nie jest domknięty, (b) G

Share "nie jest domknięty, (b) G"

(1)

GRUPY ALGEBRAICZNE, Lista 4

K jest ciałem algebraicznie domkniętym.

1. Znaleźć przykład afinicznej grupy algebraicznej G takiej, że:

(a) G

nie jest domknięty, (b) G

nie jest otwarty, (c) G

nie jest podgrupą, (d) G

nie jest podgrupą.

2. Niech A ∈ M

(K). Udowodnić, że jeśli A 6= 0, to istnieje B ∈ M

(K) taka, że tr(AB) 6= 0.

3. Niech G będzie afiniczną grupą algebraiczną i (f

: X

→ G)

_i∈I

rodziną morfizmów o nierozkładalnych dziedzinach. Niech H będzie podgrupą G generowaną przez zbiór

^S_i∈I

f

(X

). Wtedy:

(a) H jest domknięta i spójna,

(b) Istnieją n ∈ N, i

₁

, . . . , i

∈ I, ε

₁

, . . . , ε

∈ {−1, 1} takie, że H = Y

_i^ε₁¹

· . . . · Y

_i^ε_nⁿ

.

4. Załóżmy, że char(K) = 2. Niech

(x, x

⁰

) u (y, y

⁰

) := (x + y, x

⁰

+ y

⁰

nie jest domknięty, (b) G

GRUPY ALGEBRAICZNE, Lista 4

K jest ciałem algebraicznie domkniętym.

1. Znaleźć przykład afinicznej grupy algebraicznej G takiej, że:

(a) G

nie jest domknięty, (b) G

nie jest otwarty, (c) G

nie jest podgrupą, (d) G

nie jest podgrupą.

2. Niech A ∈ M

(K). Udowodnić, że jeśli A 6= 0, to istnieje B ∈ M

(K) taka, że tr(AB) 6= 0.

3. Niech G będzie afiniczną grupą algebraiczną i (f

: X

→ G)

rodziną morfizmów o nierozkładalnych dziedzinach. Niech H będzie podgrupą G generowaną przez zbiór

f

(X

). Wtedy:

(a) H jest domknięta i spójna,

(b) Istnieją n ∈ N, i

, . . . , i

∈ I, ε

, . . . , ε

∈ {−1, 1} takie, że H = Y

· . . . · Y

.

4. Załóżmy, że char(K) = 2. Niech

(x, x

) u (y, y

) := (x + y, x

+ y

+ xy).

Udowodnić, że G := (A

, u) jest przemienną unipotentną grupą alge- braiczną, która nie jest grupą wektorową.

1