7 Równania falowe
Równanie faloweutt− c2∆xu = 0, t > 0, x ∈ Ω,
gdzie c > 0, Ω ⊂ Rn jest obszarem, a szukana funkcja to u = u(t, x) =
u(t, x1, . . . , xn), opisuje wychylenie u (z poªo»enia równowagi), w chwili t
punktu, o wspóªrz¦dnych x = (x1, . . . , xn), ciaªa spr¦»ystego (struny dla
n = 1, membrany dla n = 2, bryªy dla n = 3).
Rozwa»my obszar U ⊂ Ω, o dostatecznie regularnym brzegu. Zaªó»my po-nadto, dla ustalenia uwagi, »e g¦sto±¢ masy jest stale równa jeden. Caªkowite przyspieszenie obszaru U jest równe
∂2 ∂t2 Z U u dx = Z U uttdx.
Z drugiego prawa dynamiki Newtona wynika, »e przyspieszenie jest równe sile dziaªaj¡cej na U. Siª¦ t¦ mo»na zapisa¢ w postaci
−
Z
∂U
hF, nxi dSx.
Jest to prawd¡ dla dowolnego U ⊂ Ω, mo»na zatem zapisa¢
utt = − divxF.
Dla ciaªa elastycznego, F jest funkcj¡ gradientu wychylenia, ∇u, czyli
utt = − divxF(∇u).
Dla niewielkich wychyle«, zast¦pujemy F(∇u) jej liniowym przybli»eniem, czyli −a∇u.
7.1 Jednowymiarowe równanie falowe
Rozwa»my jednowymiarowe równanie falowe na caªej prostej R (RF-1) utt− c2uxx = 0, t > 0, x ∈ R,
gdzie c > 0, a szukana funkcja to u = u(t, x). Warunki pocz¡tkowe to u(0, x) = f (x), x ∈ R ut(0, x) = g(x), x ∈ R,
gdzie f, g : R → R s¡ zadanymi funkcjami. Zapiszmy równanie (RF-1) jako
∂ ∂t− c ∂ ∂x ! ∂ ∂t + c ∂ ∂x ! u = 0. Oznaczmy v(t, x) := ∂ ∂t− c ∂ ∂x ! u(t, x). Zatem vt(t, x) + cvx(t, x) = 0, t > 0, x ∈ R.
Jest to liniowe jednorodne równanie transportu o staªych wspóªczynnikach, którego rozwi¡zaniem jest
v(t, x) = a(x − ct),
gdzie a(x) = v(0, x). Zatem
ut(t, x) − cux(t, x) = a(x − ct), t > 0, x ∈ R.
Jest to liniowe niejednorodne równanie transportu o staªych wspóªczynni-kach, którego rozwi¡zaniem jest
(7.1) u(t, x) = t Z 0 a(x+c(t−s)−cs) ds+b(x+ct) = 1 2c x+ct Z x−ct a(ξ) dξ +b(x+ct), gdzie b(x) = u(0, x).
Z warunku pocz¡tkowego u(0, x) = f(x) otrzymujemy, »e b(x) = f(x). Dalej,
a(x) = v(0, x) = ut(0, x) − cux(0, x) = g(x) − cf0(x).
Podstawiaj¡c powy»sze do (7.1) otrzymujemy
u(t, x) = 1 2c x+ct Z x−ct (g(s) − cf0(s)) ds + f (x + ct), co daje wzór d'Alemberta(1): u(t, x) = 1 2 f (x + ct) + f (x − ct)+ 1 2c x+ct Z x−ct g(ξ) dξ.
Je±li f jest klasy C2 i g jest klasy C1 na R, to otrzymane rozwi¡zanie jest
rozwi¡zaniem klasycznym.
Zauwa»my, »e warto±¢ rozwi¡zania w punkcie (t, x), zale»y tylko od war-to±ci warunków pocz¡tkowych na przedziale [x − ct, x + ct]. Kra«ce tego przedziaªu to przeci¦cia charakterystyk równania przechodz¡cych przez (t, x) z osi¡ rz¦dnych. Przedziaª taki nazywamy obszarem zale»no±ci punktu (t, x). Z drugiej strony, warto±ci warunków pocz¡tkowych w punkcie (0, ξ) wpªy-waj¡ tylko na warto±ci rozwi¡zania poªo»one w klinie ξ − ct ¬ x ¬ ξ + ct,
t 0 (którego brzegiem s¡ charakterystyki przechodz¡ce przez (0, ξ)). Klin
taki nazywamy obszarem wpªywu punktu (0, ξ). Interpretacja zyczna tego jest taka, »e zaburzenia rozchodz¡ si¦ z pr¦dko±ci¡ c.
7.2 n-wymiarowe równanie falowe
Rozwa»my n-wymiarowe równanie falowe na caªej przestrzeni Rn
(RF-n) utt− c2∆xu = 0, t > 0, x ∈ Rn,
gdzie c > 0, a szukana funkcja to u = u(t, x) = u(t, x1, . . . , xn).
Warunki pocz¡tkowe to u(0, x) = f (x), x ∈ Rn ut(0, x) = g(x), x ∈ Rn,
gdzie f, g : Rn → R s¡ zadanymi funkcjami.
7.2.1 Metoda ±rednich sferycznych
Do otrzymania wzoru na rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego dla równa-nia (RF-n) zastosujemy metod¦ ±rednich sferycznych
Dla funkcji ci¡gªej h: Rn
→ R zde niujmy jej ±redni¡ sferyczn¡ wzorem Mh(r, x) := 1 ωnrn−1 Z ky−xk=r h(y) dSy.
Zauwa»my, »e bior¡c y = x+rξ, kξk = 1, mo»na de nicj¦ ±redniej sferycznej zapisa¢ w postaci Mh(r, x) = 1 ωn Z kξk=1 h(x + rξ) dSξ.
Korzystaj¡c z powy»szej postaci, przedªu»amy Mh(r, x) w sposób parzysty
na wszystkie r ∈ R. Gdy h jest klasy Ck na Rn, to (tak przedªu»ona) M h
jest klasy Ck na Rn+1.
Zaªó»my, »e h jest klasy C2 na Rn. Mamy wtedy
∂ ∂rMh(r, x) = 1 ωn Z kξk=1 n X j=1 hxj(x + rξ) · ξj ! dSξ = = r ωn Z kξk<1 ∆xh(x + rξ) dξ = r1−n ωn ∆x Z ky−xk<r h(y) dy ! = = r 1−n ωn ∆x r Z 0 d% Z ky−xk=% h(y) dSy ! = r1−n∆x r Z 0 %n−1Mh(%, x) d%.
Mno»¡c skrajne strony powy»szej równo±ci przez rn−1 i ró»niczkuj¡c po r,
otrzymujemy, po odpowiednich przeksztaªceniach, równanie Darboux:
(7.2) ∂2 ∂r2 + n − 1 r ∂ ∂r ! Mh(r, x) = ∆xMh(r, x).
Naturalne warunki pocz¡tkowe dla równania (7.2) to: (7.3) Mh(0, x) = h(x), ∂ ∂rMh(r, x) r=0 = 0 (Mh(r, x)jest parzyste wzgl¦dem r).
Powró¢my do naszego równania falowego.
Niech u = u(t, x), klasy C2 na [0, ∞) × Rn, b¦dzie rozwi¡zaniem
zagad-nienia pocz¡tkowego (RF-n). Oznaczmy
Mu(r, t, x) := 1 ωn Z kξk=1 u(t, x + rξ) dSξ. Liczymy ∆xMu = 1 ωn Z kξk ∆xu(t, x+rξ) dSξ = 1 c2 Z kξk ∂2 ∂t2 u(t, x+rξ) ! dSξ = 1 c2 ∂2 ∂t2Mu.
Zestawiaj¡c to z równaniem Darboux (7.2) otrzymujemy równanie Eulera PoissonaDarboux: (7.4) ∂2 ∂t2Mu = c 2 ∂2 ∂r2 + n − 1 r ∂ ∂r ! Mu.
Warunki pocz¡tkowe to Mu = Mf(r, x) ∂ ∂tMu = Mg(r, x) dla t = 0.
7.2.2 Trójwymiarowe równanie falowe. Wzór Kirchhoa Zaªó»my, »e n = 3.
Równanie (7.4) przybiera teraz, po odpowiednich przeksztaªceniach, po-sta¢ ∂2 ∂t2(rMu) = c 2 r ∂ 2 ∂r2 + 2 ∂ ∂r ! (rMu) = c2 ∂2 ∂r2(rMu).
Zatem rMu(r, t, x) jest, jako funkcja t i r, rozwi¡zaniem jednowymiarowego
równania falowego, z warunkami pocz¡tkowymi rMu = rMf(r, x) ∂ ∂t(rMu) = rMg(r, x) dla t = 0.
Wzór d'Alemberta (7.1) daje nam
rMu(r, t, x) = 1 2[(r+ct)Mf(r+ct, x)+(r−ct)Mf(r−ct, x)]+ 1 2c ct+r Z ct−r ξMg(ξ, x) dξ.
Wykorzystuj¡c fakt, »e Mf i Mg s¡ parzyste wzgl¦dem r, otrzymujemy
Mu(r, t, x) = (ct + r)Mf(ct + r, x) − (ct − r)Mf(ct − r, x) 2r + 1 2cr ct+r Z ct−r ξMg(ξ, x) dξ.
Gdy z r d¡»ymy do zera, pierwszy skªadnik po prawej stronie d¡»y do
∂ ∂(ct) (ct)Mf(ct, x) = 1 c ∂ ∂t (ct)Mf(ct, x) = ∂ ∂t tMf(ct, x)
Natomiast drugi skªadnik d¡»y do 1 cctMg(ct, x) = tMg(ct, x). Zatem (7.5) u(t, x) = tMg(ct, x) + ∂ ∂t tMf(ct, x) ,
czyli u(t, x) = 1 4πc2t Z ky−xk=ct g(y) dSy+ ∂ ∂t 1 4πc2t Z ky−xk=ct f (y) dSy .
Wykazali±my, »e ka»de rozwi¡zanie u = u(t, x), klasy C2 na [0, ∞) × R3,
jest postaci (7.5). W szczególno±ci, wynika st¡d jednoznaczno±¢ rozwi¡zania zagadnienia pocz¡tkowego dla trójwymiarowego równania falowego.
Zaªó»my, »e f jest klasy C3 i g jest klasy C2. Funkcja u = u(t, x)
okre-±lona wzorem (7.5) jest klasy C2 na [0, ∞) × R3. Bezpo±rednie sprawdzenie
tego, »e takie u jest rozwi¡zaniem równania falowego, jest do±¢ skompliko-wane. Zauwa»my jednak, »e, podstawiaj¡c w równaniu Darboux (7.2) r = ct otrzymujemy ∂2 ∂t2(tMg(ct, x)) = c ∂2 ∂r2(rMg(r, x)) = cr∆x(rMg(r, x)) = c 2∆ x(tMg(ct, x)).
Zatem tMg(ct, x)jest rozwi¡zaniem równania falowego. Analogicznie
wykazu-jemy, »e tMf(ct, x)jest rozwi¡zaniem równania falowego, wi¦c jego pochodna
po t te» jest rozwi¡zaniem równania falowego. To, »e okre±lone wzorem (7.5)
u speªnia warunki pocz¡tkowe, wynika z (7.3).
Przeksztaªcamy dalej nasz wzór. Zauwa»my, »e 1 4πc2t2 Z ky−xk=ct f (y) dSy = 1 4π Z kξk=1 f (x + ctξ) dSξ. Zatem ∂ ∂t 1 4πc2t Z ky−xk=ct f (y) dSy ! = ∂ ∂t t · 1 4πc2t2 Z ky−xk=ct f (y) dSy ! = = 1 4πc2t2 Z ky−xk=ct f (y) dSy+ t 4π ∂ ∂t Z kξk=1 f (x + ctξ) dSξ. Dalej t 4π ∂ ∂t Z kξ=1k f (x + ctξ) dSξ = ct 4π Z kξk=1 3 X j=1 fxj(x + ctξ) · ξj dSξ = = ct 4πc2t2 Z ky−xk=ct 3 X j=1 fyj(y) · yj − xj ct dSy = = 1 4πc2t2 Z ky−xk=ct 3 X j=1 fyj(y) · (yj − xj) dSy.
Otrzymali±my wzór Kirchhoa(2) (7.6) u(t, x) = 1 4πc2t2 Z ky−xk=ct tg(y) + f (y) + 3 X j=1 fyj(y) · (yj − xj) dSy
(niekiedy wzorem Kirchhoa nazywa si¦ wzór (7.5)).
Zauwa»my, »e tracimy jedn¡ pochodn¡: gdy f jest klasy Cr i g jest klasy
Cr−1, mamy zagwarantowane tylko, »e u jest klasy Cr−1.
Warto±¢ rozwi¡zania w punkcie (t, x) zale»y tylko od warto±ci warun-ków pocz¡tkowych S(x, ct): obszar zale»no±ci punktu (t, x) to S(x, ct). Da-lej, warto±ci warunków pocz¡tkowych w punkcie y ∈ R3 wpªywaj¡ na
war-to±ci rozwi¡zania tylko w punktach (t, x) le»¡cych na powierzchni sto»kowej
kx − yk = ct.
Zaªó»my, »e no±niki funkcji f i g s¡ zawarte w pewnym zbiorze ograni-czonym D ⊂ R3. Aby u(t, x) 6= 0 punkt x musi nale»e¢ do sfery o promieniu
ct o ±rodku gdzie± w D.
Niech D = D(0; %). Gdy sfera S(x, ct) ma niepusty przekrój z D =
B(0; %), musi zachodzi¢ ct − % < kxk < ct + %. Zatem, dla ustalonego t > %/c, no±nik funkcji u(t, ·) jest zawarty wewn¡trz S(0, ct + %) i na
ze-wn¡trz S(0, ct − %).
Dla ustalonego x ∈ R3, gdy t > (kxk + %)/c, zachodzi u(t, x) = 0.
Powy»sze rozumowania s¡ matematycznym wyrazem mocnej zasady Huy-gensa: obszarem zale»no±ci w przestrzeni x jest powierzchnia dwuwymiarowa.
7.2.3 Dwuwymiarowe równanie falowe
Przypadek n = 2 nie mo»e by¢ traktowany w powy»szy sposób: nie wiado-mo, w jaki sposób znale¹¢ rozwi¡zania równania EuleraPoissonaDarboux. Stosuje si¦ tutaj inn¡ metod¦, tzw. metod¦ spadku: szukamy rozwi¡zania zagadnienia pocz¡tkowego równania dwuwymiarowego
utt− c2∆xu = 0, t > 0, (x1, x2) ∈ R2, u(0, x1, x2) = f (x1, x2), (x1, x2) ∈ R2, ut(0, x1, x2) = g(x1, x2), (x1, x2) ∈ R2,
jako rozwi¡zania równania trójwymiarowego, które jest niezale»ne od zmien-nej x3.
Po odpowiednich przeksztaªceniach otrzymujemy wzór Poissona: u(t, x1, x2) = 1 2πc ZZ B((x1,x2);ct) g(y1, y2) q c2t2− ((x 1− y1)2+ (x2− y2)2) dy1dy2+ + 1 2πc ∂ ∂t ZZ B((x1,x2);ct) f (y1, y2) q c2t2− ((x 1− y1)2+ (x2− y2)2) dy1dy2 ! ,
lub, po dalszych przeksztaªceniach,
u(t, x1, x2) = = 1 2πct Z Z B((x1,x2);ct) f (y1, y2) + 2 P j=1 fyj(y1, y2) · (yj− xj) + tg(y1, y2) q c2t2− ((x 1− y1)2+ (x2− y2)2) dy1dy2.
Zauwa»my, »e w powy»szym wzorze, w odró»nieniu od sytuacji trójwymia-rowej, warto±¢ rozwi¡zania w (t, x1, x2) zale»y od warto±ci pocz¡tkowych na
caªym kole o ±rodku w (x1, x2) i promieniu ct. W szczególno±ci, pocz¡tkowe
zaburzenie w (x1, x2) ∈ R2nie redukuje si¦ tam do zera w »adnej chwili t > 0.
7.2.4 n dowolne
Dla n nieparzystego, stosujemy odpowiednio zmody kowan¡ metod¦ ±rednich sferycznych z przypadku trójwymiarowego, otrzymuj¡c, »e pewna funkcja (bardziej skomplikowana ni» rMu) speªnia jednowymiarowe równanie falowe.
Podobnie jak dla n = 3, warto±¢ rozwi¡zania w punkcie (t, x) zale»y tylko od warto±ci warunków pocz¡tkowych na sferze o ±rodku w x i promieniu ct. Dla n parzystych, stosujemy metod¦ spadku: traktujemy rozwi¡zanie wyj-±ciowego zagadnienia pocz¡tkowego jako rozwi¡zanie zagadnienia (n+1)-wy-miarowego, niezale»ne od xn+1.
Analogicznie jak dla n = 2, warto±¢ rozwi¡zania w punkcie (t, x) zale»y od warto±ci warunków pocz¡tkowych na kuli o ±rodku w x i promieniu ct. 7.2.5 Jak szybko maleje rozwi¡zanie przy t d¡»¡cym do
niesko«-czono±ci?
Niech n = 3. Zaªó»my, »e no±niki funkcji f i g s¡ zawarte w ¯B(0; %).
Zauwa»my, »e we wzorze Kirchhoa
u(t, x) = 1 4πc2t2 Z ky−xk=ct tg(y) + f (y) + 3 X j=1 fyj(y) · (yj − xj) dSy
caªkowanie odbywa si¦ faktycznie tylko po przekroju sfery S(x; ct) z kul¡ o promieniu %. Miara powierzchniowa takiego zbioru jest ograniczona z góry przez 4π%2.
Wynika st¡d istnienie staªej C > 0 takiej, »e
max
x∈R3|u(t, x)| ¬
C
t dla dostatecznie du»ych t > 0.
Szczypta poezji. Jak zauwa»yª Fritz John(3), do tego zjawiska (cho¢ dla
n = 2) odnosi si¦ nast¦puj¡cy cytat z Henryka VI Szekspira
Glory is like a circle in the water Which never ceaseth to enlarge itself
Till by broad spreading it disperse to nought.(4)
Zjawisko to nie zachodzi dla n = 1. 7.2.6 Norma energetyczna
Niech n = 3. Zaªó»my, »e f i g maj¡ zwarte no±niki. Wówczas u(t, ·), ma, dla ka»dego ustalonego t > 0, zwarty no±nik.
Zde niujmy norm¦ energetyczn¡:
E(t) := 1 2 Z R3 (ut)2 + c2 3 X j=1 (uxj) 2dx
(pierwszy skªadnik odpowiada energii kinetycznej, drugi energii potencjal-nej). Liczymy dE dt = Z R3 ututt+ c2 3 X j=1 uxjuxjt dx = = Z R3 ut utt− c2 3 X j=1 uxjuxj + c2ut 3 X j=1 uxjuxj + 3 X j=1 uxjuxjt dx = = Z R3 ut(utt− c2∆xu) + c2 3 X j=1 utuxj xj dx = 0.
(3)Fritz John (19101994), matematyk ameryka«ski pochodzenia niemieckiego
(4)eth to dawna ko«cówka trzeciej osoby liczby pojedynczej czasu tera¹niejszego, za± it
disperse to nie bª¡d gramatyczny, lecz przykªad u»ycia trybu ª¡cz¡cego (ang. subjunctive mood).
Uwagi na temat oznacze«
Operator ró»niczkowy
2 := ∂2
∂t2 − ∆x
nazywany jest operatorem d'Alemberta (inna nazwa to dalambercjan). Zwykle laplasjan interpretuje si¦ tylko wzgl¦dem wspóªrz¦dnych prze-strzennych, czyli równanie falowe zapisuje sie po prostu
