Index of /rozprawy2/10210

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Elektroniki. ROZPRAWA DOKTORSKA Opracowanie modelu wspomagającego proces obróbki termicznej materiałów fotowoltaicznych. Autor: mgr inŜ. Michał Warzecha. Promotor: prof. dr hab. Lidia J. Maksymowicz. Kraków 2009. 1.

(2) Składam serdeczne podziękowania dla: Pani prof. dr hab. Lidii J. Maksymowicz Pana dr. inŜ. Henryka Jankowskiego Pana dr. inŜ. Janusza Millera za opiekę naukową, pomoc w realizacji badań oraz cenne wskazówki.. Mojej śonie dziękuję za cierpliwość i nieocenioną pomoc.. Pracę wykonano w ramach projektu promotorskiego nr N515 4256 33, finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa WyŜszego.. 2.

(3) Spis treści 1 2. 3. 4. 5. 6. Wstęp .................................................................................................................................7 Część literaturowa ............................................................................................................9 2.1 Termiczne formowanie półprzewodników fotowoltaicznych CuInSe2 (CIS)............9 2.1.1 Właściwości CIS ................................................................................................9 2.1.2 Wytwarzanie CIS..............................................................................................11 2.1.3 Szybka obróbka termiczna (RTP).....................................................................13 2.2 Teoretyczne modele procesów termicznych.............................................................15 2.2.1 Elementarny opis zjawisk transportu ciepła .....................................................16 2.2.2 Specyfika modelowania transportu radiacyjnego.............................................17 2.2.3 Metoda elementów skończonych i jej zastosowanie ........................................21 2.2.4 Model w przestrzeni stanu................................................................................22 2.3 Modelowanie metodą czarnej skrzynki ....................................................................22 2.4 Modelowanie procesów termicznych w technologii półprzewodnikowej ...............23 2.5 Zastosowanie modelowania w sterowaniu procesem termicznym...........................24 2.5.1 Struktura sterowania optymalnego ...................................................................25 2.5.2 Obserwator stanu ..............................................................................................25 2.5.3 Sterowanie predykcyjne ...................................................................................26 2.5.4 Sterowanie RUN-TO-RUN ..............................................................................27 Urządzenia zbudowane do prowadzenia procesu próŜniowej selenizacji .................28 3.1 Piec z gorącymi ścianami .........................................................................................28 3.1.1 Układ sterowania mocą grzejną........................................................................30 3.1.2 Sterowanie ruchomym podajnikiem.................................................................30 3.1.3 Modyfikacja konstrukcji reaktora.....................................................................31 3.2 Piec z zimnymi ścianami ..........................................................................................32 3.2.1 Grzanie halogenowe .........................................................................................34 3.2.2 Układ sterowania mocą grzejną lamp halogenowych ......................................34 3.3 Tory pomiarowe .......................................................................................................35 3.3.1 Pirometry ..........................................................................................................35 3.3.2 Kamera termowizyjna.......................................................................................35 3.3.3 Rezystory platynowe ........................................................................................36 3.4 Układ sterujący i element wykonawczy sterowania.................................................36 Modele termiczne urządzeń do selenizacji ...................................................................38 4.1 Wybrana procedura modelowania ............................................................................38 4.1.1 Model transportu ciepła w piecu próŜniowym .................................................40 4.1.2 Identyfikacja parametrów .................................................................................41 4.2 Środowiska obliczeniowe .........................................................................................44 4.2.1 MATLAB .........................................................................................................44 4.2.2 Pakiet obliczeniowy COMSOL Multiphysics ..................................................44 Model pieca próŜniowego z gorącymi ścianami...........................................................47 5.1 Piec z nieruchomym reaktorem ................................................................................47 5.2 Piec z ruchomym reaktorem .....................................................................................48 Modele pieca próŜniowego z zimnymi ścianami ..........................................................52 6.1 Model halogenowego źródła światła ........................................................................52 6.1.1 Określenie przestrzeni stanu.............................................................................53 6.1.2 Identyfikacja parametrów modelu ....................................................................53 6.1.3 Modelowanie geometrycznych właściwości źródeł halogenowych.................56 6.1.4 Rodzaje odbić promieniowania (zwierciadlane i dyfuzyjne) ...........................56. 3.

(4) 6.2 Model pieca kwarcowego z widmowym podziałem promieniowania .....................57 6.2.1 Model transmisyjności kwarcu.........................................................................57 6.2.2 Wprowadzenie widmowych właściwości kwarcu do modelu urządzenia........59 6.2.3 Konstrukcja modelu z wykorzystaniem środowiska COMSOL.......................61 6.3 Weryfikacja i strojenie uzyskanego modelu z widmowym podziałem promieniowania ....................................................................................................................65 7 Zastosowanie modelu matematycznego w procedurze sterowania............................71 7.1 Stabilizacja temperatury ...........................................................................................71 7.2 Modulator PWM kompensujący nieliniowość Ŝarnika halogenowego ....................72 7.3 Sterowanie predykcyjne ...........................................................................................75 7.3.1 Wykorzystanie sterowania predykcyjnego w piecu z zimnymi ścianami ........75 7.3.2 Wykorzystanie sterowania predykcyjnego do układu ruchomego podajnika ..78 7.4 Sterowanie w etapie przejściowym ..........................................................................79 7.5 Wyniki badań materiału fotowoltaicznego CIS, wytworzonego w urządzeniu .......83 8 Aplikacja realizująca sterowanie ..................................................................................84 8.1 System operacyjny....................................................................................................84 8.2 Realizacja sterowania predykcyjnego ......................................................................85 8.3 Identyfikacja parametrów na bieŜąco podczas pracy ...............................................89 9 Pirometryczny pomiar temperatury.............................................................................90 10 Stosowane metody numeryczne.....................................................................................94 10.1 Metody rozwiązywania równań róŜniczkowych zwyczajnych ................................94 10.2 Metody Rungego-Kutty............................................................................................94 10.3 Metody kolokacyjne .................................................................................................95 11 Podsumowanie ................................................................................................................97 11.1 Przegląd prowadzonych badań .................................................................................97 11.2 Zestawienie uzyskanych wyników i weryfikacja tez pracy......................................99 12 Bibliografia....................................................................................................................101. 4.

(5) Lista skrótów i oznaczeń: APC – automatyczna kontrola procesu (Automatic Process Control), CIS – diselenek miedziowo-indowy, CuInSe2, DMC – metoda sterowania predykcyjnego (Dynamic Matrix Control), EDS – dyspersja energii promieniowania rentgenowskiego (Energy Dispersive X-ray Spectroscopy), EKF – rozszerzony filtr Kalmana (Extended Kalman Filter), LQR – sterowanie liniowe z kwadratowym wskaźnikiem jakości (Linear Quadratic Regulator), LQR/LQG – standardowy regulator stanu (Linear Quadratic Regulator/Linear Quadratic Gaussian regulator), MES – metoda elementów skończonych, MIMO – obiekt z wieloma wejściami i wieloma wyjściami (Multiple Input Multiple Output), MPC – sterowanie predykcyjne (Model Predictive Control), NMPC – sterowanie predykcyjne w oparciu o nieliniowy model obiektu (Nonlinear Model Predictive Control), ODE – równanie róŜniczkowe zwyczajne (Ordinary Differential Equations), POD – dekompozycja ortogonalna (Proper Orthogonal Decomposition), PWM – modulacja szerokości impulsu (Pulse Width Modulation), QDMC – metoda sterowania predykcyjnego z kwadratową funkcją kryterialną (Quadratic Dynamic Matrix Control), RTP – szybka obróbka termiczna (Rapid Thermal Processing), SEL – struktura wielowarstwowa (Stacking Elemental Layer), SISO – obiekt z jednym wejściem i jednym wyjściem (Single Input Single Output), SPC – statystyczna kontrola procesu (Statistic Process Control), XRD – rentgenografia strukturalna (X-Ray Diffraction Analysis), XRF – fluorescencja rentgenowska (X-Ray Fluorescence), k – stała Boltzmanna (5,67 · 10-8 Wm-2K-1), h – stała Plancka (6,625 · 10-34 Js), C1 – 3,74177107 · 10-16 Wm2 – pierwsza stała promieniowania, C2 – 1,4387752 · 10-2 Km – druga stała promieniowania, λ – długość fali promieniowania, c – prędkość światła, t – czas, λ – przewodność termiczna obszaru przewodzenia, s – powierzchnia, ε – emisyjność powierzchni, εsi – emisyjności skuteczne, e&bi , e&bj – gęstość emisji i-tej i j-tej powierzchni,. E& – gęstość emisji powierzchni o emisyjności ε w jednostce czasu, FR – widmowa gęstość promieniowania ciała r q& – gęstość strumienia ciepła, N – wymiar przestrzeni stanu, Pel – moc prądu elektrycznego, U – napięcie, R(T) – rezystancja Ŝarnika jako funkcja temperatury p1, p2, ..., pK – parametry równania stanu, T – temperatura powierzchni [K], TS – temperatura otoczenia [K], ∇T – gradient pola temperatury, Ci – pojemność termiczna i-tego elementu, gij – przewodność termiczna pomiędzy elementami i, j,. E& – strumień energii radiacyjnej padającej na ciało w jednostce czasu, E& a – absorbowany strumień energii radiacyjnej w jednostce czasu, E& – odbijany strumień energii radiacyjnej w jednostce czasu, r. 5.

(6) E& t – transmitowany strumień energii radiacyjnej w jednostce czasu, Q& – strumień energii radiacyjnej przenoszony w jednostce czasu, Rij. Q& Cij – strumień energii przewodzonej w jednostce czasu, Q& – strumień energii dostarczonej przez elementy grzejne w jednostce czasu, Ei. Fi, Fj – oddziałujące płaszczyzny, dFi, dFi – elementarne powierzchnie płaszczyzn i-tej i j-tej, rij – promień łączący elementarne płaszczyzny, βi, βj – kąty padania promienia r do płaszczyzn elementarnych,. si s j – powierzchnia wymiany bezpośredniej, Si S j – powierzchnia wymiany całkowitej, A,B,C,D – macierze liniowego równania stanu, K – macierz współczynników układu sterowania optymalnego, L – macierz wzmocnień filtru Kalmana, A1 – macierz oddziaływań przez przewodzenie pomiędzy elementami reaktora, A4 – macierz oddziaływań radiacyjnych, S1 – wektor współczynników przewodzenia poszczególnych elementów systemu do otoczenia, S4 – wektor współczynników skalujących oddziaływania radiacyjne elementów systemu z otoczeniem, ∂Ω – brzeg obszaru Ω, n – wektor normalny do brzegu ∂Ω, X – wektor stanu, X – odtwarzany wektor stanu, P – wektor sterowania (moc prądu elektrycznego), α – współczynnik skalujący oddziaływanie radiacyjne powierzchni brzegowych z otoczeniem o uśrednionej temperaturze T0, α – współczynnik skalujący zakłócenie przez odbicie od powierzchni mierzonej, r – współczynnik zakłócenia pochodzącego z rozpraszania promieniowania Ŝarnika na ścianie kwarcowej, wp – współczynnik zawierający powierzchnię wymiany, Symbole pierwiastków: As – arsen, B – bor, Cd – kadm, Cu – miedź, Ga – gal, In – ind, Mo – molibden, Pt – platyna, S – siarka, Si – krzem, Te – tellur, Zn – cynk.. 6.

(7) 1. Wstęp. Technologią pozwalającą na pozyskiwanie energii słonecznej, której stosowanie nie powodowałoby pogarszania się stanu środowiska jest technologia fotowoltaiczna. Zasadniczym podzespołem systemów fotowoltaicznych jest ogniwo słoneczne. Warstwowe materiały fotoaktywne są podstawowymi elementami składowymi ogniw fotowoltaicznych. W ostatnich latach szczególne znaczenie uzyskały badania podstawowe i aplikacyjne dotyczące ogniw wykonywanych na bazie polikrystalicznych warstw diselenku miedziowoindowego CuInSe2 (CIS) [1, 2]. Podstawowe znaczenie, w procesie otrzymywania warstw CIS ma termiczna obróbka cieplna (selenizacja), podczas której tworzy się półprzewodnikowa warstwa absorbera. Jakość otrzymywanych warstw jest bezpośrednio związana z moŜliwościami technicznymi urządzeń słuŜących do obróbki cieplnej i z uzyskaniem zadowalającego profilu temperatury w trakcie procesu. Dlatego współcześnie znaczną uwagę poświęca się konstrukcji i badaniu urządzeń stosowanych w technologiach termicznych materiałów półprzewodnikowych. Bardzo istotne są metody szybkiej obróbki cieplnej (Rapid Temperature Processing, RTP) ze względu na moŜliwość indywidualnej obróbki pojedynczych partii materiałów, jak równieŜ optymalizację czasu procesu i zwiększenie wydajności produkcji. Jest to waŜny aspekt w wytwarzaniu materiałów fotowoltaicznych ze względu na znaczne powierzchnie budowanych instalacji energetycznych. W prezentowanej pracy autor stara się wykazać przydatność badań modelowych próŜniowego układu technologicznego do opracowania systemu sterowania procesem selenizacji warstw prekursorów CIS. W rezultacie zadanie to sprowadza się do wybrania koncepcji sterowania i realizacji odpowiedniego sterownika . Uzyskanie zadowalającego profilu temperatury w procesie selenizacji określa zakres prac badawczych związanych z modelowaniem zjawisk w trakcie obróbki termicznej oraz zjawisk występujących podczas pomiaru temperatury. Badania modelowe przeprowadzono dla dwóch urządzeń do szybkiej obróbki cieplnej RTP: - układ pieca z gorącymi ścianami i ruchomym podajnikiem, - układ pieca z zimnymi ścianami i lampami halogenowymi. Zrealizowano istotny dla procesu RTP pirometryczny pomiar temperatury z kompensacją promieniowania zakłócającego. Problem ten rozwiązano stosując badania modelowe. DąŜąc do jak największej uŜyteczności prowadzonych badań, znaczną część uwagi i nakładu pracy poświęcono na zbudowanie specjalistycznej aparatury badawczej (próŜniowego systemu RTP) oraz opanowanie metod numerycznych pozwalających na opracowanie i wykorzystanie modelu matematycznego do sterowania procesem. W szczególności są to techniki optymalizacyjne wykorzystywane w rozwiązywaniu nieliniowych układów równań róŜniczkowych.. 7.

(8) Podstawowym celem pracy jest określenie moŜliwości zastosowania badań modelowych układu technologicznego do selenizacji warstw fotowoltaicznych CIS, a następnie wybór i realizacja koncepcji sterowania w czasie rzeczywistym. UŜytkowym celem pracy jest realizacja stanowisk laboratoryjnych do obróbki cieplnej materiałów warstwowych, wyposaŜonych w układy sterowania bazujące na opracowanym modelu matematycznym. Tezy pracy zostały określone następująco: Teza I: Istnieje moŜliwość sformułowania modelu matematycznego układu technologicznego do selenizacji, odzwierciedlającego moŜliwie ściśle zjawiska zachodzące w systemie obróbki termicznej warstw prekursorów CuInSe2 (CIS) oraz jego weryfikacji w oparciu o dane eksperymentalne. Teza II: Istnieje moŜliwość wybrania i realizacji koncepcji sterowania w czasie rzeczywistym, zapewniającego wymaganą dokładność przebiegu procesu technologicznego. Teza III: Istnieje moŜliwość konstrukcji sterownika i implementacji opracowanego algorytmu sterowania do stanowiska badawczego termicznej obróbki materiałów fotowoltaicznych oraz weryfikacji sposobu sterowania. Osiągnięcie tych celów wymagało opracowania następujących zadań: − wykorzystania teoretycznego podejścia do modelowania, polegającego uwzględnieniu opisu zjawisk fizycznych w budowanym modelu matematycznym,. na. − zastosowania specjalizowanego środowiska COMSOL do ilościowej analizy termicznych zjawisk przestrzennych, − zbudowania modelu matematycznego w środowisku obliczeniowym MATLAB z wykorzystaniem techniki przestrzeni stanu, − przeprowadzenia procedury dostrajania współczynników modelu z wykorzystaniem danych z rzeczywistego eksperymentu, − przeprowadzenia weryfikacji modelu matematycznego w oparciu o dane pomiarowe z kilku róŜnych eksperymentów, − zaproponowania procedury predykcyjnego sterowania temperaturą procesu w oparciu o uzyskane modele matematyczne, − zbudowania mikroprocesorowego sterownika, proponowanych sposobów sterowania.. umoŜliwiającego. realizację. 8.

(9) 2. Część literaturowa. 2.1 Termiczne formowanie półprzewodników fotowoltaicznych CuInSe2 (CIS) Przetwarzanie energii światła słonecznego na energię elektryczną w ogniwach półprzewodnikowych polega na wywołaniu przez fotony generacji pary nośników prądu (elektron i dziura) w obszarze złącza p-n. Głównymi zagadnieniami konstrukcyjnymi ogniw są: dobór odpowiednich materiałów półprzewodnikowych, zapewniających wysoką absorpcję promieniowania słonecznego oraz moŜliwość wykonania ogniwa o duŜej powierzchni [3, 4]. Aktualnie materiałami stosowanymi do budowy ogniw fotowoltaicznych są: krzem (monoi polikrystaliczny), półprzewodniki dwuskładnikowe na bazie materiałów z grup III-V (GaAs), II-VI (CdTe) oraz trójskładnikowe z grup I-III-VI (CuInSe2) [4, 5]. Wytwarzanie cienkiej warstwy CIS polega na naniesieniu elementarnych prekursorów Cu, In oraz Se na podłoŜe szklane z przygotowaną elektrodą molibdenową, a następnie termicznym uformowaniu docelowego materiału lub na selenizacji warstw Cu-In. Proces termiczny składa się z dwóch etapów, przeprowadzanych w róŜnych temperaturach. Pierwszy etap to formowanie faz binarnych, CuSe i In2Se3, w temperaturze rzędu 250°C. Drugi etap, zachodzący w temperaturze 350 ÷ 550°C, to przekształcanie przygotowanych faz binarnych na fazę potrójną CIS [3, 6]. Ze względu na duŜą reaktywność selenu, proces selenizacji prowadzi się w zamkniętych reaktorach grafitowych [1, 6] lub reaktorach grafitowych z oknem kwarcowym [7, 8]. Ograniczona objętość reaktora zwiększa ciśnienie par selenu przyspieszając selenizację [6]. Rozwój technologii półprzewodnikowej, a w szczególności szybkich i precyzyjnych procesów termicznych [9-11] znalazł swoje zastosowanie takŜe w fotowoltaice, ze względu na umoŜliwienie wytwarzania duŜych powierzchni półprzewodnikowych o kontrolowanych parametrach. Formowanie CIS w szybkim procesie termicznym zyskało miano procesu drugiej generacji [12]. Specyficzne wymagania procesu selenizacji powodują, Ŝe do przeprowadzenia tego etapu nie stosuje się standardowych komór do szybkiej obróbki termicznej (optymalizowanych dla technologii krzemowej), lecz ich odpowiednio zmodyfikowane wersje [13]. 2.1.1 Właściwości CIS Półprzewodniki trójskładnikowe, których przedstawicielem jest CuInSe2 (CIS) charakteryzują się duŜą absorpcją promieniowania, wynikającą z obecności prostej przerwy energetycznej o szerokości około 1 eV. DuŜa absorpcja (współczynnik absorpcji powyŜej 105 cm-1 [14]) oraz moŜliwość domieszkowania zarówno typu n, jak i typu p, powoduje, Ŝe ten materiał jest bardzo atrakcyjny dla fotowoltaiki. DuŜa stabilność materiału w czasie pracy oraz moŜliwość formowania duŜych powierzchni w postaci tzw. cienkiej warstwy (niewielki nakład materiałowy) powodują, Ŝe półprzewodniki CIS mają duŜą szansę na zastosowanie w masowej produkcji. Teoretyczne wyliczenia wskazują, Ŝe dla materiału o przerwie energetycznej z zakresu 1 ÷ 1,5 eV moŜna uzyskać do 25% sprawności przetwarzania w jednozłączowym ogniwie fotowoltaicznym [15]. Aktualnie notuje się sprawności ogniw na skalę laboratoryjną o wartości nawet 19,9% [16]. 9.

(10) Badania nad warstwami CIS prowadzono juŜ od lat 70-tych (XX wieku), kiedy to skonstruowano pierwsze ogniwo w oparciu o monozłącze p-n na bazie CIS o sprawności nie przekraczającej 4%. DuŜą poprawę sprawności złącza uzyskano w ogniwie z heterozłączem, które utworzono zestawiając warstwę p-CIS z warstwą n-CdS. Cienka warstwa CdS posiada szeroką przerwę energetyczną (2,5 eV), co pozwala na wytworzenie heterozłącza oraz na duŜą transmisję fotonów do warstwy CIS [4]. Przykład ogniwa wytworzonego przez firmę ARCO przedstawiono na Rys. 2-1.. Rys. 2-1. Schemat ogniwa wytworzonego przez firmę ARCO.. Technologia produkcji materiałów CIS była modyfikowana poprzez dodatki galu i siarki w celu zwiększenia wydajności [3, 12] lub nawet całkowite zastąpienie selenu przez siarkę [17], czy całkowite zastąpienie indu galem [18]. Dodatek Ga poszerza przerwę energetyczną oraz zwiększa adhezję do podłoŜa cienkiej warstwy Mo, pełniącej funkcję dolnej elektrody. Dodatek siarki zwiększa przerwę energetyczną i napięcie gotowego ogniwa, co w rezultacie daje podwyŜszenie wydajności, przykładowo z 11,8% na 14,7% [12]. Ostatnio prowadzi się eksperymenty polegające na zastąpieniu atomu indu przez atom boru, w celu zwiększenia przerwy energetycznej przy zachowaniu innych zalet materiału CuInSe2 [19, 20]. DuŜa absorpcja CIS powoduje, Ŝe grubość warstwy absorbera moŜna zmniejszyć do około 0,5 µm bez dodatkowego pułapkowania fotonów lub nawet do 0,2 µm z pułapkowaniem. Działania takie podyktowane są rosnącymi kosztami materiałów. Przykładowo, w ostatnich latach ind podroŜał ponad 10-krotnie, a masowa produkcja i podwyŜszone zapotrzebowanie mogą tę cenę podnieść jeszcze bardziej, co w rezultacie zmniejszyłoby ekonomiczne przesłanki do stosowania tego rozwiązania [15]. Wprowadzane defekty struktury CIS mogą gromadzić się na powierzchni, czyli w obszarze złącza, co z kolei moŜe powodować zwiększenie rekombinacji – prądu ciemnego złącza, obniŜającego sprawność przetwarzania. Pasywacja tych stanów powierzchniowych odbywa się po utworzeniu warstwy w atmosferze tlenu. Cienka warstwa silnie domieszkowanego CdS pokrywana jest warstwą przewodzącego tlenku (górna elektroda), który dodatkowo moŜe pełnić funkcję warstwy zmniejszającej odbicie światła padającego na ogniwo [4, 21]. Oprócz wspominanych wcześniej zalet CIS jako materiału dla fotowoltaiki, wymienia się takŜe dobre dopasowanie sieciowe z CdS oraz ZnCdS (98,8% dopasowania), moŜliwość formowania w postaci cienkich warstw oraz duŜą stabilność w warunkach normalnej pracy. Szczególnie waŜną cechą jest brak efektu Stablera-Wronskiego, degradującego wydajność ogniw krzemowych [15].. 10.

(11) 2.1.2 Wytwarzanie CIS Formowanie półprzewodnika CIS odbywa się w etapowym procesie termicznym przekształcania prekursorów metalicznych na fazy binarne, a następnie formowanie fazy potrójnej. Wskazuje się trzy alternatywne metody osadzania składników / prekursorów (rozpylanie magnetronowe, elektroosadzanie, sitodruk) jako odpowiednie do produkcji materiałów fotowoltaicznych CIS i pochodnych np. Cu(In/Ga)(Se/S) (w skrócie CIGSS) na większą skalę. W szczególności faworyzowana jest metoda rozpylania magnetronowego jako mająca duŜe szanse w zastosowaniu w produkcji przemysłowej [6]. Materiały CIS dające najwyŜsze sprawności zbudowanych na ich bazie ogniw, produkuje się na skalę laboratoryjną stosując metodę jednoczesnego naparowywania z wielu źródeł. Metoda ta nie nadaje się jednak do produkcji materiału cienkowarstwowego o większej powierzchni ze względu na trudności uzyskania jednorodnej warstwy [6]. Przykładowo, tworzenie CIS moŜe odbywać się na drodze selenizacji prekursorów metalicznych Cu-In przy udziale selenu pierwiastkowego. Jedną ze strategii moŜe być przygotowanie materiału dwufazowego zawierającego CuSe i In2Se3, a następnie w wyŜszej temperaturze uformowanie CIS [6]. Sterowanie przebiegiem tego procesu odbywa się poprzez zaproponowanie odpowiedniego profilu temperatury oraz poprzez dobór składu ilościowego składników Cu-In-Se [3]. Cu11 In9 + CuIn2 + Se → CuSe + In2 Se3. (temp. 250°C). (2.1). CuSe + In2 Se3 → CuInSe2 + Se2. (temp. 550°C). (2.2). Selenizacja prekursorów metalicznych moŜe być prowadzona za pomocą gazu H2Se lub pierwiastkowego Se. H2Se jest rzadziej stosowany ze względu na jego wysoką toksyczność [6, 22-24]. Spotyka się takŜe próby selenizacji w powietrzu, a takŜe przygotowanie CIS w postaci proszków [25]. Głównym problemem technologii CIS jest niska homogeniczność warstw po selenizacji, która wynika z niehomogeniczności stopu miedziowo-indowego [14]. Domieszkowanie CIS polega na wprowadzaniu defektów, najczęściej wakansów In lub podstawieniu Cu w miejsce In. Proces domieszkowania kontroluje się więc m.in. poprzez kontrolę stosunku Cu/In w procesie formowania materiału CIS [4, 5]. Termiczny proces selenizacji składa się z dwóch etapów. Pierwszy prowadzony jest w temperaturze niewiele przewyŜszającej temperaturę wrzenia selenu (225°C) i pełni podwójną rolę. Po pierwsze, niska temperatura zapobiega tworzeniu się szkodliwych faz selenków indu, które pogarszają krystalizację warstwy. Po drugie, zapobiega to pełnemu włączeniu selenu do prekursorów przed procesem rekrystalizacji w wyŜszych temperaturach, w celu zapewnienia warstwy typu p. Dodatkowym czynnikiem zapewniającym wytwarzanie warstwy typu p jest zastosowanie nadmiaru selenu względem ilości wymaganej na podstawie stechiometrii, np. około 40% [6]. Drugi etap selenizacji prowadzony jest w wyŜszej temperaturze. Przebadano rezultaty procesu selenizacji dla róŜnych temperatur drugiego etapu (w zakresie 250 ÷ 500°C). W temperaturze 250°C nie obserwowano formowania materiału CIS, a jedynie CuSe i In2Se3. W temperaturze 300°C i wyŜszych występowało formowanie CIS, ale dopiero powyŜej temperatury 350°C uzyskano kompletną reakcję dwóch faz do CIS. Dalsze zwiększanie temperatury do 500°C powoduje polepszenie struktury krystalicznej poprzez wytworzenie dobrze uformowanych kryształów o rozmiarach około 5 µm. W literaturze podkreśla się szczególną rolę fazy CuSe jako siły napędowej procesu rekrystalizacji warstwy do postaci CIS [6]. 11.

(12) Warstwy selenizowane w 300°C mają powierzchnię chropowatą – w warstwie drobnokrystalicznej (20 ÷ 50 nm) umieszczone są duŜe kryształy (ok. 1 µm), natomiast niŜsza część warstwy, blisko podłoŜa pokrytego molibdenem, składa się z kryształów w kształcie igieł. Taka róŜnica w morfologii powierzchni i struktury wewnętrznej sugeruje, Ŝe warstwy te posiadają skład wielofazowy. Na podstawie analizy dyspersji energii promieniowania rentgenowskiego (Energy dispersive X-ray spectroscopy, EDS) stwierdzono, Ŝe na powierzchni znajduje się warstwa CuSe, faza drobnokrystaliczna to warstwa CIS o prawie stechiometrycznym składzie, natomiast kryształy na dnie to InSe [14]. Warstwy selenizowane w 375°C składają się z gęsto upakowanych kryształów o rozmiarach od 50 do 200 nm. Powierzchnia warstwy posiada względnie duŜe, ale płytkie wgłębienia i wypukłości. Na podstawie wyników rentgenografii strukturalnej (X-Ray Diffraction Analysis, XRD) oraz spektroskopii Ramana stwierdzono, Ŝe warstwy te składają się z jednej fazy – materiału CIS. Warstwy selenizowane w 480°C posiadają jednorodne, duŜe i gęsto upakowane kryształy o rozmiarach 2 ÷ 3 µm. Powierzchnia warstwy jest względnie gładka, co zapewnia dobre warunki do zastosowania tych warstw jako absorbera. Warstwy zselenizowane w tej temperaturze były prawie jednofazowe (badania XRD) [14]. Preferowana (1 1 2) orientacja kryształów występowała we wszystkich warstwach wygrzewanych w temperaturze powyŜej 400°C. Grubość dobrze wytworzonej warstwy CIS jest około trzykrotnie większa niŜ grubość warstw prekursora. Z przeprowadzonych doświadczeń wynika, Ŝe tworzenie się warstw CIS składa się z trzech róŜnych procesów. W niŜszych temperaturach dominującym procesem jest włączanie selenu i oddyfundowywanie (out-diffusion) miedzi oraz tworzenie się róŜnych miedziowych i indowych selenków. Następnie zachodzi reakcja pomiędzy binarnymi selenkami i nadmiarem par selenu, co skutkuje wytworzeniem się warstwy CIS. Ostatnim etapem jest wzrost kryształów CIS, dzięki czemu warstwa jest dobrze wytworzona i składa się z duŜych kryształów [14]. Materiały fotowoltaiczne moŜna takŜe otrzymywać stosując metodę „Stacking Elemental Layer” (SEL). Jest to bardzo atrakcyjna metoda, poniewaŜ pozwala ona na syntezowanie warstw CIS o duŜej powierzchni i dobrej jednorodności, przy niskich kosztach. Na podstawie badań stwierdzono, Ŝe najlepszym układem jest kolejność warstw In/Se/Cu [26]. W literaturze omówiony jest równieŜ pilotaŜowy wieloetapowy proces wytwarzania duŜych (60 x 90 cm2) ogniw cienkowarstwowych. Szczególny nacisk kładziony jest na etap wytwarzania warstwy absorbera CIS/CIGSS. Przygotowana w procesie rozpylania magnetronowego oraz naparowywania struktura wielowarstwowa (Stacked Elemental Layer, SEL), poddawana jest szybkiej obróbce termicznej. Selenizacja przebiega wówczas bez dodatkowych źródeł par selenu, poniewaŜ selen został podobnie jak pozostałe prekursory wprowadzony w postaci warstwy. Ubytek selenu, który ma miejsce w procesie termicznym, kompensowany jest nadmiarem pierwiastka na etapie naparowania. Jako jedną z korzyści stosowania szybkiej obróbki termicznej wskazuje się brak efektu skraplania selenu w fazie nagrzewania [27]. W pracy wskazuje się na etap selenizacji, który prowadzony jest w specjalnie wykonanym urządzeniu do szybkiej obróbki termicznej dla spełnienia szczególnych wymagań tego procesu (np. minimalizacji objętości dla zwiększenia ciśnienia par siarki i selenu) – pozostałe etapy odbywają się w komercyjnie dostępnych urządzeniach.. 12.

(13) Ze względu na fakt, Ŝe autorzy omawiają cały proces produkcji ogniwa, oprócz etapów roboczych omawiane są etapy diagnostyczne pozwalające ocenić jakość produktu na kaŜdym etapie. Jako podstawowe narzędzie do badania aktualnego składu wykorzystuje się fluorescencję rentgenowską (XRF) , ale ze względu na duŜą liczbę składników i mogące się pojawić nakładanie linii widmowych (np. molibdenu i siarki), wprowadza się dodatkowo spektroskopię ramanowską, pozwalającą określić stosunek ilości siarki do ilości selenu. Inną metodą badania warstwy absorbera na etapie jego wytwarzania jest badanie czasu zaniku fotoluminescencji, który moŜe wskazywać na wartość napięcia Voc gotowego ogniwa [13]. Natomiast monitorujący pomiar XRD próbuje się zastąpić pomiarem rezystancji, który moŜe dostarczać informacji o aktualnym stanie formowanego materiału [7, 28-31]. Wielu badaczy wykazało, Ŝe w przypadku ogniw słonecznych wyprodukowanych za pomocą alternatywnych tanich metod, moŜliwe jest uzyskanie wydajności przekraczających 18%. Wysokie współczynniki absorpcji materiału CIS powodują, Ŝe ma on praktyczne zastosowanie jako cienkowarstwowe ogniwo słoneczne, pomimo, Ŝe dla optymalnej wydajności konwersji optyczna przerwa energetyczna jest dość niska (1,05 eV). Półprzewodnik CuInSe2 moŜe być materiałem typu n- lub typu p-, w zaleŜności od sposobu otrzymywania. Wykazuje on bardzo dobrą stabilność termiczną w powietrzu [26]. 2.1.3 Szybka obróbka termiczna (RTP) W systemach szybkiej obróbki termicznej (Rapid Thermal Processing, RTP), półprzewodnikowa płytka jest ogrzewana przez źródła ciepła promiennikowego, którymi są zazwyczaj halogenowe lampy wolframowe lub lampy łukowe [32]. W systemach tych dominującym mechanizmem transportu ciepła jest promieniowanie. Głównymi czynnikami, które mają wpływ na jednorodność temperatury oraz powtarzalność procesu RTP są: źródło promieniowania podczerwonego, konstrukcja komory oraz system sterowania temperatury, łącznie z nieinwazyjnym systemem pomiaru temperatury w czasie rzeczywistym [10]. Głównym czynnikiem, który powoduje wzrost temperatury do wymaganego poziomu jest promieniowanie pochodzące od układu lamp, umieszczonych bezpośrednio nad próbką. Ilość ciepła transportowanego poprzez promieniowanie zaleŜy od radiacyjnych parametrów ośrodka, długości fali promieniowania oraz geometrii systemu [33]. Idealny model transportu ciepła przez promieniowanie w RTP powinien opisywać zarówno dyfuzyjny, jak i radiacyjny transport ciepła. Mechanizm transportu ciepła moŜe być jednak znacząco uproszczony w przypadku zastosowania do sterowania. Po pierwsze, ciało promieniujące jest szarym systemem dyfuzyjnym, czyli emisyjność powierzchniowa nie zaleŜy od kierunku. Ciało szare jest obiektem, którego emisyjność jest niezaleŜna od długości fali, ale moŜe być funkcją temperatury. Oznacza to, Ŝe kaŜda powierzchnia będzie promieniowała jak ciało czarne przy wszystkich długościach fal, zaleŜnie tylko od jej temperatury. Po drugie, moc lamp musi być powiązana ze strumieniem ciepła przekazywanym do płytki, wyraŜonym w postaci współczynnika wymiany. Współczynnik ten określa część promieniowania, która jest przenoszona od jednej powierzchni do drugiej i wynika z geometrii systemu [34]. Urządzenia RTP powstały jako alternatywa dla tradycyjnych pieców dyfuzyjnych dla realizacji krótkich procesów termicznych. Piece dyfuzyjne są poŜądane w przypadku procesów długotrwałych, gdy długie okresy załadowania/rozładowania oraz chłodzenia mają mały wpływ na wydajność. Pierwotnie, termiczna selenizacja prekursorów metalicznych prowadząca do formowania CIS była prowadzona w piecach dyfuzyjnych i ten etap zyskał miano CIS pierwszej generacji. Druga generacja technologii została utworzona poprzez zastosowanie metody szybkiej obróbki termicznej. Do głównych zalet RTP naleŜą: duŜa 13.

(14) szybkości grzania, krótki czas obróbki, kontrola nad przestrzennym rozkładem temperatury [11, 35]. Metoda ta pozwala na precyzyjną kontrolę profilu temperaturowego, który odpowiada za udział róŜnych reakcji w formowaniu się produktu końcowego. Analiza poszczególnych procesów mających miejsce podczas selenizacji i rekrystalizacji, pozwala określić optymalny profil temperatury dla otrzymania CIS o Ŝądanych właściwościach [12]. Dla uniknięcia pękania podłoŜa szklanego na etapie grzania lub chłodzenia, niejednorodność temperatury na duŜych powierzchniach w procesie RTP moŜe dochodzić do 10°C [36]. W systemach RTP najczęściej wykorzystujących lampy halogenowe, źródłem ciepła są ich Ŝarniki, których temperatura moŜe się zmieniać dynamicznie i osiągać 2700°C [9, 11]. Poza głównym nurtem urządzeń z radiacyjnym transportem energii bazujących na lampach halogenowych lub łukowych, podejmowane są takŜe próby grzania poprzez przewodzenie. Realizuje się to poprzez lewitację próbki na poduszce gazowej o wysokiej temperaturze. Obecność gazu roboczego pod duŜym ciśnieniem (w stosunku do środowiska próŜniowego) ogranicza obszar zastosowanie tej metody, ale duŜa jednorodność temperatury grzanych powierzchni i duŜa nieczułość na zmiany i niejednorodność emisyjności tej powierzchni, a takŜe bardzo duŜa osiągana prędkość zmiany temperatury (do 900 K s-1) stawiają tę metodę w szeregu metod RTP [37]. Najszerzej stosowaną techniką pomiaru temperatury w komercyjnych zastosowaniach RTP jest pirometria optyczna. Metoda ta wymaga znajomości wartości spektralnej emisyjności powierzchni, która zaleŜy od wielu czynników, w tym takŜe od temperatury, co utrudnia pomiar [10]. W celu umoŜliwienia pomiaru, zmienność emisyjności modeluje się matematycznie [38, 39]. Inną wadą pomiaru pirometrycznego są zakłócenia spowodowane odbiciem promieniowania lamp halogenowych od powierzchni w polu pomiarowym. Aby uniknąć zakłócania pomiaru pirometrycznego ekranuje się odpowiednio punkt pomiarowy zmniejszając jednocześnie wpływ emisyjności na pomiar (sztuczne podnoszenie emisyjności) [40]. Pomiar pirometryczny oświetlonej powierzchni jest niemal niemoŜliwy, poniewaŜ oprócz zakłócającego promieniowania odbitego występuje takŜe dynamiczna zmiana emisyjności powierzchni wywołana generacją nośników, spowodowaną intensywnym oświetleniem [41]. W literaturze odnotowano takŜe próby odfiltrowania wpływu odbitego promieniowania lamp, poprzez modulację jego intensywności [42]. Stosuje się takŜe kontaktowe pomiary termoparowe lub bardziej wyrafinowane jak pomiar prędkości propagacji dźwiękowej fali powierzchniowej [10, 43]. Radiacyjny transport ciepła z róŜnych źródeł o róŜnych charakterystykach spektralnych moŜe oprócz efektu termicznego wywoływać dodatkowo kwantowy efekt fototermiczny, jeŜeli spektrum promieniowania zawiera składowe o fali krótszej niŜ λ < 800 nm. MoŜe zatem przez to bezpośrednio wpływać np. na reakcję chemiczną. Efekt ten moŜna osiągać poprzez dodatkowe instalowanie promienników o odpowiedniej długości fali. TakŜe w przypadku grzania halogenowego mamy pewne oznaki występowania tego zjawiska. Efekt ten jest wykorzystywany w technologii krzemowej do obniŜenia temperatury procesu, a przez to zmniejszenia ilości defektów wprowadzanych przez proces termiczny [44, 45]. Szybka obróbka termiczna jest metodą stosowaną z sukcesem przy wytwarzaniu krzemowych ogniw fotowoltaicznych [46], gdzie etapy dyfuzji domieszek oraz utlenienia mogę być silnie skrócone i lepiej kontrolowane. Z powodzeniem stosuje się ją takŜe w przypadku procesu otrzymywania cienkowarstwowych półprzewodników CIS, CIGS lub CIGSS zyskując nie tylko na czasie procesu, ale takŜe na sprawności energetycznej całego ogniwa [13, 17, 18, 24, 27, 36, 46, 47].. 14.

(15) W systemach RTP, pojedyncza płytka jest umieszczana w schłodzonej komorze, w której gazy pod niskim ciśnieniem reagują z radiacyjnie ogrzewaną powierzchnią. Temperatura tej powierzchni moŜe być o 400°C wyŜsza od temperatur stosowanych w reaktorach do jednoczesnej obróbki wielu próbek. W porównaniu z tymi duŜymi reaktorami, system RTP odznacza się mniejszymi kosztami, zarówno pod względem kapitału wstępnego, jak i wymaganego miejsca. Dodatkowo, zastosowanie chłodzenia ścian w procesie osadzania róŜnych warstw, eliminuje osadzanie się na ścianach cząstek stałych, co występuje na gorących ścianach tradycyjnych reaktorów [10]. Pierwsze zastosowanie wyłącznie procesów RTP w technologii opisano w 1992 roku [10]. Ze względu na obrabianie pojedynczych próbek, aby konkurować ekonomicznie z systemami do obróbki wielu próbek równocześnie, piece RTP muszą bardzo szybko się ogrzewać i bardzo szybko chłodzić. Szybkie ogrzewanie jest moŜliwe poprzez zastosowanie zestawu lamp o duŜej mocy i odpowiedniej konfiguracji oraz pirometrów (lub innych urządzeń do pomiaru temperatury), które określają sposób sterowania procesem RTP [34]. Zastosowanie obróbki pojedynczych próbek ma wiele zalet takŜe od strony sterowania procesu. Odpowiednie pomiary mogą być wykonywane na pojedynczych próbkach tuŜ przed i tuŜ po obróbce. Redukuje to w duŜym stopniu problem błędów procesowych, pozwalając równocześnie na zindywidualizowanie procedury obróbki dla kaŜdej pojedynczej próbki. To podejście pozwala takŜe na uniknięcie nadmiernej ręcznej manipulacji próbkami, poprzez zastosowanie zgrupowanych narzędzi, w których komory reakcyjne są umieszczone wokół głównego systemu manipulacyjnego. Dzięki temu moŜna zmniejszyć rozmiar „clean room”u oraz koszty personelu [10].. 2.2 Teoretyczne modele procesów termicznych W celu odwzorowania określonych cech procesu fizycznego konstruuje się jego model matematyczny. Model matematyczny obiektu fizycznego, opisujący jego zachowanie w oparciu o aparat matematyczny zjawisk termicznych, odpowiadających za zachowanie tego obiektu w rzeczywistości, określa się mianem modelu teoretycznego [48]. W ogólnym przypadku, matematyczny model zjawisk fizycznych zawiera równania róŜniczkowe cząstkowe, które pomimo duŜej dokładności odwzorowania rzeczywistości są opisem bardzo złoŜonym, a ich rozwiązanie numeryczne wymaga bardzo duŜych mocy obliczeniowych. Z tego względu, takie modele nie nadają się do sterowania w czasie rzeczywistym. Mniejszą uciąŜliwość obliczeniową stwarzają modele oparte o równania róŜniczkowe zwyczajne, w których występują pochodne tylko względem czasu [49]. Matematyczny model obiektu fizycznego opisuje związek sygnału wyjściowego obiektu z sygnałem podawanym na jego wejście. Ze względu na czasowy charakter zaleŜności pomiędzy sygnałami wyjściowymi a wejściowymi, rozróŜniamy modele statyczne (niezaleŜne od czasu) i dynamiczne (zaleŜne od czasu). JeŜeli szybkość reakcji sygnału wyjściowego na zmianę stanu sygnału wejściowego jest duŜa i czas ten moŜe być pominięty to model takiego obiektu (procesu) moŜe być modelem statycznym, czyli nie uwzględniającym czasu. Najczęściej jednak istnieje potrzeba konstruowania modelu dynamicznego, odwzorowującego czasowe następstwa zmian sygnałów wejściowych na wyjściu obiektu [48, 49].. 15.

(16) Istnieje co najmniej kilka podejść do projektowania i zapisu formalnego modeli dynamicznych. Są to modele operatorowe (Laplace’a lub Fourier’a), pozwalające zapisać zaleŜność wyjść i wejść w postaci transmitancji lub modele róŜniczkowe sprowadzane najczęściej do układu równań róŜniczkowych pierwszego rzędu, pozwalające na sformułowanie modelu w przestrzeni stanu [49]. Rozwój techniki cyfrowej spowodował rozwój modelowania w dziedzinie czasu dyskretnego i powstanie odpowiedników powyŜszych technik dla tej dziedziny [50, 51]. Jako osobną klasę modeli wyróŜnia się modele bazujące na dyskretnej i skończonej czasowej odpowiedzi obiektu na standardowe wymuszenie (skok jednostkowy). Ta ostatnia technika modelowania stała się podstawą do rozwoju nowoczesnego sterowania predykcyjnego [52]. PowyŜsze sposoby formułowania modelu łączy fakt, Ŝe z ich struktury moŜna odczytać informację o dynamice obiektu i na tej podstawie wnioskować o wyborze sposobu sterowania. Modelowanie matematyczne procesu termicznego moŜna prowadzić posługując się fizycznym opisem zjawisk mających wpływ na jego przebieg [49]. Struktura aparatu matematycznego, jak równieŜ wartości współczynników równań moŜe być bezpośrednio zaczerpnięta z opisu fizycznego. Nie zawsze jednak moŜna jednoznacznie wskazać dominujące zjawiska fizyczne, dlatego równolegle rozwijane są metody modelowania matematycznego bez fizycznej interpretacji stosowanej struktury, zwane metodą czarnej skrzynki. Przykładem takiego podejścia są metody wykorzystujące sieci neuronowe [53]. Takie rozwiązanie moŜe być skuteczną metodą poszukiwania modeli obiektów nieliniowych [53, 54]. 2.2.1 Elementarny opis zjawisk transportu ciepła Dla realizacji modelu opartego na zjawiskach fizycznych przyjmuje się ciągłość ośrodka i obowiązujące w nim fizyczne prawa transportu ciepła. Temperatura w takim modelu jest funkcją zarówno czasu, jak i zmiennych przestrzennych. Parametry róŜniczkowych równań cząstkowych są tzw. parametrami rozłoŜonymi. Budowany model matematyczny dotyczy procesów termicznych zachodzących w komorze próŜniowej, zatem modelowanie zjawisk przepływu ciepła moŜna ograniczyć do promieniowania i przewodzenia. Zjawisko przewodzenia ciepła w rozwaŜanym szerokim zakresie temperatur dobrze opisuje prawo Fouriera [55, 56], zgodnie z którym gęstość strumienia ciepła przekazywanego w jednostce czasu jest proporcjonalna do gradientu pola temperatury (2.3): r q& = −λ∇T ,. (2.3). gdzie: r q& – gęstość strumienia ciepła, λ – przewodność termiczna obszaru przewodzenia, ∇T – gradient pola temperatury.. Radiacyjny transport energii opisywany równaniem Stefana-Boltzmana (2.4) jest zjawiskiem nieliniowym względem temperatury promieniującej powierzchni. Prawo to opisuje strumień energii ( q& ) wypromieniowywanej w jednostce czasu z powierzchni o znanej temperaturze: q& = εskT 4 ,. (2.4). 16.

(17) gdzie: ε – emisyjność powierzchni, s – powierzchnia, k – stała Boltzmanna (5,67 · 10-8 W m-2 K-1), T – temperatura powierzchni.. Zgodnie z powyŜszym równaniem, wszystkie ciała o niezerowej temperaturze i niezerowej emisyjności promieniują energię ze swoich powierzchni i oświetlają ciała znajdujące się w ich sąsiedztwie. Jednocześnie kaŜda powierzchnia absorbuje część energii wypromieniowanej w jej kierunku przez wszystkie inne powierzchnie. Rozwiązanie problemu wymiany energii przez przewodzenie i promieniowanie prowadzi do równania róŜniczkowego cząstkowego parabolicznego (2.5), określającego rozkład temperatury w obszarze róŜniczkowania z uwzględnieniem warunków brzegowych (2.6): ∂T ( x, y, z , t ) − λ∆T ( x, y, z , t ) = 0 , ∂t r 4 n (λ∇T ( x, y, z, t )) = α (TO − T 4 ( x, y, z, t )) ,. C. (x, y, z, t ) ∈ [Ω [t1 , t2 ]] ,. (2.5). (x, y, z, t ) ∈ [∂Ω [t1 , t2 ]] ,. (2.6). gdzie: T(x,y,z,t) – temperatura określona w przestrzeni (x,y,z) ∈ Ω oraz w czasie t ∈ [t1 t2], ∂Ω – brzeg obszaru Ω, C – róŜniczkowa pojemność termiczna, n – wektor normalny do brzegu ∂Ω, α – współczynnik skalujący oddziaływanie radiacyjne powierzchni brzegowych z otoczeniem o uśrednionej temperaturze T0.. Poza brzegiem obszaru róŜniczkowania moŜe występować inny obszar, gdzie będzie zachodzić konwekcyjny i radiacyjny transport energii cieplnej. Ma to istotne znaczenie w przypadku próŜni, gdzie jedynym zjawiskiem wymiany energii jest promieniowanie, które odbywa się pomiędzy płaszczyznami widzących się ciał (elementów konstrukcyjnych). Promieniowanie ustala zatem warunki brzegowe (2.6) dla zjawiska przewodzenia (2.5). 2.2.2 Specyfika modelowania transportu radiacyjnego Dla ilościowego określenia transportu radiacyjnego zachodzącego pomiędzy powierzchniami ścian modelowanego systemu, naleŜy uwzględnić wzajemne połoŜenie tych ścian w przestrzeni. KaŜda powierzchnia o temperaturze większej od 0 K nie będąca idealnym zwierciadłem (o emisyjności większej od 0) wypromieniowuje energię we wszystkich kierunkach w półprzestrzeń. Analiza sumarycznego przepływu energii poprzez promieniowanie sprowadza się do określenia oświetlenia kaŜdej powierzchni przez pozostałe, takŜe promieniowaniem wypromieniowanym przez nią samą i odbitym przez inne powierzchnie. Strumień promieniowania elektromagnetycznego padający na powierzchnię ciała moŜe zostać od niej odbity, pochłonięty lub w przypadku ciał przezroczystych dla danego promieniowania moŜe nastąpić transmisja promieniowania przez to ciało (Rys. 2-2) (2.7) [57, 58].. 17.

(18) Er. E. Ea. Et Rys. 2-2. Oddziaływanie powierzchni z promieniowaniem padającym.. MoŜna zatem zapisać równanie dla strumienia energii radiacyjnej ( E& ) padającej na ciało jako: E& = E& a + E& r + E& t ,. (2.7). gdzie:. E& a – absorbowany strumień energii radiacyjnej (powiększający energię wewnętrzną ciała, na które pada), E& – odbijany strumień energii radiacyjnej, r. E& t – transmitowany strumień energii radiacyjnej.. Ograniczając rozwaŜania do ciał nieprzezroczystych, moŜemy zaniedbać zjawisko transmisji promieniowania, co daje: E& = E& a + E& r ,. (2.8). a po przekształceniu: 1=. E& a E& r + =a+r, E& E&. (2.9). gdzie a i r są współczynnikami odpowiednio absorpcji i odbicia. Dla róŜniczkowego opisu zjawiska wypromieniowania energii w jednostce czasu przez powierzchnie wprowadza się gęstość emisji ciała:. e& =. E& (T ) , s. (2.10). gdzie:. E& (T ) – emisja ciała (strumień energii radiacyjnej emitowanej przez ciało) w temperaturze T w jednostce czasu, s – powierzchnia ciała emitującego.. Dla przypadku ciała doskonale czarnego gęstość emisji określa prawo Stefana-Boltzmana: e&b = kT 4 .. (2.11). Promieniowanie elektromagnetyczne emitowane przez powierzchnię w półprzestrzeń, wykazuje zaleŜność intensywności od kierunku. Kierunkowa gęstość emisji określona jest prawem Lamberta:. 18.

(19) e&β = e&β =0 cos β = e&β ⊥ cos β ,. (2.12). gdzie β jest kątem pomiędzy kierunkiem promieniowania a normalną powierzchni promieniującej. Określenie strumieni radiacyjnych pomiędzy powierzchniami modelowanego układu jest realizowane poprzez określenie par widzących się powierzchni oraz oddziaływania pomiędzy nimi. Do tego celu definiuje się tzw. stosunek konfiguracji powierzchni. Lokalny stosunek konfiguracji ϕ dFi → F j elementarnej powierzchni dFi względem powierzchni Fj oblicza się następująco [57, 59]:. ϕ dF → F = i. j. 1. π. ∫. cos β i cos β j. rij. Fj. 2. dF j ,. (2.13). gdzie : Fi, Fj – oddziałujące płaszczyzny, dFi, dFi – elementarne powierzchnie płaszczyzn i-tej i j-tej, rij – promień łączący elementarne płaszczyzny (podczas całkowania), βi, βj – kąty padania promienia r do płaszczyzn elementarnych.. Średni stosunek konfiguracji powierzchni Fi względem Fj (Rys. 2-3) przedstawia się następująco:. ϕ F →F = i. j. 1 Fiπ. ∫∫. Fi F j. cos β i cos β j. rij. 2. dF j dFi .. (2.14). ∂Fj βj. ∂Fi. rij βi. Fj. Fi Rys. 2-3. Obliczanie konfiguracji powierzchni.. Obliczony stosunek konfiguracji moŜemy bezpośrednio zastosować do obliczenia strumieni energii radiacyjnej ( E& i→ j ) z i-tej powierzchni na j-tą w jednostce czasu:. E& i→ j = Fiϕij e&bi , i analogicznie w przeciwnym kierunku:. (2.15). E& j→i = F jϕ ji e&bj ,. (2.16). gdzie:. e&bi , e&bj – gęstość emisji i-tej i j-tej powierzchni,. 19.

(20) co ostatecznie pozwala nam wyrazić sumaryczny przepływ ciepła w jednostce czasu miedzy powierzchniami jako:. Q& i↔ j = E& i→ j − E& j→i = F jϕ ji (e&bi − e&bj ) .. (2.17). Dla jeszcze bardziej przejrzystego zapisu wprowadza się pojęcie powierzchni wymiany bezpośredniej si s j (2.18) [57], pozwalające na uniezaleŜnienie obliczeń geometrycznych od rozpatrywanego kierunku przepływu energii miedzy dwoma powierzchniami (2.19):. si s j =. 1. π ∫∫. cos β i cos β j. rij. Fi F j. 2. dF j dFi ,. si s j = s j si .. (2.18). (2.19). Przepływ ciepła w jednostce czasu jest wyraŜony wzorem:. Q& i↔ j = si s j (e&bi − e&bj ) , podstawiając ze wzoru (2.11) otrzymujemy:. (. ). 4 4 Q& i↔ j = si s j ⋅ k Ti − T j .. (2.20). (2.21). PowyŜszy opis radiacyjnego oddziaływania powierzchni zakłada całkowite pochłanianie promieniowania padającego (powierzchnie doskonale czarne). Przypadek powierzchni rzeczywistych lepiej opisuje model powierzchni szarych, dla których emisyjność nie zaleŜy od długości fali promieniowania.. E& = εE& b = εkT 4 ,. (2.22). gdzie:. E& – gęstość emisji powierzchni o emisyjności ε. Powierzchnia szara emituje promieniowanie termiczne, ale takŜe częściowo odbija promieniowanie, które na nią pada (2.7). Radiacyjne oddziaływanie dwóch powierzchni przebiega drogą bezpośredniej widoczności (2.18), a takŜe pośrednio przez odbicia od innych powierzchni. Do opisu oddziaływań powierzchni szarych wprowadza się pojęcie jasności powierzchni jako sumę promieniowania emitowanego przez daną powierzchnię i odbijanej części promieniowania padającego na powierzchnię [33]. Miarą oddziaływania powierzchni szarych jest tzw. powierzchnia wymiany całkowitej Si S j (równanie (2.23), którą wyznacza się pośrednio przez wyznaczenie powierzchni wymiany bezpośredniej, a następnie zastosowanie metody wygaszania [33].. (. 4 4 Q& i ↔ j = Si S j ⋅ k Ti − T j. ). (2.23). Kolejnym zagadnieniem w analizie radiacyjnego transportu są materiały półprzezroczyste, które posiadają róŜne właściwości radiacyjne w róŜnych zakresach spektralnych promieniowania (np. gaz, szkło) [55]. W przypadku modelowanej komory 20.

(21) próŜniowej, tego typu elementem jest ściana kwarcowa, która przepuszcza w zakresie widzialnym oraz w bliskiej podczerwieni (λ < 4 µm) promieniowanie wysokotemperaturowego źródła, natomiast silnie oddziałuje z promieniowaniem termicznym stygnącego reaktora.. 2.2.3 Metoda elementów skończonych i jej zastosowanie Rozwiązanie numeryczne problemu (równanie (2.5)) wewnątrz obszaru ciągłego, w którym zachodzi przewodzenie ciepła moŜna zrealizować metodą elementów skończonych (MES), w której temperatura T(x,y,z,t) przybliŜana jest funkcjami sklejanymi nad obszarem Ω (np. funkcja przedziałami wielomianowa). W metodzie tej obszar Ω dzielony jest na małe elementy za pomocą siatki przestrzennej (np. trójkątów), w której wierzchołkach znajdują się tzw. węzły, czyli punkty, w których znamy wartość funkcji T. Funkcje sklejane, przybliŜające funkcję T pomiędzy węzłami, są parametryzowane wartościami funkcji w węzłach, a więc przestrzenny rozkład funkcji T jest jednoznacznie określony przez zbiór zmiennych. Numeryczne rozwiązanie równania róŜniczkowego polega na znalezieniu liczb T1, T2, T2, ..., TN przybliŜających wartość funkcji T(t) w węzłach t1, t2, t2, ..., tN. Oddziaływania radiacyjne pomiędzy powierzchniami zapisuje się jako nieliniowe równania pomiędzy węzłami znajdującymi się na powierzchni elementów [56]. Taki podział systemu na elementy skończone, przypisanie mu zbioru zmiennych oraz określenie równań opisujących zjawiska fizyczne, wynikających z zaleŜności róŜniczkowej oraz funkcji interpolujących, tworzą równanie stanu (2.24) z bardzo rozbudowanym wektorem stanu. Metoda elementów skończonych pozwala na rozwiązywanie równań róŜniczkowych cząstkowych poprzez opis modelowanej przestrzeni duŜą liczbą zmiennych. Wyniki obliczeń otrzymywanych za pomocą tej metody mają postać duŜych zbiorów danych – są to punkty czasowe (rozwiązanie dyskretne) wektora stanu. W połączeniu z geometrią modelu dają one duŜe moŜliwości wizualizacji otrzymanego wyniku. Ten mocno rozbudowany i szczegółowy rodzaj modelu potrafi wiernie oddać rzeczywistość zjawisk fizycznych, ale bezpośrednio nie nadaje się do sterowania [60]. JeŜeli jednak duŜy zbiór wyników otrzymanych z obliczeń MES poddamy dekompozycji ortogonalnej, wówczas moŜna zauwaŜyć, Ŝe informacja zawarta w zbiorze wyników jest silnie nadmiarowa. Jest to spowodowane tym, Ŝe bliskie siebie elementy mają niemal identyczną trajektorię stanu. MoŜna zatem na podstawie wyników tej dekompozycji przedstawić trajektorie stanu MES jako kombinację liniową trajektorii ortogonalnych z odpowiednimi wagami, które szybko maleją. Malejące wagi kolejnych składowych zmiennych stanu świadczą o coraz mniejszej energetycznej istotności kolejnych trajektorii ortogonalnych, co z kolei pozwala wziąć pod uwagę tylko te o największych wagach, a resztę pominąć. Wynik dekompozycji ortogonalnej moŜna następnie wykorzystać do odpowiedniego odwzorowania równania stanu MES do równania stanu zmiennych ortogonalnych. MoŜna w ten sposób otrzymać model niskiego rzędu z regulowaną dokładnością. Dodatkowo, na podstawie zawęŜonego zbioru ortogonalnego, moŜna w oparciu o wynik dekompozycji określić zmienną stanu dowolnego punktu opisywanego w modelu MES [60, 61].. 21.

(22) 2.2.4 Model w przestrzeni stanu W pracy, ze względu na późniejsze zastosowanie, wybrano technikę modelowania w przestrzeni stanu. Polega ona na wprowadzeniu podziału systemu na tzw. „zbiorniki” energii (zmienne stanu) [62] oraz określenie dróg przepływu energii pomiędzy nimi za pomocą równań róŜniczkowych operujących na zmiennych stanu. Wektor stanu, naleŜący do przestrzeni stanu, zawiera uporządkowany zbiór zmiennych w pełni opisujących stan energetyczny danego systemu. Wektorowe uporządkowanie zmiennych modelu pozwala na macierzowy zapis równania stanu. W przypadku obiektów liniowych równanie stanu przybiera podstawową postać [62]:. X& = AX + BU ,. (2.24). Y = CX + DU ,. (2.25). gdzie:. X& – pochodna wektora stanu po czasie, X – wektor stanu, U – wektor sterowań (wejścia modelu), Y – wektor wyjść (sygnały mierzalne), A,B,C,D – macierze współczynników.. Pierwsze z równań określa dynamikę stanu. PoniewaŜ nie kaŜda zmienna stanu jest dostępna pomiarowo, drugie równanie pozwala na przekształcenie tego stanu do postaci widocznej w punktach pomiarowych. Przedstawienie modelu obiektu liniowego w postaci równania (2.24) jest powszechnie wykorzystywane w nowoczesnej teorii sterowania [52, 62-64]. Dla obiektów nieliniowym równanie stanu moŜna zapisać w postaci:. X& = f A ( X ) + f B (U ) ,. (2.26). Y = f C ( X ) + f D (U ) ,. (2.27). gdzie fA, fB, fC, fD, są funkcjami nieliniowymi.. 2.3 Modelowanie metodą czarnej skrzynki Jeśli dokładne poznanie zjawisk zachodzących w procesie nie jest moŜliwe lub nie jest celem modelowania wówczas moŜemy zastosować model empiryczny, tworzony metodą czarnej skrzynki. Metoda ta ma na celu jedynie znalezienie ilościowych relacji między zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi, na podstawie zebranych danych eksperymentalnych [48]. W tym przypadku stosuje się ogólną strukturę modelu matematycznego (np. liniowe równanie stanu), a następnie szuka jej współczynników [65]. Stosuje się w tym przypadku tzw. identyfikację współczynników modelu na podstawie posiadanych danych eksperymentalnych [66]. Dla przypadku modeli liniowych opracowano wiele metod identyfikacji. Znalezienie modelu liniowego nie jest zazwyczaj trudne, ale jego jakość zaleŜy w głównej mierze od tego na ile modelowany obiekt moŜna uznać za liniowy. Model liniowy daje moŜliwość transformacji z dziedziny czasu ciągłego do dyskretnego i odwrotnie, co pozwala na prowadzenie identyfikacji w dziedzinie czasu dyskretnego i przeniesienie rezultatów do drugiej dziedziny lub operowanie modelem z czasem dyskretnym [50, 51].. 22.

(23) W przypadku modeli nieliniowych proces identyfikacji oparty o procedury optymalizacyjne moŜe prowadzić do róŜnych rozwiązań, w zaleŜności od przyjętego punktu startowego. Dlatego teŜ, punkt ten musi być dobrze oszacowany innymi metodami. W literaturze spotyka się zastosowanie złoŜonych struktur modelu (np. model Wienera), które pozwalają na uproszczenie procedury identyfikacji [67]. Nieliniowy model w procedurze sterowania często bywa linearyzowany do postaci afinicznej, czyli liniowej z przesunięciem. MoŜna załoŜyć zatem afiniczną postać równania róŜniczkowego modelu ze zmiennymi w czasie współczynnikami i prowadzić na bieŜąco identyfikację (adaptację) jego struktury liniowej w oparciu o aktualnie napływające dane pomiarowe [68, 69]. Zalety podejścia empirycznego i teoretycznego mogą być łączone w modelach mieszanych [70].. 2.4 Modelowanie procesów termicznych w technologii półprzewodnikowej W celu realizacji sterowania predykcyjnego termicznym procesem wytwarzania elementów i materiałów półprzewodnikowych tworzy się modele termiczne procesów termicznych. W większości realizacji bazę wyjściową stanowi fizyczny opis zjawisk transportu energii mający miejsce w aparaturze. W szczególności uwzględnia się zjawisko promieniowania, dyfuzji i konwekcji ciepła. Szczególną uwagę poświęca się modelowaniu termicznych właściwości kwarcu, który ze względu na półprzezroczystość stanowi filtr dla części promieniowania termicznego [71], jak równieŜ pozwala na radiacyjny transport ciepła w swoim wnętrzu [72]. Modelowanie staje się szczególnie istotne przy stosowaniu metody RTP, gdzie waŜnym elementem jest jednorodność temperatury na całej modyfikowanej powierzchni. Spełnienie tego wymagania osiąga się poprzez odpowiednie zamodelowanie komory i układu lamp grzejnych [73], w postaci modelu z wieloma wyjściami i wejściami [74]. TakŜe w tych zagadnieniach stosuje się podejście dokładnego modelowania zjawisk fizycznych z późniejszą redukcją wymiaru modelu dla umoŜliwienia stosowania go w procedurach sterowania [75]. Potrzeba uwzględnienia w modelu zaleŜności przestrzennych prowadzi do wykorzystania modeli bazujących na metodzie elementów skończonych (MES), która w sposób naturalny uwzględnia aspekt przestrzenny. Model MES jest jednak modelem wysokiego rzędu wymagającym duŜych nakładów obliczeniowych. Modelowanie mające na celu wspomaganie procesów sterowania powinno skutkować modelami niskiego rzędu, odwzorowującymi najwaŜniejsze cechy obiektu istotne dla jego sterowania. Proponuje się podejście mające na celu otrzymanie modelu niskiego rzędu z modelu wysokiego rzędu MES poprzez wykorzystanie ciągu punktów rozwiązania czasowego (ang. snapshots). Stosuje się do tego dekompozycję ortogonalną (Proper Orthogonal Decomposition, POD), zwaną inaczej procedurą Karhunen-Loève [76]. Pozwala ona ilościowo (energetycznie) określić wpływ kolejnych niezaleŜnych funkcji własnych [61, 75] i pozostawić tylko te najistotniejsze. Metoda ta pozwoliła zredukować ilość zmiennych z 5000 dla modelu MES do 10 dla modelu zredukowanego [61].. 23.

(24) W technologiach półprzewodnikowych do pomiaru temperatury często wykorzystuje się metodę pirometryczną. W tych zagadnieniach równieŜ stosuje się podejście dokładnego modelowania zjawisk fizycznych z późniejszą redukcją wymiaru modelu dla umoŜliwienia stosowania go w procedurach sterowania [75]. Ten sposób wymaga jednak znajomości emisyjności powierzchni, która moŜe się zmieniać w trakcie procesu. Wartość emisyjności moŜna wyznaczać stosując odpowiednie modele matematyczne [38-41, 77]. Przedstawiony w literaturze model z parametrami skupionymi komory RTP dla technologii krzemowej [71], uwzględnia zjawiska promieniowania, przewodzenia i konwekcji ciepła. Ze względu na wysokie temperatury (około 1000°C) uwzględnia się zmienną emisyjność krzemu, skalującą transport radiacyjny, a takŜe wprowadza się podział promieniowania na długo- i krótkofalowe ze względu na granice widmowej przejrzystości kwarcu, stosowanego jako ścianę komory próŜniowej. Nieliniowy model transportu ciepła poddawany jest linearyzacji wzdłuŜ trajektorii procesu termicznego i na podstawie modelu liniowego wyliczane są współczynniki PID sprzęŜenia zwrotnego sterownika [71].. 2.5 Zastosowanie modelowania w sterowaniu procesem termicznym W procesie wytwarzania półprzewodników dostarczana energia potrzebna jest do uformowania związków chemicznych i struktur krystalicznych. Kontrola procesu wytwarzania jest kontrolą składu masowego i energii. W większości przypadków dostarczanie energii realizowane jest poprzez proces termiczny, zatem kontrola energii procesu polega na kontroli temperatury. Sterowanie temperaturą w szybkim i precyzyjnym procesie formowania półprzewodników realizuje się głównie jako sterowanie predykcyjne, oparte o matematyczny model zjawisk termicznych [78]. Procedura sterowania ma za zadanie znaleźć takie trajektorie sygnałów wejściowych, aby otrzymać poŜądany efekt w postaci oczekiwanej trajektorii sygnału wyjściowego lub wewnętrznego stanu obiektu. Wiedza o obiekcie sterowania zapisana w jego modelu matematycznym pozwala na wyznaczenie sterowania w postaci sprzęŜenia zwrotnego lub sterowania otwartego z predykcją. Sterowanie z zamkniętą pętlą dogodnie stosuje się do etapów stabilizacji gdzie moŜna zaproponować zlinearyzowany model i wyznaczyć liniowe sprzęŜenie zwrotne. Sterowanie predykcyjne moŜliwe jest do stosowania zarówno na etapach stabilizacji jak podczas etapów przejściowych w czasie których stan obiektu jest znacząco zmieniany. Powszechnie stosowana metoda RTP obróbki pojedynczych płytek poprzez bardzo szybkie ogrzewanie (do 200°C s-1) [34], stawia duŜe wymagania dla układu sterowania. Dotyczy to przede wszystkim kontroli temperatury, co jest ogromnym problemem ze względu na duŜą nieliniowość procesu grzania (promieniowania) oraz kontroli parametrów procesu, które znacząco zmieniają się w czasie obróbki próbki oraz pomiędzy kolejnymi procesami [34]. Istnieją róŜne strategie kontroli procesu RTP, m.in.: rozproszona, adaptacyjna, z modelem wewnętrznym oraz predykcyjna [10, 34]. W szczególności atrakcyjne są nowoczesne metody predykcyjne, pozwalające na kontrolę obiektów z wieloma wejściami i wieloma wyjściami (Multiple Input Multiple Output, MIMO), wykorzystywane do sterowania poszczególnymi lampami halogenowymi w celu kontroli przestrzennej jednorodności temperatury [74].. 24.

(25) 2.5.1 Struktura sterowania optymalnego Sterowanie optymalne ma na celu minimalizację ogólnie pojętych kosztów lub maksymalizację zysków przebiegu procesu, którym sterujemy. Realizacja tego zadania polega na minimalizacji kryterium jakości. Teoria sterowania optymalnego dobrze opisuje problematykę dotyczącą liniowego sterowania optymalnego z kwadratowym wskaźnikiem jakości (Linear Quadratic Regulator, LQR). Rozwiązanie tego problemu ma postać liniowego sprzęŜenia zwrotnego (2.28):. u = − Kx ,. (2.28). gdzie: u – wektor sterowań, K – macierz współczynników układu sterowania optymalnego, x – wektor stanu.. Wyznaczenie macierzy K odbywa się na drodze rozwiązania równania Riccatiego. JeŜeli obiekt i jego model są nieliniowe to procedurę sterowania optymalnego moŜna zastosować na przykład po zlinearyzowaniu modelu. W wyniku takiego postępowania otrzymuje się sterowanie suboptymalne. MoŜliwe jest równieŜ stosowanie modelu nieliniowego, ale rozwiązanie problemu sterowania optymalnego prowadzi się wtedy metodami wariacyjnymi wymagającymi duŜych mocy obliczeniowych Stosowanie modelu zlinearyzowanego ogranicza się do małego otoczenia punktu linearyzacji, zatem sterowanie ciągłe wymaga cyklicznej linearyzacji wynikającej ze zmiany punktu pracy.. 2.5.2 Obserwator stanu Sterowanie optymalne wymaga znajomości aktualnego wektora stanu (2.28). Zazwyczaj nie wszystkie jego zmienne są dostępne pomiarowo i w takich przypadkach dla odtworzenia aktualnego stanu obiektu stosuje się tzw. obserwatory stanu [64]. Spośród róŜnych obserwatorów stanu na uwagę zasługuje tzw. filtr Kalmana (Rys. 2-4), który uwzględnia zarówno zakłócenia pomiarów wyjść obiektu, jak i zakłócenia sygnałów sterujących obiektem.. obserwator. x. u w. obiekt. y. Rys. 2-4. Filtr Kalmana – umiejscowienie w systemie (u - sterowanie, w - zakłócenie, y - wektor mierzonych wielkości, x - odtworzony wektor stanu).. Równanie opisujące filtr Kalmana ma następującą postać:. X& = AX + BU + L(Y − CX ) ,. (2.29). gdzie: X& – pochodna wektora stanu po czasie, X – odtwarzany wektor stanu, A,B,C – macierze opisujące równanie stanu, U – wektor sterowań, L – macierz wzmocnień filtru.. 25.

(26) 2.5.3 Sterowanie predykcyjne Sterowanie procesem szybkiej obróbki termicznej jest szeroko opisywane w technologii wytwarzania płytek krzemowych [79]. Wiele wniosków moŜna zastosować w projektowaniu układów sterowania procesem wytwarzania układów cienkowarstwowych. DuŜa część rozwiązań oparta jest na modelu matematycznym procesów termicznych, stanowiącym podstawę do predykcji zachowania się obiektu podczas sterowania. Model matematyczny moŜe być wykorzystany zarówno w strategii sterowania z otwartą pętlą, gdzie wynikiem działania jest czasowy profil sterowania, jak równieŜ w strategii sterowania z zamkniętą pętlą, gdzie poszukiwane jest sterujące sprzęŜenie zwrotne [74, 80]. Wykorzystanie modelu matematycznego pozwala sprowadzić problem sterowania zaplanowanej trajektorii temperatury oraz jej przestrzennej jednorodności do zagadnienia sterowania optymalnego [81]. Trajektoria temperatury zadana jest przez technologię danego procesu termicznego. Realizacja sterowania zawierającego model prowadzi do sterowania predykcyjnego. Sterowanie predykcyjne (Model Predictive Control, MPC) polega na cyklicznym poszukiwaniu rozwiązania zagadnienia sterowania na ograniczonym horyzoncie czasowym względem punktu, w którym aktualnie się znajdujemy. Predykcja prowadzona jest na podstawie modelu obiektu sterowania. Początkowo, ze względu na łatwość pozyskiwania, stosowano modele w postaci odpowiedzi impulsowej na skok jednostkowy. Sterowanie parametrami niedostępnymi pomiarowo uzyskano poprzez zastosowanie modelu w przestrzeni stanu i wykorzystanie go do budowy obserwatora stanu [64]. Zastosowanie obserwatorów jest bardzo istotne w sterowaniu predykcyjnym, poniewaŜ poprawia zgodność stanu modelu ze stanem obiektu rzeczywistego. W przypadku modeli nieliniowych, stosuje się najczęściej klasyczny filtr Kalmana z jego odmianą dla układów nieliniowych – tzw. rozszerzony filtr Kalmana (Extended Kalman Filter, EKF) [67]. Ze względu na zastosowany model oraz na sposób poszukiwania, sterowanie predykcyjne moŜemy podzielić na kolejne generacje. Pierwsze dwie generacje sterowania predykcyjnego stosują modele liniowe w postaci odpowiedzi impulsowej oraz kwadratowy wskaźnik jakości. Cechą charakterystyczną drugiej generacji jest bezpośrednie stosowanie liniowych ograniczeń sterowania i wyjścia (np. metoda Quadratic Dynamic Matrix Control, QDMC), co we wcześniejszej generacji było traktowane jedynie w sposób przybliŜony (np. metoda Dynamic Matrix Control, DMC). Trzecia generacja stosuje model liniowy w przestrzeni stanu, natomiast czwarta uwzględnia modele nieliniowe [52]. Wprowadzenie ograniczenia na sygnały sterujące, wynikającego z ich fizycznej realizacji powoduje, Ŝe układ liniowy staje się nieliniowy. JeŜeli zastosowanie zamkniętej pętli sprzęŜenia powoduje utratę liniowości układu wówczas warto zastosować sterowanie z otwartą pętlą. Wykonanie kroku sterowania z otwartą pętlą w skończonym, zazwyczaj krótkim czasie, przenosi cały obiekt do nowego punktu, w którym naleŜy dokonać kolejnej linearyzacji (w przypadku modelu nieliniowego) i wyznaczyć sterowanie w następnym kroku. Lokalne sterowanie z otwartą pętlą pozwala uwzglęnić ograniczeniami sygnałów wejściowych. Tak zdefiniowane podejście do sterowania zwane jest sterowaniem predykcyjnym w oparciu o nieliniowy model obiektu (Nonlinear Model Predictive Control, NMPC) [70, 78]. Sterowanie predykcyjne nie ogranicza rodzaju zastosowanego modelu, dlatego oprócz standardowych modeli dynamicznych stosuje się inne podejścia, np. sieci neuronowe [53, 82]. Bardzo istotną cechą sterowania predykcyjnego jest moŜliwość sterowania obiektami MIMO [83]. Jest to moŜliwe tylko w przypadku, gdy moŜliwe jest wyznaczenie modelu 26.