshalve de abonné genoemd en de bedoelde handeling z i j n oproep. Meestal volgt op de oproep een verbinding met de gewenste andere abonné. Onafhankelijk van waart o e de verbinding wordwaart gebruikwaart h e e waart de p e r i o d e waarin de v e r -binding b e s t a a t h e t gesprek en de duur daarvan de gespreksduur, In de meeste gevallen vrordt deze duur vereenzelvigd met de duur van h e t bezet z i j n der diverse t o e s t e l l e n .

Economische overwegingen verhinderen in h e t algemeen h e t i n -s t a l l e r e n van zoveel t o e -s t e l l e n en verbinding-sketen-s, dat een op-roep van een abonnl a l t i j d onmiddellijk t o t h e t vormöi van de ge-wenste verbinding zou kunnen leiden. Worden reeds veel gesprekken gevoerd en i s dus veel materiaal bezet, dan kan het gebeuren, dat de oproep door materiaalgebrek n i e t t o t een gesprek kan l e i d e n . De twee b e l a n g r i j k s t e mogelijkheden z i j n dan:

a) de abonne wordt i n de gelegenheid g e s t e l d op h e t beschikbaar komen van ontbrekend m a t e r i a a l t e wachten. Zijn oproep stag-neert dan;

b) de abonné moet z i j n oproep a l s mislukt beschouwen en zal, bij voorkeur n i e t o n m i d d e l l i j k daarop, een nieuwe oproep moeten maken. In d i t geval onden'ond de abonnl blokkering.

De verschijnselen bij een telefoonverkeer worden binnen de gez i c h t d i r i n g van de stochastiek getrokken door omtrent de t i j d s t i p pen der oproepen en de gespreksduren v e r o n d e r s t e l l i n g e n van s t o -c h a s t i s -c h e aard t e maken. Een b e l a n g r i j k doel hiervan i s t o t een

s c h a t t i n g t e komen van de kans, dat een oproep van een abonné blokkering zal ondervinden.

Een eenvoudig voorbeeld van een s t e l s e l van d e r g e l i j k e veron-d e r s t e l l i n g e n volgt h i e r :

1) Voor elk gesprek, dat op zeker ogenblik wordt aangetroffen, wordt de kans, dat het in de volgende oneindig k o r t e t i j d dt afbreekt, g e l i j k aan h e t product van een constante met dt ge-s t e l d .

2) De kans, dat een abonné, die r e e d s spreekt, een oproq) maakt, i s n u l .

3) De kans, dat een op zeker ogenblik n i e t sprekend aangetroffen abonné in de volgende oneindig k o r t e t i j d dt een oproep maakt, wordt g e l i j k aan h e t product van een constante met dt gesteld. 4) Een oproep, d i e b l o k k e r i n g o n d e r v i n d t , v e r d w i j n t zonder de

verdere loop der dingen t e beïnvloeden.

1.2. De vol kon en t o e g a n k e l i j k e bundel

In een t e l e f o o n n e t z i j n op v e r s c h i l l e n d e p l a a t s e n een aantal verbindingsketens van in hoofdzaak g e l i j k e functie aan t e wijzen. Een verzameling van d e r g e l i j k e k e t e n s met in hoofdzaak g e l i j k e functie noemt men een bundel.

Voor h e t opbouwen van een v e r b i n d i n g t u s s e n twee abonné' s, naar a a n l e i d i n g van een oproep van één hunner, moeten u i t v e r -schillende bundels verbindingsketens t o t een ^reekweg worden ge-koppeld. Een v o l l e d i g telefoonnet i s t e ingewikkeld, dan dat h e t probleem van de kans op blokkering voor h e t opbouwen van een vol-l e d i g e spreekweg d i r e c t stochastisch zou kunnen worden overzien. Ter v e r k r i j g i n g van een i n z i c h t wordt daarom begonnen met een-voudige geïdealiseerde gevallen t e beschouwen.

Wij beginnen met de koppeling tussen een bundel abonnélijnen en een bundel van daarmede r e c h t s t r e e k s koppel bare v e r b i n d i n g s -k e t e n s . Voor de eenvoud wordt a l l e e n gedacht aan de oproepen van de betrokken abonné's zelf en de d a a r u i t voortvloeiende gesprek-ken, d . i . h e t uitgaande verkeer der abonné's, doch wordt afgezien van de gesprekken, die de betrokken abonné's voeren naar a a n l e i -ding van oproepen van anderen, dus van h e t inkomende verkeer der abonné' s.

Van de koppelorganen u i t bezien komen de oproepen van de abonn é l i j abonn e abonn ; de buabonndel aboabonnabonnélijabonneabonn abonnoemeabonn wij daarom eeabonn buabonndel I abonn gangen. De andere verbindingsketens vormen dan een bundel u i t g a n -gen.

Wanneer zoveel koppelmogelükheden en zoveel uitgangen aanwezig z i j n , dat onder a l l e omstandigheden elke ingang van een u i t g a n g kan zijn voorzien, spreken wij van een onbeperkte bundel u i t g a n -gen, anders van een beperkte bundel; op deze l a a t s t e kan een op-roep van een abonné dus sons blokkering ondervinden.

Als deze blokkering u i t s l u i t e n d t e wijten kan z i j n aan een t e -8

kort aan uitgangen en niet aan een tekort aan koppelmogelijkheden vormt de bundel uitgangen voor de bundel ingangen een volkomen

toegankelijke bundel; t e r bekorting spreekt men ook dikwijls van een volkomen bundel. De bundel ingangen i s h i e r geschetst a l s een bundel abonnélijnen, maar kar ook een bundel andere verbindings-ketens z i j n .

1.3. Voorbeeld van verkeer op een volkomen bundel

Wij beschouwen een volkomen bundel van twee uitgangen, waarop 3 ingangen, geTOrmd door 3 abcDunélijnen, zijn aangewezen. Wij ver-o n d e r s t e l l e n in ver-overeenstemiring met h e t in 1.1 gegeven s t e l s e l veronderstellingen het volgende:

1) De kans, dat een gesprek iDinnen een t i j d dt afbreekt bedrage dt.

2) Een abonné, die spreekt, maakt geen oproep.

3) De kans, dat een abonné, wanneer h i j n i e t spreekt, binnen een t i j d dt een oproep maakt, bedraagt voor de abonné's 1, 2 en 3 resp. a^^dt, a-^dt en a^dt.

l*) Geblokkeerde oproepen verdwijnen spoor]oos, 5) De abonné' s hebben geen inliomend verkeer.

1.31. Onderscheiding van v e r s c h i l l e n d e toestanden

De kans, dat een oproep Viui een abonné blokkering ondervindt heet de blokkeringskans van ds betrokken abonné. De gemaakte ver-onderstellingen zijn voldoende om de blokkeringskansen der abonné' s te berekenen. Dit geschiedt a l s volgt. Men begint v e r s c h i l -lende mogelijke toestanden vaji het beschouwde d r i e t a l abonné's t e beschouwen, in d i t geval zeven verschillende toestanden. Deze zijn:

symbool kans i) geai enkele abonné spreekt O (0) 2) abonné 1 spreekt 1 (1) 3) abonné 2 spreekt 2 (2) 4} abonné 3 p r e e k t 3 (3) 5) de abonné' s 1 en 2 p r e k e n 1,2 ( 1 , 2) 6) de abonné's 1 en 3 p r e k e n 1,3 (1,3) 7) de abonné's 2 en 3 spreken 2,3 (2,3)

Een toestand, waarbij de abonné's a l l e d r i e spreken, i s onmo-g e l i j k , omdat er maar 2 uitonmo-ganonmo-gen z i j n . Elke toestand kan door het d a a r a c h t e r g e p l a a t s t e sjmbool worden aangeduid. Voor e l k e toestand i s een zekere kans aan t e geven, dat z i j op een w i l l e

k e u r i g ogenblik wordt aangetroffen, deze kans wordt aangeduid door het tussen haakjes g e p l a a t s t e toestandssymbool ( z i e l a a t s t e kolom). Daar noodzakelijk op elk ogenblik eai der zeven t o e s t a n -den aanwezig i s , heeft men:

(0) + (1) + (2) + (3) + (1,2) + (1,3) + (2,3) = 1 . Deze v e r g e l i j k i n g noemen wij de normeringsvergelijking.

1.32. De blokkeringskansen

Wanneer de kansen voor de zeven toestanden bekend z i j n , vindt men gemakkelijk de blokkeringskansen.

De abonné 1 kan geen oproep maken a l s een der toestanden 1, 1,2 of 1,3 b e s t a a t , want dan spreekt h i j zelf. In de overige kan h i j oproepen maken. Alleen a l s de toestand 2,3 b e s t a a t ondervindt z i j n oproep blokkering.

De blokkeringskans B^ i s de kans voor de abonné,1, dat, a l s h i j e&i oproep kan maken, deze blokkering ondervindt. De abonné 1 kan alleen een oproep maken a l s h i j n i e t spreekt, d.w.z. a l s een der toestanden O, 2, 3 of 2,3 b e s t a a t . Men vindt dus voor Bx de voorwaardelijke waarschijnlijkheid:

(0) + (2) + (3) + (2,3)

Bs en Ba worden door cyclische verwisseling gevonden.

Het g a a t e r dus om de zeven t o e s t a n d s k a n s e n t e berekenen, waartoe buiten de n o r m e r i n g s v e r g e l i j k i n g nog een a a n t a l andere vergelijkingen gevonden moeten worden.

1.33. O p s t e l l i n g der balansvergelijkingen

De toestand 1 kan door verdwijnen van het gesprek in de t o e stand O overgaan en door verschijnen van een oproep in de t o e -stand 1,2 of de toe-stand 1,3.

Daarentegen kan de t o e s t a n d 1 o n t s t a a n u i t de t o e s t a n d O, doordat de abonné 1 een oproep maakt, en kan z i j ontstaan u i t de toestanden 1,2 en 1,3 door h e t verdwijnen van het gesprek van de abonné 2 resp. 3.

Indien een s t a t i o n n a i r e toestand i s ingetreden zullen de kan-sen op h e t verdwijnen van de t o e s t a n d 1 en op h e t o n t s t a a n van d i e toestand, beide in een t i j d dt, gelijk moeten z i j n . Men vindt zo:

(1) dt + (1) Ozdt + (1) Oadt = (0) a^dt + (1,2) dt + (1.3) dt

of

{l + 02 + og} (1) = oi (0) + (1.2) + ( 1 , 3 ) .

Een d e r g e l i j k e v e r g e l i j k i n g noemen wij een balansvergelijking. Voor elke toestand i s er éér op t e s t e l l e n . Men vindt dus even-veel vergelijkingen a l s er onbekende toestandskansen z i j n . De gelijkingen z i j n homogeen en afhankelijk, daar a l s men de ver-dwijnkansen steeds links s c h r i j f t , hun som een i d e n t i t e i t i s . Men kan er i n h e t algemeen j u i s t de verhoudingen der toestandskansen u i t bepalen en vervolgens de absolute waarden der toestandskansen met de normeringsvergelijking berekenen.

In de meeste berekeningen in de l i t e r a t u u r wordt, teneinde deze betrekkingen t e vinden, h e t bestaan van een s t a t i o n n a i r e t o e stand v e r o n d e r s t e l d . Met h e t bestaan van een s t a t i o n n a i r e t o e -stand wordt bedoeld, d a t de v e r s c h i l l e n d e toe-standskansen n i e t van de t i j d afhangen. Deze s t a t i o n n a i r e toestand i s een s t a t i s t i -sche toestand en heeft n i e t s t e maken met de door ons onder-schei- onderschei-den b e z e t t i n g s t o e s t a n d e n van de volkomen bundel. Men kan daarom b e t e r van een s t a t i o n n a l r b e s t e l spreken. Vat men h e t samenstel van toestandskansen op a l s een s t a t i s t i e k , dan komt d i t neer op de v e r o n d e r s t e l l i n g , dat deze s t a t i s t i e k n i e t verandert, m.a.w. s t a t i o n n a i r i s . Wij v e r o n d e r s t e l l e n dus h e t bestaan van een s t a -t i o n n a i r e s -t a -t i s -t i e k . Door Rrlang werd he-tzelfde begrip aangeduid a l s jnethode van h e t s t a t i s t i s c h evenwicht" ( L l t t . 1).

1.4. De s t a t i o n n a i r e s t a t i s t i e k a l s e i n d s t a t i s t l e k

In een voetnoot ( L i t t . 2) w i j s t POLLACZEK er op, dat van de in deze v e r o n d e r s t e l l i n g veAregen uitkomsten nog afzonderlijk bewe-zen moet worden, dat zij een :physische betekenis hebben, daar n i e t i s aangetoond, dat een s t a t ; . o n n a i r e s t a t i s t i e k in het betrokken geval mogelijk i s . Men moet d a a r b i j in h e t oog houden, dat h e t f e i t , d a t de bedoelde o n d e r s t e l l i n g in een bepaald geval t o t een uitkomst l e i d t , zeker nog n i e t het bedoelde bewijs o p l e v e r t .

Het i s ons gebleken, dat h e t bewijs der physische b e t e k e n i s der uitkomsten in een belangrijke groep van gevallen geleverd kan worden door wel de gegevens van h e t vraagstuk tijdsonafhankelijk t e k i e z e n , doch de m o g e l i j k h e i d van t i j d s a f h a n k e l i j k h e i d der toestandskansen open t e l a t e i .

De uitdrukkingen, die a l d u s voor deze kansen worden gevonden maken h e t mogelijk het verloop van de toestandskansen na t e gaan a l s wordt uitgegaan van een bepaalde s t a t i s t i e k ( b e g i n s t a t i s t i e k ) .

1.41. Het beschouwde physische systeem

Wij beschouwen een physisch systean, waarvan de momentele t o e -stand s t e e d s kan worden beschreven a l s één van m v e r s c h i l l e n d e toestanden, waarin h e t kan verkeren en die a l s de toestanden 1, 2 , . . . m kunnen worden aangeduid.

Verder wordt aangenomen, dat a l s de toestand j (j = 1, ...m) op zeker ogenblik aanwezig i s , er een kans

a..dt

i s , dat zich binnen een t i j d dt een gebeurtenis voordoet, die de t o e s t a n d j voor de t o e s t a n d i (i j^ j) doet p l a a t s maken (i = = l , . . . m ; doch j uitgezonderd).

De kans, dat het systeem ten t i j d e t in de toestand k v e r k e e r t , wordt voorgesteld door iv^(,t), (k = l , . . . m ) .

Pe verzameling der m grootheden Wi^(t), (k = l , . . . m ) , voor een bepaalde waarde van t, wordt de s t a t i s t i e k van het systeem op het overeenkomstige t i j d s t i p genoemd.

Wij zullen in het volgende de grootheden u'j^(t) onderzoeken. Het zal blijken, dat men t o t een zeer algemene conclusie kan geraken.

1.42. De n o n i e r l n g s v e r g e l i j k i n g en de b a l a n s v e r g e l i j k i n g e n N a t u u r l i j k moet op elk ogenblik t voor de s t e e d s door O en 1 begrensde grootheden wj^^t), ...w (t) de normeringsvergelijking

U'i(t) + w^it) + . . . w^(t) = 1 . (1) gelden.

Verder v i n d t men betrekkingen tussen de genoemde grootheden door de s t a t i s t i e k e n op de ogenblikken t en t +dt te v e r g e l i j k e n . Daartoe moeten e e r s t enige kansen berekend worden.

De kans, dat ten t i j d e t de toestand j b e s t a a t en binnen een i n f i n i t e s i m a l e t i j d dt in de toestand i overgaat, i s :

wj(,t) a^jdt .

De kans, dat ten tijde t de toestand i niet bestaat, doch deze toestand binnen een tijd dt ontstaat, vindt men door de voorgaande kans over alle waarden van j , die van i verschillen, te sommeren. Zij wordt dus voorgesteld door:

1 wAt) a. . dt . (2)

;Vi •' •'

De kans, dat a l s ten t i j d e t de toestand i b e s t a a t , deze b i n -nen een t i j d dt in een andesre overgaat, i s b l i j k b a a r :

T a , , dt . Jit^ n

De kans, dat als ten tijde t de toestand i bestaat, deze bin-nen een tijd dt niet verdwijnt, is de complementaire kans van de voorgaande en dus:

1 - 2 a.. dt . jAi ^'

De kans, dat ten tijde t de toestand i bestaat en deze binnen een tijd dt niet verdwijnt, is dus:

w.{t) {l - y. «.. dt) . (3)

De kans, dat ten t i j d e t ^ dt de toestand i b e s t a a t , i s b l i j k -baar de som der door (2) er (3) gegeven kansen. Wij vinden dus:

u).(t + dt) = u).(t) {] - 2 a . . dt} + y, a. . w.(t) .

' * j,ii } ' j^i 'J J

Door h e t e e r s t e l i d volgens TAYLOR t e ontwikkelen en groothe-den welke de factor dt^ bevatten t e verwaarlozen (stilzwijgend i s d i t ook reeds in h e t voorgiiande geschied) blijven s l e c h t s termen met de factor dt over. Deelt men door deze factor en s c h r i j f t men t e r bekorting en voor de symmetrie:

2 « . . = - « . . ,

_{j i I I '}

jVi (i = 1. .m),

(4) dan komt men aldus t o t de volgende balansvergelijkingen:

jf^iit] = 2 a.^. wj(t) , ( i = \,...m). (5) Voor de algemene oplossing van d i t s t e l s e l van m simultane l i -n e a i r e d i f f e r e -n t i a a l v e r g e l i j k i -n g e -n va-n de e e r s t e orde (5) i s va-n belang de m-degraadsvonn in n: A (H) « 1 1 - \i. « 1 2 . . . _IR '2.

a

« - 2 • • • « « . - ^ (6)

Blijkens (4) is de som der grootheden a in elke kolom der de-terminant nul.

Men heeft dus

A (0) - O

en bijgevolg heeft de vergelijking in [i:

A ( W = O

(7)

minst«is één wortel n u l .

Bewezen zal worden, dat de van nul v e r s c h i l l e n d e w o r t e l s van de v e r g e l i j k i n g (7) elk een negatief reëel deel hebben. Hierbij zal gebruik worden gemaakt van een bij M. PARODI ( L i t t . 3) aangetrof-fen gedachtengang. Deze b e z i g t een aan J . HADAIIARD ( L i t t . 4 en 5) toegeschreven determinantentheorema.

1.43. Enige eigenschappen van deteralnanten Bovenbedoeld theorema formuleren wij a l s volgt:

Indien de (eventueel conplexe) elementen van een determinant

D =

0 . 1 . . . o » .

(8)

voldoen aan de ongelijkheden:

l « i i l > 2 IJ ( i = 1 , . . . m), (9) i s D cmgelijk aan n u l .

Eai eenvoudig bewijs i s h e t volgende: S t e l D = 0. Er b e s t a a t dan minstens één l i n e a i r e b e t r e k k i n g tussen de r i j e n van de de-terminant. Rr bestaan dus g e t a l l a i P i , . . . p _ . zodanig, dat geldt:

2

i > l Pi

a..

o

(;• = 1, . . . m ) , (10) waarbij n i e t a l l e grootheden p nul z i j n .

Laat pf^ één dezer getallen z i j n en wel dat getal of één der ge-t a l l e n mege-t de eigenschap, d a ge-t de modulus ervan n i e ge-t k l e i n e r i s dan d i e van een w i l l e k e u r i g e der andere grootheden p. U i t (iO) v o l g t dan voor j = k: *fci - 2 iftk « 1 . _{l i k Pi/Pk} en d a a r u i t : 14

en hieruit weer, omdat de modulus van p^ niet groter dan die van pj kan zijn:

in strijd met (2), D kan dus niet nul zijn.

Zijn de elementen a in (8) reëel, dan is D zelf reëel. Als verder nog geldt:

«ii < O , (i = l,...m), (11)

«iy i O , (i^j; i,j.l....m), (12)

dan heeft men:

(--)•!) > O . (13) Immers i s D een l i n e a i r e , dus a n a l y t i s c h e functie van zijn e l e

-menten, die van nul verschil!Lend i s voor a l l e waarden der n i e t op de hoofddiagonaal gelegen elementen, d i e deze elementen in v e r -band met de voorwaarden (9) m (12) t e r beschikking s t a a n . D moet in deze i n t e r v a l l e n steeds hetzelfde teken behouden, want a l s po-s i t i e v e en n e g a t i e v e waarden van D daar beide voorkwamen, zou D a l s analytische functie e r g a i s nul moeten z i j n , t e r w i j l D van nul v e r s c h i l t . Uit het geval a-• = 0 , (i ¥ j) z i e t men, dat het teken

( - ) • i s , waaruit (13) v o l g t .

Wanneer de elementen van de determinant (8) aan (9), (11) en (12) voldoen, met dien verstande, dat in deze vergelijkingen naast h e t ongel ijkteken ook het gel ijkteken wordt toegelaten, dan vindt men door limietovergang gemaltkelijk, dat nog moet gelden:

(-)"/) = O . (i4)

1.44. Eigenschappen van de wortels der seculaire vergelijking

Laat X + iy een van nul A'erschillende wortel van de seculaire vergelijking (7) zijn (x en y reëel). Voor deze waarde van ^i be-zitten de hoofddiagnonaalelementen van (6) de modulus:

Uit (12), (4) en (9) volgt nu, dat de determinant niet nul kan kan zijn als niet voor minstens één waarde van k geldt

Daar a^j^ n o o i t p o s i t i e f i s , kan hieraan (behalve in h e t h i e r -u i t g e s l o t e n geval x = y = 0) s l e c h t s z i j n voldaan a l s x n e g a t i e f i s .

Vergelijking (7) kan in beginsel meervoudige wortels b e z i t t e n . In een zeer belangrijk geval kan echter de wortel |i = O s l e c h t s Gemaal voorkomen. Dit i s h e t geval, waarin men, in de veronder-s t e l l i n g dat een veronder-s t a t i o n n a i r e veronder-s t a t i veronder-s t i e k beveronder-staat en duveronder-s uitgaande van vergelijkingen:

•

2 a..w.=0. (i = l,...m), (15) (ontstaan u i t (5) door de t i j d s a f g e l e i d e n nul t e s t e l l e n ) en van v e r g e l i j k i n g (i) in de vorm

2 w. = 1 , (16) ƒ = ! •'

s l e c h t s één enkel s t e l waarden voor wx,...iv^ vindt.

Dan i s namelijk minstens één der laatstgenoemde grootheden van nul verschillend, veronderstel wj^, en daarmede t e g e l i j k ook de mi-nor n^i^ van üj^i^ in de determinant D van h e t s t e l s e l (15). De de-terminant D b e z i t b l i j k b a a r de vorm (8).

Dan i s evenwel de voonvaarde voor een meervoudige wortel nul n i e t vervuld, want dan i s

-^7i^ (^^)>|x=o = '"^11 ^ D,, + . . . + Dkk + ••• ^ , « '^ O . omdat de h i e r optredende minoren volgens 1.43 nimmer v e r s c h i l -lend teken kunnen bezitten en A , van nul v e r s c h i l t .

1.45. ne s t a t i o n n a i r e o p l o s s i n g

In h e t in h e t vorige punt genoemde bijzondere geval i s de a l -gemene oplossing van het s t e l s e l (5) t e schrijven:

wj(t) = vj + Vj(t) , (j = l , . . . m ) , (17) waarin V-(t) i n h e t algemeenste geval voor een som van producten van t e l k e n s een polynoom in t en een exponentiële functie s t a a t . De argumenten dezer l a a t s t e functies bestaan u i t het product van t en een van nul v e r s c h i l l e n d e wortel van (7). Daar deze wortels volgens 1.44 een n e g a t i e f r e ë e l deel hebben n a d e r t V-(t) voor onbegrensd toenemende t onbegrensd t o t n u l . Wij vinden dus:

u),(a,) = vj . (j = 1, . . . m ) . (18) Voert men t e r bepaling der van t onafhankelijke grootheden v en der c o ë f f i c i ë i t e n in V-(t), (j = 1, ...m) de door (17) gegeven gedaante van wj(t) in (1) in, dan l e v e r t de e i s , dat een i d e n t i -t e i -t in -t o n -t s -t a a -t , de voorvaarde:

2 V- = 1 . (19)

; = 1 •'

Verder moeten de grootheden t;. zo gekozen worden, dat substi-tutie van

v)j(t) = Vj , (j = 1, ...m),

in de vergelijkingen (5) deze reeds vervult. Dus moet gelden:

2 a. . V. = O , (i = l,...m). (20)

De voorwaarden (19) en (20) z i j n i d e n t i e k met (16) en (15), welke l a a t s t e s l e c h t s één oplossing t o e l i e t e n . Dan l a t e n dus ook

(19) en (20) s l e c h t s één oplossing toe en heeft men:

Vj = wj . (j = l , . . . m ) . (21)

Combineert men (21) met (18), dan volgt:

uj = Wj(o.) . (j = l,...m). (22)

Wij kuiuien h i e r u i t de volgende fundamentele conclusies trekken: (18) betekent, dat er een e i n d s t a t i s t l e k i s , en (22), dat deze s t a t i s t i e k identiek i s met Ie s t a t i o n n a i r e s t a t i s t i e k . Voorwaarde i s e c h t e r , dat een ondubbe;:zinnig bepaalde s t a t i o n n a i r e s t a t i s -t i e k b e s -t a a -t . Als men dus, een s -t a -t i o n n a i r e s -t a -t i s -t i e k veronder-s t e l d hebbende, een bepaalde veronder-s t a t i veronder-s t i e k v i n d t , i veronder-s d i t tevenveronder-s de e i n d s t a t i s t l e k b i j willekeurige beginvoorwaarden,

H o o f d s t u k II

A N A L Y S E D E R D U L R V E R D E L I N G E N

2 . 1 . De e x p o n e n t i ë l e duurverdeling

Indien voor zekere t i j d s d u r e n een bepaalde kans b e s t a a t , dat een w i l l e k e u r i g e dezer t i j d s d u r e n langer dan een t i j d t duurt, zegt men, dat deze tijdsduren een bepaalde duurverdeling b e z i t t e n . De bedoelde kans zal in h e t algemeen een functie van t z i j n ; z i j kan dus door F ( t ) worden voorgesteld. F(t) kan de verdelingsfunc-t i e der verdelingsfunc-t i j d s d u r e n worden genoemd, doch ook de f u n c verdelingsfunc-t i e - F ' ( verdelingsfunc-t ) , waarin F ' ( t ) de a f g e l e i d e f u n c t i e van F(t) naar t v o o r s t e l t , wordt, a l s z i j bestaat, wel de verdelingsfunctie genoemd.

Als de kans, dat een willekeurige t i j d s d u u r van de beschouwde verzameling langer dan t duurt, F(t) i s , i s de kans, d a t een w i l -lekeurige dezer duren langer dan t *dt duurt, n a t u u r l i j k F ( t + dt), welke kans u i t e r a a r d nooit g r o t e r dan F(t) kan z i j n . De kans, dat een willekeurige der tijdsduren tussen t en t + dt i n l i g t , i s dus F(t) ~ F(t + dt), of:

- F\t).dt

waaruit de b e t e k e n i s der bovengenoemde f u n c t i e —F\(t) b l i j k t . Voor de gemiddelde duur der tijdsduren vindt men nu gemakkelijk:

f t . {- F'(t)} . dt . o

Volgens h e t theorema der samengestelde w a a r s c h i j n l i j k h e i d i s de kans F(t + dt), dat een t i j d s d u u r langer dan t + dt i s , g e l i j k -aan h e t product van de kans F(t), dat h i j langer dan f i s , en de kans, d a t h i j , gegeven .'lijnde d a t h i j langer dan t i s , ook nog langer dan t + dt i s . H i e r u i t v o l g t , dat de laatstgenoemde kans i s :

F(t + dt) F(7)

De tegenkans hiervan, d.w.z. de kans, d a t een t i j d s d u u r - gegeven z i j n d e , dat h i j langer dan t i s , doch overigens een w i l l e -k e u r i g e der beschouwde verzameling t i j d s d u r e n i s - -k o r t e r dan

t * dt i s , v i n d t men door de voorgaande kans van de eenheid af t e trekken. Zij wordt:

F(t + dt) F'(t) 1 = . dt .

F(t) F(t)

De wetenschap, dat de duur l a n g e r dan t i s , kan b . v . in h e t geval, d a t de t i j d s d u r e n telefoongesprekken b e t r e f f e n , d a a r u i t z i j n verkregen, dat men weet, dat h e t gesprek reeds een t i j d t aan de gang i s .

Nemen wij aan, dat de kans, dat een duur, die langer i s dan t doch overigens een willekeurige der beschouwde verzameling t i j d s -duren i s , k o r t e r dan dt i s , g:elijk i s aan a.dt, dan l e v e r t d i t de volgende voorwaarde voor F(t):

F'(t)

. dt = a . dt . F(t)

H i e r u i t volgt:

F(t) = C e""* ,

waarin C een van t onafhankelijke grootheid i s , die bepaald kan worden a l s wordt aangenomen, dat elke duur langer i s dan een t i j d nul, zodat moet gelden:

F(0) = 1 ,

waarna C s l e c h t s g e l i j k aan de eenheid kan z i j n . Men vindt dus: F(i:) = e-«* .

waaruit volgt:

-F'(t) = a . e " " * .

S u b s t i t u e e r t men deze uitkomst in de bovenvermelde formule voor de gemiddelde duur, dan vindt men voor deze gemiddelde duur, d i e wij s noemen:

s =

ft a e'^* =1- .

Heeft men s l e c h t s met één s o o r t t i j d s d u r e n t e maken en t r e e d t dus s l e c h t s één gemiddelde duur op, dan v e r k r i j g t men een aaruner-k e l i j aaruner-k e vereenvoudiging door de t i j d s e e n h e i d g e l i j aaruner-k aan deze ge-middelde duur t e kiezen, waai'door s en a beide g e l i j k aan de een-heid worden. De algemeeneen-heid wordt h i e r d o o r n a t u u r l i j k n i e t ge-schaad.

Van t i j d s d u r e n , waarvoor geldt:

F(t) = e " ' / * ,

(waarin s hun gemiddelde duur v o o r s t e l t ) , wordt gezegd, dat z i j een exponentiële duurverdeling hebben. Tijdsduren met deze soort verdeling z i j n , z o a l s u i t het voorgaande b l i j k t , de enige, waar-voor de kans, dat een t i j d s d u u r , die langer i s dan een gegeven t i j d t, doch overigens willekeurig i s , k o r t e r i s dan f + dt, kan worden voorgesteld door het product van dt met een van t onafhan-kelijke constante. De exponentiële duurverdeling i s j u i s t door déze eigenschap van bijzonder belang, zoals thans zal worden d u i -delijk gemaakt.

Wij beschouwen een telefoonverkeer, waarin een soort gesprek-ken optreedt, die een bepaalde duurverdelingsfunctie F(t) hebben. Op een bepaald ogenblik wordt een gesprek van deze s o o r t aange-t r o f f e n ; men v r a a g aange-t nu naar de kans, daaange-t heaange-t binnen de aange-t i j d daange-t zal e i n d i g e n . In h e t algemeen d i e n t men in d i t geval t e weten, hoe groot de kans i s , dat het aangetroffen gesprek reeds een t u s -sen T en T + dT gelegen t i j d aan de gang i s . S t e l t men deze kans in het algemeen voor door cp(T).dT, dan i s dus in het algemeen de kennis van cp(D noodzakelijk. Dit b l i j k t u i t de volgende bereke-ning.

Wanneer in h e t bijzonder h e t gesprek reeds j u i s t een t i j d T geduurd zou hebben, zou de kans, dat h e t binnen een t i j d dt af-breekt, volgens het voorgaande z i j n :

F'CO

,

. dt . F(T)

De kans, dat het gesprek een t i j d tussen T en T + JT heeft geduurd en dat h e t gesprek binnen een t i j d dt afbreekt wordt d e r -halve:

- F'(T) q)(r) dT . dt .

F(T)

Om de gezochte kans t e vinden moet men deze uitkomst naar T integreren tussen de grenzen O en oo. De komende uitdrukking hangt in h e t algemeen van q)(T) af. Wanneer de d u u r v e r d e l i n g der g e -sprekken exponentieel i s , wordt de breuk in de uitdrukking echter van T onafhankelijk en behoeft met s l e c h t s rp(T) tussen de genoem-de grenzen t e integreren, welke bewerking in dat geval n a t u u r l i j k steeds de eenheid o p l e v e r t . Blijkbaar kan cp(D in d i t geval geen invloed op de gezochte kans uitoefenen, doordat de voorgeschiede-n i s vavoorgeschiede-n h e t gesprek, d.w.z. de t i j d , die het reeds heeft geduurd,

in het geheel geen invloed op de afbreekkans heeft.

Uit h e t bovenstaande b l i j k t , dat in het geval van een exponen-t i ë l e verdeling meexponen-t gemiddelde duur s, voor de kans, daexponen-t een aan-20

getroffen gesprek binnen een t i j d dt afbreekt, a l t i j d wordt ge-vonden: 1

ongeacht de gedaante van (p(T). Dit betekent, dat men de in 1.1 onder 1) gemaakte v e r o n d e r s t e l l i n g omtrent de kans voor h e t afbreken van een gesprek binnen een t i j d dt steeds kan r e c h t v a a r d i -gen door een exponentiële gespreksduurverdeling aan t e nemen, en dat men in moeilijkheden geraakt a l s men een ander s o o r t duurver-deling aanneemt, daar men d£n over de op dat ogenblik onbekende functie cp(7^ zou moeten kunnen beschikken.

2.2. De d u u r v e r d e l i n g van i i l t een s e r i e e x p o n e n t i e e l v e r d e e l -de i n t e r v a l l e n opgebouw-de duren

Als een t i j d s d u u r b e s t a a t u i t de aaneenschakeling van een aan-t a l aan-t i j d s d u r e n of i n aan-t e r v a l l e n , die onafhankelijke e x p o n e n aan-t i ë l e duurverdelingen hebben, kunnen weer b a l a n s v e r g e l i j k i n g e n worden opgesteld, door b i j de in t e voeren elementaire toestanden onder-scheid t e maken tussen de elementaire t i j d s d u r e n , waaruit de be-schouwde tijdsduur i s opgebouwd. De verdwijnkans voor een toestand wordt dan bepaald door de afbreekkans van een elementaire t i j d s -duur en deze i s van de voorgeschiedenis onafhankelijk.

De duurverdeling van een t i j d s d u u r , die u i t K elementaire ex-p o n e n t i e e l v e r d e e l d e i n t e r v a l l e n met de gemiddelde duren S]_, S2,..Sjf b e s t a a t , wordt gegeven door:

f(t)

₍

_n

K s'") J K . K 2 e-^f^k n k=ï 7 = 1 ;;'* (_L - _ L ) - ₍₁₎

(Litt. 1, blz. 27). De gemiddelde duur s is natuurlijk

Sj_ T § 2 • • • "^ Sar •

Equivalent met de gegeven uitdrukking i s

/ ( t ) = e**/*t 1 s\ -X « 1 (K-2) e" */*lf _{1 sZ s-/'-''} SiSz

1

sV

« 1 (*r.i) 1 si .ZiK-i-, (2) Als twee der grootheden s i , . . . s ^ g e l i j k worden kan men door toepassing van de regel van DE L'HOSPITAL op (2) gemakkelijk de l i m i e t vinden. Bij g e l i j k h e i d van a l l e grootheden s i , . . . s j f v i n d t men a l s verdeling:

( f / s i ) ^ " ' . e - ' / ^ i . (3) S i . ( A ' - l ) !

Deze heeft de gemiddelde duur s = Ksi. Voert men daarentegen in (1) i n :

sj^ = l/(h + fe - 1)3 . (i^ = 1,...A'; h geheel) en

A' = ƒƒ - h + 1

dat v i n d t men a l s bijzonder geval van (1) de verdeling:

4 ( t ) = h p (^ e-''P' (1 - e-P*)^-'' . (4)

(Vergelijk L i t t . 1 b l z . 28).

2.3. Mengsels

Verdelingen van de vorm (i) hebben slechts één top, zodat du-ren met een verdeling met b.v. twee afzonderlijke toppen bij geen benadering als duren met een verdeling van de vorm (1) kunnen worden beschouwd, doch misschien wel als een mengsel van twee soorten duren, die elk opzichzelve een verdeling van de vorm (1) hebben, waarbij deze beide verdelingen onderling natuurlijk ver-schillen. Natuurlijk kan men ook meer dan twee soorten gemengd denken.

Laat een soort tijdsduren zijn te beschouwen als een mengsel van // soorten duren van de vorm (1), waarbij deze soorten van 1, ...ƒƒgenummerd zijn. De kans, dat een willekeurige tijdsduur van de soort h is, zij a(/i), (h = 1,...//). De getallen a(h) geven dus de relatieve frequenties aan, waarmede de onderscheiden soorten voorkomen.

Natuurlijk moet gelden:

a (h) = 1 . (5)

De t i j d s d u r e n van de s o o r t h (h = !,...ƒƒ) worden v e r o n d e r s t e l d u i t K(h) i n t e r v a l l e n t e z i j n opgebouwd, van welke i n t e r v a l l e n de gemiddelde duren bedragen.

s(h,l), . . . s(h,K(h)) .

Voor de gemiddelde duur s^ van de duren van de soort h geldt dus:

K(h)

s(h) = 2 s(h.k) , (h = 1,...ƒƒ). (6)

k=l

t e r w i j l voor de duur s van de duren van het mengsel geldt: k'

s = 7. a(h) s(h) . (7) /i> 1

Als de verdeling van de duren van de soort h kort door ƒ;,(*) wordt voorgesteld is de verdeling f(t) van de duren van het meng-sel natuurlijk

H

f(t) = 2 a(h) f.(t) . (8)

h=l "

De j u i s t e vorm van ƒ. (t) wordt gevonden door in (1) de groot-heid K g e l i j k aan K(h) t e kiezen en voor s^, (k = l,..,K(h)) t e kiezen: s(h,k). Van bijzonder belang z a l het blijken t e z i j n / ^ ( t ) i n overeenstemming met (4) t e kiezen.

2.4. ApproxlBatie van een isegeven v e r d e l i n g door een nengsel Wij z u l l e n in h e t volgende bewijzen, d a t onder zekere voorwaar-den een gegeven v e r d e l i n g door een f u n c t i e f(t) van de vorm (8) goed benaderd kan worden. Wij gronden h e t bedoelde bewijs op de b i j h e t bewijs van BERNSTEI» voor h e t approximatietheorema van

WEIERSTRASS t e voorschijn komende s t e l l i n g , dat een w i l l e k e u r i g e in h e t i n t e r v a l O ^ x < 1 continue f u n c t i e g(x) i n dat i n t e r v a l met een voorgeschreven eindljje nauwkeurigheid kan worden benaderd door een uitdrukking

2 (h x^'Cl - x)"-^ . g(h/H) . (9) h=o "

door voor H een voldoend groot, e i n d i g , geheel g e t a l t e kiezen ( L i t t . 6).

U i t deze s t e l l i n g volgt door de s u b s t i t u t i e

X = e-P* , (P > 0) , (10) dat e«i voor t ^ O continue ;functie f(t), voor welke lim ƒ( t)

be-t-.ca

staat, voor t ^ O met een voorgeschreven eindige nauwkeurigheid kan worden benaderd door een uitdrukking

2 (^) e-^PM - e-P*)^-" . /(lüi^) ,

(11)

door voor H een voldoend groot, eindig, geheel getal te kiezen.

Voor ons doel is slechts van belang het geval, dat f(t) in het interval O - o° een waarschijnlijkheidsverdeling voorstelt, zodat

f(t) daar nooit negatief is. Voorts nemen wij aan:

lim /(t) = O .

t-K»

In de u i t d r u k k i n g (11) wordt dan voor h = O de l a a t s t e factor nul, zodat de sommatie b i j h = 1 begonnen kan worden.

(11) wordt dan van de vorm (8) met /^ van de vorm (4) voorzien van de p o s i t i e v e c o ë f f i c i ë n t :

ln(h/If)

a(h) = (hP)-i . ƒ( — ) , (h = ! . . . . ƒ / ) .

- P

Aldus i s aangetoond, d a t een voor t . O continue duurverde-ling, waarvoor de l i m i e t voor f -* co nul i s , met een voorgeschre-ven nauwkeuri^eid door een mengsel van een eindig a a n t a l soorten tijdsduren kan worden benaderd, waarbij elk dezer soorten t i j d s duren a l s opgebouwd u i t een eindig aantal opeenvolgende i n t e r v a l -len met exponentiële duurverdeling kan worden beschouwd.

D i t bovenstaande beschouwing b l i j k t nog n i e t , of het ook moge-l i j k i s een gegeven v e r d e moge-l i n g met een voorgeschreven e i n d i g e nauwkeurigheid t e benaderen door een v e r d e l i n g van de vorm (8), indien men e i s t , dat (5) daarvoor exact geldt.

Een nieuwe c o m p l i c a t i e o n t s t a a t a l s men bovendien nog e i s t , d a t de gemiddelde duur b i j de benaderende verdeling exact g e l i j k i s aan de gemiddelde duur b i j de gegeven v e r d e l i n g . Men kan ech-t e r bewijzen, d a ech-t ook in deze gevallen een approximaech-tie mogelijk i s a l s de gegeven f u n c t i e continu i s en voor t-oo de l i m i e t nul h e e f t . Indien men over de gegeven functie n i e t meer dan d i t wil v e r o n d e r s t e l l e n moet men voor h e t bewijs een andere weg i n s l a a n dan hierboven werd aangegeven.

Daar a l deze beschouwingen, hoewel op zichzelve belangwekkend, geen bijzonder l i c h t werpen op de stof van de hoofdstukken IV en V, waartoe h e t onderhavige hoofdstuk a l s i n l e i d i n g d i e n t , menen wij h i e r met h e t n i e t op zijwegen voerende, op (9) gebaseerde b e -wijs, waarop prof. dr S.C. VAN VEEN ons opmerkzaam maakte, t e kun-nen v o l s t a a n .

H o o f d s t u k III

OVER DE INVLOED VAN DE GESPREKSDUURVERDELING OP DE BLOKKERINGSKANS BIJ EEN BEPERKTE VOLKOMEN BUNDEL

3 . 1 . P r o b l e e m s t e l l i n g

Wij beschouwen G van 1 t o t G *) genummerde abonné's zonder i n komend v e r k e e r , d i e een volkomen bundel van N uitgangen b e l a s -ten.

Van de abonné g (g = 1,,...G) wordt aangenomen, dat, wanneer h i j n i e t spreekt, de kans, 3at h i j binnen een t i j d dt een oproep maakt .°* - bedraagt.

s ' ( g )

Van dezelfde abonné wordt aangenomen, dat de gemiddelde duur van z i j n gesprekken s(g) betlraagt en dat de duurverdeling van die gesprekken in het algemeen sifwijkt van de verdeling

s(g)

zodat de kans, dat een gespi-ek van deze abonné biimen een t i j d dt afbreekt, n i e t eenvoudig op _ £ L g e s t e l d mag worden, doch in h e t

s(g)

algemeen afhangt van h e t ogenblik, waarop h e t gesprek i s aange-troffen.

Evenwel wordt aangenomen, dat de duurverdeling van de gesprek-ken van de abonné g in ieder geval van de vorm 2.3-(5) i s , zodat de gesprekken van deze abonné kunnen worden opgevat a l s een meng-s e l van een e i n d i g a a n t a l meng-s o o r t e n , waarvan e l k e meng-s o o r t u i t ge-sprekken b e s t a a t , die a l s d(! aaneenschakeling van een eindig aan-t a l i n aan-t e r v a l l e n meaan-t exponenaan-tiële duurverdeling z i j n op aan-t e v a aan-t aan-t e n . Het vorige hoofdstuk heeft cms geleerd, dat in de r e a l i t e i t denk-bare duurverdelingen p r a c t i s c h steeds zo mogen worden opgevat.

Voorts wordt aangenomen, dat blokkering ondervindende oproepen spoorloos verdwijnen.

Wij willen voor d i t geval nagaan hoe de blokkeringskans van een abonné van de bijzondere voimen der gespreksduurverdeling afhangt.

*) In deze uitdrukking en i:i volgende soortgelijke uitdrukkingen wordt onder „tot" steeds verstaan: „tot en met".

3 . 2 . N o t a t i e s en t e onderschelden toestanden

Voor de abonné g (g = 1, . . . G ) s t e l l e n wij het a a n t a l s o o r t e n gesprekken in het veronderstelde mengsel op H(g) en wij nummeren de soorten van 1 t o t H(g). De kans, dat een gesprek van de abonné g van de s o o r t h i s wordt OL(g,h) g e s t e l d . De gesprekken van de h-de s o o r t (h = l,...H(g)) van de abonné g worden v e r o n d e r s t e l d een gemiddelde duur s(g,h) t e hebben en u i t de aaneenschakeling van K(g,h) i n t e r v a l l e n met exponentiële duurverdeling t e bestaan. Deze i n t e r v a l l e n worden in de t i j d s v o l g o r d e van ltotK(g,h) ge-nummerd, Het fe-de van deze i n t e r v a l l e n moge een gemiddelde duur s(g,h,k) hebben.

Men heeft dan de volgende betrekkingen (vergelijk 2 . 1 - ( 5 ) , (7) en (6)): H(e) 2 a(g,h) = 1 , (g = 1 . . . . G ) , (1) H(g) '"=1 2 s(g,h) a(g.h) = s(g) , (g= 1 , . . . G ) . (2) ƒ » = 1 en K(g,h) 2 s(g,h,k) = s(g,h) (h' l....B(g); (3) *=^ g= 1....G).

Wanneer men voor zeker ogenblik opgeeft, welke abonné's s p r e ken, van welke s o o r t h e t gesprek van elk d i e r abonné's i s , a l s -mede i n h e t h o e v e e l s t e i n t e r v a l elk gesprek verkeerde toen h e t werd aangetroffen, kan voor elk der mogelijke wijzigingen in de zo g e s p e c i f i c e e r d e t o e s t a n d de kans worden aangegeven, dat z i j binnen een t i j d dt o p t r e e d t , zodat voor zo gespecificeerde t o e -standen een s t e l s e l balansvergelijkingen kan worden opgesteld. Om deze en andere toestanden en hun waarschijnlijkheden aan t e d u i -den wordt de volgende n o t a t i e gebruikt:

De toestand, waarbij n van de G abonné' s spreken wordt aange-duid door h e t symbool

n

waarbij de g r o o t h e i d onder de s t r e e p h e t a a n t a l n i e t - ^ r e k e n d e abonné's v o o r s t e l t , zodat numeriek geldt:

n ' = G — n .

De toesteuid, waarbij j u i s t de n abonné's g i , . . . g „ spreken wordt a l s volgt aangeduid:

^ g l . ' " g n

t . T I '

waarbij g j , g^T de rangnummers der n ' z= G - n n i e t sprekende a b o n n é ' s v o o r s t e l l e n . De g e t a l l e n g i , . . . g „ , g^.-.-g^J' moeten tezamen b l i j k b a a r een of andere p e r n u t a t i e vojmen van de getallen 1 . 2 . . . . G .

De toestand, waarbij de abonné's g i , , . . g n spreken en waarbij de abonné g^, (i = l , 2 , . . . n - l of n) een gesprek v o e r t van d i e s o o r t van de //(g^-) soorten gesprekken, welke h i j kan voeren, waar-aan h e t rangnummer h^ U; toegekend, wordt voorgesteld door

^: g i . - ' - g j . i . gjhi. g i ^ i . . . . g „

" ' : g i gn'

De toestand waarbij voor de p r e k e n d e abonné g. bovendien h e t rangnummer van h e t i n t e r v a l , waartoe z i j n gesprek i s v o o r t g e -schreden, wordt gespecificeerd, wordt a l s d i t rangnummer fe. be-draagt voorgesteld door

" ' : g i " - - g ^ '

Als t o e s t a n d e n o p t r e d e n , waarin van meer dan één sprekende abonné h e t soortnummer of h e t soortnummer en h e t rangnummer beide Aran h e t betrokken gesprïk moeten worden aangegeven, geschiedt d i t eveneens door de betrokken nummers zonder t u s s e n p l a a t s i n g van een komma achter het abonnénummer t e p l a a t s e n ,

De w a a r s c h i j n l i j k h e i d van een toestand wordt s t e e d s aangeduid door h e t tussen haakjes g e p l a a t s t e symbool voor de betrokken t o e -stand.

3 . 3 . O p s t e l l i n g der b a l a n s v e r g e l i j k i n g e n

Wij beschouwen de toestand, die wordt aangegeven door het t o e -standssymbool:

"I gi'^i'^i. • • • ënhnkn

&l""&n'

(4) waarbij aangenomen wordt, dat de grootheden hi_,...hn, en fe^, ...fen gerai onmogelijke waardeen hebben.

Als deze t o e s t a n d oj) zeker ogenblik aanwezig i s , houdt z i j op t e bestaan zodra een deir n i n t e r v a l l e n fei,...fen van de r e s p e c t i e -ve abonné's g i , . . . g n ophoudt t e bestaan, dan wel een der abonné* s ê i » * " g n ' ^^^ oproep iraakt; in h e t l a a t s t e geval e c h t e r a l l e e n a l s n k l e i n e r i s dan h e t aantal beschikbare uitgangen N.

De w a a r s c h i j n l i j k h e i d , dat de toestand (4) b e s t a a t en binnen een t i j d dt verdwijnt is b l i j k b a a r : gihxki...'.gnhnkns , " dt " dt ^ ; • , (..2 — + A(n) 1 ) , (5) " • g l " * * g n ' 1=1 « ( g f . " { , « £ ) '=1 « ( g i ) 27

<?

waarin A(n) een s l e c h t s voor gehele, n i e t negatieve waarden van het argument gedefinieerde hulpfunctie i s , waarvoor g e l d t :

1 voor n < N, A(n) =

O voor n = N.

Door deze w a a r s c h i j n l i j k h e i d g e l i j k t e s t e l l e n aan de waars c h i j n l i j k h e i d , dat de toewaarstand (4) in een t i j d dt o n t waars t a a t , v e r -krijgen wij de algemene vorm der balansvergelijkingen.

De mogelijke ontstaanswijzen van de toestand (4) verdelen wij a l s v o l g t in d r i e groepen, waarbij de voorwaarden die t e g e l i j k vervuld moeten z i j n , met a ) , b), c) enz. zijn aangegeven:

I . a) Er i s in (4) een k^ ^ 1;

b) Er heerst een toestand, die van (4) alleen daardoor ver-schilt, dat op de plaats van deze grootheid k^ geschre-ven moet worden k^-l;

c) Fet betrokken interval k--l loopt juist af binnen een tijd

dt.

II. a) Rr is in (4) een k. = 1;

h) Er heerst een toestand, die van (4) alleen daardoor ver-schilt, dat de betrokken abonné g^ niet spreekt;

c) De abonné g^ maakt binnen een tijd dt een oproep; d) Ket ontstaande gesprek is van de soort h..

III. a.) n < N; *

b) Er h e e r s t een toestand, die van (4) a l l e e n daardoor v e r -s c h i l t , dat een abonné g! (1 = i = n ' ) wël -spreekt en h e t betrokken gesprek in h e t l a a t s t e i n t e r v a l voor gesprekken van de soort van d i t gesprek verkeert;

c) Het betrokken i n t e r v a l van d i t gesprek van de abonné g^ loopt af binnen een t i j d dt.

Als wij nog een hulpfunctie P(k) bezigen, waarvoor geldt 1 voor fe > 1

B(k) = , (k geheel en p o s i t i e f ) , O voor k = 1

kunnen wij de o n t s t a a n s k a n s voor de t o e s t a n d (4) algemeen op-schrijven a l s som van een aantal termen, die i n drie groepen kunnen worden verdeeld overeenkomstig de boven onderscheiden g e v a l -len I, I I en I I I . In de volgende uitdrukking voor deze kans z i j n de d r i e groepen termen i n deze volgorde opgenomen en s t e l l e n i n elke afzonderlijke term de factoren in volgorde de w a a r s c h i j n l i j k -heden voor het vervuld z i j n van de c o n d i t i e s a ) , b), c) enz. voor

i=l ' n ; g ^ . . . . g „ i s ( g . , / i . , f e . - l ) + 2 [{l-/?(fei)} . i = l ^fl-1; g i / ' i f e i , . . . g t . i f c t . . i f e t . i , gi+i^i.fifei + f - ' g n ^ n f e n ^ n ' + l; g ^ , . . . g S , g.

. - ^ . « ( g „ V l ^

i = i h^=i r : ' - l ; g j , . . . g ! . j , g | ^ , . . . . g N * s(gihr,K(g\.h\))^' ^^^

De gezochte algemene TOrm van de b a l a n s v e r g e l i j k i n g e n i s dus voor t e s t e l l e n door:

(5) = (6) . (7)

3 . 4 . Oplossing der b a l a n s v e r g e l i j kingen S t e l t men algemeer:

^ — ; — ; ; ^ ; = c . i n s(g-,/i.,fe.)a(g.,^.)j. [ n «'(gj)].

n ' ; g ^ . . . g ^ «•=! y = i • ' ( ^ waarin C een w i l l e k e u r i g e c o n s t a n t e i s , dan b l i j k t h i e r d o o r aan (7) t e worden voldaan. Men z i e t d i t h e t gemakKelijkst in door on-der gebruikmaking van de b e t r e k k i n g (1) voor de l a a t s t e f a c t o r van (5) te schrijven: " dt 2 \B(k.) — - — ] + i=i s(gi,nj,fej) + 2 [{1 •• B(k,)} T—r^ + i=i ' s(g..h.,k.) n* H(ei) dt •"^^"^ ill hhi * ( g ; , ' » ; - ^ ( g ; - ^ * ) ) ' (9) 29

want dan worden overeenkomstige termen in de beide leden van (7), ook na uitschrijven van de sommen, aan elkaar gelijk. De op een constante na bepaalde oplossing van het stelsel homogene lineaire vergelijkingen (7) wordt dus gegeven door (8).

Door (8) te sommeren over alle waarden, die k^ kan aannemen, dat is dus van fe^ = 1 tot kj_ = K(gi,,hi) en vervolgens een soort-gelijke sommatie over kzik^,,..k^ uit te voeren komt men in ver-band met (3) tot de betrekking:

("•,"^'r'"'f") "^- n .(g,.^)a(g.,h.) . n' s'cg') (10)

Deze betrekking kan weer over a l l e waarden gesommeerd worden, die hl kan aannemen, dat i s dus van hi = 1 t o t h^ = Il(gi). Door v e r v o l g e n s op s o o r t g e l i j k e wijze over h2,h3,...hn t e sommeren, vindt men in verband met (2):

C\ 'V'"'^) = ^ . n .(g,) . n s'(g'). (11)

« ; g i . - - - g n ' ' = i i = i

3 . 5 . Bepaling van de constante met behulp van de normerings-v e r g e l i j k i n g

Om de constante G t e bepalen s t e l l e n wij:

G = G' : n s ' ( g ) , (12)

g = i

waardoor (11) overgaat in

C' ^"•••^") = G' n ^ 1 ^ . (13)

"'; g ï . - - - g ^ ' i=i 5'(g^) Voor de eenvoud s t e l l e n wij:

s(g) = «„ . (g = 1 , . . . G ) , (U) s (g) ^ waardoor (13) overgaat in

(4^^^^)=C' n a^. (15)

n'; g ^ . . . . g ; i 1=1 «i (—) = G' S a i . . . a „ , (i6) H i e r u i t volgt weer n,

waarbij de elementen der h i e r verschijnende symmetrische functie u i t de elementen a i , . . . a ^ genomen moeten worden.

De normeringsvergelijking kan worden geschreven 30

2 (-,) = 1 . (17)

n=<l n

zodat h i e r u i t met behulp van (16) voor C' wordt gevonden: N

C - 1 ) 2 S a i . . . OTJ , n = 0

waarna C u i t (12) volgt.

3. 6. De blokkeringskansen

De blokkeringskans B vtm de abonne g i s de voorwaardelijke kans, d a t , a l s de abonné g een oproep maakt, h i j N uitgangai bezet vindt.

B i s daarom g e l i j k aan de kans, dat abonné g n i e t spreekt en N uitgangen bezet zijn, gedeeld door de kans, dat de abonné g n i e t spreekt (men kan B ook bes<iiouwen a l s dat gedeelte van de t i j d , waarin de abonné g n i e t spreekt, dat gekenmeiict i s door h e t bezet z i j n van N uitgangen).

De kans, d a t de abonné g n i e t s p r e e k t en iV uitgangen b e z e t z i j n i s in verband met (15) t e schrijven:

C' S^ ai...«Ar • ( ^ ^ a l s de index ghij h e t somteken der symmetrische functie betekent,

dat b i j h e t kiezen der elementen van de functie u i t a j , . . . a g h e t element a uitgezonderd moet worden.

De kans, dat g n i e t spreekt, i s dan voor t e s t e l l e n door:

A

2

n=0

G' 2:_ Sg a^...ay (20) zodat mai vindt

2g Oi.--«w

^ - -N (2i) 2 S a . . . a

n=0 '^

3 . 7 . Conclusie

Het i s o p m e r k e l i j k , d a t de blokkeringskansen a l l e e n van de grootheden

_ s(g)_ "« ^ s ' ( g )

en dus n i e t van de grootheden s(g,h), s(g.h,k) en a (g,h) afhan-gen.

H i e r u i t b l i j k t , dat wanneer, z o a l s wij hebben vooropgesteld, de gespreksduurverdelingen op de in Hoofdstuk I I aangegeven wijze geanalyseerd kunnen worden, de blokkeringskansen n i e t van de aard van die verdelingen afhangen, doch a l l e e n van hun gemiddelde du-ren. Oorzaak hiervan i s , dat reeds de waarschijnlijkheden in h e t l i n k e r l i d van (13) van de aard van die verdelingen onafhankelijk z i j n .

Men kan nog vragen of de voorwaarde, dat de duurverdelingen op de i n Hoofdstuk I I aangegeven wijze geanalyseerd moeten kunnen worden, in de p r a c t i j k een beperking inhoudt. Inderdaad kan de verdeling, die met een s t r i k t constante duur der gesprekken over-eenkomt, n i e t in de bedoelde zin ontleed worden, doch een derge-l i j k e verdederge-ling komt n i e t in de practijk voor, maar i s s derge-l e c h t s een i d e a l i s e r i n g van een p r a c t i s c h geval, dat even goed in de r i c h t i n g van een voor de gewenste ontleding vatbare, andere g e ï d e a l i -seerde vorm kan worden omgebogen.

3.!^. Enige u i t het voorgaande t e verkrijgen uitkomsten In verband met hetgeen wij verder nodig zullen hebben worden op deze p l a a t s u i t het voorgaande enige uitkomsten afgeleid.

De n o t a t i e ^ voor de toestand met n b e z e t t e uitgangen is a l -leen voor h e t voorafgaande bewijs d i e n s t i g geweest, deze toestand kan nu verder gewoon door n worden voorgesteld. Uit (16) en ( i ^ volgt dan:

S a^...a^

(n) = -^y . (22) 2 S a j . . . a ^

«1=0

a j , . . a g worden de oproepintensiteiten der abonné's genoemd,

Voor h e t bijzondere geval, dat a l l e grootheden ay,..a^ g e l i j k z i j n en hun som a i s , gaat (22) over in:

( ^ ) ( a / G ) "

(n) = -jj . (23)

2 (S)(a/G)'"

De onafliankelijkheid van de gespreksduurverdeling i s voor d i t geval aangetoond door L. KOSTEN onder gebruikmaking van i n t e -graalvergelijkingen ( L i t t . 7).

Voor lim G — co en eindig blijvende waarde van a gaat deze f o r -mule op haar beurt over in:

(n) =-j^ . (24) 2 a»/w!

•1=0

Wanneer het gedrag van een bundel ingangen beschreven kan wor-den a l s d a t van de l i m i e t van G abonné's zonder inkomend verkeer met g e l i j k e o p r o e p i n t e n s i t e t t voor G -• co, waarbij de som der op-r o e p i n t e n s i t e i t e n eei e i n d i g bedop-rag a b l i j f t , noemen wij de oveop-r deze bundel ingangen aangel)oden oproepen t e r w i l l e van de k o r t -heid een ideaal verkeer met de o p r o e p i n t e n s i t e i t a, dat aan de bindel uitgangen wordt aangeboden.

3 . 9 . Conclusie voor Ideaal verkeer

De formule (24) geldt dus voor een ideaal verkeer a aangeboden aan een volkomen bundel van N uitgangen.

Men kan in het geval, w8.arvoor (22) geldt, aannemen, dat a l l e abonné's dezelfde continue gespreksduurverdeling hebben. De for-mule (24) geldt dus voor elke willekeurige continue verdeling der gezamenlijke door h e t i d e a l e verkeer geproduceerde gesprekken.

Voor ideaal verkeer i s de onafhankelijkheid van de gespreks-duirverdeling aangetoond door C. PALM ( L i t t . 8).

H o o f d s t u k IV

G E N E R A L I S E R I N G V A N H E T B L O K K E R I N G S -V R A A G S T U K O P D E -V O L K O M E N B U N D E L

4 . 1 . Het fundamentele probleem

Bijna a l l e blokkeringsvraagstukken b i j t e l e f o o n v e r k e e r , d i e een eenvoudige oplossing hebben, z i j n t e beschouwen a l s bijzonde-re gevallen van een zeer algemeen probleem, dat in zijn algemeen-s t e vorm wel geen verkeeralgemeen-sprobleem meer i algemeen-s , doch dat zo fundamen-t e e l i s , dafundamen-t de behandeling daarvan h i e r op haar p l a a fundamen-t s l i j k fundamen-t .

Beschouwd worden F o'o'ecten, genummerd 1 , . . . F . Het o b j e c t ƒ (ƒ = 1 , . . . F ) kan in Q(f) v e r s c h i l l e n d e p o s i t i e s verkeren, waarbij Q(f) minstens twee i s . De p o s i t i e s van h e t o b j e c t ƒ worden ge-nuiimerd 1 , . . .Q(f).

V e r o n d e r s t e l d wordt, dat op h e t ogenblik, dat een bepaald, w i l l e k e u r i g o b j e c t ƒ in een bepaalde, willekeurige p o s i t i e q

ge-raakt, een zeker t i j d p e r k , een positietijdperk, begint, dat een s l e c h t s van f en q afliankelijke duurverdeling met de gemiddelde duur s(f, q) h e e f t .

Deze d u u r v e r d e l i n g wordt v o o r t s v e r o n d e r s t e l d van de in 2 . 3 beschreven algemene aard t e z i j n , zodat men !ï(f,q) soorten t i j d s -duren, genummerd van 1 t o t H(f,q) kan onderscheiden, waarbij de s o o r t h (h = 1, fHf.q)) de gemiddelde duur s(f,q,h) h e e f t en b e s t a a t u i t K(f,q,h) opeenvolgende, van 1 t o t K(f,q,h) i n volgor-de van hun voorkomen genummervolgor-de i n t e r v a l l e n met e x p o n e n t i ë l e d u u r v e r d e l i n g , waarvan h e t k-de de gemiddelde duur s(f,q,h,k) h e e f t . De kans, dat een beginnend p o s i t i e - q - t i j d p e r k van h e t ob-j e c t ƒ van de soort h i s , wordt CL(f,q,h) gesteld.

Men heeft dan in overeenstemming met 2 . 3 de volgende b e t r e k -kingen: "(f.q) 2 a(f.q,h) =1, (i) K(f,q.,h) (<? = 1 ' s(f.q,h) = 2 s(f,q.h.k) , (h = l....H(f,q))} •••Q^r)- (2) k=l ƒ = 1. s(f,q) = 2 S(f,q.h).a(f,q,h) , ^ (3) h = l

De betekenis van een p o s i t i e t i j d p e r k van een willekeurig object ƒ z a l z i j n , dat aan h e t einde daarvan, h e t samenstel van de op dat ogenblik bestaande p o s i t i e s van a l l e objecten, dus de

constellatie, ondubbelzinnig bepaalt, hoe de p o s i t i e van het ob-j e c t na a f l o o p van h e t t i ob-j d p e r k zal z i ob-j n . Daarbiob-j i s h e t n i e t u i t g e s l o t e n , dat de nieuwe p o s i t i e dezelfde i s a l s de oude, doch in elk geval breekt op h e t z e l f d e ogenblik een nieuw p o s i t i e t i j d -perk, overeenkomend met de nieuwe p o s i t i e van het object ƒ, voor d i t object aan.

Een p o s i t i e c o n s t e l l a t i e kan v o l l e d i g worden aangeduid door van de objecten 1 , . , . F in de volgorde van hun rangnummer de p o s i t i e s op t e geven. Zo kan men een i : o n s t e l l a t i e in h e t algemeen aandui-den door:

qi,.. .qp .

Als van deze c o n s t e l l a t i e u i t de p o s i t i e van h e t object ƒ (door afbreken van h e t p o s i t i e - q ƒ - t i j d p e r k , waarin d i t veriieert) in een p o s i t i e q\ kan overgaan schrijven wij:

I s deze overgang daarentegen onmogelijk, dan schrijven wij:

^f(qf,---<Jf N}) = O .

De grootheden 6 noemen wij overgangscoëfficiSiten.

Daar de p o s i t i e c o n s t e l l a t i e b i j h e t afbreken van het p o s i t i e -gy-tijdperk van het object / d e optredende overgang ondubbelzinnig moet bepalen, zodat s l e c h t s een bepaalde overgang mogelijk i s , moeten de grootheden

öy(gi.«-.gjr I 1) t o t en met 6 , ( g i , . . .q^ | Q(/)) a l l e nul z i j n op één na. H i e r u i t volgt:

Q(f)

2 6r(q , ...qp\ q) =1 , (f'.l,...F; q^,., .g^. w i l l e k e u r i g ) . (4) Om het vraagstuk bepaald t e doen z i j n moeten de grootheden 6 a l l e gegeven z i j n .

4 . 2 . De voorwaarde voor h e t bestaan van een eenvoudige op-l o s s i n g

Het i n 4 . 1 g e s t e l d e probleem h e e f t i n h e t algemeen geen een-voudige o p l o s s i n g . In d i t hoofdstuk zal echter b l i j k e n , dat wan-neer aan de voorwaarden

<?(ƒ)

2 ^j(qi,...qf.x,q.qf^i,.-'qp\ qf) = i .

(ƒ = 1 , . . . F ; q j , . . . g j j . w i l l e k e u r i g ) , (5) i s voldaan, wèl een eenvoudige oplossing b e s t a a t .

De voorwaarden (5) gelijken op de betrekkingen (4). Terwijl de betrekkingen (4) echter uitdrukken, dat door eindigen van een po-s i t i e t i j d p e r k van object ƒ de p o po-s i t i e c o n po-s t e l l a t i e po-s l e c h t po-s één en-kele v o o r t z e t t i n g heeft, drukt (5) u i t , dat door eindigen van een p o s i t i e t i j d p e r k van o b j e c t ƒ e l k e bepaalde p o s i t i e c o n s t e l l a t i e s l e c h t s op één wijze moet kunnen o n t s t a a n . Het bestaan van (5) naast (4) drukt een zekere wederkerigheid u i t , waarom wij (5) de reciprociteitsvoorwaarde noemen. Problemen, waarbij aan (5) in voldaan noemen wij problemen met reciprociteit.

Als aan (5) i s voldaan, i s d i t b i j verteeersproblemai doorgaans h e t gevolg van h e t bestaan van directe reciprociteit, waaronder wij verstaan h e t voldoen aan de voorwaarden:

S ƒ ( g l . • • • g ƒ . • • • g f I g]-) = ^ y ( g i . " . g } . - " g p - 1 gy) .

(ƒ = 1 , . . . F ; g i , . . . g p en g ! willekeurig) . (6) Het i s d u i d e l i j k , dat (5) d i r e c t u i t (4) en (6) volgt.

4 . 3 . Voorbeelden

1) Vlij kiezen F = 1, G^ = 2 en i d e n t i f i c e r e n het o b j e c t met een abonné, die s t e e d s over een uitgang beschikt. De p o s i t i e s 1 en 2 worden r e s p . met nietspreken en spreken van de abonné g e ï d e n t i

-ficeerd.

Blijkbaar kan de c o n s t e l l a t i e 1 in 2 overgaan en omgekeerd. Er i s dus d i r e c t e r e c i p r o c i t e i t .

2) Wij kiezen F = 1, Q^ = 3 en bepalen, lat de p o s i t i e s 1, 2 en 3 van h e t o b j e c t e l k a a r c y c l i s c h opvolgen. De c o n s t e l l a t i e s doen d i t dan ook» Er i s nu r e c i p r o c i t e i t , hoewel geen d i r e c t e .

3) Wij kiezen F = 2, Oi = O2 = 3 en i d e n t i f i c e r e n de objecten 1 en 2 met abonné's 1 en 2, die samen over één uitgang beschikken. Maakt een hunner een geblokkeerde oproep, dan wordt h i j veronder-s t e l d g e ï r r i t e e r d t e z i j n , waaronder wordt v e r veronder-s t a a n , dat h i j een verhoogde n e i g i n g t o t h e t maken van een oproep heeft ( L l t t . 9 ) . Voor elk der abonné's z i j n de p o s i t i e s nu a l s volgt:

p o s i t i e 1: n i e t - ^ r e k e n , n i e t g e ï r r i t e e r d , p o s i t i e 2: niet-spreken, g e ï r r i t e e r d , p o s i t i e 3: spreken.

36

Nu i s b . v , 6 i ( l , 2 l 3 ) = :L maar ook 6 i ( 3 , 2 | 3 ) = 1, zodat n i e t aan (5) i s voldaan.

4.4. De balansvergelijklni;en voor h e t fundamentele probleem Als elementaire toestand, waarvoor een b a l a n s v e r g e l i j k i n g kan worden opgemaakt, moet de naar s o o r t en i n t e r v a l der p o s i t i e -tijdperken gespecificeerde i i o s i t i e c o n s t e l l a t i e genomen worden.

Is in het algemeen voor object ƒ de p o s i t i e : qj, de soort van h e t bijbehorende t i j d p e r k : hf en h e t i n t e r v a l , waarin het t i j d -perk v e r k e e r t : kf (f = 1,....F), dan kan deze t o e s t a n d door h e t

symbool

qihiki,,...qphf.kp (7)

worden aangeduid.

f^iecificeert men n i e t naar de i n t e r v a l l e n , dan kan de toestand, waarbij h e t object ƒ in de p o s i t i e gy i s en de soort van het b i j -bdiorende t i j d p e r k hf i s , worden aangegeven met:

g i ^ i , . . .Ofhf .

Ben toestand overeenkomende met d e p o s i t i e c o n s t e l l a t i e qj^,...qp kan door d i t z e l f d e symbool g i , . . . g j ? worden aangeduid. De waar-s c h i j n l i j k h e d e n dezer toewaar-standen worden weer gewaar-schreven a l waar-s h e t tussen haakjes g e p l a a t s t e toestandssymbool,

De kans, d a t de t o e s t a r d (7) b e s t a a t en binnen een t i j d dt verdwijnt i s b l i j k b a a r

i dt

(q h k ,...qfhpkp) 2 ; ;— . (8) 1 1 1 F-F F ^^^ s(f.q^,hf.kj)

(lebruiken wij weer de hulpfunctie B(k) gedefinieerd door 1 voor fe > 1

^^^^ " O voor Jfe - 1 ^^ geheel en p o s i t i e f ) .

dan kan de kans, dat de toestand (7) binnen een t i j d dt o n t s t a a t a l s volgt worden geschreven:

F

1^ P(kp.(q^h^k,,...q^h^^.-l....qp.pk,) ^^ ^^ ^^ , ^ , ^ . , ^ *

f Q(f) HU.qA

+ 2 2 2 t Ü -B(fe,)> . 6 , ( 9 1 . . . . g ' , . . . g „ | g,) X

X (q^h^k^...q^^hjK(f,qf,h^f,),...qphpkp) . «•(f.qf.hf) dt

s(f.q}.h'f.K(f.qj.hj)) ' (9)

De balansvergelijkingen kunnen dus schematisch worden voorge-steld door

(8) = (9) . (10)

4 . 5 . Oplossing der b a l a n s v e r g e l i j k i n g e n in het geval van re-c i p r o re-c i t e i t

Aan de homogene l i n e a i r e vergelijkingen (10) voldoet

F

(12) (q^h^k^,...qfhpkp) = G . Tl s(f,q^,h^.kp.a(f,q^,h^) . (11) Dit b l i j k t a l s volgt: Schrijf voor (8)

2 B(kf) . (q.h k ,...qf.hpkf.) — ; —• + ƒ=! ^ ^ ' * ' ' ' S(f,qj,h^,kj) l , dt ' fix ^' - ^ ^ V ^ ( ' ï x ^ f e , . - - 9 F V ^ ) s(f,q^,h^,k^) ' waardoor (10) overgaat in (12) = (9) .

Men z i e t gemakkelijk in, dat (11) de e e r s t e som in (12) aan de e e r s t e som in (9) g e l i j k maakt.

S u b s t i t u e e r t men (11) in de tweede som van (9) dan i s in verband met (1) e e r s t de sommatie naar h'y uitvoerbaar en i s v e r v o l -gens in verband met (5) de sommatie naar q\ u i t v o e r b a a r , waarna men op dezelfde vorm a l s de tweede som in (12) i s gekomen.

Het s t e l s e l (11) geeft dus de oplossing der b a l a n s v e r g e l i j k i n -gen.

Uit (11) l e i d t men door sommeren over a l l e grootheden k en g e -bruikmakende van (2) gemakkelijk af:

F

(gj/ij, . . . g ^ ^ ) = G . n s(f,qf,h^) . a(f.q^.h^) . (13) H i e r u i t v o l g t weer door sommeren over a l l e grootheden h en ge-bruik makende van (3):

( q , . . . . g f > = c . n^ s ( / . g y ) . (i4) F

r

ƒ=

Tenslotte kan G b ^ a a l d woi-den u i t de normeringsvergelijking:

<?(1) Qcn

2 . . . 2 (q , . . . g p ) = 1 . (i5) g j = I g ^ = l

4.6. Over de kans, dat b i j h e t afbreken van een p o s i t i e t i j d -perk behorende b i j een bepaalde p o s i t i e van een o b j e c t , d i t o b j e c t in een bc^paalde p o s i t i e komt

De kans, dat de toestand

g j/i jA: j , . . . q^h^(f, q^,h^),... q^h^kj.

b e s t a a t , doch binnen een t i j d dt a f b r e e k t en dat dan de toestand q^h^k^, ...qj^hjl,...qphf.kf. aanbreekt, i s : (gj/i 1^ 1.• •.qf'^^(f,qf,h^),...qphpk^) . dt I . . .

ö^(gi,...g^ I g|) . a(f,qj,hj) . (16)

s(f,gf,h^,K(f,q^,h^))

De kans, dat de toestand

q i h l , . . . g ƒ / ^ ƒ , ...qphp

b e s t a a t , doch dat binnen eai t i j d dt h e t p o s i t i e t i j d p e r k van h e t object ƒ e i n d i g t en dat dan de toestand

g i ' i i , . . . g | / i | , .'-qphp

aanbreekt, wordt u i t (16) gevonden door deze uitdrukking over a l -l e moge-lijke fe-waarden, met u i t z o n d e r i n g van d i e , we-lke op h e t object ƒbetrekking hebben, t e soiraneren. Gebruik makende van (11),

(2) en (13) vindt men voor deze kans:

dt ,

(<ii^v''Jf^p)-—:—j—' ^f(qv-qp\q}) - ^(f.q).q)) . (17)

De kans, dat de toestand

g i i . . . g / l " . g j f