Wykad 7

MECHANIKA 2

Wykład 7

Dynamiczne równania ruchu

Dynamiczne równania ruchu

Druga zasada dynamiki

zapisana w postaci:

Wektory F i a mają składowe:

Dynamiczne równania ruchu

W kartezjańskim

układzie współrzędnych

We współrzędnych biegunowych

We współrzędnych walcowych

r

ϕ

ϕ

1. Zadanie pierwsze - zadane są parametryczne równania toru

)

(t

x

x

=

_y

=

_y

_(t

₎

z

=

z

(t

)

Należy wyznaczyć siłę

, pod której wpływem porusza się

punkt materialny.

Tok postępowania:

Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu równania toru uzyskując składowe przyspieszenia. Po podstawieniu do dynamicznych równań ruchu wyznaczamy składowe wektora siły działającej na punkt.

F

ρ

2. Drugie zadanie dynamiki - należy wyznaczyć

przyspieszenie, prędkość i tor poruszającego się

punktu, przy danej masie i sile.

a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie, b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła,

c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości, d) Siła zależy od prędkości punktu, np. opór powietrza.

W najogólniejszym przypadku równania ruchu w

współrzędnych kartezjańskich mają postać:

Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i uwzględniając zadane warunki początkowe (położenie początkowe

punktu i prędkość początkową) wyznacza się równania toru.

o

x

x

=

x

&=

x

&

y

y

=

y

&=

y

&

z

z

&=

&

Parametryczne równania toru mają postać:

Całka ogólna równa

ń

ruchu

Przykład 1

Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym równaniami

6

2t

4t

+

−

=

x

y

=

3

t

+

4

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem uzyskujemy składowe przyspieszenia

Po podstawieniu do równań ruchu otrzymamy składowe wektora siły

Wektor siły

Wyznaczyć siłę

działającą na tę masę

Ruch pod wpływem siły

Dynamiczne równanie dynamiczne ma postać

0

=

F

ρ

czyli

Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0 rρ =&_o vρ_o , otrzymamy

Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0

r

ρ=

r

ρ

Jest to znane równanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego.

Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych,

że dla t = 0 i otrzymamy

Ruch pod wpływem siły stałej

_F

ρ

=

_const

o o v

rρ =& ρ

r

ρ =

r

ρ

Przykład 3

Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia.

Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m wystrzelonego z planety o masie M z prędkością v_o. Równanie ruchu:

ale

Przykład 4

lub

Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość początkową v_o. Podstawimy więc v = 0, x = H, x_o = R otrzymamy

lub po przekształceniu

Teraz wyznaczymy z jaką prędkością należy wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą planety.

Prędkość tę v_∞ otrzymamy po podstawieniu do wzoru v_o = v_∞ oraz H = ∞.

Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość

Po podstawieniu otrzymamy wzór na prędkość ucieczki dla Ziemi

Przyjmując R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s2 _otrzymamy:

v

≈

Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się satelitą Ziemi.

Ruch wzgl

ę

dny

Względem

układu stałego

W

układzie ruchomym

Ruch wzgl

ę

dny

Równanie ruchu przybiera postać:

Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch postępowy, punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego, oprócz sił czynnych, jeszcze siła bezwładności unoszenia.

Zasada względności mechaniki klasycznej:

Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu odniesienia.

Ruch wzgl

ę

dny

W układzie ruchomym równanie ruchu ma postać :

– siła bezwładności unoszenia,

– siła bezwładności unoszenia Coriolisa. Po podstawieniu

Ruch wzgl

ę

dny

Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch obrotowy, punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sił danych, jeszcze siła bezwładności unoszenia i siła bezwładności Coriolisa.

w związku z tym

W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną przyspieszenia stycznego i normalnego (dośrodkowego), czyli

t

D – styczna siła bezwładności,

n

D – normalna siła bezwładności

c

Ruch wzgl

ę

dny

Wartości tych sił określone są wzorami:

ε

– przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego

Ruch wzgl

ę

dem Ziemi

W

wielu

zagadnieniach

praktycznych

za

układ

odniesienia przyjmujemy Ziemi

ę

.

Ś

ci

ś

le bior

ą

c jest

to układ nieinercjalny. Jednak z wystarczaj

ą

co

dobrym przybli

ż

eniem Ziemi

ę

mo

ż

emy uwa

ż

a

ć

za

układ inercjalny, o ile tylko b

ę

dziemy rozpatrywa

ć

ruch w przedziałach czasu krótkich w porównaniu z

okresem ruchu post

ę

powego i obrotowego Ziemi.

Szczególnie

niewielk

ą

rol

ę

odgrywa,

przy

wyst

ę

puj

ą

cych

w

praktyce

pr

ę

dko

ś

ciach,

siła

Coriolisa.

Układ nazywamy inercjalnym gdy przyśpieszenie

jest tylko skutkiem siły działającej na ciało.

Rys. 8

Ostatecznie:

Dla punkt materialny będzie poruszał się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry.

Gdy , punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

α

tg

g

a

<

α

tg

g

a

=

Przykład 5

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

Rys. 9

Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie

Rozwiązaniem ogólnym będzie wyrażenie

Przykład 6

Rzut uko

ś

ny

Na ciało M o masie m działa jedynie siła ciężkości

_G

ρ

=

−

_m

_g

ρ

Rozwi

ą

zanie

Warunki początkowe:

Dynamiczne

równania

ruchu:

ponieważ w chwili wznoszenia prędkość v, styczna do

toru ruchu, ma TYLKO składową x-ową.

Czas wznoszenia

znajdujemy z

zależności:

v

ρ

Wysokość h

obliczymy z

zależności:

Zatem

Przykład 7

Znaleźć równanie ruchu skrzyni o masie m, poruszającej

się po poziomej powierzchni na skutek działania siły o

wartości F, nachylonej pod kątem α do poziomu.

Współczynnik tarcia kinetycznego skrzyni o podłoże

wynosi µ. Prędkość początkowa v

= 0 m/s. Jaką drogę

przebędzie skrzynia w piątej sekundzie ruchu?

Dynamiczne równania ruchu:

gdzie

2

Z równania 2 mamy:

Zatem rozwiązujemy równanie:

Warunki brzegowe:

Przykład 8

Gładki walec o masie m i promieniu R stacza się bez

prędkości początkowej po gładkiej równi pochyłej o kącie

nachylenia α. Znaleźć wartości chwilowych prędkości

liniowych punktów O, A, B, C i D oraz prędkość kątową ω

walca.

Rozwi

ą

zanie

Siła wypadkowa działająca na walec jest równa:

więc

Dynamiczne równanie ruchu:

więc

Rozwi

ą

zanie

Warunki brzegowe:

Zatem

– prędkość

ś

rodka walca

w chwili t

Z teorii ruchu płaskiego mamy:

Przykład 9

Z

wierzchołka

wieży

o

wysokości

h

rzucono

jednocześnie dwa jednakowe kamienie. Pierwszy

rzucono pionowo do góry z prędkością v

, drugi z taką

samą prędkością pionowo w dół. W jakim odstępie

czasu spadną te kamienie na powierzchnię ziemi?

Pominąć opory powietrza.

Dynamiczne równanie ruchu pierwszego kamienia

(rzuconego w górę):

więc

Rozwi

ą

zanie

Warunki brzegowe:

_Zatem

Dynamiczne równanie ruchu drugiego kamienia

(rzuconego w dół):

więc

Warunki brzegowe:

_Zatem

Całkowity czas ruchu t

wyznaczamy z równania:

Przykład 10

Ciało o masie m zsuwa się po chropowatej równi pochyłej o kącie

nachylenia α i współczynniku tarcia µ. Opór ośrodka R jest

proporcjonalny do masy i kwadratu prędkości kmv

. Wyznaczyć

równanie drogi x w funkcji prędkości v.

Siły działające na ciało:

Rozwi

ą

zanie

Dynamiczne równanie ruchu:

Podstawiając

Całkując obustronnie i korzystając z własności:

otrzymujemy

Przykład 11

Sanki zsunęły się ze zbocza o nachyleniu α = 30° i długości s

= 20 m, po czym do chwili zatrzymania przebył odległość s

=

200 m po torze poziomym. Wyznaczyć wartość współczynnika

tarcia sanek o śnieg, który na całej trasie jest jednakowy.

Rozwi

ą

zanie

Niech:

a

, a

– przyspieszenia sanek na odcinkach s

, s

;

t

, t

– czasy przebycia odcinków s

, s

przez sanki;

v

– prędkość sanek u dołu zbocza.

Wówczas:

Po przekształceniu:

Zatem wystarczy wyznaczyć przyspieszenia a

i a

na

podstawie II zasady dynamiki.

Równania dla ruchu sanek po równi pochyłej:

Stąd:

Równania dla ruchu sanek po powierzchni poziomej:

Podstawiając do równania

(*)

:

Przykład 12

Oblicz wysokość, na jaką może wjechać samochód, który

mając początkową prędkość v

= 72 km/h, porusza się w górę

z wyłączonym silnikiem. Nachylenie zbocza wynosi α = 30°, a

współczynnik tarcia µ = 0,1.

Rozwi

ą

zanie

Dynamiczne równania ruchu samochodu:

Stąd:

Niech t

– całkowity czas ruchu samochodu. Wtedy:

Zależność wyjściowa:

Przykład 13

Ciężarek o masie m = 0,1 kg przywiązano do nici o długości l

= 0,5 m i wprawiono w ruch obrotowy po okręgu w

płaszczyźnie poziomej. Nić odchyla się od pionu o kąt α = 45°.

Wyznacz prędkość kątową ciężarka, okres obiegu i siłę

napięcia nici.

Dane: m, α, l

Rozwi

ą

zanie

Na ciężarek działają dwie siły: grawitacji G i napięcia nici S.

Obie razem dają wypadkową F

, która jest siłą dośrodkową,

powodującą (przy konkretnej prędkości początkowej) ruch

ciężarka po okręgu.

Stąd:

α

sin

l

r

=

Ale

, więc:

Przykład 14

Klocek o masie m = 3 kg położono na wózek o masie M = 15

kg. Współczynnik tarcia między tymi ciałami wynosi µ = 0,2.

Na klocek działa pozioma siła F = 20 N, a wózek może

poruszać się po szynach bez tarcia. Oblicz przyspieszenie

klocka względem wózka.

Rozwi

ą

zanie

Niech a

– przyspieszenie klocka względem Ziemi;

a

– przyspieszenie wózka względem Ziemi;

a

– przyspieszenie klocka względem wózka.

Ruch bezwzględny – ruch klocka względem Ziemi;

Ruch unoszenia – ruch wózka względem Ziemi;

Ruch względny – ruch klocka względem wózka.

Wobec tego:

Uwaga!

Aby wystąpił ruch klocka względem wózka, musi

być spełniony warunek: a

> 0, czyli:

W naszym zadaniu warunek ten jest spełniony. Zaś dla

F < 7,2 N klocek nie porusza się względem wózka.