6.1. Hiperbola.pdf 

6.1. HIPERBOLA

Wykresem funkcji

x a

y= jest hiperbola ,której asymptotami są osie układu współrzędnych. Asymptotą wykresu funkcji jest kaŜda prosta , do której wykres się przybliŜa, ale jej nie

przecina.

Jeśli a>0, to gałęzie hiperboli leŜą w I i III ćwiartce układu współrzędnych. Jeśli a<0, to gałęzie hiperboli leŜą w II i IV ćwiartce układu współrzędnych.

Przykład 6.1.1. Narysuj wykres funkcji:

x y= 2 Rozwiązanie Komentarz x -4 -2 -1 1 2 4 y 2 1 − -1 -2 2 1 2 1

Sporządzamy tabelkę, w której zapiszemy wartości funkcji dla wybranych argumentów.

Uwzględniamy dziedzinę funkcji

{ }

0

/ :x R

D ∈

Wyznaczone punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych. Łącząc je rysujemy wykres funkcji

x y= 2

Wykresem funkcji q p x a y + −

= jest hiperbola o asymptotach :

- pionowej x = p - poziomej y = q x = p y = q Wykres funkcji q p x a y + −

= otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji

x a y= o wektor

[ ]

p,q .

Przykład 6.1.2. Narysuj wykres funkcji: 3 1 4 ₊ + − = x y . Rozwiązanie Komentarz x -4 -2 -1 1 2 4 x y = −4 1 2 4 -4 -2 -1

Przy pomocy tabelki sporządzamy wykres funkcji

x y = −4 Wykres funkcji x y = −4 przesuwamy o wektor

[ ]

−1,3

( jedna jednostka w lewo i trzy jednostki do góry) i otrzymujemy wykres funkcji (zaznaczony na czerwono) 3 1 4 ₊ + − = x y .

Asymptotami wykresu funkcji

3 1 4 + + − = x y są proste 1 − = x i y=3

Przykład 6.1.3. Narysuj wykres funkcji: 4 14 3 − − = x x y Rozwiązanie Komentarz 4 14 3 − − = x x y

(

)

4 2 4 3 − − − = x x y

(

)

4 2 4 4 3 − − + − − = x x x y 4 2 3 − − + = x y 3 4 2 + − − = x y Wykres funkcji 4 14 3 − − = x x y doprowadzamy do postaci q p x a y + − = x -4 -2 -1 1 2 4 x y = −2 2 1 1 2 -2 -1 2 1 −

Przy pomocy tabelki sporządzamy wykres funkcji x y= −2 Wykres funkcji x y= −2 przesuwamy o wektor

[ ]

4,3

( cztery jednostki w prawo i trzy jednostki do góry) i otrzymujemy wykres funkcji (zaznaczony na czerwono) 4 14 3 − − = x x y

Asymptotami wykresu funkcji

4 14 3 − − = x x y są proste x=4 i 3 = y ĆWICZENIA

Ćwiczenie 6.1.1. (1pkt.) Podaj wzór funkcji, której wykres otrzymamy przez przesunięcie o wektor

[

−1,−2

]

wykresu funkcji

x y= 3. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wzoru funkcji, której wykres otrzymamy po

Ćwiczenie 6.1.2. (1pkt.) Podaj współrzędne wektora ,o który naleŜy przesunąć wykres funkcji

x

y= −1 , aby otrzymać wykres funkcji

3 1 − − = x y . schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów

1 Podanie współrzędnych wektora. 1

Ćwiczenie 6.1.3. (2pkt.) Podaj równania asymptot wykresu funkcji 5 3 1 ₋ + = x y schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów

1 Podanie równania asymptoty pionowej. 1

2 Podanie równania asymptoty poziomej. 1

Ćwiczenie 6.1.4. (1pkt.) Funkcję 1 5 2 + + = x x y doprowadź do postaci q p x a y + − = schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie postaci q p x a y + − = . ₁