Obrazy fazowe fraktalnych rozmytych szeregów czasowych

Pełen tekst

(1)2002. Jacek. Wołoszyn. Katedra Informatyki. Obrazy fazowe fraktalnych rozmytych szeregów czasowych Streszczenie: W pracy rozważane są zagadnienia związane z modelami systemów chaotycznych zdefiniowanych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych , Badane są rozmyte szeregi czasowe generowane przez takie modele.. czasowych Słowa. Jedną. z metod analizy rozmytych fraktalnych szeregów. konstnaowanie na ich podstawie rozmytych obrazów fazowych. kluczowe: chaos deterministyczny, rozmyty fraktalny szereg czasowy, rozmyty obraz może być. fazowy, odwzorowanie kwadratowe, odwzorowanie logistyczne.. I. Wprowadzenie Szeregi czasowe są często wykorzystywaną w ekonomii strukturą danych przebieg obserwowanego procesu. Z natury swojej szereg czasowy przedstawia zbiór elementów uporządkowany wzdłuż osi czasu. Elementami klasycznych szeregów czasowych są liczby rzeczywiste. Jest to wygodna i często wykorzystywana metoda do reprezentowania dynamiki różnorodnych złożo nych systemów. w tym również systemów ekonomicznych. Wśród szeregów czasowych szczególną klasę stanowią szeregi nazywane fraktalnymi. Określenie to ma zwi ązek ze zjawiskami chaosu obserwowanymi w systemach. których dynamikę opisują tego rodzaju szeregi czasowe. Fraktale są obiektami •. które cechuje własność samopodobieństwa. Obiekty fraktalne możemy również uważać za geometryczną reprezentację chaosu [Peitgen 1997]. [Klldrewicz 1993]. W niniejszej pracy rozważane są wybrane problemy związane z własnościami fraktalnych szeregów czasowych generowanych przez proste systemy chaotyczne. Jedną z efektywnych metod badania takich szeregów jest konstruowanie ich obrazów fazowych. W przestrzeni fazowej można zaobselwować pewne zależności. które są trudne do wykrycia przy pomocy innych metod badania szeregów czasowych.. opisującą.

(2) I. Jacek. Wołoszyn. 2. Chaos delermlnlslyn:ny Zjawiska chaosu [Ott 1997). [Schuster 1995]. [Oleick 1996] związane są ze specyficznym charakterem dynamiki systemu. w którym występują. Chaos oznacza występowanie w badanym systemie przebiegów mających bardzo nieregularny kształt. Dodatkowo przebiegi te są trudne do przewidzenia w dłuższym horyzoncie czasowym. Termin chaos deterministyczny tylko pozornie przedstawia zlożenie prteciwstawnych pojęć. Określenie to w sposób adekwatny charakteryzuje specyfikę zjawisk występujących w pewnych systemach deterministycznych. ale przebiegających w sposób chaotyczny. Przymiotnik "deterministyczny" wskazuje na system dynamiczny. którego zachowanie jest w pełni jednoznaczne i pozbawione elementów losowości. Systematycznie wzrasta liczba publikacji poświęconych badaniu dynamiki systemów chaotycznych [Schuster 1995]. [Ott 1997]. [Baker 1998]. Coraz czę ściej również systemy ekonomiczne badane są metodami uwzględniającymi rozpoznawanie i analizę zjawisk chaosu deterministycznego pojawiającego się w tych systemach. Wiele prac z zakresu dynamiki systemów chaotycznych prezentuje rezultaty związane z badaniem zjawisk ekonomicznych [Peters 1997] . [Zawadzki 1996]. [lllleligentne .. . 2000]. Systemy dynamiczne wykazujące zachowanie chaotyczne charakteryzują się zwykle dużą wrażliwością na zmianę warunków początkowych. Stan systemu chaotycznego w wybranym momencie w dużym stopniu zależy od stanu początkowego tego systemu. Duża wrażliwość na warunki początkowe jest istotną przeszkodą w przewidywaniu przyszłych zachowml systemu chaotycznego. szczególnie w dluższym horyzoncie czasowym. Ta silna zależność oznacza. że nawet bardzo niewiele różniące się między sobą stany początkowe systemu chaotycznego prowadzą do osiągnięcia przez ten system zupełnie różnych stanów końcowych. Systemy chaotyczne ewoluują wzdłuż trajektorii przebiegających miejscami bardzo blisko siebie. a czasami oddalających się znacznie w przestrzeni fazowej. Jednym z istotnych warunków pojawienia się zachowania chaotycznego w systemie deterministycznym jest nieliniowość relacji i związków występu jących w tym systemie. W systemach liniowych nie obserwujemy zachowania chaotycznego. Zupełnie inny charakter mają systemy nieliniowe. Ich dynamika pozwała obserwować nagle i nieoczekiwane zmiany stanu. które trudno jest badać w sposób analityczny. Wiele interesujących problemów badawczych napotykamy analizując różne zjawiska chaosu deterministycznego występują cego w systemach ekonomicznych. Systemy te są w większości przypadków właśnie nieliniowe. Powszechnie dokonywana linearyzacja przeprowadzana w celu uproszczenia modelu matematycznego badanego systemu często w rezultacie eliminuje z konstruowanego modelu najbardziej interesujące relacje. stanowiące źródło jego chaotycznego zachowania. Postępowanie takie może radykalnie zniekształcać modelowaną dynamikę systemu. Główne korzyści.

(3) rozmytych szeregów czasowych. linearyzacji wiążą się z radykalnym uproszczeniem obliczeń oraz możliwością formułowania bezpośrednich prostych wniosków dotyczących zachowania się badanego systemu. Teoria chaosu wykorzystuje różnorodną metodologię w badaniu własności złożonych systemów dynamicznych. Obok podejścia teoretycznego szeroko stosowane są metody eksperymentalne. Ogromne możliwości w tym zakresie dostarcza szybko rozwijająca się w ostatnich latach technika informatyczna oraz inne związane z nią dziedziny. Symulacja komputerowa pozwala w stosunkowo prosty sposób szybko generować praktycznie dowolnie długie ciągi obserwacji matematycznego modelu systemu chaotycznego. Odpowiedni program komputerowy może dokonywać równocześnie złożonej analizy rezultatów otrzymanych podczas eksperymentu symulacyjnego. Analiza numeryczna wraz z wykorzystaniem grafiki komputerowej stanowią wygodne narzędzia badania zachowania się systemów dynamicznych, w których obserwowane są zjawiska chaosu. Wygodnym narzędziem badania chaosu występującego w modelach matematycznych systemów dynamicznych są komputerowe eksperymenty symulacyjne. Komputer wyposażony w odpowiedni program pozwala na uzyskanie szeregów czasowych zgodnie z wybraną formułą, która zwykle ma formę równania różni cowego. Równanie takie przedstawione w postaci iteracyjnej generuje w sposób zdeterminowany kolejne wartości szeregu czasowego reprezentującego wybraną zmienną badanego modelu. Wspomniane wcześniej samopodobieństwo obiektów fraktalnych oznacza, że mający tę cechę obiekt jest podobny do dowolnego swojego fragmentu. Samopodobieństwo można łatwo zademonstrować na przykładzie specyficznego rodzaju figur geometrycznych. Fraktalna figura geometryczna jest podobna pod względem kształtu do swojej odpowiednio przeskalowanej części. Często podawanym przykładem geometrycznego obiektu fraktalnego jest trójkąt Sierpińskiego, którego przybliżenie, dla pewnego skończonego poziomu rekurencji, pokazano na rys. 1. Łatwo zauważamy, że cały trójkąt fraktalny złożony jest z trzech mniejszych, ale identycznie pod względem struktury zbudowanych fraktali. Własność samopodobieństwa trójkąta Sierpińskiego przejawia się w tym, że po wybraniu małego fragmentu tego fraktala i po odpowiednim jego powiększeniu można go dopasować do kształtu całej figury. Podobne do opisanych wyżej własności samopodobieństwa stwierdzić można badając kształt wykresów szeregów czasowych opisujących zjawiska występujące w systemach ekonomicznych. Szereg czasowy cen akcji pewnej spółki notowanej na giełdzie może hyć podobny do swojego fragmentu. Dla przykładu weźmiemy pod uwagę ceny akcji WBK notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych. Na rys. 2, 3 oraz 4 przedstawione zostały wykresy szeregów czasowych cen akcji WBK z pewnego okresu rejestrowanych z trzema różnymi częstościami. W tym przypadku interesuje nas jedynie kształt wykresów wspomnianych szeregów, a dokładniej mówiąc,.

(4) Jacek. Wołoszyn. podobieństwo kształtu tych wykresów. Wszystkie trzy wykresy zostały wcześniej odpowiednio przeskalowane, a na przedstawianych wykresach cełowo pominięte zostały opisy dotyczące skałowania osi wykresów.. Rys. I. Fraktalny trójkąt Sierpińskiego Żródło; opracowanie własne.. Rys. 2. Szereg czasowy cen akcji WBK ŻI"ódlo: opracowanie wlasne. Przedstawione wykresy (rys. 2-4) szeregów czasowych cen akcji WBK wykazują duże samopodobieństwo geometryczne, co w praktyce objawia się trudnością bezpośredniego ijednoznacznego rozstrzygnięcia, który z omawia-. nych wykresów reprezentuje szereg czasowy cen akcji rejestrowanych w dłuż szych, a który w krótszych okresach. W rzeczywistości rys . 2 przedstawia wykres szeregu czasowego cen dziennych, rys. 3 wykres szeregu czasowego cen tygodniowych, a rys. 4 wykres szeregu czasowego cen miesięcznych..

(5) Rys. 3. Szereg czasowy cen akcji WBK Źródło: oprncowanie własne.. Rys. 4. Szereg czasowy cen akcji WBK Żródło: opracowanie wlasne.. W dalszej części pracy wykorzystywać będziemy proste odwzorowanie kwadratowe generujące przebiegi chaotyczne. W tym miejscu wskażemy jedynie na ti'aktalny charakter szeregów czasowych otrzymywanych poprzez iterowanie wspomnianego odwzorowania. Na rys. 5 przedstawiony został wykres szeregu czasowego otrzymanego w wyniku wykonania 500 kroków iteracji. Traktując wykres jak obiekt fraktalny, sprawdzić możemy podobiel\stwo jego fragmentu do całości obiektu. Rysunek 6 pokazuje odcinek długości 90 kroków iteracji wycięty z początko wego szeregu czasowego pokazanego na rys. 5. Skala otrzymanego wykresu zostala zmodyfikowana w celu uzyskania zmienności porównywalnej ze zmiennością pierwotnego szeregu. Porównując kształty obydwu wykresów łatwo zauważyć można ich zdecydowane podobieństwo. Wykonując jeszcze raz JlodoblU) operację, otrzymujemy rys. 7, który przedstawia odpowiednio powięk szony odcinek o długości 9 iteracji, wycięty z wykresu zamieszczonego na rys. 6..

(6) Jacek. Rys. 5. Odwzorowanie kwadratowe, 500 iteracji Źródło: opracowanie własne.. Rys. 6. Odwzorowanie kwadratowe, 90 iteracji Źródło: opracowanie własne.. Rys. 7. Odwzorowanie kwadratowe, 9 iteracji Źródło: opracowanie własne ..

(7) szeregów czasowych Porównując ze sobą wszystkie trzy zaprezentowane wykresy odpowiadające coraz mniej szym fragmentom szeregu czasowego przekonujemy się o zachodzeniu relacji podobie!\stwa ich kształtu, co potwierdza fraktalną naturę szeregu czasowego generowanego przez odwzorowanie kwadratowe.. 3. Rozmyte fraktalne szeregi czasowe Teoria zbiorów rozmytych , której podstawy zostały stworzone w roku 1965 przez Zadeha [Zadeh 1965] , rozwinęla s ię do rozmiarów wyodrębnionej dziedziny wiedzy określanej jako systemy rozmyte [Mumtkata 1994] . Według Turksenu [1988] systemy rozmyte, stanowiąc klucz do reprezentacji język a naturalnego oraz wnioskowania zgodnego z ludzkim sposobem rozumowania, mogą współokreślać "inteligentny charakter" systemów konstruowanych z myślą o wspomaganiu procesu podejmowania decyzji, w tym również podejmowania decyzji w złożonych systemach ekonomicznych. Dotyczy to zwłaszcza metod wykorzystujących matematyczne modele opisu zjawisk, a także metod i technik symulacyjnych. W tym kontekście szczególne znaczenie mają równania różnicowe i ró żniczkowe. Ich układy nieliniowe znane są jako źródło zac howań chaotycznych. Zjawisko to ma swoje istotne znaczenie z punktu widzenia moż liwości prognozowania. W przypadku systemów rozmytych badanie chaosu deterministycznego uzyskuje nowy wymiar. Znaczenie terminologiczne tego pojęcia wiąże się bowiem z nieokreślonością , a więc immanentną cechą takich systemów. Podstawowym pojęciem teorii zbiorów rozmytych jest zaproponowane przez Zadeha [1965] pojęc ie zbioru rozmytego. Definicja J. Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X, będącej niepustym zbiorem, nazywamy zbiór par uporządkowanych A = {x, ,lA (x) : x E X} gdzie: J.lA: X. -7. [0;1]. (I). jest funkcją przynależności, której wartości określają stop ień przynależności poszczególnych elementów przestrzeni X do zbioru rozmytego A. Funkcja przynależności określa stopieJ\ przynależności elementu przestrzeni X do zbioru rozmytego A, gdzie oprócz pełnej przynalezności oraz całkowitej nieprzynależności może występować stan "częściowej przy należności", wyrażany wartościami z wnętrza przedziału [O; J l. W przypadku zbiorów rozmytych najczęs tszą stoso waną formą zapisu jest następująca notacja: Dla zbioru A w przestrzeni X symbol J.lA(x)!X oznacza rozmyty singleton, czyli element x o stopniu przynależności do zbioru rozmytego II równym J.lA(x), Zbiór rozmyty jest sumą mnogościową singletonów. Szczególną klasą zbiorów rozmytych są liczby rozmyte, które w natUl'alny sposób stanowią przedmiot rozmytej arytmetyki..

(8) Jacek. Wołoszyn. Dąfinicja 2. [Zadeh 1975] Rozmyta liczba rzeczywista ex jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R, mającym ciągłą funkcję przynależności 1-'.. oraz speł niającym warunek wypukłości:. I-'..(y) ~ I-'..(x). 1\. I-'..(z) '" x, y, Z ER, y[x; z]. (2). Przyjęte ogółne zasady notacji dla zbiorów rozmytych są też bez większych zmian stosowane dla liczb rozmytych, których klasę reprezentuje oznaczenie N(R). Ze względów numerycznych przy zapisie takich liczb została zastosowana aproksymacja funkcji przynależności przy pomocy zlożenia funkcji liniowych. Dzięki temu notacja rzeczywistej liczby rozmytej ulega istotnemu uproszczeniu poprzez wykorzystanie zbioru punktów polączeń zlożenia funkcji liniowych . W dalszych rozważaniach przyjęto trójkątną reprezentację liczb rozmytych. Jej notacja operuje wierzcholkami funkcji przynależności, zapisywanymi w formie singletonów. Wykorzystanie metod teorii zbiorów rozmytych w badaniach dotyczących problematyki chaosu deterministycznego stanowić może przejście na jakościo wo nowy poziom we wskazanej dziedzinie. Uzasadnieniem tego podejścia jest dążenie. do lepszego dopasowania modeli matematycznych do opisywanych przez nie zjawisk świata rzeczywistego . W ten sposób charakterystyka numeryczna, oparta na pewnym przedziale wartości lepiej może spelnić zadanie odwzorowania jej rzeczywistego poziomu niż wielkości skalarne. Tym bardziej, jeśli dla wielkości w obrębie takich przedzialów zostanie zdefiniowana gradacja stopnia, w jakim one wykazują dopasowanie do danych stanowiących podstawę opisu matematycznego. Wynika to z faktu, że badając zachowanie dowolnego systemu rzeczywistego latwiej jest operować pewnym zakresem wartości, przynajmniej z punktu widzenia formulowania prognoz. W tym kontekście rzeczywiste liczby rozmyte, mimo heurystycznego kryterium konstrukcji funkcji przynależności, stanowią istotny postęp w poprawianiu adekwatności opisu przebiegu procesów rzeczywistych, w tym także ekonomicznych. Podobne cechy prezentuje sama teoria chaosu deterministycznego proponująca wykorzystanie systemów nieliniowych zamiast upraszczającego podejścia linearyzacji. W ten sposób u podstaw obu teorii leży podobna filozofia zastosowania zaawansowanych struktm matematycznych do opisu zjawisk świata rzeczywistego. Połączenie i wykorzystanie narzędzi obu teorii generuje nowe klasy problemów o charakterze numerycznym i analitycznym. Pierwsza z nich jest związana z generowaniem przez system nieliniowy rozmytego szeregu czasowego. Rozmyty szereg czasowy to szereg, którego poszczególne elementy są liczbami rozmytymi w odróżnieniu od klasycznego szeregu czasowego o elementach rzeczywistych..

(9) szereg6w. Obrazy. 4. Modele. generujące. chaos. Jednym z naj prostszych przykladów modelu systemu chaotycznego jest odwzorowanie kwadratowe określone formułą iteracyjną: X'+I. =2x;-1. (3). Równanie to bezpośrednio wykorzystać można jako generator szeregu czasowego . Wybierając pewną wartość startową X o dla początkowej chwili czasu t = O, na podstawie zależności (3) wyznaczamy wartość szeregu dla momentu czasu t = I . Powtarzając obliczenia dla kolejnych momentów czasu otrzymujemy dowolnie długi szereg czasowy, reprezentujący zachowanie się naszego systemu w dyskretnych momentach symulowanego czasu. Dokonując symulacji komputerowej, przy wyborze wartości początkowej Xo= 0,67819, po wykonaniu 400 iteracji otrzymujemy szereg czasowy przedstawiony w formie wykresu narys. 8.. 1,0 0,8. 0,6 0,4 0,2. 0,0. -0,2 -0,4. -0,6 -0,8. -1,0. Rys. 8. Odwzorowanie X,+ I = 2xl- I, wartość początkowaxo = 0,67819, iteracje 1-400 Źródlo:. opracowanie własne.. Analizując otrzymany wykres, obserwujemy nieregularne, trudne do przewidzenia, chaotyczne zachowanie modelowanego systemu. Chaotyczne zachowanie systemu nie kOl\czy się po 400 iteracjach. Po wykonaniu 50 000 iteracji równania (3) uzyskujemy przebieg chaotyczny o podobnym charakterze, którego wykres pokazany został na rys . 9 ..

(10) Jacek. 1.0 0,8 0,6. 0,4 o~. 0,0. +HhHIł-łt. -0,2 -0,4. -0,6. -0,8. -1.0. Rys. 9. Odwzorowanie x, + I =2xl- I, wartość POCZ>llkowa Xo =0,67819, iteracje 49 601 - 50 000 ŻródJo:. opracowanie własne,. Wspomnianą wyżej trudność przewidywania zachowania się rozpatrywanego modelu należy rozumieć jako brak możliwości wyznaczenia przyszłego zachowania się modelowanego systemu na podstawie znajomości dotychczas uzyskanego szeregu czasowego. Nie należy oczywiście zapominać, że rozważany przez nas model jest calkowicie zdeterminowany i na podstawie formuły (3) możemy wygenerować szereg czasowy o dowolnym horyzoncie czasowym. Uporządkowany zbiór wartości wybranych zmiennych systemu opisuje stan tego systemu w pewnej chwili. Równocześnie wspomniany zbiór wartości wyznacza jeden punkt w przestrzeni stanów systemu. W ogólnym przypadku stan systemu wyznaczany jest w wielowymiarowej przestrzeni. Jeżeli system opisywany jest jedynie przez dwie zmienne, jego przestrzelI stanów redukuje się do dwóch wymiarów, tworząc płaszczyznę fazową. Obrazem fazowym pewnego systemu dynamicznego w przestrzeni stanów jest zbiór punktów tej przestrzeni odpowiadający poszczególnym momentom, w których następuje rejestrowanie wartości obserwowanych zmiennych systemu. Obraz fazowy (wykres fazowy) nazywać będziemy również trajektorią systemu dynamicznego. Trajektoria systemu w sposób syntetyczny wizualizuje jego dynamikę, stając się portretem fazowym tego systemu. Sporządzanie obrazu fazowego systemu dynamicznego, a następnie badanie tego obrazu pozwala niejednokrotnie dostrzec zależności, które mogą być trudne do zauważenia przy bezpośredniej analizie wartości szeregów czasowych. W prostym, dwuwymiarowym przypadku płaszczyzna fazowa systemu dynamicznego jest wyznaczona przez pewną zmienną systemu x oraz jej.

(11) \. 1,0. \. I. /,. 0,8. \. \,. 0,6. I. \. •. 0,4. •. \\. -1,0. 0,2. I. i. l. -0,8 \ -0,6. \. ,. -0,4. -0,2. Op. 0,2. 0,4. 0,6;. 1,0. I. ,. -0,2. •\. 0,8. •. \. -0,4 \. . ". /. -0,6. -0,8. /. I. /". ~,!I'.' Rys, 10. Obraz fazowy odwzorowaniax,+ 1= 2x,z- l, oś pionowa zmienna x, oś pozioma opóźnione wartości X,_I zmiennej x, 400 iteracji Źródło: opracowanie własne. pochodną. x' względem czasu. Zarówno wybrana zmienna systemu, jak i jej pochodna mogą być reprezentowane przez odpowiednie szeregi czasowe, Na wykres fazowy systemu składają się poszczególne punkty, których współrzędne na płaszczyźnie fazowej wyznaczone są przez pary odpowiadających sobie wartości obydwu szeregów odnoszące się do tej samej chwili, W praktyce badania dynamiki wybranego systemu najczęściej bezpośrednio dysponujemy tylko jednym szeregiem czasowym, przedstawiającym wartości pewnej zmiennej i nie znamy odpowiadającego mu szeregu reprezentującego pochodną tej.

(12) Jacek zmiennej. Brakujący szereg czasowy pochodnej często konstruowany jest poprzez zastąpienie szeregu czasowego reprezentującego pochodną przez szereg utworzony z opóźnionych wartości podstawowego szeregu czasowego zgodnie z zależnością: x'/=Xt _ 1. (4). Na rys. 10 przedstawiony zostal obraz fazowy odwzorowania kwadratowego na podstawie szeregu czasowego o długości 400. Pomimo małej liczby punktów wykresu, widać wyraźnie regularny zarys kształtu obrazu fazowego. sporządzony. 5. Rozmyte obrazy fazowe Zasadnicza idea prezentowanych rozważań związana jest z próbą badania zjawisk chaosu w dynamicznych systemach rozmytych . Naturalną konsekwencją przyjętego kierunku badawczego było skonstruowanie rozmytych obrazów fazowych, pozwałających na fazową transformację rozmytych szeregów czasowych. Istotnym elementem prowadzonych badań było poszukiwanie adekwatnych metod wizualizacji danych rozmytych, ze szczególnym uwzględnie niem rozmytych fraktalnych szeregów czasowych oraz rozmytych obrazów fazowych. Praktycznym efektem tych poszukiwań bylo powstanie programu komputerowego służącego graficznemu obrazowaniu rozmytych szeregów czasowych. Wspomniany program noszący nazwę Fuzzy Visualizer został przez autora napisany w języku C++. Wczytany do programu rozmyty szereg czasowy może zostać przedstawiony w różny sposób. Można go oglądać w przekroju w wybranym punkcie czasu lub w formie pasmowej. Przekrój szeregu to po prostu jeden jego element, który w przypadku szeregu rozmytego przybiera formę funkcji przynależności odpowiedniej liczby rozmytej. Widok przekroju ilustruje okno prezentacji przedstawione na rys . II . Na rys. 12 przedstawiony został przykład widoku pasmowego rozmytego szeregu czasowego. Widok taki prezentuje kolejne elementy rozmytego szeregu czasowego w postaci przylegających do siebie pionowych pasm. Każde pasmo reprezentuje jedną liczbę rozmytą, co jest równoznaczne z reprezentowaniem jednej funkcji przynależności. Kierunek pionowy pasma odpowiada przedziałowi osi rzeczywistej, w którym zdefiniowano rozpatrywaną liczbę rozmytą. Wartości funkcji przynależności wyrażane są odpowiednim odcieniem na skali odcieni szarości rozpiętej w sposób równomierny pomiędzy czernią odpowiadającą wartości zero oraz bielą odpowiadającą wartości jeden. Prezentowany program Fuzzy Visualizer jako jedną z możliwości przetwarzania rozmytych szeregów czasowych, oferuje budowanie rozmytych obrazów fazowych, uzyskiwanych na podstawie tych szeregów. Przed utworzeniem rozmytego obrazu fazowego należy wybrać odpowiednią metodę jego konstruowa-.

(13) .\·7nrppńw. czasowych. nia oraz podać wymagane przez program parametly. Program Fuzzy VislIalizer rozmyte obrazy fazowe prezentuje w formie map wyświetlanych w odcieniach szarości lub jako obrazy kolorowe. Ze względu na ograniczenia techniczne w procesie druku, w tym artykule nie są prezentowane kolorowe obrazy fazowe.. 1.0 Index: 4 ot 400. -1.0 0.0 1.0 równanlo: x(tt 11 = 2x(t)'2 - l punkt startowy: 010.1 + 110.3 + 010.5. Rys. 11. Program FlIzzy Visl/alizer - okno prezentacji danych: przekrój Źród ło: opracowanie własne,. Rys. 12. Program Fl/zzy Visualizer - okno prezentacji danych: pasmo Żr6dło: opracowanie własne..

(14) Jacek. Rysunek 13 przedstawia przykład rozmytego obrazu fazowego zbudowanego na podstawie fraktalnego rozmytego szeregu czasowego uzyskanego z modelu kwadratowego (3) przy wyborze rozmytego punktu startowego 0/0,1 + 1/0,3 + + 0/0,5. Rozmyta arytmetyka implementowana w przeprowadzonych obliczeniach związana była z trójkątną reprezentacją liczb rozmytych.. Entrles: 400 1.0. 1.0 Delay: l, Method: Max. Norma[lzed: After. 0,0. O,Q. -1.0 ~~. 00. 1.0. równanie: x(t+l) '" 2x(t)"2-1 punkt startowy: 010.1 + 1/0,:-1 + 0/0.5. Rys. 13. Program Fuzzy Visualizer - okno prezentacji danych: monochromatyczny rozmyty obraz fazowy Źródło: opracowanie własne.. Dokonując. 2 zastępujemy składnikiem. idącej fuzyfikacji, w modelu (3) stały mnożnik rozmytą liczbą k, a odejmowaną stałą 1 zastępujemy. dalej. o wartości rozmytym. l, co prowadzi do modelu: (5). Rysunek 14 prezentuje rozmyty obraz fazowy rozmytego szeregu fraktalnego generowanego przez model (5) dla wybranej wartości rozmytych parametrów k = 01l,5 + 1/2,0 + 0/0,5 i 1= 0/0,5 + 1/1,0 + 01l,5 oraz rozmytego punktu startowego 0/0,1 + 1/0,3 + 0/0,5..

(15) Obrazy fazowe. 1.0. Enlrles: 400 Delay: 1. M.tll0cl: Max. Norrnallzed: After ,,--.,._ _-.. 1.0. 0.0. 0.0. -1.0 -1.0. 0.0. 1.0. równanie: x(I+1) = kx(t)"2-1. punkt startowy: 0/0.1 + 1/0.3 + 0/0.5 k = 011.5 + 1/2.0 + 0/2.5 I = 0/0.5 + 1/1.0 + 0/1.5. Rys. 14. Rozmyty obraz fazowy rozmytego szeregu generowanego przez formułę (5) Źródło: opracowRnie. wlasne.. Kolejny eksperyment z modelem rozmytego systemu chaotycznego dotyczy odwzorowania logistycznego określonego zależnością:. x,. t = ex, (l-x,). (6). Model (6) poddany zostal iteracji dla rozmytej wartości początkowej 0/0,1 + wartości parametru c = 3,8. Rozmyty szereg czasowy, otrzymany po wykonaniu 400 kroków iteracyjnych obliczeń, został wykorzystany do zbudowania rozmytego obrazu fazowego przedstawionego na rys. 15. Na wcześniej prezentowanym rys. 10 przedstawiony został obraz fazowy generowany przez odwzorowanie kwadratowe w przestrzeni liczb rzeczywistych. Kształt tego obrazu fazowego w naturalny sposób odpowiada paraboli. Analizując rozmyte obrazy fazowe zamieszczone na rys. 13 i 14 również zaobserwować możemy paraboliczny ślad, wzdłuż którego układają się białe wierzcholki obrazu. Występujące na omawianych obrazach fazowych nieciągłości geome-. + 1/0,3 + 0/0,5 oraz.

(16) Jacek WO/OSZY". tryczne w dużej mierze wynikają z zastosowanej metody aproksymacji funkcji przynależności przetwarzanych liczb rozmytych przy pomocy rozmytych liczb trójkątnych.. 1.0. 1.0. Entrles: 400 Delay: 1. Method: Max. NormalJzed: Afler. 0.0. 0.0. -1.0 -1.0. 0.0. 1.0. równanie: x(t+ 1) = cx(I)(l-x(t)) punkt startowy: 0/0.1 + 1/0.3 + 0/0.5. c =3.8. Rys. 15. Rozmyty obraz fnzowy związany z modelem (6) Źródło:. opracowanie własne.. 6. Uwagi. końcowe. Rozważane w niniejszej pracy zagadnienia dotyczyły w głównej mierze problemów związanych badaniem rozmytych szeregów czasowych generowanych przez proste modele matematyczne systemów chaotycznych (model kwadratowy. model logistyczny). Główne podejście badawcze obejmowala wykorzystanie metod eksperymentalnych mających formę komputerowych symulacji zachowania się modeli wspomnianych systemów. Ważną rolę w prowadzonych.

(17) badaniach odgrywała wizualizacja obserwowanych danych. Oglądanie rozmytych obrazów fazowych wymagało opracowania specjalizowanego oprogramowania Fuzzy Visualizer. Przy pomocy tego programu można było w prosty sposób wizualizować badane rozmyte szeregi czasowe oraz konstruować i przedstawiać graficznie odpowiadające tym szeregom rozmyte obrazy fazowe. Anuliza własności chaotycznych rozmytych szeregów czasowych, w tym również badanie ich rozmytych obrazów fazowych , może zostać wykorzystane w procesie rozpoznawania i klasyfikacji rozmytych systemów chaotycznych. Dalsze prace z tego zakresu mogłyby dotyczyć wykrywania i badania chaotycznych właściwości rozmytych szeregów czasowych związanych z rzeczywistymi systemami ekonomicznymi. To właśnie systemy ekonomiczne są dobrym przyk ładem systemów, w których zjednej strony większość relacji ma z natury rzeczy charakter rozmyty, a z drugiej strony wiele zjawisk i procesów przebiega w sposób chaotyczny, trudny do dokładnego przewidzenia przy pomocy tradycyjnych narzędzi analizy takich systemów . Badanie chaosu i rozmytego chaosu w systemach ekonomicznych należy traktować jako pewną propozycję oraz uzupełnienie dotychczas stosowanych metod badawczych. Literatura Bake .. O.L., Oollllb J. P. [1998], Wstęp do dynamiki ukladów chaotycZllych. PWN, Warszawa. Oleick 1. [1996], Clwos, Zysk i S-ka, Poznali. lllteligelllne systemy IV zarządzaniu [2000], pod red. J.S. Zielińskiego, PWN, Warszawa. Kudrewicz J. [1993], Fraktale i chaos, WNT, Warszawa. Munakata Y. [1994], Fuzzy systems. An Overview, Commllnications of the ACM, Vol. 37, No 3, March. OU B. [1997], Chaos IV ukladach dYllamicZ/lych, WNT, Warszawa. Peitgen H.O., Jurgens H" Saupe D. [1997] , Granice chao.",. Fraktale, cz. I i 2, PWN, War-. szawa, Peters B.E. [1997], Teoria chaosu a rynki kapita łowe, WIO-Press, Warszawa. Schuster H.G. [1995). Chaos determillistycz/ly. Wprowadzellie. PWN, Warszawa . TlIrksen I.B. [1988). Stochastic Fuzzy Sets. A SlIrvey, Lecture Noles in Beonomics and Mathemalical Systems Series, Vol. 310, Springer. Zadeh L.A. [1965). Fuzzy Sets, Infonnation and Conlrol, no. 8. Zadeh LA (1975], The COllcept oj a Lillguistic Variable anel its Application to Approximate Reasoning, Informntion Sciences, 8. Zawadzki H . [19961, Chaotyczne systemy dynamiczne. Elemellly teorii i wybrOI" przykłady ekonomiczne, AR w Katowicach, Katowicc.. Phase Dlagrams of Fractal Fuzzy Tlme Serles The paper considers the issues connecled with lhe modeis of ch"oHc systems defined in the space of fuzzy reni nllmbers. The fuzzy lime series genernted by sllch models have been sludied. The conslruction or fuzzy phase diagrnms can be one of lhe melhods of fractnl fuzzy time series analysis..

(18)