1.7. DZIAŁANIA NA ZBIORACH
Zbiory oznaczamy duŜymi literami: A, B, C,...
A
a
∈
- czytamy
a
naleŜy do zbioru A (
a
jest elementem zbioru A )
A
a
∉
- czytamy
a
nie naleŜy do zbioru A (
a
nie jest elementem zbioru A )
zbiór skończony – ma skończoną liczbę elementów
zbiór nieskończony – ma nie skończoną liczbę elementów
zbiór pusty
∅
- zbiór , do którego nie naleŜy Ŝaden element
moc zbioru A - liczba elementów zbioru A
Przykład 1.7.1.
Wypisz elementy zbioru:
a)
A
=
{
x
∈
C
:
−
2
<
x
≤
5
}
.
Rozwiązanie
Komentarz
{
∈
:
−
2
<
≤
5
} {
=
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
=
x
C
x
A
Do zbioru A naleŜą wszystkie liczby całkowite większe od –2 i nie większe od 5.b)
B
=
{
x
∈
N
:
x
jest wielokrotnością 3}
Rozwiązanie
Komentarz
{
x
N
x
B
=
∈
:
jest wielokrotnością 3}
{
3
,
6
,
9
,
12
,
15
,...
}
=
Do zbioru B naleŜą wszystkie liczby naturalne, które są wielokrotnościami liczby 3 .
Zbiór B jest zbiorem nieskończonym , nie moŜemy wypisać wszystkich elementów tego zbioru.
Zbiór B nie ma elementu największego.
c)
D
=
{
x
∈
C
−:
x
>
5
}
Rozwiązanie
Komentarz
{
∈
>
}
=
∅
=
x
C
−: x
5
D
śadna liczba całkowite ujemna nie jest większa od 5. Zbiór D jest zbiorem pustym.Działania na zbiorach
Działanie Ilustracja graficzna Zapis symboliczny Niektóre
własności Suma zbiorów
B
A
∪
{
}
B
x
A
x
x
B
A
∪
=
:
∈
∨
∈
A
A
∪
∅
=
Iloczyn zbiorówB
A
∩
{
}
B
x
A
x
x
B
A
∩
=
:
∈
∧
∈
∅
=
∅
∩
A
RóŜnica zbiorówB
A \
{
x
x
A
x
B
}
B
A
\
=
:
∈
∧
∉
A
A
A
=
∅
∅
=
∅
\
\
Przykład 1.7.2. Wykonaj działania
A
∪
B
;
A
∩
B
;
A
/
B
;
B
/
A
dla zbiorów:{
1
,
2
,
4
,
5
}
=
A
B
=
{
−
6
,
−
3
,
−
2
,
0
,
1
}
Rozwiązanie
Komentarz
{
−
6
,
−
3
,
−
2
,
0
,
1
,
2
,
4
,
5
}
=
∪
B
A
Do sumyA
∪
B
naleŜą wszystkie elementy zbiorów A,B.{}
1
=
∩
B
A
IloczynemA
∩
B
jest część wspólna zbiorówA,B.
{
2
,
4
,
5
}
\
B
=
A
RóŜnicąA \
B
są elementy, które naleŜą do zbioru A i nie naleŜą do zbioru B.{
6
,
3
,
2
,
0
}
\
A
=
−
−
−
B
RóŜnicąB \
A
są elementy, które naleŜą do zbioru B i nie naleŜą do zbioru A.Przykład 1.7.3.
Dane są zbiory
A
=
{
x
∈
R
:
x
2−
81
=
0
}
B
=
{
x
∈
C
:
x
>
2
}
D
=
{
x
∈
N
:
x
≤
9
}
Wyznacz zbiór
(
D
∩
B
)
/
A
Rozwiązanie
Komentarz
{
∈
:
2−
81
=
0
}
=
{
−
9
,
9
}
=
x
R
x
A
Wypisujemy elementy zbioru A.{
∈
:
>
2
} {
=
3
,
4
,
5
,
6
,...
}
=
x
C
x
B
Wypisujemy elementy zbioru B.Zbiór B jest nieskończony.
{
∈
:
≤
9
} {
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
=
x
N
x
D
Wypisujemy elementy zbioru D.{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
=
∩
B
D
(
D
∩
B
)
/
A
=
{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
}
Wykonując działania złoŜone pamiętamy o kolejności wykonywania działań.
Wykonujemy działanie w nawiasie. Wykonujemy działanie
(
D
∩
B
)
/
A
=
{
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
} {
\
−
9
,
9
}
.
Relacje między zbiorami
Relacja Definicja Ilustracja graficzna Zapis symboliczny
Zawieranie się zbiorów
B
A
⊂
Zbiór
A
zawiera się w zbiorzeB
⇔
kaŜdy element zbioruA
jest elementem zbioruB
( ZbiórA
jest podzbiorem zbioruB
, a zbiórB
jest nadzbiorem zbioruA
)B
A
⊄
-A
nie zawiera się wB
⇔
⊂
B
A
dla kaŜdego x(
x
∈
A
⇒
x
∈
B
)
Równość zbiorówB
A
=
Zbiory
A
iB
są równe⇔
mają te sameelementy
A
=
B
⇔
dla kaŜdego x
(
x
∈
A
⇔
x
∈
B
)
Zbiory rozłączne
Zbiory
A
iB
są rozłączne⇔
iloczyn tych zbiorów jest zbiorem pustym∅
=
∩
B
A
B
A
A=B
A
B
Przykład 1.7.4. Za pomocą diagramów przedstaw związki między zbiorami
C
,
W
−,
N
.
Rozwiązanie
Komentarz
KaŜde koło przedstawia odpowiedni zbiór
C
– zbiór liczb całkowitych −W
– zbiór liczb wymiernych ujemnychN
– zbiór liczb naturalnychPrzykład 1.7.5. Dane są zbiory
{
∈
:
≤
6
}
;
=
{
∈
:
−
4
<
<
4
}
;
=
{
∈
:
4
≤
<
7
}
=
x
N
x
B
x
C
x
D
x
N
x
A
.
Wypisz elementy zbiorów A, B, C , a następnie wśród poniŜszych zdań wskaŜ
prawdziwe:
a)
D
⊂
A
b)
D
⊂
B
c)
(
B
∩
D
)
⊂
A
d) zbiory B i D są rozłączne.
Rozwiązanie
Komentarz
{
∈
:
≤
6
} {
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
=
x
N
x
A
Wypisujemy elementy zbioru A.{
∈
:
−
4
<
<
4
} {
=
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
}
=
x
C
x
B
Wypisujemy elementy zbioru B.{
∈
:
3
≤
<
7
} {
=
3
,
4
,
5
,
6
}
=
x
N
x
D
Wypisujemy elementy zbioru D.a)
D
⊂
A
- zdania prawdziwe
KaŜdy element zbioru D jest teŜ elementem zbioru Ab)
D
⊂
B
- zdanie nie jest prawdziwe
Do zbioru B nie naleŜą 4, 5, 6 .c)
(
B
∩
D
) { }
=
3
(
B
∩
D
)
⊂
A
- zdania prawdziwe
3 jest teŜ elementem zbioru A
d) zbiory B i D są rozłączne - zdanie nie jest
prawdziwe
Zbiór
(
B
∩
D
) { }
=
3
nie jest zbiorem pustym.Przykład 1.7.6. Czy zbiory
A
=
{
x
∈
N
:
x
2=
9
} {
;
B
=
x
∈
R
:
x
3=
8
}
są równe?
Rozwiązanie
Komentarz
{
∈
:
2=
9
}
=
{ }
3
=
x
N
x
A
Wypisujemy elementy zbioru A.{
∈
:
3=
8
}
=
{ }
3
=
x
R
x
B
Wypisujemy elementy zbioru B.B
A
=
Zbiory A i B mają te same elementy.N
C
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 1.7.1. (1pkt.) Wypisz elementy zbioru:
A
=
{
x
∈
C
+:
0
≤
x
<
5
}
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie odpowiedzi.1
Ćwiczenie 1.7.2. (4pkt.)
. Dane są zbioryA
=
{
x
∈
N
:
−
1
≤
x
≤
2
}
B
=
{
x
∈
C
:
x
>
1
}
D
=
{
x
∈
R
:
2
x
−
5
=
3
x
−
4
}
Wyznacz zbiór(
A
/
B
)
∪
D
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Wypisanie elementów zbioru A
