Rozwiązaniem równania stanu (4.5) - układu równań róŜniczkowych (RR) zwyczajnych, jest funkcja spełniająca to równanie w kaŜdym punkcie przedziału rozwiązania (czasu). Ze względu na charakter obliczeń numerycznych, ich wynikiem moŜe być zbiór punktów naleŜących do rozwiązania lub ewentualnie zbiór funkcji bazowych skalowanych wektorem rozwiązania (w przypadku stosowania metod wariacyjnych).
Metody dające dyskretne rozwiązanie układu równań róŜniczkowych pozwalają wyznaczyć rozwiązanie przy zadanym warunku brzegowym (początkowym lub końcowym). Obliczanie rozwiązania odbywa się „od punktu do punktu”, gdzie wyznaczenie pozycji następnego punktu rozwiązania oblicza się na podstawie prawej strony RR i poprzednich punktów. Metody te moŜna podzielić na jawne (sekwencyjne wyliczanie punktów rozwiązania) i niejawne (jednoczesne obliczanie wielu punktów rozwiązania). W pracy wykorzystano zarówno jawne, jak i niejawne metody z grupy metod Rungego-Kutty (RK).
10.1 Metody rozwiązywania równań róŜniczkowych zwyczajnych
Rozwiązanie równania róŜniczkowego zwyczajnego (zagadnienie początkowe) postaci:
0 ) 0 ( )) ( , ( ' y y x y x f y = = (10.1)
na maszynie cyfrowej sprowadza się do znalezienia rozwiązania dyskretnego w postaci ciągu wartości y0...n w określonych punktach x0...n. Analiza pochodnej w punkcie startowym oraz punktach z jego otoczenia oraz załoŜenie o ciągłości rozwiązania pozwalają wyznaczyć z pewną, określoną dokładnością wartość y w punkcie następnym, który staje się punktem startowym do kolejnego cyklu rozwiązywania. Istnieją metody rozwiązywania równań róŜniczkowych, które wymagają znajomości kilku pierwszych punktów rozwiązania – są to metody wielokrokowe. Muszą one współpracować z metodami jednokrokowymi dla rozwiązania w/w zagadnienia początkowego w celu obliczenia wystarczającej liczby punktów rozwiązania. JeŜeli dla obliczenia wartości rozwiązania yn+1 wystarczą nam wartości z poprzednich kroków, to metoda jest metodą jawną. JeŜeli w algorytmie do obliczenia rozwiązania w punkcie potrzebna jest znajomość tego rozwiązania (występuje po obu stronach – zapis uwikłany), to do wyznaczenia tego rozwiązania naleŜy stosować metody iteracyjne lub predyktor-korektor. Metody tego typu zwane są metodami niejawnymi. Pomimo niedogodności związanymi z koniecznością stosowania metod iteracyjnych, metody niejawne są stosowane ze względu na większą dokładność i większy obszar stabilności, co umoŜliwia ich szersze zastosowanie.
10.2 Metody Rungego-Kutty
Szeroką grupę metod rozwiązywania równań róŜniczkowych stanowią metody RK (Rungego-Kutty). Metody jawne opisane są wzorem ogólnym (10.2) [93]:
∑
= + = + s i i i n n y wK y 1 1 (10.2) ) , ( 1 hf xn yn K = (10.3) 1 , ) , ( 1 1 > + + =∑
− = i dla K b y h a x hf K i j i ij n i n i (10.4)Wybór konkretnej metody dokonuje się poprzez ustalenie współczynników ai, bi, wi. Wraz ze wzrostem wartości s rośnie dokładność metody (rząd) oraz liczba obliczeń realizowanych w jednym kroku rozwiązania. Dla s = 1 mamy tzw. metodę Eulera, natomiast dla s = 4 mamy moŜliwość uzyskania metody rzędu 4, która jest najkorzystniejsza pod względem nakładu obliczeniowego w stosunku do osiąganego rzędu. Metody jawne charakteryzują się łatwością wyznaczania wyrazów Ki, gdyŜ wyznacza się je jako kombinację liniową obliczonych wcześniej wartości, co jednak ogranicza obszar stosowania tych metod (osiągnięcie Ŝądanej dokładności powoduje znaczne zmniejszenie kroku). Metody niejawne to metody, w których szukany wyraz Ki moŜe znaleźć się po obu stronach równania (10.4) i jego rozwiązywanie prowadzi się metodami iteracyjnymi (układ równań nieliniowych).
10.3 Metody kolokacyjne
Grupa metod RK obejmuje takŜe metody niejawne, w tym kolokacyjne. Konstrukcja metody kolokacyjnej opiera się na interpolacji rozwiązania w danym kroku przy pomocy wielomianu. Stwarza to moŜliwość łatwego powiązania rozwiązania i jego pochodnej, spełniającej warunki w skończonej liczbie punktów (węzłów) kolokacji, czyli spełniającej równanie róŜniczkowe. Warunek zgodności pochodnych funkcji interpolującej i pochodnych równania róŜniczkowego nazywa się warunkiem kolokacji, a punkty, w których ten warunek jest sprawdzany – punktami kolokacji. Jak w kaŜdej metodzie niejawnej, rozwiązanie poszukiwane jest za pomocą metody iteracyjnej rozwiązywania równań (np. metody Newtona).
Rozwiązanie równania róŜniczkowego metodą kolokacji sprowadza się do rozwiązania układu równań nieliniowych określonych przez punkty kolokacji. Rozwiązanie nieliniowego układu równań prowadzi się metodami optymalizacyjnymi. Istnieje zatem moŜliwość zastosowania go w procedurze identyfikacji modelu. Kryterialną funkcję celu procesu identyfikacji (4.7) minimalizuje się przy nałoŜeniu dodatkowych warunków równościowych – warunków kolokacji.
Ten typ metody jest szczególnie interesujący do wykorzystanie w procedurze identyfikacji, gdzie poszukuje się współczynników równania róŜniczkowego minimalizując odległość rozwiązania równania modelu od trajektorii eksperymentalnych. Procedurę moŜna zatem sprowadzić do jednego duŜego problemu optymalizacji odległości trajektorii symulowanych od trajektorii eksperymentalnych z równościowymi warunkami kolokacji (Ŝądanie spełnienia równania róŜniczkowego modelu). We wspomnianym podejściu poszukuje się rozwiązania we wszystkich krokach jednocześnie.
W pracy wykorzystano metodę kolokacyjną Radau 5. Zakłada ona złoŜenie trajektorii rozwiązania równania z odcinków, które przybliŜane są wielomianami trzeciego stopnia.
Zastosowanie sklejanej funkcji interpolującej, której współczynniki w sposób liniowy zaleŜą od połoŜenia punktów dyskretnego rozwiązania, pozwala na określenie pochodnej (jako pochodnej tego wielomianu). Istnieje zatem moŜliwość kształtowania trajektorii tak, aby jej pochodna spełniała równanie róŜniczkowe w węzłach. Wykorzystana metoda Radau 5 narzuca odpowiedni dobór punktów kolokacji, dla których jest metodą rzędu 5-go [93].
Metoda kolokacyjna wydaje się być lepsza zarówno do stosowania podczas identyfikacji współczynników modelu, jak i podczas szukania trajektorii sterowania dla osiągnięcia poŜądanej trajektorii temperatury procesu ze względu na równoczesne poszukiwanie parametrów modelu lub profilu sterowania z kontrolowaniem zbieŜności do rozwiązania równania róŜniczkowego. Kolejną zaletą tej metody jest fakt, Ŝe zakres poszukiwanych rozwiązań moŜna ograniczyć, bo punkty rozwiązania są częścią przestrzeni poszukiwania minimum. DuŜą zaletą metody kolokacyjnej w procesie identyfikacji jest równieŜ to, Ŝe nie musimy znać dokładnie warunków początkowych. W przypadku metod jawnych, liczących rozwiązanie od punktu do punktu, błąd określenia warunku początkowego propaguje się i wzmacnia wzdłuŜ całego rozwiązania. W metodzie kolokacyjnej zbieŜność warunku początkowego do wartości zmierzonej na obiekcie jest wymagana na równi z innymi punktami rozwiązania.