M ECH AN I KA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3 - 4, 23 (1985)
STATEC Z N OŚĆ SPIRALN A SAM OLOTU W RU CH U PRZESTRZEN N YM Z U WZ G LĘ D N I EN I EM EF EKTÓW ELEM EN TÓW WIRU JĄ CYCH Z ESP OŁU
N AP Ę D OWEG O*
JERZY M ARYN IAK, WI TOLD M OLICKJ (WARSZAWA) 1TLIMS Politechnika Warszawska
1, Wyprowadzenie równań mchu samolotu
Ruch samolotu w przestrzeni opisano stosują c nastę pują ce ukł ady odniesienia (rys. 1): OXYZ • — ukł ad „ samolotowy" sztywno zwią zany z poruszają cym się samolotem, OXaYaZa — ukł ad „ prę dkoś ciowy" zwią zany z kierunkiem przepł ywu,
OXgYgZg — ukł ad grawitacyjny zwią zany z poruszają cym się samolotem równoległ y do ukł adu OX^YxZy.
OX\ Yt Z , — nieruchomy ukł ad grawitacyjny zwią zany z ziemią .
D odatkowo wprowadzono ukł ad współ rzę dnych CXrYrZr zwią zany z silnikiem. Począ tek C ukł adu umieszczony jest w ś rodku masy zespoł u turbina — sprę ż arka, oś X, skierowana
Rys. 1.
ł )
652 J. MARYN IAK, W. MOLICKI
jest wzdł uż osi obrotu zespoł u ku przodowi pł atowca, oś Zr leży w pł aszczyź nie symetrii samolotu i jest skierowana ku spodowi pł atowca, zaś oś Yr tworzy z dwoma poprzednimi prawoskrę tny ukł ad kartezjań ski (rys. 2). Przyję to, że ś rodek masy zespoł u turbina sprę -ż arka le-ży w odległ oś ci xr od począ tku ukł adu OXYZ, a oś X, tworzy z osią X ką t <pr. D la tak przyję tych ukł adów współ rzę dnych macierz prę dkoś ci ką towej Sl silnika w układzie OXYZ m a postać:
SI = colfP + ctvcoscv, Q, jR- carsinf/ )r], (i)
Rys. 2.
gdzie: <ar— prę dkość ką towa zespoł u wirują cego w ukł adzie CXrYrZr, P,Q,R — prę dkoś ci ką towe samolotu w ukł adzie OXYZ.
Macierz prę dkoś ci liniowych ś rodka masy zespoł u wirują cego w ukł adzie OXYZ ma postać:
V = col[U, V- Rxr, W +Qxr], (2)
gdzie: U, V, W —prę dkoś ci ś rodka masy samolotu w ukł adzie OXYZ. Samolot potrakto-wano jako ciał o o siedmiu stopniach swobody, bez uwzglę dniania drgań powierzchni sterowych. Jako siódmy stopień swobody przyję to ruch obrotowy zespoł u turbina- sprę ż arka wokół wł asnej osi. D ynamiczne równania ruchu samolotu w przestrzeni wyprowadzono stosują c równania Boltzmana- H amela [2, 3]
d l8T*\ 8T* V V " - 8T*
At \ 8co(t) Z J Z J 80,.- «„ =
(3)
gdzie: T* — energia kinetyczna ukł adu wyraż ona w quasi- współ rzę dnych i quasi- pręd-koś ciach,
Van — trójwskaź nikowe symbole Boltzmanna,
Q* — sił y uogólnione wyraż one w quasi- współ rzę dnych i ą uasi- prę dkoś ciach. Jako współ rzę dne uogólnione przyję to:
tfi — ^ i) Iz — vx, ?3 = zi — odległ oś ci ś rodka masy sam olotu od począ tku ukł adu współ rzę dnych OXxY^Z^,
qx ~ $, qs - 6, q6 = V /
— ką ty przechylenia, pochylenia i odchylenia samolotu mierzone od nieruchomego ukł adu współ rzę dnych zwią zanego z samolotem OX^Z, do ruchomego sztywno zwią zanego z samolotem ukł adu OXYZ,
STATECZ N OŚĆ SPIRALN A SAM OLOTU ... 653
Przyjmują c zależ noś ci (1 - 3) otrzymano [7] równania ruchu samolotu w locie prze-strzennym uwzglę dniają ce oddział ywania elementów wirują cych zespoł u napę dowego:
Um+QW m- RVm+R
2m
rx
r+Q
2m
rx
r= X*; (a)
Vm- Rm
rx
r- (PW - RU)m- PQm
rx
r= Y*; (b)
W m+Qm
rx
r- (QU- PV)m- PRm
Tx
r~ Z*; (c)
h
s
+h J*P(cos - J„co$2<pr- J„sin 2 (pr+mrx?)- PQ[Jx:+(Jxr- J„)sin(prcos(pr] + +PRJxy+ 2" 30" J w(sin3 ?> r+ cos2 c?r sin (pr) ~ L *; (d) Q(Jy+Jyr+2mrx 2 )++ (Jx, ~Jzr) sin cv cos <pr]+ PQJyz—RQJxy—PR [Jx ~Jx- JXr(cos 2 f, + - sin3 *?,) - Jzr(sin 2 (pr - cos 2 q>r)+ mrx 2 ]+ (PF - g (7) mr xr+ J i ^ + i t f J + P j{ Jxr(sin<Pr+cos<prsm<pr) = M *; (e) (4) ^ ( / , + Jz r cos z <p,+Jxr sin 2 9?r+ mrxr) - P[JXI+(Jxr- Jzr) sin c>rcos <pr]+ - Q- 'yz - Vmtxr - h ~ Jx,($in 3 <pr+cos 2 c»r sin <pr)+ (Q 2 -- PQ(Jx- Jy+J„cos 2 (Pr+I„sin 2 (pr- Jyt- 2mrx 2 )+QR[Jxz+ + (JXr- Tir)sin<pfcos<pr]~PRJyz+(PW - UR)mrxt+ - Qn - ^J„(cos3 ipr+sin 2 c3rcos tpr) = # * ; ( 0 /i J „ ( sin2 yr+ c o s 2 c >r) 2
- i?J„ (sin cpr+ cos 2 pr sin y, ) + + P J„ (cos3 9Jr+ sin 2 9'rcosc'l.) = n *; (g) D odatkowo uwzglę dniono:
— zwią zki kinematyczne prę dkoś ci liniowych
+ w(cos(^sin 0 cos y>+sin <^> sin y>),
I 7c o s0sin v+ F ( sin 0sin O sin v+ c o s^ c o sf) + (5) + w(cos <j) sin 6 sin y> - sin ^ cos y>),
— zwią zki kinematyczne prę dkoś ci ką towych
0 =
654 J. M AR YN I AK , W. M O L I C K I
— zmianę ką ta natarcia a, ką ta ś lizgu /?j prę dkoś ci liniowej samolotu vc, oraz gę stoś ci
powietrza Q: ,. .; ,.• • • • :
^
J
L *
2+ W
2;
a = ; /?• = a r c si n J L ; V* = o = eoCl+ Zj/ 44300)4 - 256 dla: 7 t = -Prawe strony równań (4) okreś lono nastę pują co [4, 5]y* — AB W X Y Z ~L* ' M * i V*. — - <4,BW "L " M nJxr (8)
gdzie Z , y, Z , L, M,N- ~- oznaczają siły i momenty dział ają ce n a samolot. Wyraż enia te wyprowadzone w ukł adzie „ prę dkoś ciowym" mają postać [8]:
X - - Px+Pscos(<pr+<x)—(PxH+Px0)cos'e- P~nsins- Ps,tts'm(fl0 + Ó)coss- mgsinO,
Z = - Pz- Pssin(<pr + oć )~ PzHcos e + (Px„ + Pxv)sin & + mg cos6 cos <j>,
L = L/ ll>+LaL+Lv + Lr+LQ+Lri • - • . ^
M = MblI- P^X^H+P^ZAH+Pxvsm(^- F)ZAV+MQ+MT, N = NSv+Nv+Nr+NQ+Nr,
ABW — oznacza macierz transformacji z ukł adu „ prę dkoś ciowego" do ukł adu „samolo-towego" i przedstawia się nastę pują co: . •
cosoccos/ ? —cosasiii/ 5 — sin cci siny? cos/ T 0 sinacos/ ? — sin a sin /? cos a r2 — stał a czasowa silnika turboodrzutowego a mają ca postać; ,
T2= f(1.269- 0,703 M a) - ( 2, 978- 1, 961 M a ) / " A + (1,82 + (10)
^ , OD
gdzie Qo — charakterystyka statyczna silnika Qo = / ( «) : 2 o = 57,1 + 387 — ^ = -T0 — stał a czasowa T0 =f(n), ,r 0,094- 0,0196 (—~^\ + 0,106 . 1 + 0 , 2 ^ (12) (13)A . 7j —ciś nienie i temperatura powietrza n a wysokoś ci H n ad poziomem morza, M a — liczba M acha dla danej prę dkoś ci i wysokoś ci lotu.
STATECZ N OŚĆ SPIRALN A SAM OLOTU ... 655
2. Badanie statecznoś ci spiralnej samolotu w ruchu przestrzennym
Otrzymauy ukł ad równań ( 4^ 7) zlinearyzowano stosując metodę mał ych zakł óceń wokół poł oż enia równowagi. Otrzymano ukł ad trzynastu równań róż niczkowych pierw-szego rzę du. U kł ad ten poddan o analizie modalnej w celu wnioskowania o jego statecznoś ci. Wyniki obliczeń numerycznych dla postaci ruchu nazywanego spiralą przedstawiono
i)4 69 B4 99 114 129 144 159 174 189 204 2i9 234 y
Rys. 3. ,
na rysunku 3 — zmiana współ czynnika tł umienia £ w funkcji prę dkoś ci. Jako samolot testowy do obliczeń przyję to samolot TS- 11 „ I SK R A" wyposaż ony w silnik SO- 3, ze wzglę du na dostęp do niezbę dnych danych. Obliczenia wykonano w peł nym zakresie prę dkoś ci lotu. oraz dla trzech wybranych wysokoś ci lotu.
U wzglę dnienie w modelu samolotu elementów wirują cych zespoł u napę doweg o w zde-cydowany sposób zmienił o jakoś ciowo i iloś ciowo rozwią zani a równań ruchu przestrzen-nego samolotu, wpł ywając n a pogorszenie statecznoś ci ruchu „ spiralnego".
656 J. MARYNIAK, W. MOLICKI
Literatura
1. B. ETKIN , Dynamics of Atmospheric Flight, J. Wiley, N ew York J972. .
2. J. MARYNIAK, Dynamiczna teoria obiektów ruchomych. Prace naukowe—M echanika nr. 32, Politechnika Warszawska, Warszawa 1975.
3. R. GuTOWSKi, Mechanika Analityczna, PWN ,' Warszawa 1971. 4. I. W. OSTOSŁAWSKI, Aerodinamilca samoliota. G IOP , M oskwa 1957. 5. W. FISZDON , Mechanika Lotu, t . l, 2, P WN , Łódź —Warszawa 1960.
6. F . LENORT, Próba okreś lenia modelu matematycznego silnika turboodrzutowego jako obiektu regulacji. Prace ILOT nr 68, WN T, Warszawa 1972.
7. W. MOLICKI, Modelowanie wł asnoś ci dynamicznych samolotu w locie przestrzennym z uwzglę dnieniem
mas wirują cych. XXI I Sympozjon Modelowanie w mechanice — zbiór referatów (s. 299 - 306) Gliwice —
PTMTS 1983.
8. Z . G ORAI, Obliczenia sterownoś ci, równowagi i statecznoś ci samolotu w zakresie poddź wię kowym. Poli-technika Warszawska — skrypt (w druku).
P e 3 IO M e
CIIH PAJIBH Afl yC T O a ^ I H BO C T B C AM OJI E TA B I I P O C T P AH C T BE H H O M flBKD KEH H H 3# < &E K TA BP Am ATEJIBH LIX 3J I E M E H T O B C H JI OBOfł YC TAH OBKH B pa6oie o6cymfleHo crmpaJiBiryio ycroitajiBocTB caM oneia B npocTpaHCTBeHHoM ppmKtsiw.
HHaMH^ecKyio Moflejii, caMOJiETa c CHJIOBOH yciaHOBKOH. IlpeflCTaBneHo pe3yjifcTaTtt peiuem m fljin cnHpajiŁHoii ycToirTH Bocni.
„ S u m m a r y
SPIRAL STABE.ITY OF AIRPLAN E I N A SPACE M OTION WITH TH E EF F ECT OF POWER U N I T SPIN ELEM EN TS
In the paper, the problem of spiral stability in a space motion in presented. D ynamic model of an airplane with power unit is proposed. Solution of the spiral „stability motions have been obtained by means of a digital computer.
